混合时滞惯性神经网络的固定时间投影同步

Fixed-time projective synchronization of inertial neural network with mixed time delays

摘要

研究了一类带有混合时滞、状态切换连接权重、不连续激活函数的惯性神经网络的固定时间投影同步问题.利用非降阶法、不等式放缩技巧、微分包含理论和恰当的Lyapunov函数得到了此类系统固定时间投影同步判据.所构建的切换控制器有效解决了因系统跳变对同步研究带来的不确定性难题.最后，利用数值仿真验证本文结论的可靠性.

Abstract

The problem of fixed-time projective synchronization of inertial neural networks with mixed time delays， state-switching connection weights and discontinuous activation functions（DAFs） is studied. By using non-reduction method， inequality reduction technique， differential inclusion theory and appropriate Lyapunov function， the fixed-time projective synchronization criterion of such systems is obtained. The constructed switching controller can effectively solve the uncertainty problem caused by system hopping. Finally， the reliability of the conclusions is verified by numerical simulation.

Graphical abstract

关键词

惯性神经网络 / 固定时间投影同步 / 混合时滞 / 非降阶方法 / 切换控制器

Key words

inertial neural networks / fixed-time projective synchronization / mixed delays / non-reduction method / switching controller

近些年来，人工神经网络在模式识别^［1］、联想记忆^［2］、信息处理^［3］及图像加密^［4］等领域得到广泛应用，而这些应用的前提是对神经网络的结构和动力学行为的深入研究，比如稳定性^［5］、无源性^［6］、耗散性^［7］和同步^［8］等.

同时，同步作为神经网络重要的动力学行为一直受到广大学者的广泛关注和持续研究，相关成果被陆续报道出来，如文献［9-13］. 值得指出的是，上述这些研究只关注完全同步. 事实上，驱动-响应系统按比例同步，即投影同步^［14］，它可以提供更高的网络安全性和更快的传输速度. 近几年，投影同步逐渐开始受到研究者们的重视. 另外，以往研究的大多数神经网络模型是由一阶微分方程来描述的^［9，11］，研究表明，一些生物神经元的轴突可以通过电感来模拟，这种加入了电感的神经网络模型称为惯性神经网络，其在图像处理、记忆的无序搜索等方面展现出巨大应用优势. 然而，因惯性项的存在，使得惯性神经网络更易产生不稳定的振荡、混沌等复杂的动力学响应，研究此类系统的稳定、同步等动力学行为将为其在工程应用方面奠定基础. 目前，关于惯性神经网络稳定、同步等的研究还有很多需要补充和完善的地方. 本文针对带分布时滞的依状态切换惯性神经网络，对其固定时间同步问题进行深入研究，所得结果将进一步丰富和发展惯性神经网络的理论体系.

1 本文模型

1.1 模型建立

考虑如下一类带分布式时滞的惯性神经网络模型：

\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}(j_k(t))}{\mathrm{d}{t}^{\mathrm{2}}}=-{\delta }_k\frac{\mathrm{d}\left(j_k\left(t\right)\right)}{\mathrm{d}t}-{\varpi }_k\left(j_k\left(t\right)\right)j_k\left(t\right)+{\displaystyle \sum _{r=\mathrm{1}}^L}{\iota }_{kr}(j_k\left(t\right))F_r(j_r\left(t\right))+{\displaystyle \sum _{r=\mathrm{1}}^L}{\varsigma }_{kr}\left(j_k\left(t\right)\right)F_r\left(j_r\left(t-{\tau }_r\left(t\right)\right)\right)+

{\displaystyle \sum _{r=\mathrm{1}}^L}{o}_{kr}\left(j_k\left(t\right)\right){\int }_{t-m_r\left(t\right)}^t{F}_r\left(j_r\left(t\right)\right)\mathrm{d}t+I_k,k\in H,t\ge \mathrm{0},（1）

