基于原子范数最小化的极化敏感阵列二维波达方向估计算法

Two-dimensional DOA estimation algorithm for polarization-sensitive arrays based on atomic norm minimization

摘要

为解决极化敏感阵列中压缩感知类波达方向（DOA）估计算法产生的网格失配带来估计精度下降的问题，本文针对单偶极子阵列在原子范数最小化（ANM）理论的基础上提出一种二维DOA和极化参数的联合估计算法。首先，利用正交极化敏感阵列的特性，分别构造不同极化方向的接收模型，并证明该模型可以消除极化参数的影响，符合ANM模型。其次，通过求解半正定规划问题得到一个半正定的Toeplitz矩阵，随后基于矩阵束算法恢复DOA信息；最后，利用DOA信息和广义特征值理论恢复出极化参数。通过仿真实验验证了本文算法的有效性和优越性。

Abstract

To address the challenge of estimation accuracy degradation resulting from off-grid caused by compressive sensing-like direction of arrival （DOA） estimation algorithm in polarization-sensitive arrays， this paper presents a joint estimation algorithm for two-dimensional DOA and polarization parameters utilizing the theory of atomic norm minimization （ANM） applied to a single dipole array. Firstly， the proposed algorithm constructs receiving models for different polarization directions using the orthogonal polarization sensitive array's characteristics， which can accommodate the influence of polarization parameters and adhere to the ANM model. Secondly， the algorithm solves a positive semi-definite programming problem to obtain a positive semi-definite Toeplitz matrix， from which DOA information is recovered using the matrix-pencil algorithm. Lastly， the polarization parameters are retrieved using the DOA information and the generalized eigenvalue theory. The effectiveness and superiority of the proposed algorithm are demonstrated through simulation experiments.

Graphical abstract

关键词

无网格波达方向估计 / 正交极化敏感阵列 / 原子范数最小化 / 网格失配

Key words

gridless direction of arrival estimation / orthogonal polarization sensitive arrays / atomic norm minimization / off-grid

0 引 言

波达方向（Direction of arrival， DOA）估计是阵列信号处理的重要分支，被广泛应用于雷达、声呐和通信等诸多领域。在DOA估计实际应用到的阵列中，极化敏感阵列相比传统标量阵列具有更强的抗干扰能力、更稳定的检测能力和更高的分辨率，因此在近年来逐渐成为研究热点，很多应用于标量阵列的DOA估计算法也逐渐被推广至极化敏感阵列中。经典的多重信号分类（Multiple signal classification， MUSIC）算法在文献［1］中被扩展为一种空域DOA信息和极化域信息联合估计的秩亏MUSIC算法，适用于多种极化敏感阵列。文献［2］提出的基于极化敏感圆阵的二维降维MUSIC算法，相比于传统MUSIC算法有更高的估计精度，但是在进行二维DOA估计时会产生一个四维谱峰搜索，导致运算量变大、计算时间变长。旋转不变技术信号参数估计（Estimating signal parameters via rotational invariance techniques， ESPRIT）算法^［3］在文献［4］中被推广至极化敏感阵列中，相比于秩亏MUSIC算法，该算法降低了算法复杂度，但对阵列摆放形式和电磁矢量传感器的要求比较严格，需要特殊的阵列类型。

以上两种算法都是子空间类算法从标量阵列向极化敏感阵列的扩展，但在低信噪比和小快拍的情况下存在估计性能下降的问题。稀疏重构和压缩感知类算法可以有效克服子空间类算法的这种缺陷，故也有学者将压缩感知算法引入极化敏感阵列。文献［5］利用交叉偶极子阵列，提出一种基于加权l₁范数约束和l₀范数逼近的一维DOA、极化和功率的多参数估计算法；文献［6］在稀疏极化敏感阵列中使用凸优化联合稀疏重构技术估计了DOA参数，并结合最小二乘法估计了极化参数，在同样阵元数条件可以估计更多入射源的参数。但是，以上算法都只考虑了一维DOA估计情况。

