十字形PEC短柱偏压性能及承载力计算方法研究

Study on Eccentric Compression Performance and Bearing Capacity Calculation Method of Cross-Shaped PEC Stub Columns

摘要

本文采用有限元模拟和理论分析相结合的方法，研究了十字形PEC短柱的偏压力学性能并推导出其偏压承载力计算公式。首先利用ABAQUS有限元软件进行数值建模，分别考察在大偏压和小偏压作用下试件的破坏模式和破坏机理，并通过参数分析，研究混凝土强度、钢材强度、加载角和肢厚比等参数对试件力学性能的影响规律。研究结果表明：在大偏压和小偏压破坏时，主钢件均非全截面屈服，而是在中性轴附近存在弹性核；在小偏心受压时，提高混凝土强度等级可明显增加试件的极限承载力，而在大偏心受压时，提高混凝土强度等级对极限承载力的影响会随着偏心距的增大而减小；提高钢材强度等级无论在大、小偏压情况下均可有效提高十字形PEC柱的极限承载力。另外，本文还分别推导了十字形PEC柱在单偏压和双偏压作用下的荷载-弯矩曲线简化计算公式，经验证公式具有较好的准确性，可为工程应用提供参考。

Abstract

This study utilizes a combination of theoretical analysis and finite element simulation to investigate the eccentric mechanical characteristics of the cross-shaped partially-encased composite （PEC） stub column， deriving a calculation formula for the eccentric bearing capacity. First， numerical modeling was performed using the ABAQUS finite element software to analyze the failure mode and mechanism of the specimen under large and small eccentricities. Parameter analysis was then conducted to explore the influence of parameters such as concrete strength， steel strength， loading angle， and limb-thickness ratio on the mechanical characteristics of the specimen. The results reveal that under eccentric compression， the profile steel does not yield in full section， but an elastic core is observed near the neutral axis. Increasing concrete strength significantly enhances the ultimate bearing capacity of specimens subjected to small eccentric compression. However， the effect diminishes with larger eccentric distances under large eccentric compression. Augmenting steel strength proves to be more effective in improving the bending capacity of the cross-shaped PEC column under both small and large eccentricities. Additionally， simplified calculation formulas for the N-M curves of cross-shaped PEC columns under uniaxial and biaxial eccentric compression were derived. Verification confirms the formulas have good accuracy and can provide a reference for engineering applications.

Graphical abstract

关键词

十字形PEC短柱 / 单向偏压 / 双向偏压 / 极限承载力 / 荷载-弯矩曲线

Key words

cross-shaped PEC stub column / uniaxial eccentric compression / biaxial eccentric compression / ultimate bearing capacity / load-moment curve

部分包覆钢-混凝土组合柱（简称PEC柱）是在单H型钢或正交双H型钢的外周轮廓范围内填充混凝土形成的一种外包式钢-混凝土组合柱^［1］，由于其在受力性能、耐火性、可预制性、可装配性以及施工速度等方面均表现优异而受到了国内外学者的广泛关注。目前，关于单H型钢组成的矩形PEC柱，国内的陈以一等^［2-4］、赵根田等^［5-6］团队，国外的BEGUM等^［7-8］、CHICOINE等^［9］团队进行过深入研究，取得的研究成果也比较完善，但对于正交双H型钢组成的异形PEC柱的研究尚处于起步阶段，现有的少量研究成果大多集中于异形PEC柱的轴压性能，对其偏压力学性能的研究成果较少。文献［10］采用有限元模拟的方法，研究十字形PEC柱的偏压力学性能，总结了偏心距、混凝土强度等级以及拉杆间距等因素对十字形PEC柱极限承载力的影响规律。文献［11］进行了十字形PEC柱的轴压及偏压试验，研究了十字形PEC柱的破坏模式和破坏机理，并推导了十字形PEC柱单向偏压极限承载力计算公式，该文献在公式推导时对于主钢件的处理是基于全截面塑性假设，而从其实验结果可知，PEC柱的破坏形态为混凝土压溃和钢翼缘的局部屈曲，而主钢件并非处于全截面塑性而是存在一定的“弹性核”，在本文后续所进行的有限元模拟结果也显示在偏压极限状态下主钢件并未达到全截面塑性状态，因此，有必要重新划分截面的应力区间。此外，目前欧规EN 1994-1-1^［12］、中国规程^［1］均只给出了矩形PEC柱的计算公式，对于异形PEC柱并没有提供其承载力计算公式，而文献［13］的研究成果表明，用矩形PEC柱的计算公式计算异形PEC柱的承载力存在较大的误差，会给工程应用带来一定的安全隐患。基于以上情况，本文将分别推导十字形PEC柱的单向和双向偏压承载力计算公式，以便为其工程应用提供参考。

