含切口复合材料应力场和疲劳评估方法

Stress field and fatigue assessment method of composite materials with notches

摘要

针对含初始裂纹各向异性材料应力场解析公式过于复杂，评估精度受多种几何参数和材料参数影响，不利于工程运用的问题，本文基于传统各向异性材料裂纹尖端附近处的应力场理论公式，建立了含初始裂纹的双边V型切口模型，量化了切口深度、裂纹长度、张开角、材料特性等因素对切口应力场的影响，推导了求解含初始裂纹的双边V型切口构件应力强度因子SIF的简易公式，可用于含裂纹切口构件的应力场和SIF快速预报。对比结果表明：本文简易公式与理论方法和有限元仿真结果误差较小，验证了改进公式的有效性和准确性。

Abstract

Based on the stress field formula near the crack tip，double-sided V-notch component models with initial cracks were established．The effects of notch depth，crack length，opening angle，material parameters and other factors on the notch stress field were quantified．A simple formula for solving the stress intensity factor SIF of the double-sided V-notch component with initial cracks was derived，which could be used for rapid prediction of the stress field and SIF of the notched component with cracks．The comparison results show that the error between the simplified formula and the theoretical method and finite element simulation results is relatively small， which verifies the effectiveness and accuracy of the improved formula．

Graphical abstract

关键词

复合材料 / 各向异性板 / 初始裂纹 / 切口应力场 / 应力强度因子（SIF）

Key words

composite / anisotropic plate / initial crack / notch stress field / stress intensity factor

0 引 言

对结构复杂、工艺烦琐的材料，在制造和成型过程中不可避免地会产生尖锐切口或裂纹，切口附近的应力集中现象会明显降低结构的承载能力，严重影响结构的疲劳性能。切口根部附近的高应力区容易造成裂纹的萌生和扩展，最终导致构件失效，甚至整个结构发生断裂。为了预测含切口构件的疲劳寿命，需要准确分析切口附近的应力场和应力强度因子。

应力强度因子（Stress intensity factor， SIF）被广泛用于描述裂纹尖端强度和预测裂纹扩展寿命。切口构件的疲劳寿命依赖于裂纹尖端应力及其附近的应力梯度场。Li等^［1］用傅里叶变换方法求解了嵌在角层板中心层倾斜裂纹的SIF，并根据广义最大切向应力准则研究了裂纹的扩展；葛仁余等^［2］采用插值矩阵法计算了反平面V型缺口和裂纹尖端区域的应力奇异性；Shipman等^［3］给出了各向同性材料、0°和90°单向纤维增强石墨/环氧复合材料在某些特殊裂纹开口角下的切口应力强度因子（N-SIF）值；Yao等^［4］研究了考虑各向同性和各向异性材料的多材料V型切口板的奇异行为；Yu等^［5］提出了反映切口效应对疲劳裂纹扩展寿命影响的切口结构应力法，并通过对双边V型切口疲劳试验进行重新分析，进一步验证了本文方法的有效性。

为研究复合材料疲劳裂纹扩展模型，孙齐^［6］结合试验和数值仿真方法，讨论了CF/PA复合材料在不同预置裂纹下的裂纹扩展规律；李碧琛^［7］采用扩展有限元（Extended finite element method， XFEM）方法，对碳纤维/环氧复合材料层合板的裂纹层间扩展和层内扩展进行了数值仿真，研究了不同角度铺层占比对裂纹扩展的影响；罗白璐等^［8］基于夹芯复合材料板的疲劳实验，实现了对其全寿命周期疲劳裂纹萌生、扩展及最终失效的累计损伤过程的高效监测。但是，目前传统含初始裂纹复合材料板切口应力场和疲劳评估方法过于烦琐，理论公式复杂，不利于工程运用。

本文建立了含初始裂纹的双边V型切口模型，量化了切口深度、裂纹长度、张开角、材料特性等因素对切口应力场的影响，在此基础上拟合得到含裂纹切口构件的形状修正系数Y_{\mathrm{{\rm I}}}的简易公式，进一步计算得到应力强度因子。并将预报结果与有限元和其他文献计算结果对比，验证了改进公式的有效性和准确性。

1 切口应力场分析

1.1　切口应力场传统公式

Williams^［9］认为切口尖端附近区域的应力场是奇异的，对各向同性材料，奇异性仅与张开角有关，考虑I型应力和Ⅱ型应力，在极坐标（r， θ）下，V型切口尖端附近的应力场可以表示为：