压缩感知类算法也存在缺陷，即该类算法通常会在空间内设置离散化角度网格，并假设空间入射信号位于划分好的网格上。但在实际情况中，入射信号通常会和网格存在一定的偏差，导致网格失配问题，严重影响算法的参数估计性能。为解决此问题，无网格DOA近年来也逐渐成为学者们的研究热点。文献［7］通过重构信号协方差矩阵建立DOA估计的稀疏表示凸优化问题，并通过交替迭代算法求解优化问题，得到网格偏移参数和离网格DOA估计结果；文献［8］基于有限新息率算法实现了基于极化敏感阵列的无网格DOA估计，但只考虑了一维的情况；文献［9］提出一种基于多径环境下的压缩感知类离网格算法，将多径传播系数作为超参数，网格作为可调参数，将多径传播系数估计问题转化为误差矩阵的估计问题，得到离网格DOA估计结果。基于原子范数最小化（Atomic norm minimization， ANM）的算法不会产生网格失配问题，文献［10］提供了将原子范数问题转化为等价的半正定规划问题的理论依据，并通过求解这种等价的半正定规划问题得到一个最优解，其形式为一个Toeplitz矩阵，通过将其进行Vandermonde分解获得入射信号的DOA信息^{［11，12］}；文献［13］提供了将ANM算法应用于相干源DOA估计的思路；文献［14］构建了多频原子范数模型，并提供了等价的半正定规划过程；文献［15］中提出了不规则Toeplitz矩阵和Vandermonde矩阵，将ANM推广至稀疏阵列中；文献［16］中将ANM算法推广到极化域中，但仅限于一维DOA估计。目前这些基于ANM理论的DOA估计算法在标量阵列中的应用性能已优于子空间类算法及压缩感知类算法，但在实际应用环境中仍有进一步优化的可能。

具体到抗干扰能力较强的极化敏感阵列方面，文献［5］使用的均为共点式的极化敏感天线。而空间极化敏感天线利用了空间进行阵列布置，相比于共点式天线可以有效缓解天线间的互耦效应，有更高的工程实用价值。基于此，本文提出了一种基于原子范数的二维DOA和极化参数无网格估计算法。

本文采用正交极化敏感阵列，首先推导了单极化方向的多快拍接收数据模型，并据此构建了ANM-DOA模型，求解等效的半正定规划问题得到最优解\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{e}\mathrm{p}(\mathit{u})。基于所得半正定Toeplitz矩阵，使用矩阵束算法进行DOA参数的恢复，而后根据噪声子空间和信号子空间的正交特性结合配对策略^［17］重构极化参数。

1 信号模型

考虑空间入射K个完全极化的远场窄带独立信号，其中第k(k=\mathrm{1,2},\dots ,K)个信号的DOA和极化参数为({\theta }_k,{\varphi }_k,{\gamma }_k,{\eta }_k)，{\theta }_k\in [\mathrm{0}°,\mathrm{360}°)表示方位角，{\varphi }_k\in [\mathrm{0}°,\mathrm{90}°]表示俯仰角，{\gamma }_k\in [\mathrm{0}°,\mathrm{90}°]表示极化辅助角，{\eta }_k\in [\mathrm{0}°,\mathrm{360}°)表示极化相位角。阵列接收信号模型如图1所示，该阵列由M_{\mathrm{0}}=M_{\mathrm{1}}+M_{\mathrm{2}}个单偶极子阵元构成，其中x轴阵元的极化指向均为{\alpha }_{\mathrm{1}}、阵元个数为M_{\mathrm{1}}，y轴阵元的极化指向均为{\alpha }_{\mathrm{2}}、阵元个数为M_{\mathrm{2}}，且同向的每两个阵元间距均为入射信号的半波长。

将每个单偶极子阵元接收信号沿x方向的电场矢量分量记为e_x，沿y方向的电场矢量分量记为e_y，则第n(n=\mathrm{1,2},\dots ,M_i)个阵元在接收第k个信号时，极化参数的具体表达式为：

e_n={\mathrm{e}}^{\mathrm{j}{\eta }_k}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\gamma }_k\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_k\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}({\theta }_k-{\alpha }_n)-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\gamma }_k\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({\theta }_k-

{\alpha }_n)=e_x\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\alpha }_n+e_y\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\alpha }_n（1）

式中：{\alpha }_n为第n个天线的极化指向。e_x和e_y的具体形式为：

\left[\begin{array}{l}{e}_x\\ e_y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_k\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\varphi }_k\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\gamma }_k{e}^{\mathrm{j}{\eta }_k}-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_k\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\gamma }_k\\ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_k\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\varphi }_k\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\gamma }_k{e}^{\mathrm{j}{\eta }_k}+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_k\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\gamma }_k\end{array}\right]（2）