式中：j_k(t)代表k时刻的神经元状态；\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}(j_k(t))}{\mathrm{d}{t}^{\mathrm{2}}}是惯性项；{\delta }_k>\mathrm{0}表示自反馈常数；F_r(\bullet )是不连续激活函数；{\tau }_r\left(t\right)和m_r\left(t\right)分别为离散时滞和分布时滞，其中\mathrm{0}\le {\tau }_r\left(t\right)\le {\tau }_r,\mathrm{0}\le m_r\left(t\right)\le m_r；I_k代表外部输入；{\varpi }_k\left(j_k\left(t\right)\right),{\iota }_{kr}\left(j_k\left(t\right)\right),{\varsigma }_{kr}\left(j_k\left(t\right)\right),o_{kr}\left(j_k\left(t\right)\right)为状态切换连接权重，取值如下：

\begin{array}{c}{\varpi }_k\left(j_k\left(t\right)\right)=\left\{\begin{array}{c}{{\varpi }_k}^{*},\left|j_k\left(t\right)\right|\le {\mathrm{\Gamma }}_k\\ {{\varpi }_k}^{**},\left|j_k\left(t\right)\right|>{\mathrm{\Gamma }}_k\end{array}\right.,\\ {\iota }_{kr}\left(j_k\left(t\right)\right)=\left\{\begin{array}{c}{{\iota }_k}^{*},\left|j_k\left(t\right)\right|\le {\mathrm{\Gamma }}_k\\ {{\iota }_k}^{**},\left|j_k\left(t\right)\right|>{\mathrm{\Gamma }}_k\end{array}\right.,\\ {\varsigma }_{kr}\left(j_k\left(t\right)\right)=\left\{\begin{array}{c}{{\varsigma }_{kr}}^{*},\left|j_k\left(t\right)\right|\le {\mathrm{\Gamma }}_k\\ {{\varsigma }_{kr}}^{**},\left|j_k\left(t\right)\right|>{\mathrm{\Gamma }}_k\end{array}\right.,\\ o_{kr}\left(j_k\left(t\right)\right)=\left\{\begin{array}{c}{o_{kr}}^{*},\left|j_k\left(t\right)\right|\le {\mathrm{\Gamma }}_k\\ {o_{kr}}^{**},\left|j_k\left(t\right)\right|>{\mathrm{\Gamma }}_k\end{array},\right.\end{array}（2）

这里，切换开关{\mathrm{\Gamma }}_k>\mathrm{0},{{\varpi }_k}^{*}>\mathrm{0},{{\varpi }_k}^{**}>\mathrm{0},并且{{\iota }_k}^{*}，{{\iota }_k}^{**},{{\varsigma }_{kr}}^{*},{{\varsigma }_{kr}}^{**},{o_{kr}}^{*},{o_{kr}}^{**},k,r\in H都是常数.惯性神经网络（1）的初始位置为j_k\left(s\right)={\varphi }_k\left(s\right)，\stackrel{.}{j_k}\left(s\right)={\phi }_k\left(s\right),k\in H,s\in \left[-\beta ,\mathrm{0}\right],且{\varphi }_k\left(s\right),{\phi }_k\left(s\right)\in C([-\beta ,\mathrm{0}],\mathrm{ℛ}).

惯性神经网络（1）的响应系统如下：

\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}(l_k(t))}{\mathrm{d}{t}^{\mathrm{2}}}=-{\delta }_k\frac{\mathrm{d}\left(l_k\left(t\right)\right)}{\mathrm{d}t}-{\varpi }_k\left(l_k\left(t\right)\right)l_k\left(t\right)+{\displaystyle \sum _{r=\mathrm{1}}^L}{\iota }_{kr}\left(l_k\left(t\right)\right)F_r\left(l_r\left(t\right)\right)+{\displaystyle \sum _{r=\mathrm{1}}^L}{\varsigma }_{kr}\left(l_k\left(t\right)\right)F_r\left(l_r\left(t-{\tau }_r\left(t\right)\right)\right)+

{\displaystyle \sum _{r=\mathrm{1}}^L}{o}_{kr}\left(l_k\left(t\right)\right){\int }_{t-m_r\left(t\right)}^t{F}_r\left(l_r\left(t\right)\right)\mathrm{d}t+I_k+u_k(t),k\in H,t\ge \mathrm{0},（3）

这里，l_k(t)代表k时刻的神经元状态，u_k(t)代表控制器，其他系数与（1）式中相同.令惯性神经网络（3）的初始条件为：l_k\left(s\right)={\chi }_k\left(s\right)，\stackrel{.}{l_k}\left(s\right)={\psi }_k\left(s\right),k\in H,s\in [-\beta ,\mathrm{0}],且{\chi }_k\left(s\right),{\psi }_k\left(s\right)\in C([-\beta ,\mathrm{0}],\mathrm{ℛ}).