\left\{\begin{array}{l}{\sigma }_{\theta }\\ {\sigma }_r\\ {\tau }_{r\theta }\end{array}\right\}={\lambda }_{\mathrm{1}}{r}^{{\lambda }_{\mathrm{1}}-\mathrm{1}}{a}_{\mathrm{1}}{\left\{\begin{array}{l}{f}_{\mathrm{1},\theta }(\theta )\\ f_{\mathrm{1},r}(\theta )\\ f_{\mathrm{1},r\theta }(\theta )\end{array}\right\}}^{\mathrm{Ⅰ}}+

{\lambda }_{\mathrm{2}}{r}^{{\lambda }_{\mathrm{2}}-\mathrm{1}}{a}_{\mathrm{2}}{\left\{\begin{array}{l}{f}_{\mathrm{2},\theta }(\theta )\\ f_{\mathrm{2},r}(\theta )\\ f_{\mathrm{2},r\theta }(\theta )\end{array}\right\}}^{\mathrm{Ⅱ}}（1）

式中：r为切口附近到极坐标原点的距离，见图1；a_i是与试件尺寸相关的函数；f_i(\theta )为应力相关函数；{\lambda }_i是与张开角\mathrm{2}\alpha相关的特征参数：

\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({\lambda }_{i}q\mathrm{\pi })+{\lambda }_i\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(q\mathrm{\pi })=\mathrm{0}（2）

通常，垂直裂纹方向的应力占主导，被重点分析。对各向异性材料，Zappalorto等^［10］引入了材料参数的影响，更新了Ⅰ型应力场公式：

\left\{\begin{array}{l}{\sigma }_{\theta }\\ {\sigma }_r\\ {\tau }_{r\theta }\end{array}\right\}=\frac{r^{{\lambda }_{\mathrm{1}}-\mathrm{1}}{K}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{V}}}{\sqrt[]{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}(\mathrm{1}+{\chi }_{\mathrm{1}})}\cdot

\left[{{\rho }_{\mathrm{1}}}^{{\lambda }_{\mathrm{1}}-\mathrm{1}}\left\{\begin{array}{l}{m}_{\mathrm{11}\theta \theta }\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{1}-{\lambda }_{\mathrm{1}}){\theta }_{\mathrm{1}}+m_{\mathrm{12}\theta \theta }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{1}-{\lambda }_{\mathrm{1}}){\theta }_{\mathrm{1}}\\ m_{\mathrm{11}rr}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{1}-{\lambda }_{\mathrm{1}}){\theta }_{\mathrm{1}}+m_{\mathrm{12}rr}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{1}-{\lambda }_{\mathrm{1}}){\theta }_{\mathrm{1}}\\ m_{\mathrm{11}r\theta }\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{1}-{\lambda }_{\mathrm{1}}){\theta }_{\mathrm{1}}+m_{\mathrm{12}r\theta }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{1}-{\lambda }_{\mathrm{1}}){\theta }_{\mathrm{1}}\end{array}\right\}+\right]{{\rho }_{\mathrm{2}}}^{{\lambda }_{\mathrm{1}}-\mathrm{1}}{\chi }_{\mathrm{1}}\left\{\begin{array}{l}{m}_{\mathrm{21}\theta \theta }\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{1}-{\lambda }_{\mathrm{1}}){\theta }_{\mathrm{2}}+m_{\mathrm{12}\theta \theta }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{1}-{\lambda }_{\mathrm{1}}){\theta }_{\mathrm{2}}\\ m_{\mathrm{21}rr}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{1}-{\lambda }_{\mathrm{1}}){\theta }_{\mathrm{2}}+m_{\mathrm{12}rr}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{1}-{\lambda }_{\mathrm{1}}){\theta }_{\mathrm{2}}\\ m_{\mathrm{21}r\theta }\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{1}-{\lambda }_{\mathrm{1}}){\theta }_{\mathrm{2}}+m_{\mathrm{12}r\theta }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{1}-{\lambda }_{\mathrm{1}}){\theta }_{\mathrm{2}}\end{array}\right\}（3）

式中：K_{\mathrm{1}}^{\mathrm{V}}为广义应力强度因子，可表示为K_{\mathrm{1}}^{\mathrm{V}}=f_{\mathrm{1}}{\sigma }_{\mathrm{0}}\sqrt[]{\mathrm{\pi }}{l}^{p_{\mathrm{1}}}，其中p_{\mathrm{1}}=\mathrm{1}-{\lambda }_{\mathrm{1}}；f_{\mathrm{1}}为复杂函数，其值取决于模型的几何尺寸、切口深度l以及材料参数；式中其他参数的定义如下^［11］：