所有阵元组成的阵列接收信号和2个子阵的阵列信号可以统一表示为：

{\mathit{x}}_i(t)={\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}{\mathit{a}}_i({\theta }_k,{\varphi }_k,{\gamma }_k,{\eta }_k){\mathit{s}}_k(t)+{\mathit{n}}_i(t)=

{\mathit{A}}_i\mathit{s}(t)+{\mathit{n}}_i(t)（3）

式中：i=\mathrm{0}为所有阵元；i=\mathrm{1}和i=\mathrm{2}分别为x轴上阵列和y轴上阵列接收信号；\{{\mathit{s}}_k{(t)\}}_{k=\mathrm{1}}^K为K个完全极化的远场窄带独立信号；{\mathit{n}}_i(t)为与信号相互独立的高斯白噪声矩阵；{\mathit{a}}_i({\theta }_k\mathrm{、}{\varphi }_k\mathrm{、}{\gamma }_k\mathrm{、}{\eta }_k)为阵列导向矢量，其具体形式为：

{\mathit{a}}_i({\theta }_k,{\varphi }_k,{\gamma }_k,{\eta }_k)={\mathit{u}}_i({\theta }_k,{\varphi }_k){\mathit{e}}_i（4）

式中：{\mathit{e}}_i=[e_{\mathrm{1}},\dots ,e_n,\dots ,e_{M_i}{]}^{\mathrm{T}}为第i个阵列接收到的极化矩阵；{\mathit{u}}_i({\theta }_k,{\varphi }_k)为空间相位延迟矩阵，表达式为：

{\mathit{u}}_i({\theta }_k,{\varphi }_k)=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}[u_i^{\mathrm{1}}(k),\dots ,u_i^n(k),\dots ,u_i^{M_i}(k)]（5）

式中：u_i^n(k)为第i个阵列的第n个阵元处接收到第k个信号的空间相位因子，表达式为：

u_i^n(k)=

\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left[-\mathrm{j}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }(x_n\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_k\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\varphi }_k+y_n\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_k\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\varphi }_k)\right]（6）

2 算法原理

本文通过将二维DOA估计问题转化为2个在正交方向上独立的一维子问题，进而通过ANM算法得到一维DOA参数估计结果，并经过角度变换还原为二维DOA空域角度信息，再将其带回信号子空间，通过与噪声子空间的正交特性求得极化参数的估计结果。

2.1　极化ANM-DOA模型

将式（4）具体的表示出来，将x轴方向和y轴方向的阵列记为子阵1和子阵2，导向矢量矩阵为：

\left\{\begin{array}{l}{\mathit{u}}_{\mathrm{1}}({\theta }_k,{\varphi }_k)=\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\mathrm{j}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }{\mathit{d}}_{\mathrm{1}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\vartheta }_k\right)\\ {\mathit{u}}_{\mathrm{2}}({\theta }_k,{\varphi }_k)=\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\mathrm{j}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }{\mathit{d}}_{\mathrm{2}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\upsilon }_k\right)\end{array}\right.（7）

式中：\lambda为信号波长；{\mathit{d}}_{\mathrm{1}}和{\mathit{d}}_{\mathrm{2}}为2个子阵的阵元坐标。设中间变量p_k=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\vartheta }_k=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_k\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\varphi }_k，q_k=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\upsilon }_k=\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_k\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\varphi }_k，将一个二维DOA估计问题分离为2个一维DOA估计问题，故下文只分析子阵1接收信号模型。

在理想单快拍无噪声的情况下，将式（7）带入式（3）中，得到子阵1接收到的信号模型：

{\mathit{x}}_{\mathrm{1}}(t)={\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\mathrm{j}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }{\mathit{d}}_{\mathrm{1}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\vartheta }_k\right)\left|s_k(t)\right|{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}{\phi }_k}·

[{\mathrm{e}}^{\mathrm{j}{\eta }_k}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\gamma }_k\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_k\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}({\theta }_k-{\alpha }_{\mathrm{1}})-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\gamma }_k\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({\theta }_k-{\alpha }_{\mathrm{1}})]