文献［14］研究结果表明，设置系杆可提高十字形PEC柱的极限承载力和延性，因此，本文以如图1所示的带横向系杆的等肢十字形PEC柱为研究对象，通过ABAQUS有限元软件模拟，分析其在大、小偏压作用下的破坏模式和破坏机理，并通过参数分析，得到影响其偏压极限承载力的因素，最后，通过不同受力阶段的十字形PEC柱横截面内应力的分布特点，分别推导出十字形PEC柱单向和双向偏压极限承载力的计算公式，并对公式的精度和适用性进行验证。

1 有限元模型的建立与验证

1.1 有限元模型的建立

本文十字形PEC柱有限元模型主要由主钢件、混凝土、横向系杆及端板组成，其中主钢件采用壳单元S4R模拟，混凝土采用实体单元C3D8R模拟，横向系杆采用梁单元B31模拟，柱端两侧的加载板采用离散刚体R3D4模拟。在材料属性上，主钢件及横向系杆均采用二折线理想弹塑性本构模型；采用塑性损伤模型来模拟混凝土偏压荷载作用下的刚度损伤和不可恢复变形，受压本构采用MANDER^［15］本构模型进行计算，受拉本构则采用规范^［16］提供的混凝土单轴受拉应力应变关系。

为了使有限元模拟结果更符合实际情况，建立模型时在柱两端设置刚体加载板，并将加载板和加载板上的参考点进行耦合。在参考点上施加竖向的位移荷载，并通过修改试件参考点的坐标值来改变试件的偏心距e及加载角θ；在设置边界条件时，限制试件两端在x、y轴方向的平移，并限制试件在偏压加载过程中发生扭转，即U_x=0、U_y=0、U_Rz=0，其中U_x、U_y、U_Rz分别为x、y方向的位移及z方向的转角。在构件的接触上，主钢件和混凝土接触采用面与面接触，切向方向选择罚接触，摩擦系数设置为0.5^［17-18］，法向方向选择硬接触；拉杆和主钢件之间采用绑定接触，并内置到混凝土中。有限元模型如图2所示。

1.2 有限元模型的验证

为验证本文所建立的有限元模型是否正确，选择文献［11］中的部分十字形PEC柱偏压试验结果进行验证，试件的具体尺寸及参数如表1所示，有限元与试验的荷载-位移曲线和破坏现象对比结果如图3、图4所示。由图中可以发现：有限元模拟结果和试验得到的荷载-位移曲线吻合较好，且极限承载力的最大误差不超过4%；在破坏现象上，有限元模型可以较好地模拟出试验试件翼缘鼓曲以及跨中混凝土的破坏，因此可以认为：本文建立的有限元模型能够较好地模拟试件的受力状态，可用于后续的模拟分析。

2 十字形PEC柱单向偏压受力分析

为进一步研究十字形PEC柱的偏压力学性能，对图1所示的等肢十字形PEC柱进行建模计算，其中试件尺寸为a×b×b_f=400 mm×400 mm×200 mm，H=1 200 mm，t_w=6 mm，混凝土强度等级为C40，钢材强度等级为Q345，钢材弹性模量取206 000 MPa，泊松比取0.3，系杆直径为8 mm，系杆间距为100 mm。沿y轴负方向施加相对偏心距e/b分别为0、0.1、0.2、0.3、0.5、1.0和10.0时的位移荷载，得到其荷载-弯矩（N-M）曲线，如图5所示。由图5可知：当偏心距接近0.5时，该试件的抗弯极限承载力达到最大，该点为偏压临界点，相对偏心距小于0.5时为小偏心受压（AC段），相对偏心距大于0.5时为大偏心受压（CD段）。

