具有平流项和低阶项的椭圆方程很弱解的局部高阶可积性

徐秀娟; 沈毅; 佟玉霞

doi:10.20056/j.cnki.ZNMDZK.20240732

中南民族大学学报（自然科学版） ›› 2025, Vol. 44 ›› Issue (02) : 283 -288. DOI: 10.20056/j.cnki.ZNMDZK.20240732

数学与统计学科学

具有平流项和低阶项的椭圆方程很弱解的局部高阶可积性

徐秀娟 ¹^,² ,
沈毅 ¹ ,
佟玉霞 ¹^,²

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Local higher order integrability of very weak solutions for elliptic equations with advection and low-order terms

Xiujuan XU ¹^,² ,
Yi SHEN ¹ ,
Yuxia TONG ¹^,²

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摘要

在可测条件下，选取适当的截断函数并利用Hodge分解定理，得到具有平流项和低阶项的非齐次 $A$ -调和方程很弱解的局部高阶可积性，从而推广了相关文献中的有关结果.

Abstract

Under measurable conditions， appropriate truncation functions were selected and Hodge decomposition theorem was used. The local higher order integrability results for very weak solutions to non-homogeneous $A$ -harmonic equations with advection and low order terms were obtained. The results generalized the corresponding results in related literatures.

关键词

平流项 / 低阶项 / 很弱解 / Hodge分解 / 高阶可积性

Key words

advection term / lower order term / very weak solution / Hodge decomposition / higher order integrability

引用本文

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徐秀娟,沈毅,佟玉霞. 具有平流项和低阶项的椭圆方程很弱解的局部高阶可积性[J]. 中南民族大学学报（自然科学版）, 2025, 44(02): 283-288 DOI:10.20056/j.cnki.ZNMDZK.20240732

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1 引言及主要结论

令 $Ω$ 为 $R n (n ≥ 2)$ 中的有界正则区域，考虑非齐次椭圆方程

- d i v A x, u, ∇ u (x) - d i v g (x, u) = h (x, u) - d i v F (x) + f (x)

（1.1）

很弱解的高阶可积性.这里假设向量场 $A : Ω × R × R n → R n$ ，平流场 $g : Ω × R → R n$ 及 $h : Ω × R → R$ 是Carathéodory函数，并且对于a.e. $x ∈ Ω$ 及 $s ∈ R$ 和 $ξ ∈ R n$ ，有

A (x, s, ξ), ξ ≥ C A, 1 ξ p

，（1.2）

A (x, s, ξ) ≤ C A, 2 ξ p - 1 + C A, 3 s p - 1 + k 1 (x)

，（1.3）

g (x, s) ≤ k 2 (x) + C g s p - 1

，（1.4）

h (x, s) ≤ k 3 (x) + C h s p - 1

.（1.5）

这里函数 $k i (x) ∈ L l o c r p - 1 (Ω)$ ， $i = 1,2, 3$ ， $F (x) ∈ L l o c r p - 1$ $(Ω, R n)$ ， $f (x) ∈ L l o c r p - 1 (Ω)$ ； $C A, 1$ ， $C A, 2$ ， $C A, 3$ $C g$ ， $C h$ 为正常数，其中 $0 < C A, 1 ≤ C A, 2 < ∞$ ； $1 < p < n$ ， $m a x {1, p - 1} ≤ r < p$ .

当 $g = F = 0$ 且 $h = f = 0$ 时，方程（1.1）即为齐次A-调和方程.

定义1.1 令常数

r

满足

m a x {1, p - 1} ≤ r < p

，函数

u ∈ W l o c 1, r (Ω)

称为椭圆方程（1.1）的很弱解，若对

Ω

中所有具有紧支集的

ϕ ∈ W 0 1, r r - p + 1 (Ω)

，有

∫ Ω A x, u, ∇ u + g (x, u), ∇ ϕ d x = ∫ Ω F (x), ∇ ϕ d x + ∫ Ω h (x, u) + f (x) ϕ d x

.（1.6）

在研究偏微分方程的过程中，有很多方程无法得到其经典解，于是人们开始探究其弱解. 近年来方程弱解的性质有了进一步的研究成果，可见文献［1-7］. 其中，2014年，GAO等^［4］获得了满足适当增长条件的平流项和低阶项的散度型椭圆方程弱解的局部正则性结果.