={\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}\left|{\tilde{s}}_k(t)\right|\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\mathrm{j}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }{\mathit{d}}_{\mathrm{1}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\vartheta }_k+{\tilde{\phi }}_k\right)（8）

式中：将s(t)表示为\left|s(t)\right|{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\phi }的形式，\left|s(t)\right|为入射信号的模值；\phi \in [\mathrm{0,2}\mathrm{\pi })为入射信号的初始相位；\left|\tilde{s}(t)\right|为结合极化参数的模值；\tilde{\phi }\in [\mathrm{0,2}\mathrm{\pi })为结合后的相位，可以看出，当子阵1上极化方向单一时，接收信号模型可以包容极化参数，使之符合原子范数模型。

根据式（8）定义一个原子：

\mathit{w}({\vartheta }_k,{\tilde{\phi }}_k)=\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}\left(-\mathrm{j}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }{\mathit{d}}_{\mathrm{1}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\vartheta }_k+{\tilde{\phi }}_k\right)（9）

由此定义原子集合为：

\mathit{A}=\{\mathit{w}({\vartheta }_k,{\tilde{\phi }}_k):{\vartheta }_k\in [-{\mathrm{90}}^{\circ },{\mathrm{90}}^{\circ }],{\tilde{\phi }}_k\in [\mathrm{0},{\mathrm{360}}^{\circ })\}（10）

给出该原子集合上的原子范数的定义为：

{‖\mathit{x}‖}_{\mathbf{A}}=

\underset{\begin{array}{l} \left|{\tilde{s}}_k\right|\ge \mathrm{0}\\ {\vartheta }_k\in [-{\mathrm{90}}^{\circ },{\mathrm{90}}^{\circ }],{\tilde{\phi }}_k\in [\mathrm{0},{\mathrm{360}}^{\circ })\end{array}}{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}}\left\{{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}\left|{\tilde{s}}_k\right|:\right.\left.\mathit{x}={\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}\left|{\tilde{s}}_k\right|\mathit{w}({\vartheta }_k,{\tilde{\phi }}_k)\right\}（11）

由此可以得到极化ANM-DOA联合估计模型。

2.2　DOA参数估计

在多快拍有噪声的情况下，极化ANM-DOA估计算法的原始数学模型为：

\underset{\mathit{Y}\in {\mathbb{C}}^{K\times L} }{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}} {‖\mathit{Y}‖}_{\mathbf{A}},\mathrm{s}.\mathrm{t}.,{‖\mathit{Y}-\mathit{X}‖}_F\le \epsilon（12）

可以将式（12）中的原始模型等价为式（13）所示的半正定规划过程：

\begin{array}{c}\underset{ \mathit{u}\in {\mathbb{C}}^M \mathit{Y}\in {\mathbb{C}}^{M\times L} \mathit{W}\in {\mathbb{C}}^{L\times L}}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g} \mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}M}\mathrm{t}\mathrm{r}\left[\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{e}\mathrm{p}(\mathit{u})\right]+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{t}\mathrm{r}(\mathit{W}),\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.,\left(\begin{array}{cc}\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{e}\mathrm{p}(\mathit{u})& \mathit{Y}\\ {\mathit{Y}}^H& \mathit{W}\end{array}\right)\ge \mathrm{0}\end{array}{‖\mathit{Y}-\mathit{X}‖}_F\le \epsilon（13）

式中：\mathit{Y}为一个经过重构优化后的多快拍数据矩阵；\epsilon \in {\mathbb{R}}_{+}为噪声容限参数，表示重构优化的精度，通过改变该参数可以控制重构后的信号和原信号之间的偏差；\mathit{W}为原子范数的能量系数矩阵。

通过求解上述ANM-DOA模型得到半正定规划问题的最优解\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{e}\mathrm{p}(\mathit{u})，而后直接通过该半正定Toeplitz矩阵的Vandermonde分解结果恢复需要的DOA参数，该算法称为矩阵束算法。同时Toeplitz矩阵的低秩、共轭对称等特性也使得得到的结果具有唯一性。

通过分别求解2个子阵对应的ANM-DOA估计模型，可以得到估计值{\widehat{p}}_k和{\widehat{q}}_k，通过配对策略对2组参数进行配对，并根据式（14）（15）所示的数学关系得到DOA参数的估计值：