2.1 小偏心受压

为研究十字形PEC柱小偏心受压破坏机理，本文选取N-M曲线小偏压段（AC段）中相对偏心距为0.1时的破坏情况进行分析，图6a）为其在偏压破坏的情况下主钢件、横向系杆及混凝土的应力云图。

从图6a）中可以看出，由试件跨中截面混凝土应力云图可知中性轴位置出现在距离中心轴约120 mm处，中性轴上部为受拉区，下部为受压区。此时试件主钢件受压区翼缘应力达到417 MPa时屈服，跨中翼缘出现了细微的局部屈曲，而受拉区则有部分腹板并未屈服。横向系杆由于抵抗主钢件翼缘的屈曲以及核心混凝土的膨胀也达到了屈服应力而受拉屈服；在主钢件以及横向系杆共同约束作用下，核心区的混凝土仍可以继续承载，而不会使截面承载力发生陡降。

2.2 大偏心受压

对于十字形PEC柱大偏压下的破坏机理，本文选取N-M曲线大偏压段（CD段）中相对偏心距为1时的破坏情况进行分析，构件偏压破坏后的应力云图如图6b）所示。

从图6b）中可以看出，试件的中性轴位于中心轴附近。中性轴下部受压区主钢件腹板应力达到371 MPa而受压屈服，受压区翼缘出现局部屈曲现象；而上部受拉区主钢件腹板应力同样达到408 MPa而受拉屈服，但在中心轴附近有小部分腹板仍处于弹性阶段。横向系杆在截面受压区发生横向受拉屈服，而受拉区的横向系杆仍处于弹性阶段。

3 参数分析

在分析了十字形PEC柱偏压破坏模式的基础上，本节仍采用第二节所建立的有限元模型，通过改变其混凝土强度f_c、钢材强度f_y、相对偏心距e/b、含钢率等参数来分析十字形PEC柱偏压力学性能的影响因素，同时通过改变肢厚比b/b_f分别为2.0、2.5、3.0（a×b分别为400 mm×400 mm、500 mm×500 mm、600 mm×600 mm）的试件来使结论更具说服力。试件参数如表2所示。

3.1 混凝土强度的影响

图7a）~c）给出了肢厚比b/b_f分别为2.0、2.5及3.0的十字形PEC柱在不同混凝土强度下的N-M曲线。由图可知，随着混凝土强度的增大，N-M曲线偏压临界点的弯矩逐渐增大；在相对偏心距e/b<0.5时，混凝土强度对其弯矩与轴力极限承载力影响较大，而在相对偏心距e/b>0.5时，混凝土强度对柱的弯矩承载力影响随偏心距的变大而减小，以b/b_f=2.5时N-M曲线对比图为例，当e/b=10.0时，混凝土强度从30 MPa增加到40 MPa与50 MPa时，其抗弯极限承载力仅提升了6.2%、12.7%。出现这种情况是因为随着偏心距的变大，截面中性轴逐渐偏移，受压区的混凝土面积逐渐变小，导致混凝土强度对十字形PEC柱的抗弯以及抗压强度的贡献变小。因此在十字形PEC柱受大偏压的情况下，提高混凝土强度对其偏压极限承载力的提升有限，不适合用提高混凝土强度来增大其抗弯极限承载力。

3.2 钢材强度的影响

图8a）~c）给出了肢厚比b/b_f分别为2.0、2.5及3.0的十字形PEC柱在不同钢材强度下的N-M曲线。从图中可以看出：随着钢材强度的增大，N-M曲线偏压临界点的弯矩逐渐增大；同时，无论在大、小偏压作用下，随着钢材强度提高，试件的偏压临界点的弯矩也随之提高。这一现象说明：无论在大、小偏压作用下，提高钢材强度均可提高其抗弯极限承载力。