由经典解的极限引入了弱解，随着对方程弱解的深入研究，在用弱收敛方法推导收敛的过程中，发现极限下的弱解不一定为弱解，而有可能是很弱解. 由于很弱解可积指数更低，进而增大了求解空间，这对偏微分方程理论研究具有重大意义，因此对很弱解的研究是很有必要的.1993年，IWANIEC等^［8］建立了向量的Hodge分解定理，这为研究很弱解提供了重要工具，且促进了对很弱解的高阶可积性（即可积指数的自我提高正则性）的研究. 关于很弱解的高阶可积性的结果最早是由MEYERS等^［9］考虑的.LI等^［10］利用逆Hölder不等式，考虑了障碍问题弱解的局部和整体高阶可积性. 基于上述研究方法，郑神州等^［11］获得了一类非线性椭圆组很弱解的正则性，高红亚等^［12］获得了障碍问题很弱解的局部和整体高阶可积性.

关于在椭圆方程及其障碍问题的很弱解的高阶可积性的研究中，缺乏对平流项和低阶项的处理，故受文献［4］的启发，本文考虑具有平流项和低阶项的椭圆方程的很弱解的局部高阶可积性. 得到主要结论定理1.2.

定理1.2 令

Ω

为

R n

中的有界正则区域，方程（1.1）满足（1.2）-（1.5）. 则存在可积指数

r 1

、

r 2

满足

1 < r 1 = r 1 (n, p, C A, 1, C A, 2, C A, 3, C g, C h) < p < r 2 = r 2 (n, p, C A, 1, C A, 2, C A, 3, C g, C h) < ∞

，

使得方程（1.1）的每一个很弱解 $u ∈ W l o c 1, r 1 (Ω)$ 都有 $u ∈ W l o c 1, r 2 (Ω)$ . 从而u是经典意义下的弱解.

2 预备知识

引理2.1

^{［1，13-14］} （Hodge分解定理）设

Ω ∈ R n

为有界正则区域，其中

n

为正整数，

0 < ε < r - 1

，

u ∈ W 1, r (Ω)

，

r = p - ε ≥ m a x {1, p - 1}

，则存在

ϕ (x) ∈ W 0 1, r 1 - ε (Ω)

和散度为零的矩阵场

H (x)

∈ L r 1 - ε (Ω)

，使得

∇ u - ε ∇ u = ∇ ϕ + H

，（2.1）

H r 1 - ε ≤ C ε ∇ u r 1 - ε

，（2.2）

其中 $C$ 是只依赖于 $n$ 、 $r$ 和 $Ω$ 的常数.

注：分解式（2.1）是外微分形式Hodge分解定理^［14］的向量表示. 文献［1］通过空间非线性交换子得到估计式（2.2）. 由（2.1）式及（2.2）式知，对

∇ ϕ

有估计式

∇ ϕ r 1 - ε ≤ C ∇ u r 1 - ε

引理2.2

^［11］设

X

和

Y

为内积空间中的向量，

0 ≤ ε < 1

. 则

X - ε X - Y - ε Y ≤ 2 ε (1 + ε) 1 - ε X - Y 1 - ε .

引理2.3

^［9］（Poincaré不等式）设

1 < p < n

，

0 < q ≤ n p n - p

. 若

u ∈ W 1, p (B R (x 0))

，则

u - u R L q (B R (x 0)) ≤ C R n (1 q - 1 p) + 1 ∇ u L p (B R (x 0)) .

这里 $u R : = ∫ B R x 0 u d x = 1 B R x 0 ∫ B R x 0 u d x$ ， $C$ 为仅依赖于 $p$ 、 $q$ 和 $n$ 的正常数. 特别地，若 $u ∈ W 0 1, p (B R (x 0))$ ，则

u L q (B R (x 0)) ≤ C R n (1 q - 1 p) + 1 ∇ u L p (B R (x 0)) .

引理2.4

^［15］（逆Hölder不等式）设

B

为一个

n

维球体，

f (x)

和

g (x)

为

B ⊂ R n

上非负可测函数. 对

∀ x 0 ∈ B

，任意的

R < 12 d i s t {x 0, ∂ Ω} = R 0

，满足

∫ B R x 0 g q d x ≤ τ ∫ B 2 R x 0 g q d x + C ∫ B 2 R x 0 g d x q + ∫ B 2 R x 0 f q d x,

其中 $R 0 > 0$ ， $0 ≤ τ < 1$ ，那么对 $∀ p ∈ q, q + ε 0$ ，有 $g (x) ∈ L l o c p (B)$ ，且有

∫ B R x 0 g p d x 1 p ≤ C ∫ B 2 R x 0 g q d x 1 q + ∫ B 2 R x 0 f q d x 1 p,

其中 $B 2 R (x 0) ⊂ B$ ， $C$ 是仅依赖于 $τ$ 、 $q$ 和 $n$ 的正常数.