{\widehat{\varphi }}_k=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\sqrt[]{{\widehat{p}}_k^{\mathrm{2}}+{\widehat{q}}_k^{\mathrm{2}}})（14）

（15）

2.3　极化参数估计

由于ANM-DOA估计模型不能直接恢复出入射信号的极化参数，故通过信号子空间与噪声子空间的正交关系，将估计出的DOA参数带入导向矢量以得到信号子空间，进而恢复极化参数。

将接收数据的协方差矩阵分解为信号子空间矩阵{\mathit{U}}_{\mathrm{S}}和噪声子空间{\mathit{U}}_{\mathrm{N}}，可得到正交关系方程：

{\mathit{e}}^{\mathrm{H}}{\mathit{u}}^{\mathrm{H}}({\widehat{\theta }}_k,{\widehat{\varphi }}_k){\mathit{U}}_{\mathrm{N}}{\mathit{U}}_{\mathrm{N}}^{\mathrm{H}}\mathit{u}({\widehat{\theta }}_k,{\widehat{\varphi }}_k)\mathit{e}=\mathrm{0}（16）

由于上述ANM-DOA模型考虑的是理想无误差的情况，但实际情况往往会存在一定的误差，故将式（16）转化为式（17）的优化问题：

\{{\gamma }_k,{\eta }_k\}=\underset{{\gamma }_k,{\eta }_k}{\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\frac{{\mathit{e}}^{\mathrm{H}}\mathit{T}({\widehat{\theta }}_k,{\widehat{\varphi }}_k)\mathit{e}}{{\mathit{e}}^{\mathrm{H}}{\mathit{u}}^{\mathrm{H}}({\widehat{\theta }}_k,{\widehat{\varphi }}_k)\mathit{u}({\widehat{\theta }}_k,{\widehat{\varphi }}_k)\mathit{e}}

\iff \left\{\begin{array}{l}\underset{{\mathit{h}}_{{\gamma }_k,{\eta }_k}}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}{\mathit{e}}^{\mathrm{H}}\mathit{T}({\widehat{\theta }}_k,{\widehat{\varphi }}_k)\mathit{e}\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.{\mathit{e}}^{\mathrm{H}}{\mathit{u}}^{\mathrm{H}}({\widehat{\theta }}_k,{\widehat{\varphi }}_k)\mathit{u}({\widehat{\theta }}_k,{\widehat{\varphi }}_k)\mathit{e}=\mathrm{1}\\ \mathit{T}({\widehat{\theta }}_k,{\widehat{\varphi }}_k)={\mathit{u}}^{\mathrm{H}}({\widehat{\theta }}_k,{\widehat{\varphi }}_k){\mathit{U}}_N{\mathit{U}}_N^{\mathrm{H}}\mathit{u}({\widehat{\theta }}_k,{\widehat{\varphi }}_k)\end{array}\right.（17）

通过构造拉格朗日算子并求偏导解该问题，如式（18）（19）所示：

\zeta (\mathit{e},{\mu }_k)={\mathit{e}}^{\mathrm{H}}\mathit{T}({\widehat{\theta }}_k,{\widehat{\varphi }}_k)\mathit{e}+

{\mu }_k[\mathrm{1}-{\mathit{e}}^{\mathrm{H}}{\mathit{u}}^{\mathrm{H}}({\widehat{\theta }}_k,{\widehat{\varphi }}_k)\mathit{u}({\widehat{\theta }}_k,{\widehat{\varphi }}_k)\mathit{e}]（18）

\mathit{T}({\widehat{\theta }}_k,{\widehat{\varphi }}_k)\mathit{e}={\mu }_k{\mathit{u}}^{\mathrm{H}}({\widehat{\theta }}_k,{\widehat{\varphi }}_k)\mathit{u}({\widehat{\theta }}_k,{\widehat{\varphi }}_k)\mathit{e}（19）

式中：{\mu }_k为\left\{\mathit{T}({\widehat{\theta }}_k,{\widehat{\varphi }}_k),{\mathit{u}}^{\mathrm{H}}({\widehat{\theta }}_k,{\widehat{\varphi }}_k)\mathit{u}({\widehat{\theta }}_k,{\widehat{\varphi }}_k)\right\}的广义特征值；\mathit{e}为其对应的广义特征向量。