1.2 基本假设

假设1 对于\forall r\in H,F_r(.)\in C(\mathrm{ℛ}\backslash Q,\mathrm{ℛ})，其中集合Q由有限个数的不连续点p_{q_r}^r组成，其中q_r\in N_{+}，它具有右极限F_r(p_{q_r}^{r+})和左极限F_r(p_{q_r}^{r-}).

假设2 对于\forall r\in H，存在M_r>\mathrm{0}，使得F_r(.)\le M_r，并且有：

\mathrm{s}\mathrm{u}{\mathrm{p}}_{{\mathrm{a}}_{\mathrm{r}}\in \mathrm{K}\left[{\mathrm{F}}_{\mathrm{r}}(\mp )\right],{\mathrm{b}}_{\mathrm{r}}\in \mathrm{K}\left[{\mathrm{F}}_{\mathrm{r}}(\pm )\right]}|a_r-b_r|\le {\mathrm{\Lambda }}_r|\mp -\pm |+{\mathrm{\Delta }}_r,这里\mp ,\pm \in \mathrm{ℛ},{\mathrm{\Lambda }}_r\ge \mathrm{0},{\mathrm{\Delta }}_r\ge \mathrm{0},

K\left[F_r\left(\mp \right)\right]=\left\{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left\{F_r\left({\mp }^{-}\right),F_r\left({\mp }^{+}\right)\right\},\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{F_r\left({\mp }^{-}\right),F_r\left({\mp }^{+}\right)\right\}\right\},

K\left[F_r\left(\pm \right)\right]=\left\{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left\{F_r\left({\pm }^{-}\right),F_r\left({\pm }^{+}\right)\right\},\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{F_r\left({\pm }^{-}\right),F_r\left({\pm }^{+}\right)\right\}\right\}.

本文中，由于系统不连续，所以引入Filippov解.由微分包容理论，可得：

\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}(j_k(t))}{\mathrm{d}{t}^{\mathrm{2}}}+{\delta }_k\frac{\mathrm{d}\left(j_k\left(t\right)\right)}{\mathrm{d}t}\in -co[{\varpi }_k\left(j_k\left(t\right)\right)]j_k\left(t\right)+\\ {\displaystyle \sum _{r=\mathrm{1}}^L}co[{\iota }_{kr}(j_k\left(t\right))]K[F_r(j_r\left(t\right))]+\\ {\displaystyle \sum _{r=\mathrm{1}}^L}co[{\varsigma }_{kr}\left(j_k\left(t\right)\right)]K[F_r\left(j_r\left(t-{\tau }_r\left(t\right)\right)\right)]+\\ {\displaystyle \sum _{r=\mathrm{1}}^L}co[o_{kr}\left(j_k\left(t\right)\right)]{\int }_{t-m_r\left(t\right)}^{t}K[F_r\left(j_r\left(t\right)\right)]\mathrm{d}t+I_k,\\ k\in H,t\ge \mathrm{0},\end{array}（4）

即，存在{\mathrm{\Phi }}_r\left(t\right)\in K\left[F_r(j_r\left(t\right))\right],{\varpi }_k\left(t\right)\in co\left[{\varpi }_k(j_k\left(t\right)\right]=co\left[{{\varpi }_k}^{*},{{\varpi }_k}^{**}\right],{\iota }_{kr}\left(t\right)\in co\left[{\iota }_{kr}(j_k\left(t\right)\right]=co\left[{{\iota }_{kr}}^{*},{{\iota }_{kr}}^{**}\right]，{\varsigma }_{kr}\left(t\right)\in co\left[{\varsigma }_{kr}(j_k\left(t\right)\right]=co\left[{{\varsigma }_{kr}}^{*},{{\varsigma }_{kr}}^{**}\right],o_{kr}\left(t\right)\inco\left[o_{kr}(j_k\right.

\left.\left(t\right)\right]=co\left[{o_{kr}}^{*},{o_{kr}}^{**}\right].