3 主要定理的证明

令

B 2 R ⊂ Ω

. 设截断函数

η ∈ C 0 ∞ (B 2 R)

，

0 ≤ η ≤ 1

，当

x ∈ B R

时，

η ≡ 1

，

∇ η ≤ C / R

令

u ∈ W 1, r (Ω)

为方程（1.1）的一个很弱解，

w = η u - λ

，其中

λ = u B 2 R

. 考虑Hodge分解

∇ w - ε ∇ w = ∇ ϕ + H

，（3.1）

这里 $ϕ (x) ∈ W 0 1, r 1 - ε (B 2 R)$ 和矩阵场 $H (x) ∈ L r 1 - ε$ $(B 2 R)$ 满足

H r 1 - ε ≤ C ε ∇ w r 1 - ε

，（3.2）

∇ ϕ r 1 - ε ≤ C ∇ w r 1 - ε

，（3.3）

其中 $C$ 仅与 $n$ 、 $p$ 、 $r$ 有关. 令 $E (w) = ∇ w - ε ∇ w - η ∇ (u - λ) - ε η ∇ (u - λ)$ . 考虑到 $∇ w = η ∇ u + (u - λ) ∇ η$ 以及 $∇ η ≤ C / R$ ，于是由引理2.2，有

E (w) ≤ 2 ε (1 + ε) 1 - ε (u - λ) ∇ η 1 - ε ≤ C R ε - 1 u - λ 1 - ε

.（3.4）

下面估计（3.2）式与（3.3）式右侧. 由 $w$ 和 $η$ 的定义，以及Minkowski不等式，有

∫ B 2 R ∇ w r d x 1 r ≤ ∫ B 2 R η ∇ u r d x 1 r + ∫ B 2 R (u - λ) ∇ η r d x 1 r ≤ ∫ B 2 R ∇ u r d x 1 r + C R ∫ B 2 R (u - λ) r d x 1 r .

令 $m a x 1, n r n + r ≤ t < r$ ，利用Poincaré不等式，有

∫ B 2 R (u - λ) r d x 1 r ≤ C R n (1 r - 1 t) + 1 ∫ B 2 R ∇ u t d x 1 t

，（3.5）

于是有

∫ B 2 R ∇ w r d x 1 r ≤ C ∫ B 2 R ∇ u r d x 1 r + C R n (1 r - 1 t) ∫ B 2 R ∇ u t d x 1 t .

（3.6）

于是（3.2）式和（3.3）式为

∫ B 2 R H r 1 - ε d x 1 - ε r ≤ C ε ∫ B 2 R ∇ u r d x 1 - ε r + C ε R 1 - ε n (1 r - 1 t) ∫ B 2 R ∇ u t d x 1 - ε t

，（3.7）

∫ B 2 R ∇ ϕ r 1 - ε d x 1 - ε r ≤ C ∫ B 2 R ∇ u r d x 1 - ε r + C R 1 - ε n (1 r - 1 t) ∫ B 2 R ∇ u t d x 1 - ε t

，（3.8）

其中 $C$ 仅与 $n$ 、 $p$ 、 $r$ 有关.

由于Hodge分解式（3.1）中 $ϕ (x) ∈ W 0 1, r 1 - ε (B 2 R)$ ，利用定义1.1可得

∫ B 2 R A x, u, ∇ u, η ∇ (u - λ) - ε η ∇ (u - λ) d x = ∫ B 2 R A x, u, ∇ u, H d x - ∫ B 2 R A x, u, ∇ u, E (w) d x + ∫ B 2 R g x, u, H d x - ∫ B 2 R g x, u, ∇ w - ε ∇ w d x + ∫ B 2 R F x, ∇ w - ε ∇ w d x - ∫ B 2 R F x, H d x + ∫ B 2 R h x, u ϕ d x + ∫ B 2 R f x ϕ d x : = I 1 + I 2 + I 3 + I 4 + I 5 + I 6 + I 7 + I 8 .

（3.9）

先估计（3.9）式左侧. 考虑到 $∇ (u - λ) = ∇ u$ ，由假设条件（1.2）和 $η$ 的定义，有

∫ B 2 R A x, u, ∇ u, η ∇ (u - λ) - ε η ∇ (u - λ) d x ≥ ∫ B 2 R η 1 - ε ∇ u - ε A x, u, ∇ u, ∇ u d x ≥ C A, 1 ∫ B R ∇ u r d x .