故取最小的{\mu }_k对应的\mathit{e}，并根据式（20）即可得到极化参数的估计值，总算法流程如表1所示。

\left\{\begin{array}{l}{\widehat{\gamma }}_k=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\left(\left|\frac{{\mathit{e}}_k(\mathrm{2})}{{\mathit{e}}_k(\mathrm{1})}\right|\right)\\ {\widehat{\eta }}_k=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\left(\left|\frac{{\mathit{e}}_k(\mathrm{2})}{{\mathit{e}}_k(\mathrm{1})}\right|\right)\end{array}\right.（20）

3 仿真实验

通过与压缩感知类l₁-SVD算法、子空间类极化秩亏MUSIC算法和无网格类有限新息率算法进行对比实验，验证本文算法的估计性能。仿真实验采用极化敏感阵列为2组6阵元组成的正交单偶极子阵列，阵元间距为半波长，2个子阵的极化指向为{\alpha }_{\mathrm{1}}=\mathrm{135}°和{\alpha }_{\mathrm{2}}=\mathrm{45}°。实验l₁-SVD和秩亏MUSIC算法的搜索间隔为0.5°，实验中噪声容限为{\mathrm{10}}^{-\mathrm{5}}。

对比性能指标选择均方根误差（Root mean square error， RMSE），计算公式为：

RMSE=\sqrt[]{\frac{\mathrm{1}}{KN}{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^N}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^K}({\widehat{\varphi }}_{k,n}-{\varphi }_k{)}^{\mathrm{2}}+({\widehat{\theta }}_{k,n}-{\theta }_k{)}^{\mathrm{2}}}（21）

式中：N为蒙特卡罗实验的次数；{\varphi }_k和{\theta }_k为第k个待估计信号的入射方向；{\widehat{\varphi }}_{k,n}和{\widehat{\theta }}_{k,n}为第k个待估计信号在第n次实验的DOA估计值。

仿真实验设置2个远场窄带完全极化的独立信号入射到阵列中，信号的俯仰角、方位角、极化辅助角和极化相位角分别为{\varphi }_k\in [\mathrm{0}°,\mathrm{90}°]，{\theta }_k\in [\mathrm{0}°,{\mathrm{360}}^{°})，{\gamma }_k\in [\mathrm{0}°,\mathrm{90}°]，{\eta }_k\in [\mathrm{0}°,\mathrm{360}°)。仿真实验首先验证了极化敏感阵列相较于标量阵列的优势，其次验证了本文算法极化域参数的估计性能，最后从信噪比、快拍数、分辨精度和复杂度4个方面对比分析了本文算法的性能。

3.1　极化敏感阵列相对于标量阵列性能对比

首先对比极化敏感阵列和标量阵列同样使用原子范数算法的差异。实验设置快拍数为100，设置信噪比从5 dB以步长5 dB步进到25 dB，标量阵列采用与极化敏感阵列相同的摆放形式。实验设置的2个入射信源的角度(\theta ,\varphi ,\gamma ,\eta )为（10°，20°，45°，30°）和（45°，50°，20°，40°）。通过进行500次蒙特卡罗实验得到不同阵列的RMSE随信噪比变化产生的影响，如图2所示。

根据图2可以看出，相较于标量阵列中的原子范数算法，极化敏感阵列能接收到入射信源的极化域信息，故在相同阵列摆放的情况下能具有更高的估计精度。

3.2　极化域参数估计性能

接下来验证本文算法估计极化参数的性能，设置快拍数为100，信噪比为10 dB，入射信源角度为（36.28°，6.24°，40.52°，12.38°）和（2.85°，15.64°，61.45°，32.56°）。极化参数估计结果分布图如图3所示，可以看出，本文算法正确估计DOA参数的同时，也准确地估计出入射信号的极化参数，极化辅助角最大偏差约为5°，极化相位角最大偏差约为6°，验证了本文算法优良的估计性能。