\left\{\begin{array}{l}{\rho }_{\mathrm{1}}=\sqrt[]{\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}\theta +({\beta }_{\mathrm{1}}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta )}^{\mathrm{2}}}\\ {\theta }_j=\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{g}(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta +i{\beta }_j\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta )\\ m_{j\mathrm{1}rr}=\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}\theta -({\beta }_j{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta )}^{\mathrm{2}}{m}_{j\mathrm{2}rr}=-\mathrm{2}{\beta }_j\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta \\ m_{j\mathrm{1}\theta \theta }=\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}\theta -({\beta }_j{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta )}^{\mathrm{2}}{m}_{j\mathrm{2}\theta \theta }=\mathrm{2}{\beta }_j\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta \\ m_{j\mathrm{1}r\theta }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{2}\theta (\mathrm{1}+{\beta }_j^{\mathrm{2}})m_{j\mathrm{2}r\theta }=-\mathrm{2}{\beta }_j\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{2}\theta \\ {\chi }_{\mathrm{1}}=-\\ \frac{{\rho }_{\mathrm{1}}^{{\lambda }_{\mathrm{1}}-\mathrm{1}}[m_{\mathrm{11}\theta \theta }\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{1}-{\lambda }_{\mathrm{1}}){\theta }_{\mathrm{1}}+m_{\mathrm{12}\theta \theta }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{1}-{\lambda }_{\mathrm{1}}){\theta }_{\mathrm{1}}]}{{\rho }_{\mathrm{2}}^{{\lambda }_{\mathrm{1}}-\mathrm{1}}[m_{\mathrm{21}\theta \theta }\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{1}-{\lambda }_{\mathrm{1}}){\theta }_{\mathrm{2}}+m_{\mathrm{22}\theta \theta }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{1}-{\lambda }_{\mathrm{1}}){\theta }_{\mathrm{2}}]}\end{array}\right.（4）

{\beta }_{\mathrm{1}}、{\beta }_{\mathrm{2}}的值取决于材料的力学性能，在平面应力状态下，{\beta }_{\mathrm{1}}、{\beta }_{\mathrm{2}}表示为^［12］：

{\beta }_{\mathrm{1,2}}=\sqrt[]{-{\nu }_{xy}+\frac{E_x}{\mathrm{2}{G}_{xy}}\pm \sqrt[]{\left(-{\nu }_{xy}+\frac{E_x}{\mathrm{2}{G}_{xy}}\right)-\left(\frac{E_x}{E_y}\right)}}（5）

式中：E_x、E_y为弹性模量；G_{xy}为剪切模量；{\nu }_{xy}为泊松比。

各向异性材料，特征值λ₁受到张开角和材料参数两个因素共同影响，{\lambda }_{\mathrm{1}}为下式第一个正特征根：

\begin{array}{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{1}-{\lambda }_{\mathrm{1}}){\theta }_{\mathrm{2}}(\gamma )\{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{1}-{\lambda }_{\mathrm{1}}){\theta }_{\mathrm{1}}(\gamma )\\ [m_{\mathrm{11}\theta \theta }(\gamma )m_{\mathrm{21}r\theta }(\gamma )-m_{\mathrm{21}\theta \theta }(\gamma )m_{\mathrm{11}r\theta }(\gamma )]-\\ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{1}-{\lambda }_{\mathrm{1}}){\theta }_{\mathrm{1}}(\gamma )\cdot [m_{\mathrm{21}\theta \theta }(\gamma )m_{\mathrm{12}r\theta }(\gamma )-\\ m_{\mathrm{12}\theta \theta }(\gamma )m_{\mathrm{21}r\theta }(\gamma )]\}-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{1}-{\lambda }_{\mathrm{1}}){\theta }_{\mathrm{2}}(\gamma )\\ \{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{1}-{\lambda }_{\mathrm{1}}){\theta }_{\mathrm{1}}(\gamma )[m_{\mathrm{22}\theta \theta }(\gamma )m_{\mathrm{11}r\theta }(\gamma )-\\ m_{\mathrm{11}\theta \theta }(\gamma )m_{\mathrm{22}r\theta }(\gamma )]-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{1}-{\lambda }_{\mathrm{1}}){\theta }_{\mathrm{1}}(\gamma )\cdot \end{array}