估计 $I 1$ . 由假设条件（1.3）、Hölder不等式、（3.7）式和Young不等式，对 $∀ θ > 0$ ，有

I 1 ≤ ∫ B 2 R A x, u, ∇ u H d x ≤ C A, 2 ∫ B 2 R ∇ u p - 1 H d x + C A, 3 ∫ B 2 R u p - 1 H d x + ∫ B 2 R k 1 (x) H d x ≤ C A, 2 ∫ B 2 R ∇ u r d x p - 1 r ∫ B 2 R H r 1 - ε d x 1 - ε r + C A, 3 ∫ B 2 R u r d x p - 1 r ∫ B 2 R H r 1 - ε d x 1 - ε r + ∫ B 2 R k 1 (x) r p - 1 d x p - 1 r ∫ B 2 R H r 1 - ε d x 1 - ε r ≤ C A, 2 ∫ B 2 R ∇ u r d x p - 1 r C ε ∫ B 2 R ∇ u r d x 1 - ε r + C ε R 1 - ε n (1 r - 1 t) ∫ B 2 R ∇ u t d x 1 - ε t + C A, 3 ∫ B 2 R u r d x p - 1 r C ε ∫ B 2 R ∇ u r d x 1 - ε r +

C ε R 1 - ε n (1 r - 1 t) ∫ B 2 R ∇ u t d x 1 - ε t + ∫ B 2 R k 1 (x) r p - 1 d x p - 1 r C ε ∫ B 2 R ∇ u r d x 1 - ε r + C ε R 1 - ε n (1 r - 1 t) ∫ B 2 R ∇ u t d x 1 - ε t ≤ C ε θ ∫ B 2 R ∇ u r d x + C ε ∫ B 2 R u r d x + C ε ∫ B 2 R k 1 (x) r p - 1 d x + C ε θ ∫ B 2 R ∇ u t d x r t,

其中 $C$ 仅与 $n$ 、 $p$ 、 $r$ 、 $C A, 2$ 、 $C A, 3$ 和 $θ$ 有关.

估计 $I 2$ . 由（3.4）式、假设条件（1.3）、Hölder不等式和（3.5）式，利用Young不等式，对 $∀ θ > 0$ ，有

I 2 ≤ ∫ B 2 R A x, u, ∇ u E w d x ≤ C A, 2 C R ε - 1 ∫ B 2 R u - λ 1 - ε ∇ u p - 1 d x + C A, 3 C R ε - 1 ∫ B 2 R u - λ 1 - ε u p - 1 d x + C R ε - 1 ∫ B 2 R u - λ 1 - ε k 1 (x) d x ≤ C A, 2 C R ε - 1 ∫ B 2 R u - λ r d x 1 - ε r ∫ B 2 R ∇ u r d x p - 1 r + C A, 3 C R ε - 1 ∫ B 2 R u - λ r d x 1 - ε r ∫ B 2 R u r d x p - 1 r + C R ε - 1 ∫ B 2 R u - λ r d x 1 - ε r ∫ B 2 R k 1 (x) r p - 1 d x p - 1 r ≤ C A, 2 C R 1 - ε n (1 r - 1 t) ∫ B 2 R ∇ u t d x 1 - ε t ∫ B 2 R ∇ u r d x p - 1 r + C A, 3 C R 1 - ε n (1 r - 1 t) ∫ B 2 R ∇ u t d x 1 - ε t ∫ B 2 R u r d x p - 1 r + C R 1 - ε n (1 r - 1 t) ∫ B 2 R ∇ u t d x 1 - ε t ∫ B 2 R k 1 (x) r p - 1 d x p - 1 r ≤ C ∫ B 2 R ∇ u t d x r t + C θ ∫ B 2 R ∇ u r d x + C θ ∫ B 2 R u r d x + C θ ∫ B 2 R k 1 (x) r p - 1 d x,

其中 $C$ 仅与 $n$ 、 $p$ 、 $r$ 、 $R$ 、 $C A, 2$ 、 $C A, 3$ 和 $θ$ 有关.

估计 $I 3$ . 由条件（1.4），类似 $I 1$ 的估计，利用Hölder不等式、（3.7）式和Young不等式，对 $∀ θ > 0$ ，有

I 3 ≤ ∫ B 2 R g x, u H d x ≤ ∫ B 2 R k 2 (x) H d x +

C g ∫ B 2 R u p - 1 H d x ≤ C ε θ ∫ B 2 R ∇ u r d x + C ε θ ∫ B 2 R k 2 (x) r p - 1 d x + C ε ∫ B 2 R ∇ u t d x r t + C ε ∫ B 2 R u r d x,

其中 $C$ 仅与 $n$ 、 $p$ 、 $r$ 、 $R$ 、 $C g$ 和 $θ$ 有关.