3.3　从信噪比、快拍数、分辨精度、复杂度4个角度分析算法性能

信噪比实验设置快拍数为100，设置信噪比从-10 dB以步长5 dB步进到25 dB，入射信号的角度{\varphi }_k\in [\mathrm{0}°,\mathrm{90}°]，{\theta }_k\in [\mathrm{0}°,\mathrm{360}°)，{\gamma }_k\in [\mathrm{0}°,\mathrm{90}°]，{\eta }_k\in [\mathrm{0}°,\mathrm{360}°)随机给出。进行500次蒙特卡罗实验，得到不同算法之间的方位角、俯仰角的RMSE随信噪比变化产生的影响，如图4和图5所示，从图4和图5中可以看出，4种算法的RMSE随着信噪比的增加都有不同程度的减小，在方位角方面，本文算法在各信噪比下的估计性能都优于l₁-SVD算法、秩亏MUSIC算法，稍优于FRI算法；在俯仰角方面，本文算法显著优于l₁-SVD算法，当信噪比>10 dB时，本文算法估计性能优于秩亏MUSIC算法，验证了本文算法的估计性能。

快拍数实验设置信噪比为5 dB，设置一组快拍数为10、50、100、200、400，入射信号的角度{\varphi }_k\in [\mathrm{0}°,{\mathrm{90}}^{\circ }]，{\theta }_k\in [\mathrm{0}°,\mathrm{360}°)，{\gamma }_k\in [\mathrm{0}°,\mathrm{90}°]，{\eta }_k\in [\mathrm{0}°,\mathrm{360}°)随机给出。进行500次蒙特卡罗实验，得到不同算法估计到的方位角和俯仰角的RMSE随快拍数产生的影响，如图6和图7所示。

从图6和图7中可以看出，随着快拍数的增加，4种算法的估计精度都有所提高。秩亏MUSIC算法作为子空间类算法，在低快拍数的情况下2个角度的估计精度都急剧降低，而l₁-SVD算法和FRI算法在实验设置的各快拍数下的估计精度都不及本文算法，验证了本文算法的估计精度。

双信源分辨精度实验设置信噪比为5 dB，快拍数为100，空间入射2个完全极化的独立信号，将DOA参数设置为（20°，40°）和(\mathrm{20}°+\rho ,\mathrm{40}°+\rho )，极化参数均设置为(\mathrm{43.89}°,\mathrm{10.26}°)，\rho的取值从1°以步长1°步进到10°。方位角和俯仰角的估计误差在±2°之内记为成功估计，进行1 000次蒙特卡罗实验，不同角度间隔下的估计成功率如图8所示。

随着角度间隔变大，4种算法分辨成功率都有所上升，本文算法在角度间隔较小时，有最高的成功率，并且在角度间隔在6°以上时，成功率在90%以上，验证了本文算法针对双信源的估计性能。

算法复杂度实验对比子空间类、压缩感知类、无网格类3种算法，算法复杂度如表2所示，半正定规划中单次迭代复杂度为O(\mathrm{8}{M}^{\mathrm{3}})，迭代次数为o(\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\mu )，L为快拍数，P为网格数目。

图9为信噪比设置为10 dB，快拍数取10、50、100、200，进行500次蒙特卡罗实验再取平均值的算法运行时间。

子空间类算法因为存在谱峰搜索，故运行时间和复杂度都要大于压缩感知类算法；本文提出的算法需要解凸优化问题，故算法复杂度和运算时间都要大于另外2种算法。

5 结束语

为解决压缩感知类DOA估计算法产生网格失配带来的估计精度下降问题，本文基于单偶极子天线阵列提出了一种二维无网格DOA和极化参数的联合估计算法。本文算法将ANM算法拓展到极化敏感阵列中，首先利用二维正交阵列的可分离特性，将阵列分解为2个子阵，根据接收信号的形式构建了极化ANM-DOA联合估计模型，并给出对应的原子集合。通过解一个原子范数等效的半正定规划问题得到\mathrm{T}\mathrm{o}\mathrm{e}\mathrm{p}(\mathit{u})，对此矩阵进行Vandermonde分解即可恢复入射信源的DOA信息。而后根据信号的信号子空间和噪声子空间的正交特性，结合配对策略完成极化参数的估计。仿真实验验证了本文算法相较于对比算法具有更好的估计性能，同时本文所用的极化敏感阵列相较于标量阵列也具有更高的估计精度，验证了二维ANM算法在极化敏感阵列中的可行性。

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基金资助

国家自然科学基金项目(62071137)