3.3 主钢件厚度的影响

为研究钢板厚度对十字形PEC柱偏压极限承载力的影响，分别设置了主钢件厚度为6 mm、8 mm、10 mm的试件进行研究，其N-M曲线如图9所示。由图9a）可知，主钢件厚度为8 mm、10 mm的试件其N-M曲线最大弯矩值分别比厚度为6 mm的试件的N-M曲线最大弯矩值提高了19.5%、37.3%，N-M曲线的最大轴力值提高了12.3%、23.8%，N-M曲线所包围的面积也明显变大，这说明随着主钢件厚度增加，试件的偏压承载力可以得到显著提升。

3.4 加载角的影响

在实际工程中，十字形PEC柱的受力往往并非单向偏压，而是更为复杂的双向偏压，因此加载角也是要考虑的重要因素，在本文中采用加载角θ来确定双向偏压荷载的方位，加载角的定义如图2所示。考虑到十字形PEC柱的对称性特点，仅需考虑0°~45°范围内的加载角，本文取加载角为0°、10°、20°、30°、40°及45°时进行参数分析，其中，加载角为0°时即为单向偏压加载。图10为试件在不同加载角作用下的N-M曲线。

在图10a）中，当相对偏心距为0.5、1.0时，试件的抗弯极限承载力随着加载角的增大而增大，当加载角达到45°时，N-M曲线所围成的面积最大，说明加载角为45°时，试件截面的混凝土以及主钢件可以发挥最大的作用。

由图10可知当相对偏心距较小时，加载角从0°到45°的N-M曲线承载力值变化不大；而当相对偏心距逐渐接近偏压临界点时，加载角对抗弯极限承载力的影响越来越明显，因此，在关于加载角的影响参数分析中，考虑加载角对偏压临界点的弯矩与轴力的影响极为关键。

而在不同的宽厚比下，偏压临界点的弯矩受加载角的影响不同。由图10a）~c）可知，当肢厚比b/b_f=2.0时，试件加载角从0°增长到45°时，偏压临界点的抗弯极限承载力的增幅为11.1%，而当肢厚比为2.5和3.0时，又呈现出不同的变化幅度，当加载角从0°增长到45°时，偏压临界点的抗弯极限承载力的增幅变为了19.6%、24.8%，这说明了不同肢厚比下，十字形PEC柱的极限承载力随加载角变化的增幅是不同的，肢厚比越大，增幅越大。这也说明在预测双向偏压的承载力时，不能简单采用单向偏压的计算公式，而是需要进一步考虑试件的加载角以及宽厚比的影响。

由参数分析可知，在考虑十字形PEC柱的偏压承载力时，混凝土强度、钢材强度、肢厚比以及加载角等都是需要考虑的重要因素。

4 跨中截面承载力计算

为了使计算公式更加简洁准确，参考规范^［12］中PEC矩形柱单向偏压承载力的计算方法，将N-M曲线简化为如图11所示的三段折线，并进行如下假定：

（1） 忽略受拉区混凝土的影响；

（2） 偏心受压下试件截面符合平截面假定；

（3） 忽略混凝土与钢板的相对滑移。

结合这些假设和十字形PEC柱主钢件和混凝土的应力分布简化模型，可推导出十字形PEC柱单向偏压承载力计算公式。

4.1 模型的简化以及公式的推导

图11中三段折线的方程如公式（1）所示。

AB段：

\frac{N-N_{\mathrm{B}}}{N_{\mathrm{A}}-N_{\mathrm{B}}}+\frac{M}{M_{\mathrm{B}}}=\mathrm{1}

BC段：

\frac{N}{N_{\mathrm{C}}}+\frac{M-M_{\mathrm{C}}}{M_{\mathrm{C}}-M_{\mathrm{B}}}=\mathrm{1}（1）

CD段：

\frac{N}{N_{\mathrm{C}}}+\frac{M-M_{\mathrm{C}}}{M_{\mathrm{D}}-M_{\mathrm{C}}}=\mathrm{1}