估计 $I 4$ . 由条件（1.4），类似 $I 1$ 的估计，利用Hölder不等式、（3.6）式和Young不等式，对 $∀ θ > 0$ ，有

I 4 ≤ ∫ B 2 R g x, u ∇ w 1 - ε d x ≤ ∫ B 2 R k 2 (x) ∇ w 1 - ε d x + C g ∫ B 2 R u p - 1 ∇ w 1 - ε d x ≤ ∫ B 2 R k 2 (x) r p - 1 d x p - 1 r ∫ B 2 R ∇ w r d x 1 - ε r + C g ∫ B 2 R u r d x p - 1 r ∫ B 2 R ∇ w r d x 1 - ε r ≤ ∫ B 2 R k 2 (x) r p - 1 d x p - 1 r C ∫ B 2 R ∇ u r d x 1 - ε r + C R 1 - ε n (1 r - 1 t) ∫ B 2 R ∇ u t d x 1 - ε t + C g ∫ B 2 R u r d x p - 1 r C ∫ B 2 R ∇ u r d x 1 - ε r + C R 1 - ε n (1 r - 1 t) ∫ B 2 R ∇ u t d x 1 - ε t ≤ C ∫ B 2 R k 2 (x) r p - 1 d x + C θ ∫ B 2 R ∇ u r d x + C θ ∫ B 2 R ∇ u t d x r t + C ∫ B 2 R u r d x,

其中 $C$ 仅与 $n$ 、 $p$ 、 $r$ 、 $R$ 、 $C g$ 和 $θ$ 有关.

估计 $I 5$ . 类似 $I 4$ 的估计，由Hölder不等式、（3.6）式和Young不等式可知， $∀ θ > 0$ ，有

I 5 ≤ ∫ B 2 R F x ∇ w 1 - ε d x ≤ C θ ∫ B 2 R ∇ u r d x + C ∫ B 2 R F x r p - 1 d x + C θ ∫ B 2 R ∇ u t d x r t,

其中 $C$ 仅与 $n$ 、 $p$ 、 $r$ 、 $R$ 和 $θ$ 有关.

估计 $I 6$ . 类似 $I 1$ 的估计，由Hölder不等式、（3.7）式和Young不等式可知，对 $∀ θ > 0$ ，有

I 6 ≤ ∫ B 2 R F x H d x ≤ C ε θ ∫ B 2 R ∇ u r d x + C ε ∫ B 2 R F x r p - 1 d x + C ε θ ∫ B 2 R ∇ u t d x r t,

其中 $C$ 仅与 $n$ 、 $p$ 、 $r$ 、 $R$ 和 $θ$ 有关.

估计 $I 7$ . 由条件（1.5）、Hölder不等式、（3.8）式和Young不等式，对 $∀ θ > 0$ ，有

I 7 ≤ ∫ B 2 R h x, u ϕ d x ≤ ∫ B 2 R k 3 (x) ϕ d x + C h ∫ B 2 R u p - 1 ϕ d x ≤ ∫ B 2 R k 3 (x) r p - 1 d x p - 1 r ∫ B 2 R ϕ r 1 - ε d x 1 - ε r + C h ∫ B 2 R u r d x p - 1 r ∫ B 2 R ϕ r 1 - ε d x 1 - ε r ≤

∫ B 2 R k 3 (x) r p - 1 d x p - 1 r C ∫ B 2 R ∇ u r d x 1 - ε r + C R 1 - ε n (1 r - 1 t) ∫ B 2 R ∇ u t d x 1 - ε t + C h ∫ B 2 R u r d x p - 1 r C ∫ B 2 R ∇ u r d x 1 - ε r + C R 1 - ε n (1 r - 1 t) ∫ B 2 R ∇ u t d x 1 - ε t ≤ C ∫ B 2 R k 3 (x) r p - 1 d x + C θ ∫ B 2 R ∇ u r d x + C θ ∫ B 2 R ∇ u t d x r t + C ∫ B 2 R u r d x,

其中 $C$ 仅与 $n$ 、 $p$ 、 $r$ 、 $R$ 、 $C h$ 和 $θ$ 有关.

估计 $I 8$ . 类似 $I 7$ 的估计，由Hölder不等式、（3.8）式和Young不等式可知，对 $∀ θ > 0$ ，有

I 8 ≤ ∫ B 2 R f x ϕ d x ≤ C ∫ B 2 R f (x) r p - 1 d x + C θ ∫ B 2 R ∇ u r d x + C θ ∫ B 2 R ∇ u t d x r t,

其中 $C$ 仅与 $n$ 、 $p$ 、 $r$ 、 $R$ 和 $θ$ 有关.

综上，可得

C A, 1 ∫ B R ∇ u r d x ≤ C ε + ε θ + θ ∫ B 2 R ∇ u r d x +

C ∫ B 2 R ∇ u t d x r t + C ∫ B 2 R u r + k 1 (x) r p - 1 + k 2 (x) r p - 1 + k 3 (x) r p - 1 + F x r p - 1 + f (x) r p - 1 d x .