[m_{\mathrm{12}\theta \theta }(\gamma )m_{\mathrm{22}r\theta }(\gamma )-m_{\mathrm{22}\theta \theta }(\gamma )m_{\mathrm{12}r\theta }(\gamma )]\}=\mathrm{0}（6）

1.2　切口根部裂纹尖端附近的应力场公式

基于式（1），垂直裂纹方向的应力场公式可以简化为：

\underset{x\to \mathrm{0}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{\sigma }_{\theta }=\frac{K_{\mathrm{1}}^{\mathrm{V}}}{\sqrt[]{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{x}^{\mathrm{1}-{\lambda }_{\mathrm{1}}}}（7）

式中：K_{\mathrm{1}}^{\mathrm{V}}为上述定义的广义应力强度因子，当裂纹张开角为0时，K_{\mathrm{1}}^{\mathrm{V}}=K_{\mathrm{{\rm I}}}，即应力强度因子。

如图2所示，对含初始裂纹的切口试样，应力强度因子可简化为：

K_{\mathrm{{\rm I}}}=Y_{\mathrm{{\rm I}}}{\sigma }_{\mathrm{0}}\sqrt[]{\mathrm{\pi }a}（8）

式中：a为裂纹长度；{\sigma }_{\mathrm{0}}为含初始裂纹的V型切口模型远场处名义应力；Y_{\mathrm{{\rm I}}}为形状修正系数，是V型切口构件的几何尺寸、裂纹长度以及构件材料的无因次函数，即Y_{\mathrm{{\rm I}}}=f(\mathrm{2}\alpha ,l,W,h,a,\psi )，\mathrm{2}\alpha为张开角；l为切口深度；W为板宽；h为板长。

材料参数\psi为用来表征各项异性材料参数对切口应力场的影响参数。对各向异性材料，\psi定义如下：

\psi ={\left(\frac{{\beta }_{\mathrm{1}}{\beta }_{\mathrm{2}}}{{\beta }_{\mathrm{1}}+{\beta }_{\mathrm{2}}}\right)}^{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt[]{\frac{E_y}{E_x}}-\mathrm{2}{\nu }_{xy}+\frac{E_y}{G_{xy}}}（9）

综上所述，形状修正系数Y_{\mathrm{{\rm I}}}的精确求解是预报切口根部裂纹尖端附近应力场和应力强度因子的关键。

2 数值分析与验证

2.1　几何模型

由于Y_{\mathrm{{\rm I}}}与几何参数和材料参数都相关，本文采用多种材料模型进行公式拟合和验证。如图2（b）所示，对模型底边施加x、y方向位移约束，在上顶边施加10 MPa拉伸载荷。根据常用复合材料，获取复合材料力学参数如表1所示，各主要参数变化如表2所示。拟合结果表明：当切口应力场趋于稳定时，形状修正系数Y_{\mathrm{{\rm I}}}值便会快速收敛。

本文以模型（M1，2α=90°，l=10 mm，l/W=0.1）为例，采用Ansys APDL中的Plane183单元，进行了不同网格尺寸的切口应力场拟合和比较，如图3所示。切口附近网格细化到0.05 mm时，应力场趋于稳定，拟合相关系数为0.998 66，进一步将最小网格细化到0.02 mm时，拟合相关系数达到0.999以上，继续细化网格时，拟合相关系数相对变化幅度仅为0.18%，已趋于收敛。考虑到保证精度的同时提高计算效率，本文所有模型切口附近网格尺寸均取0.01 mm。

2.2　含初始裂纹V型切口构件简易公式拟合

2.2.1　张开角2α影响分析

对不同张开角下的应力场分布进行比较，结果表明：当张开角增大时，裂纹尖端附近的应力减小，不同张开角的应力场在距离裂纹尖端一定距离处趋于一致，表明张开角的增大缓解了裂纹尖端的应力集中。不同张开角下的形状修正系数Y_{\mathrm{{\rm I}}}如图4所示。随着张开角的增大，Y_{\mathrm{{\rm I}}}明显减小。

2.2.2　裂纹长度与切口深度之比a/l的影响分析

分析切口深度l的影响，结果表明：距裂纹尖端相同距离处，切口越深，应力越大，Y_{\mathrm{{\rm I}}}的值随之而增大。进一步研究不同裂纹长度a的影响，随着裂纹长度的增加，各张开角Y_{\mathrm{{\rm I}}}值的差值逐渐减小，当裂纹长度增加到5 mm时，不同张开角下Y_{\mathrm{{\rm I}}}值无明显差异。为减少公式拟合中变量的数量，使本文最终拟合的公式更为精确和简洁，取裂纹长度与切口深度的比值a/l为变量，得到a/l与Y_{\mathrm{{\rm I}}}的关系。