公式中N_C、M_C分别为N-M简化曲线中最大弯矩点C点的轴力值与弯矩值，M_D为N-M简化曲线中纯弯矩点D点的弯矩值，N_A为N-M简化曲线中轴压点A点的轴力值，N_B、M_B为N-M简化曲线中B点的轴力值与弯矩值。因此，求出简化的N-M曲线需要确定四个点数值的计算公式，其中关于N_C、M_C以及M_D的推导方法均参考规范EN1994-1-1提供的计算方法。由本文中破坏分析可知，在十字形PEC柱偏心受压破坏时，主钢件并非全截面屈服，在中性轴附近主钢件有部分腹板未屈服，保留有一个“弹性核”，因此，在对主钢件进行应力划分时，应考虑试件破坏时应力分布的实际情况。其弹性核的范围为偏压破坏时中性轴两侧h_g的范围，h_g的计算如公式（2）、（3）所示，其中，h_n为跨中截面满足应力平衡时（N=0）中性轴到形心轴的距离。

当4h_n≤b时，

h_{\mathrm{g}}=h_{\mathrm{n}}（2）

当4h_n>b时，

h_{\mathrm{g}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}b-h_{\mathrm{n}}（3）

其中，考虑到本文研究对象是等肢的十字形PEC柱，因此在计算公式中试件的长和宽均用b表示。

由于十字形PEC柱是双轴对称结构，因此可以确定其中心轴在其对称轴上，而对于中性轴的位置h_n，则可以根据十字形PEC柱在纯弯时（即D点）的截面静力平衡来确定，其截面应力划分如图12所示。其中，考虑到中性轴附近的翼缘钢板对承载力影响较小，并且为了简化计算公式，因此在确定中性轴位置h_n时忽略掉红圈内的钢板。推导的计算公式如（4）~（6）所示，在计算中，先假设2h_n≤b_f并将k代入公式求出，如果求出的h_n符合2h_n≤b_f要求，则可以进一步计算；如果不符合则进一步假设2h_n>b_f并将其k代入公式，求出h_n，并且通过h_n及公式（2）、（3）求出弹性核的范围值h_g。

k=(b-\mathrm{2}{t}_{\mathrm{w}})t_{\mathrm{w}}{f}_{\mathrm{y}}+b_{\mathrm{f}}{t}_{\mathrm{w}}{f}_{\mathrm{y}}+\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}b-\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}{t}_w\right)t_{\mathrm{w}}{f}_{\mathrm{y}}-

(b_{\mathrm{f}}-t_{\mathrm{w}})\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}b-h_n-t_w\right)f_{\mathrm{c}}（4）

当2h_n≤b_f时

k=\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{b}_f-h_n\right)(b-\mathrm{2}{t}_{\mathrm{w}}-b_{\mathrm{f}})f_{\mathrm{c}}+\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}b-\mathrm{2}{h}_n\right)t_{\mathrm{w}}{f}_{\mathrm{y}}（5）

当2h_n>b_f时

k=\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}b-\mathrm{2}{h}_n\right)t_{\mathrm{w}}{f}_{\mathrm{y}}（6）

式中：f_y为型钢屈服强度；f_c为混凝土轴心抗压强度；b为十字形PEC柱的截面宽度；t_w为主钢件厚度；b_f为翼缘宽度，符号的含义在后面的公式中均适用。

之后推导曲线上四个点的计算公式：

（1） D点为纯弯点，此时截面状态为部分受拉，部分受压，其轴力N为0，横截面应力简化分布图如图12所示，并且在推导M_D\mathrm{计算}公式时同样将红圈内的钢板忽略，根据横截面的应力划分可以得到D点的极限抗弯强度M_D的计算公式为公式（7）~（9）。

\begin{array}{l}{M}_{\mathrm{D}}=\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}b+h_n\right)b_{\mathrm{f}}{t}_{\mathrm{w}}{f}_{\mathrm{y}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(b_{\mathrm{f}}-t_{\mathrm{w}}\right){\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}b-h_{\mathrm{n}}-t_{\mathrm{w}}\right)}^{\mathrm{2}}\\ f_{\mathrm{c}}+b_{\mathrm{f}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}{b}_{\mathrm{f}}+h_{\mathrm{n}}\right)t_{\mathrm{w}}{f}_{\mathrm{y}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}b\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}b+h_{\mathrm{n}}\right)\\ t_{\mathrm{w}}{f}_{\mathrm{y}}+M_{\mathrm{\phi }}+(b-\mathrm{2}{t}_{\mathrm{w}})h_{\mathrm{n}}{t}_{\mathrm{w}}{f}_{\mathrm{y}}\end{array}（7）