对于任意的t\ge \mathrm{0}，有：

\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}(j_k(t))}{\mathrm{d}{t}^{\mathrm{2}}}+{\delta }_k\frac{\mathrm{d}\left(j_k\left(t\right)\right)}{\mathrm{d}t}\in -{\varpi }_k\left(t\right)j_k\left(t\right)+\\ {\displaystyle \sum _{r=\mathrm{1}}^L}{\iota }_{kr}(t){\Phi }_r\left(t\right)+{\displaystyle \sum _{r=\mathrm{1}}^L}{\varsigma }_{kr}\left(t\right){\Phi }_r\left(t-{\tau }_r\left(t\right)\right)+\\ {\displaystyle \sum _{r=\mathrm{1}}^L}{o}_{kr}\left(t\right){\int }_{t-m_r\left(t\right)}^t{\mathrm{\Phi }}_r\left(t\right)\mathrm{d}t+I_k,k\in H,t\ge \mathrm{0},\end{array}（5）

这里，当F_r(j_r\left(t\right)在j_r\left(t\right)处连续时，K[F_r\left(j_r\left(t\right)\right)]=F_r\left(j_r\left(t\right)\right),co\left[{\varpi }_k\left(j_k\left(t\right)\right)\right]={\varpi }_k\left(j_k\left(t\right)\right).

定义1 函数\tilde{I}\left(t\right)=({\tilde{I}}_{\mathrm{1}}\left(t\right),{\tilde{I}}_{\mathrm{2}}\left(t\right),\dots ,{\tilde{I}}_l{\left(t\right))}^{\mathrm{T}}是惯性神经网络（1）的Filippov解，并且初始位置是J_k\left(s\right)={\varphi }_k\left(s\right)，\dot{J}\left(s\right)={\phi }_k\left(s\right),k\in H,s\in \left[-\beta ,\mathrm{0}\right]，且{\varphi }_k\left(s\right)，{\phi }_k\left(s\right)\in C(\left[-\beta ,\mathrm{0}\right],\mathrm{ℛ}).由于，L是紧区间，且\forall L\subset[\mathrm{0},+\mathrm{\infty })，那么绝对连续函数\tilde{I}\left(t\right)满足系统（4）和（5）.

1.3 误差系统的表述和控制器的设计

令E_k\left(t\right)表示误差系统，并且E_k\left(t\right)=l_k\left(t\right)-\varrho j_k\left(t\right)，其中\varrho表示投影参数，\varrho \in N_{+},k\in H,t\ge \mathrm{0}.因此，得到误差系统的表达式：

\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}{E}_k(t)}{\mathrm{d}{t}^{\mathrm{2}}}=-{\delta }_k\frac{\mathrm{d}{E}_k\left(t\right)}{\mathrm{d}{t}^{\mathrm{2}}}-{\varpi }_k\left(l_k(t)\right)l_k\left(t\right)+\\ \varrho {\varpi }_k\left(j_k\left(t\right)\right)j_k\left(t\right)+\\ {\displaystyle \sum _{r=\mathrm{1}}^L}\left[{\iota }_{kr}\left(l_k\right)F_r\left(l_r\left(t\right)\right)-\varrho {\iota }_{kr}\left(j_k\right)F_r\left(j_r\left(t\right)\right)\right]+\\ {\displaystyle \sum _{r=\mathrm{1}}^L}\left[{\varsigma }_{kr}\left(l_k(t)\right)F_r\left(l_r\left(t-{\tau }_r(t)\right)\right)-\varrho {\varsigma }_{kr}\left(j_k\left(t\right)\right)F_r\left(j_r\left(t-{\tau }_r\left(t\right)\right)\right)\right]+{\displaystyle \sum _{r=\mathrm{1}}^L}[o_{kr}\left(l_k\left(t\right)\right)\bullet \\ {\int }_{t-m_r\left(t\right)}^t{F}_r\left(l_r\left(t\right)\right)\mathrm{d}t-\varrho o_{kr}\left(j_k\left(t\right)\right){\int }_{t-m_r\left(t\right)}^t{F}_r\left(j_r\left(t\right)\right)]\mathrm{d}t+\\ \left(\mathrm{1}-\varrho \right)I_k\left(t\right)+u_k\left(t\right),t\ge \mathrm{0},k\in H,\end{array}（6）