（3.10）

下面估计 $∫ B 2 R u r d x$ . 由Minkowski不等式、（3.5）式和Hölder不等式，有

∫ B 2 R u r d x ≤ C ∫ B 2 R (u - λ) r d x + C ∫ B 2 R λ r d x ≤ C R r n (1 r - 1 t) + r ∫ B 2 R ∇ u t d x r t + B 2 R ∫ B 2 R u t d x r t,

（3.11）

将（3.11）式代入（3.10）式右侧之后，两边同时加上 $C A, 1 ∫ B R u r d x$ ，并两端除以 $C A, 1 R n$ ，有

∫ B R ∇ u r + u r d x ≤ τ ∫ B 2 R ∇ u r + u r d x + C ∫ B 2 R ∇ u t + u t d x r t + C ∫ B 2 R k 1 (x) r p - 1 + k 2 (x) r p - 1 + k 3 (x) r p - 1 + F x r p - 1 + f (x) r p - 1 d x,

（3.12）

其中 $τ = C ε + ε θ + θ / C A, 1$ ， $C (n, p, r, R, C A, 1, C A, 2,$ $C = C A, 3, C g, C h, θ)$ . 令 $r$ 接近于 $p$ ，使得 $ε C 1 + θ / C A, 1 < 1 / 2$ ；取 $θ$ 充分小，使得 $C θ / C A, 1 < 1 / 2$ . 则两项系数之和 $τ < 1$ . 因为 $1 < t < r$ ，于是（3.12）式为弱逆Hölder不等式.

令 $g = ∇ u t + u t$ ， $G = k 1 (x) r p - 1 + k 2 (x) r p - 1 + k 3 (x) r p - 1 + F x r p - 1 + f (x) r p - 1 t r$ ，对 $B 2 R ⊂ Ω$ ，有

∫ B R g r t d x ≤ τ ∫ B 2 R g r t d x + C ∫ B 2 R g d x r t + C ∫ B 2 R G r t d x .

于是由引理2.5可知，存在 $r' (r' > r)$ ，使得 $u ∈ W 1, r' (Ω)$ ，有

∫ B R g r' d x 1 r' ≤ C ∫ B 2 R g r d x 1 r + C ∫ B 2 R G r' d x 1 r' .

对于 $r'$ ，重复以上过程，可提高 $∇ u$ 的可积性. 因此，存在均与 $n$ 、 $p$ 、 $C A, 1$ 、 $C A, 2$ 、 $C A, 3$ 、 $C g$ 和 $C h$ 有关的可积指数 $r 1$ 、 $r 2$ ，满足 $1 < r 1 < p < r 2 < ∞$ ，使得 $u ∈ W l o c 1, r'' (Ω)$ ，其中 $∀ r'' ∈ (r 1, r 2)$ . 定理1.2证毕.

参考文献

原文顺序 | 出版日期 | 本文引用

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Received	Accepted	Published
2023-10-31
Issue Date
2025-10-27

摘要

Abstract

关键词

Key words

引用本文

1 引言及主要结论

令Ω为Rn(n≥2)中的有界正则区域，考虑非齐次椭圆方程

很弱解的高阶可积性.这里假设向量场A:Ω×R×Rn→Rn，平流场g:Ω×R→Rn及h:Ω×R→R是Carathéodory函数，并且对于a.e.x∈Ω及s∈R和 ξ∈Rn，有

这里函数ki(x)∈Llocrp-1(Ω)，i=1,2,3，F(x)∈Llocrp-1(Ω,Rn)，f(x)∈Llocrp-1(Ω)；CA,1，CA,2，CA,3Cg，Ch为正常数，其中0<CA,1≤CA,2<∞；1<p<n，max{1,p-1}≤r<p.

当g=F=0且h=f=0时，方程（1.1）即为齐次A-调和方程.

使得方程（1.1）的每一个很弱解u∈Wloc1,r1(Ω)都有u∈Wloc1,r2(Ω). 从而u是经典意义下的弱解.

2 预备知识

其中C是只依赖于n、r和Ω的常数.

这里uR:=∫BRx0udx=1BRx0∫BRx0udx，C为仅依赖于p、q和n的正常数. 特别地，若u∈W01,p(BR(x0))，则

其中R0>0，0≤τ<1，那么对∀p∈q,q+ε0，有g(x)∈Llocp(B)，且有

其中B2R(x0)⊂B，C是仅依赖于τ、q和n的正常数.