当2h_n≤b_f时

\begin{array}{l}{M}_{\mathrm{\phi }}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{b}_{\mathrm{f}}-h_{\mathrm{n}}\right)}^{\mathrm{2}}(b-b_{\mathrm{f}}-\mathrm{2}{t}_{\mathrm{w}})f_{\mathrm{c}}+b_{\mathrm{f}}{t}_{\mathrm{w}}{f}_{\mathrm{y}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}b-h_{\mathrm{n}}\right)+\\ M_{\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}{t}_{\mathrm{w}}{h}_{\mathrm{g}}^{\mathrm{2}}{f}_{\mathrm{y}}\end{array}(\mathrm{8})

当2h_n>b_f时

M_{\mathrm{\phi }}=b_{\mathrm{f}}{t}_{\mathrm{w}}{f}_{\mathrm{y}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}b-h_{\mathrm{n}}\right)+M_{\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}{t}_{\mathrm{w}}{h}_{\mathrm{g}}^{\mathrm{2}}{f}_{\mathrm{y}}（9）

其中，当4h_n≤b时，M_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}b{t}_{\mathrm{w}}{f}_{\mathrm{y}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}b-\mathrm{2}{h}_{\mathrm{n}}\right)；当4h_n>b时，M_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}b{t}_{\mathrm{w}}{f}_{\mathrm{y}}\left(\mathrm{2}{h}_{\mathrm{n}}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}b\right)。

（2） 计算最大弯矩点C点时，中性轴与形心轴的位置重合，此时截面一半受拉一半受压，由于水平方向上的腹板处于中性轴上，对十字形PEC柱抗弯承载力M_C与轴力N_C的贡献较少，因此在考虑应力分布模型时将其忽略，截面应力划分如图13所示，其中主钢件弹性核范围为中性轴两侧h_g部分，简化计算公式如（10）~（13）所示。

M_{\mathrm{C}}=\mathrm{2}\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}b{b}_f{t}_w{f}_y+\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}b-h_g\right)\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}b+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{h}_g\right)t_w{f}_y+\right.

\left.\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}{h}_g^{\mathrm{2}}{t}_w{f}_y+M_{\phi }\right]+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}(b_{\mathrm{f}}-t_{\mathrm{w}}){\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}b-\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}{t}_w\right)}^{\mathrm{2}}{f}_{\mathrm{c}}+

\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}{b}_{\mathrm{f}}(b-b_{\mathrm{f}}-\mathrm{2}{t}_{\mathrm{w}})\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{b}_f-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{t}_w\right)f_{\mathrm{c}}（10）

当2h_g≤b_f时

M_{\mathrm{\phi }}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}{t}_{\mathrm{w}}{h}_{\mathrm{g}}^{\mathrm{2}}{f}_{\mathrm{y}}+\mathrm{2}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{b}_f-h_g\right)\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}{b}_f+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{h}_g\right)t_{\mathrm{w}}{f}_{\mathrm{y}}（11）

当2h_g>b_f时

M_{\mathrm{\phi }}=\frac{b_{\mathrm{f}}^{\mathrm{3}}{t}_{\mathrm{w}}}{\mathrm{12}{h}_{\mathrm{g}}}{f}_{\mathrm{y}}（12）

N_{\mathrm{c}}=\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{b}_f-t_w\right)\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}b-\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}{t}_w\right)f_{\mathrm{c}}+

(b-b_{\mathrm{f}}-\mathrm{2}{t}_{\mathrm{w}})\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{b}_f-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{t}_w\right)f_{\mathrm{c}}（13）