图5给出了Y_{\mathrm{{\rm I}}}值随a/l的改变，发现a/l越大，Y_{\mathrm{{\rm I}}}值越小，且a/l越小，Y_{\mathrm{{\rm I}}}值减小的趋势越明显。

2.2.3　切口深度与板宽之比l/W影响分析

当其他参数不变时，l/W增大会使裂纹尖端附近的应力增大。当l/W≤0.1时，应力场几乎不随l/W的变化而变化，而当l/W>0.1时，随着l/W的增大应力场明显增大。如图6所示，在不同张开角情况下，当l/W>0.1时，l/W的增大会引起Y_{\mathrm{{\rm I}}}的显著变化。

2.3　公式拟合

将图5中的数据全部取对数，发现lg（a/l）与lgY_{\mathrm{{\rm I}}}呈明显的线性关系，直线的斜率和截距受张开角影响明显，如图7所示。lg（a/l）与lgY_{\mathrm{{\rm I}}}的关系可表示为：

\mathrm{l}\mathrm{g}{Y}_{\mathrm{{\rm I}}}=A\mathrm{l}\mathrm{g}\left(\frac{a}{l}\right)+B（10）

经过数据拟合，得出直线斜率A和截距B与p₁的关系式为：

\left\{\begin{array}{l}A=-\mathrm{0.7}{p}_{\mathrm{1}}-\mathrm{0.1}\\ B=-\mathrm{0.39}{p}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{0.11}{p}_{\mathrm{1}}+\mathrm{0.167}\end{array}\right.（11）

结合式（10）（11）：

\mathrm{l}\mathrm{g}{Y}_{\mathrm{{\rm I}}}=(-\mathrm{0.7}{p}_{\mathrm{1}}-\mathrm{0.1})\mathrm{l}\mathrm{g}\left(\frac{a}{l}\right)+(-\mathrm{0.39}{p}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{0.11}{p}_{\mathrm{1}}+\mathrm{0.167})（12）

经过验证，适用于l/W=0.1时的Y_{\mathrm{{\rm I}}}计算公式亦能精确求解l/W<0.1时的Y_{\mathrm{{\rm I}}}。当l/W>0.1时，l/W的增大会引起Y_{\mathrm{{\rm I}}}的显著变化，且发现不同张角下的Y_{\mathrm{{\rm I}}}的变化规律几乎一致。因此，对l/W>0.1，有必要进一步讨论Y_{\mathrm{{\rm I}}}随l/W的变化规律。

经过拟合分析，对任意0~120°范围内张开角，Y_{\mathrm{{\rm I}},m}/Y_{\mathrm{{\rm I}},\mathrm{0.1}}与l/W的关系为：

\frac{Y_{\mathrm{{\rm I}},m}}{Y_{\mathrm{{\rm I}},\mathrm{0.1}}}=\mathrm{6.65}{\left(\frac{l}{W}\right)}^{\mathrm{2}}-\mathrm{1.53}\left(\frac{l}{W}\right)+\mathrm{1.09}（13）

Y_{\mathrm{{\rm I}},m}表示l/W=m时的Y_{\mathrm{{\rm I}}}值，Y_{\mathrm{{\rm I}},\mathrm{0.1}}表示l/W= 0.1时的Y_{\mathrm{{\rm I}}}值。

综上可知：

\frac{Y_{\mathrm{{\rm I}},m}}{Y_{\mathrm{{\rm I}},\mathrm{0.1}}}=

\left\{\begin{array}{l}\mathrm{1},\frac{l}{W}\le \mathrm{0.1}\\ \mathrm{6.65}{\left(\frac{l}{W}\right)}^{\mathrm{2}}-\mathrm{1.53}\left(\frac{l}{W}\right)+\mathrm{1.09},\frac{l}{W}>\mathrm{0.1}\end{array}\right.（14）