3 主要定理的证明

这里ϕ(x)∈W01,r1-ε(B2R)和矩阵场H(x)∈Lr1-ε(B2R)满足

其中C仅与n、p、r有关. 令E(w)=∇w-ε∇w-η∇(u-λ)-εη∇(u-λ). 考虑到∇w=η∇u+(u-λ)∇η以及∇η≤C/R，于是由引理2.2，有

下面估计（3.2）式与（3.3）式右侧. 由w和η的定义，以及Minkowski不等式，有

令max1,nrn+r≤t<r，利用Poincaré不等式，有

于是有

于是（3.2）式和（3.3）式为

其中C仅与n、p、r有关.

由于Hodge分解式（3.1）中ϕ(x)∈W01,r1-ε(B2R)，利用定义1.1可得

先估计（3.9）式左侧. 考虑到∇(u-λ)=∇u，由假设条件（1.2）和η的定义，有

估计I1. 由假设条件（1.3）、Hölder不等式、（3.7）式和Young不等式，对∀θ>0，有

其中C仅与n、p、r、CA,2、CA,3和θ有关.

估计I2. 由（3.4）式、假设条件（1.3）、Hölder不等式和（3.5）式，利用Young不等式，对∀θ>0，有

其中C仅与n、p、r、R、CA,2、CA,3和θ有关.

估计I3. 由条件（1.4），类似I1的估计，利用Hölder不等式、（3.7）式和Young不等式，对∀θ>0，有

其中C仅与n、p、r、R、Cg和θ有关.

估计I4. 由条件（1.4），类似I1的估计，利用Hölder不等式、（3.6）式和Young不等式，对∀θ>0，有

其中C仅与n、p、r、R、Cg和θ有关.

估计I5. 类似I4的估计，由Hölder不等式、（3.6）式和Young不等式可知，∀θ>0，有

其中C仅与n、p、r、R和θ有关.

估计I6. 类似I1的估计，由Hölder不等式、（3.7）式和Young不等式可知，对∀θ>0，有

其中C仅与n、p、r、R和θ有关.

估计I7. 由条件（1.5）、Hölder不等式、（3.8）式和Young不等式，对∀θ>0，有

其中C仅与n、p、r、R、Ch和θ有关.

估计I8. 类似I7的估计，由Hölder不等式、（3.8）式和Young不等式可知，对∀θ>0，有

其中C仅与n、p、r、R和θ有关.

综上，可得

下面估计∫B2Rurdx. 由Minkowski不等式、（3.5）式和Hölder不等式，有

将（3.11）式代入（3.10）式右侧之后，两边同时加上CA,1∫BRurdx，并两端除以CA,1Rn，有

其中τ=Cε+εθ+θ/CA,1，C(n,p,r,R,CA,1,CA,2,C=CA,3,Cg,Ch,θ). 令r接近于p，使得εC1+θ/CA,1<1/2；取θ充分小，使得Cθ/CA,1<1/2. 则两项系数之和τ<1. 因为1<t<r，于是（3.12）式为弱逆Hölder不等式.

令g=∇ut+ut，G=k1(x)rp-1+k2(x)rp-1+k3(x)rp-1+Fxrp-1+f(x)rp-1tr，对B2R⊂Ω，有

于是由引理2.5可知，存在r'(r'>r)，使得u∈W1,r'(Ω)，有

对于r'，重复以上过程，可提高∇u的可积性. 因此，存在均与n、p、CA,1、CA,2、CA,3、Cg和Ch有关的可积指数r1、r2，满足1<r1<p<r2<∞，使得u∈Wloc1,r''(Ω)，其中∀r''∈(r1,r2). 定理1.2证毕.

参考文献

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AI思维导图

令 $Ω$ 为 $R n (n ≥ 2)$ 中的有界正则区域，考虑非齐次椭圆方程

很弱解的高阶可积性.这里假设向量场 $A : Ω × R × R n → R n$ ，平流场 $g : Ω × R → R n$ 及 $h : Ω × R → R$ 是Carathéodory函数，并且对于a.e. $x ∈ Ω$ 及 $s ∈ R$ 和 $ξ ∈ R n$ ，有

当 $g = F = 0$ 且 $h = f = 0$ 时，方程（1.1）即为齐次A-调和方程.

使得方程（1.1）的每一个很弱解 $u ∈ W l o c 1, r 1 (Ω)$ 都有 $u ∈ W l o c 1, r 2 (Ω)$ . 从而u是经典意义下的弱解.

其中 $C$ 是只依赖于 $n$ 、 $r$ 和 $Ω$ 的常数.

这里 $u R : = ∫ B R x 0 u d x = 1 B R x 0 ∫ B R x 0 u d x$ ， $C$ 为仅依赖于 $p$ 、 $q$ 和 $n$ 的正常数. 特别地，若 $u ∈ W 0 1, p (B R (x 0))$ ，则

其中 $R 0 > 0$ ， $0 ≤ τ < 1$ ，那么对 $∀ p ∈ q, q + ε 0$ ，有 $g (x) ∈ L l o c p (B)$ ，且有

其中 $B 2 R (x 0) ⊂ B$ ， $C$ 是仅依赖于 $τ$ 、 $q$ 和 $n$ 的正常数.