（3） A点为轴力最大点，其偏心率为0，截面轴心受压，其截面应力分布如图14所示，N_A的计算公式为（14），且M_A=0。

N_{\mathrm{A}}=(b{b}_{\mathrm{f}}-b{t}_{\mathrm{w}}-\mathrm{5}{b}_{\mathrm{f}}{t}_{\mathrm{w}}+\mathrm{3}{t}_{\mathrm{w}}^{\mathrm{2}}-b_{\mathrm{f}}^{\mathrm{2}})f_{\mathrm{c}}+

(\mathrm{2}b{t}_{\mathrm{w}}+\mathrm{4}{b}_{\mathrm{f}}{t}_{\mathrm{w}}-\mathrm{5}{t}_{\mathrm{w}}^{\mathrm{2}})f_{\mathrm{y}}（14）

（4） B点假设其为以通过C点的水平线为对称轴且与D点相对称的点，因此其坐标值M_B、N_B的计算如公式（15）、（16）所示。

M_{\mathrm{B}}=M_{\mathrm{D}}（15）

N_{\mathrm{B}}=\mathrm{2}{N}_{\mathrm{C}}（16）

4.2 简化计算公式的验证

为了验证公式的准确性，本文将推导出的计算公式的计算结果与有限元结果进行比较，比较结果如图15所示，简化公式与试验数据对比结果如表3所示，其中N_u，f /N_PRE、M_u，f /M_PRE均值分别为0.999、1.005；简化计算公式准确率N_PRE/N_FEA、M_PRE/M_FEA范围分别在0.87~1.05、0.89~1.05，均值分别为0.98、0.98。由有限元及试验数据的对比可知本文推导的简化计算公式具有较好的准确性。

4.3 双向偏压公式的推导

在完成十字形PEC柱单向偏压承载力计算公式的推导的情况下，本节结合前文的参数分析，进一步建立十字形PEC柱双向偏压承载力的计算公式。

对于双向偏压下的N-M曲线计算公式，则是将其加载角从0°~45°的连续状态简化成为0°、10°、20°、30°、40°及45°这几种情况，并且各个加载角的简化N-M曲线同单向偏压简化计算公式一样，假定成为3段折线，由\mathrm{A}、{\mathrm{B}}^{\text{'}}、{\mathrm{C}}^{\text{'}}、{\mathrm{D}}^{\text{'}}四个点组成，具体如图11所示。同时，为简化计算公式，进一步定义无量纲常数{\phi }_{\mathrm{1}}=M_{\mathrm{C}}^{\text{'}}/M_{\mathrm{C}}，{\phi }_{\mathrm{2}}=N_{\mathrm{C}}^{\text{'}}/N_{\mathrm{C}}，{\phi }_{\mathrm{3}}=M_{\mathrm{D}}/M_{\mathrm{D}}^{\text{'}},M_{\mathrm{C}}、N_{\mathrm{C}}为单向偏压时N-M曲线中的最大弯矩点C点的弯矩与轴力，而M_{\mathrm{C}}^{\text{'}}、N_{\mathrm{C}}^{\text{'}}为双向偏压下N-M曲线中的最大弯矩点C点的弯矩与轴力，M_{\mathrm{D}}为试件加载角为0°时试件的纯弯极限承载力，M_{\mathrm{D}}^{\text{'}}为其他加载角下试件的纯弯极限承载力。

由参数分析可知，在0°~45°内，随着加载角的增大十字形PEC柱偏压截面承载力逐渐提高，并且在不同的肢厚比下呈现出不同的提升幅度。本文通过线性拟合{\phi }_{\mathrm{1}}、{\phi }_{\mathrm{2}}、{\phi }_{\mathrm{3}}的\phi -\theta通用公式，结合单向偏压截面承载力的计算公式，来得到不同加载角下N-M曲线下{\mathrm{C}}^{\mathrm{\text{'}}}、{\mathrm{D}}^{\text{'}}点的极限承载力的计算公式，然后进一步得到十字形PEC柱双向偏压下的计算公式。在本文中给定不同加载角下典型的\phi -\theta曲线计算公式如（17）所示，其中\theta为加载角，其取值范围为0°~45°；α₁、α₂、α₃均为公式（17）中的常数，其数值通过利用有限元模拟的数据进行拟合得到；\phi包含\phi₁、\phi₂及\phi₃，其拟合方式如图16所示。