结合式（12）得到Y_{\mathrm{{\rm I}}}的简易预报公式为：

Y_{\mathrm{{\rm I}},m}=

\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{10}}^{(-\mathrm{0.7}{p}_{\mathrm{1}}-\mathrm{0.1})\mathrm{l}\mathrm{g}\left(\frac{a}{l}\right)+(-\mathrm{0.39}{p}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{0.11}{p}_{\mathrm{1}}+\mathrm{0.167})},\frac{l}{W}\le \mathrm{0.1}\\ {\mathrm{10}}^{(-\mathrm{0.7}{p}_{\mathrm{1}}-\mathrm{0.1})\mathrm{l}\mathrm{g}\left(\frac{a}{l}\right)+(-\mathrm{0.39}{p}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{0.11}{p}_{\mathrm{1}}+\mathrm{0.167})}\times \\ \left[\mathrm{6.65}{\left(\frac{l}{W}\right)}^{\mathrm{2}}-\mathrm{1.53}\left(\frac{l}{W}\right)+\mathrm{1.09}\right],\frac{l}{W}>\mathrm{0.1}\end{array}\right.（15）

3 公式验证

3.1　不同几何尺寸的验证

选取张开角2α=15°，裂纹长度a=1 mm，裂纹深度l=10 mm切口模型，验证上述公式对不同张开角的适用性，结果如图10所示。结果表明：所有工况的应力场误差均在10%以内，绝大部分的应力场和Y_{\mathrm{{\rm I}}}值误差在5%以内。

3.2　与其他方法的对比

由于缺乏各向异性的验证公式，将本文公式与传统文献中各向同性材料公式进行对比。Dini等^［13］基于切口应力强度因子，给出了裂纹尖端应力强度因子的表达式：

K_{\mathrm{{\rm I}}}=\frac{F_{\mathrm{11}}}{\sqrt[]{\mathrm{2}}}{K}_{\mathrm{{\rm I}}}^{\mathrm{N}}\cdot a^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}-p_{\mathrm{1}}}（16）

式中：K_{\mathrm{{\rm I}}}^{\mathrm{N}}为切口应力强度因子。

Lou等^［14］认为，局部切口裂纹形状修正函数f_Nc的存在可以用于求解SIF，表示为：

K_{\mathrm{{\rm I}}}=f_{\mathrm{N}\mathrm{c}}\cdot {\sigma }_{\mathrm{0}}\cdot \sqrt[]{\mathrm{\pi }\left(a+l\right)}（17）

另外，Lou等^［14］给出了在切口尖端处的微裂纹的几何函数Y_{\mathrm{{\rm I}}}计算公式：

Y_{\mathrm{{\rm I}}}\cong \mathrm{0.7934}\cdot {\left(\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{2}}\right)}^{\mathrm{1}-{\lambda }_{\mathrm{1}}}\cdot f_{\mathrm{E}\mathrm{N}}\cdot {\left(\frac{a}{l}\right)}^{-p_{\mathrm{1}}}（18）

将本文式（15）的预报结果与传统文献公式的预报结果进行对比，如图11所示。结论如下：①对材料模型M1，本文预报Y_{\mathrm{{\rm I}}}值计算误差均在6%以内，大部分在3%以内；②对l/W≤0.2的小裂纹条件，Lou法更为准确，计算误差均在5%以内。然而，当l/W>0.1时，式（18）计算的Y_{\mathrm{{\rm I}}}值会随l/W的增大发生显著变化。当l/W>0.2时，Lou的计算误差将接近10%。

3.3　不同材料的验证

通过3.2节结论发现，采用各向同性材料简易公式评估各向异性材料误差较大。当材料变化时，含初始裂纹的双边V型切口构件裂纹尖端附近的应力场分布也会发生变化。事实上，材料参数的影响已经体现在特征参数p₁上，本文拟合的公式对其他材料参数也是适用的。本节进一步将式（14）推广到其他两种各向异性材料。

根据有限元计算，M2、M3材料模型的应力场预报误差及Y_{\mathrm{{\rm I}}}值如图12和图13所示。结果表明：应力场和Y_{\mathrm{{\rm I}}}值的预报误差均在10%以内，95%以上的数据误差在5%以内。说明本文的拟合公式对不同的各向异性材料仍然具有足够的计算精度。

4 结　论

（1）本文基于线弹性理论，推导并验证了各向异性材料含初始裂纹V型切口构件在拉伸载荷下切口应力分布和SIF的简化计算公式。对各向异性材料含初始裂纹双边V型切口构件，Y_{\mathrm{{\rm I}}}受裂纹尖端张开角、切口深度、裂纹长度以及材料参数的综合影响。

（2）经过对比验证，本文拟合公式与有限元计算结果的相对误差在10%以内，且对l/W>0.1的工况，计算结果比其他传统方法的相对误差更小，说明本文公式形式简单、计算精度更高。

（3）本文公式将材料参数的影响涵盖在特征参数p₁上，对其他复合材料的切口应力场预报同样适用。

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基金资助

国家自然科学基金项目(51979209)