这里 $ϕ (x) ∈ W 0 1, r 1 - ε (B 2 R)$ 和矩阵场 $H (x) ∈ L r 1 - ε$ $(B 2 R)$ 满足

其中 $C$ 仅与 $n$ 、 $p$ 、 $r$ 有关. 令 $E (w) = ∇ w - ε ∇ w - η ∇ (u - λ) - ε η ∇ (u - λ)$ . 考虑到 $∇ w = η ∇ u + (u - λ) ∇ η$ 以及 $∇ η ≤ C / R$ ，于是由引理2.2，有

下面估计（3.2）式与（3.3）式右侧. 由 $w$ 和 $η$ 的定义，以及Minkowski不等式，有

令 $m a x 1, n r n + r ≤ t < r$ ，利用Poincaré不等式，有

其中 $C$ 仅与 $n$ 、 $p$ 、 $r$ 有关.

由于Hodge分解式（3.1）中 $ϕ (x) ∈ W 0 1, r 1 - ε (B 2 R)$ ，利用定义1.1可得

先估计（3.9）式左侧. 考虑到 $∇ (u - λ) = ∇ u$ ，由假设条件（1.2）和 $η$ 的定义，有

估计 $I 1$ . 由假设条件（1.3）、Hölder不等式、（3.7）式和Young不等式，对 $∀ θ > 0$ ，有

其中 $C$ 仅与 $n$ 、 $p$ 、 $r$ 、 $C A, 2$ 、 $C A, 3$ 和 $θ$ 有关.

估计 $I 2$ . 由（3.4）式、假设条件（1.3）、Hölder不等式和（3.5）式，利用Young不等式，对 $∀ θ > 0$ ，有

其中 $C$ 仅与 $n$ 、 $p$ 、 $r$ 、 $R$ 、 $C A, 2$ 、 $C A, 3$ 和 $θ$ 有关.

估计 $I 3$ . 由条件（1.4），类似 $I 1$ 的估计，利用Hölder不等式、（3.7）式和Young不等式，对 $∀ θ > 0$ ，有

其中 $C$ 仅与 $n$ 、 $p$ 、 $r$ 、 $R$ 、 $C g$ 和 $θ$ 有关.

估计 $I 4$ . 由条件（1.4），类似 $I 1$ 的估计，利用Hölder不等式、（3.6）式和Young不等式，对 $∀ θ > 0$ ，有

其中 $C$ 仅与 $n$ 、 $p$ 、 $r$ 、 $R$ 、 $C g$ 和 $θ$ 有关.

估计 $I 5$ . 类似 $I 4$ 的估计，由Hölder不等式、（3.6）式和Young不等式可知， $∀ θ > 0$ ，有

其中 $C$ 仅与 $n$ 、 $p$ 、 $r$ 、 $R$ 和 $θ$ 有关.

估计 $I 6$ . 类似 $I 1$ 的估计，由Hölder不等式、（3.7）式和Young不等式可知，对 $∀ θ > 0$ ，有

其中 $C$ 仅与 $n$ 、 $p$ 、 $r$ 、 $R$ 和 $θ$ 有关.

估计 $I 7$ . 由条件（1.5）、Hölder不等式、（3.8）式和Young不等式，对 $∀ θ > 0$ ，有

其中 $C$ 仅与 $n$ 、 $p$ 、 $r$ 、 $R$ 、 $C h$ 和 $θ$ 有关.

估计 $I 8$ . 类似 $I 7$ 的估计，由Hölder不等式、（3.8）式和Young不等式可知，对 $∀ θ > 0$ ，有

其中 $C$ 仅与 $n$ 、 $p$ 、 $r$ 、 $R$ 和 $θ$ 有关.

下面估计 $∫ B 2 R u r d x$ . 由Minkowski不等式、（3.5）式和Hölder不等式，有

将（3.11）式代入（3.10）式右侧之后，两边同时加上 $C A, 1 ∫ B R u r d x$ ，并两端除以 $C A, 1 R n$ ，有

令 $g = ∇ u t + u t$ ， $G = k 1 (x) r p - 1 + k 2 (x) r p - 1 + k 3 (x) r p - 1 + F x r p - 1 + f (x) r p - 1 t r$ ，对 $B 2 R ⊂ Ω$ ，有

于是由引理2.5可知，存在 $r' (r' > r)$ ，使得 $u ∈ W 1, r' (Ω)$ ，有