\phi ={\alpha }_{\mathrm{1}}{\theta }^{\mathrm{2}}+{\alpha }_{\mathrm{2}}\theta +{\alpha }_{\mathrm{3}}（17）

双向偏压下N-M曲线{\mathrm{D}}^{\text{'}}\mathrm{点的}\mathrm{抗弯}\mathrm{极限}\mathrm{承载}\mathrm{力}{M}_{\mathrm{D}}^{\text{'}}的计算公式如（18）所示，其中，由前文参数分析可知在较大的偏心距下，十字形PEC柱的抗弯极限承载力接近其纯弯时的值，因此在本节的数据拟合中，D点的双向偏压下的\phi₃值是采用相对偏心距为10下的数据来拟合的。

M_{\mathrm{D}}^{\text{'}}={\phi }_{\mathrm{3}}\times M_{\mathrm{D}}（18）

对于其他加载角试件的最大弯矩点C点，其偏压时的截面抗弯极限承载力与轴压承载力的计算，如公式（19）、（20）所示。

N_{\mathrm{C}}^{\text{'}}={\phi }_{\mathrm{2}}\times N_{\mathrm{C}}（19）

M_{\mathrm{C}}^{\text{'}}={\phi }_{\mathrm{1}}\times M_{\mathrm{C}}（20）

本文提出的偏心受压极限承载力的计算方法同样适用于多种肢厚比类型的十字形PEC柱，表4中列举了肢厚比b/b_{\mathrm{f}}为2.0、2.5、3.0、3.5、4.0的十字形PEC柱在双向偏压下α₁、α₂、α₃参数值，可供计算参考。

4.4 双向偏压公式的验证

有限元模拟结果与式（18）~（20）的计算结果对比如图17所示，其中N_PRE/N_FEA的范围为0.83~1.09，均值为0.97；M_PRE/M_FEA的范围为0.82~1.14，均值为0.99，具有较高的准确性，说明本文提出的计算方法适用于十字形PEC柱双向偏压极限承载力的预测。

5 结论

本文通过对大量的十字形PEC柱进行有限元模拟，分析了影响十字形PEC柱偏压承载力的因素，建立了单向偏压与双向偏压下十字形PEC柱极限承载力的计算公式，得到的研究成果如下：

（1） 对十字形PEC柱试件进行单向偏压有限元模拟，分析了试件在小偏压及大偏压下的破坏状态，发现在偏压状态下，主钢件腹板中性轴附近仍有部分型钢存在“弹性核”区域。

（2） 利用有限元模拟对十字形PEC柱进行了参数分析，研究其在不同状况下的破坏模式，结果显示：混凝土强度、钢材强度、加载角都是影响其极限承载力的重要因素。当试件受小偏压时，混凝土强度等级提高可以明显增加其极限承载力；而当试件在大偏心受压时，混凝土强度等级提高对极限承载力的影响会随着偏心距的增大而减小；而提高钢材强度等级无论在大、小偏压状况下均可较好地提高十字形PEC柱的抗弯极限承载力。

（3） 双向偏压的参数分析表明，在十字形PEC短柱中，随着加载角的增大，试件的截面承载力的N-M曲线会有所不同，当偏心距接近临界偏心距时，加载角对试件的偏压承载力的影响最大；此外，宽厚比也会加剧加载角对试件承载力的影响，宽厚比越大，加载角从0°变化到45°时试件的偏压承载力增幅越大。

（4） 本文首先将十字形PEC短柱的N-M曲线简化成为三段折线从而推导出其单向偏压承载力计算公式。通过拟合出双向偏压与单向偏压下的相关参数并结合本文推导的单向偏压承载力计算公式，提出了双向偏压下十字形PEC短柱的极限承载力计算公式。与有限元结果对比后发现所提公式具有较好的准确性，可为工程应用提供参考。

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