杂合控制器u_k\left(t\right)设计如下：

u_k\left(t\right)={\nu }_k\left(t\right)+{\omega }_k\left(t\right),（7）

{\nu }_k\left(t\right)是带有状态切换的杂合控制器：

{\nu }_k(t)=\left\{\begin{array}{c}{\sum }_{r=\mathrm{1}}^L\varrho {\iota }^{*}{F}_r\left(j_r\left(t\right)\right)-{\sum }_{r=\mathrm{1}}^L{\iota }^{*}{F}_r\left(\varrho (j_r\left(t\right))\right),\mathrm{若}\left|j_k\left(\mathrm{t}\right)\right|\le {\mathrm{\Gamma }}_k,\left|l_k\left(t\right)\right|\le {\mathrm{\Gamma }}_k,\\ {\sum }_{r=\mathrm{1}}^L\varrho {\iota }^{**}{F}_r\left(j_r\left(t\right)\right)-{\sum }_{r=\mathrm{1}}^L{\iota }^{**}{F}_r\left(\varrho (j_r\left(t\right))\right),\mathrm{若}\left|j_k\left(\mathrm{t}\right)\right|>{\mathrm{\Gamma }}_k,\left|l_k\left(t\right)\right|>{\mathrm{\Gamma }}_k,\\ {\sum }_{r=\mathrm{1}}^L\varrho {\iota }^{*}{F}_r\left(j_r\left(t\right)\right)-{\sum }_{r=\mathrm{1}}^L{\iota }^{**}{F}_r\left(\varrho (j_r\left(t\right))\right)+\varrho ({\varpi }_k^{**}-{\varpi }_k^{*})j_k(t),\mathrm{若}\left|j_k\left(\mathrm{t}\right)\right|\le {\mathrm{\Gamma }}_k,\left|l_k\left(t\right)\right|>{\mathrm{\Gamma }}_k,\\ {\sum }_{r=\mathrm{1}}^L\varrho {\iota }^{**}{F}_r\left(j_r\left(t\right)\right)-{\sum }_{r=\mathrm{1}}^L{\iota }^{*}{F}_r\left(\varrho (j_r\left(t\right))\right)+\varrho ({\varpi }_k^{*}-{\varpi }_k^{**})j_k(t),\mathrm{若}\left|j_k\left(\mathrm{t}\right)\right|>{\mathrm{\Gamma }}_k,\left|l_k\left(t\right)\right|\le {\mathrm{\Gamma }}_k.\end{array}\right.（8）

{\omega }_k\left(t\right)=-{\xi }_k{E}_k\left(t\right)-{\zeta }_k{\dot{E}}_k\left(t\right)-sign({\dot{E}}_k\left(t\right))[{\rho }_k+{\theta }_k{\left|E_k\left(t\right)\right|}^{\epsilon }+{\nu }_k{\left|{\dot{E}}_k\left(t\right)\right|}^{\epsilon }+{\gamma }_k{\left|E_k\left(t\right)\right|}^{\tau }+{\mu }_k{\left|{\dot{E}}_k\left(t\right)\right|}^{\tau }],（9）

这里，同时{\xi }_k,{\zeta }_k,{\theta }_k,{\nu }_k,{\gamma }_k,{\mu }_k,{\rho }_k>\mathrm{0},k\in H.

注1 控制器（7）去掉了文献［11］中的限制条件，同时，还可以简化成如下形式：

u_k\left(t\right)={\widehat{\nu }}_k\left(t\right)+{\omega }_k\left(t\right),（10）

{\widehat{\nu }}_k\left(t\right)=\left\{\begin{array}{c}\varrho \left({\varpi }_k^{**}-{\varpi }_k^{*}\right)j_k\left(\mathrm{t}\right),\mathrm{若}\left|j_k\left(\mathrm{t}\right)\right|\le {\mathrm{\Gamma }}_k,\left|l_k\left(t\right)\right|>{\mathrm{\Gamma }}_k,\\ \varrho \left({\varpi }_k^{**}-{\varpi }_k^{*}\right)j_k\left(\mathrm{t}\right),\mathrm{若}\left|j_k\left(\mathrm{t}\right)\right|>{\mathrm{\Gamma }}_k,\left|l_k\left(t\right)\right|\le {\mathrm{\Gamma }}_k,\end{array}\right.（11）

其中，{\omega }_k\left(t\right)保持不变.

1.4 投影同步的定义和引理

定义2 如果{\rm T}\left(l^{*}(\mathrm{0}),\tilde{j}(\mathrm{0})\right)>\mathrm{0}成立，这里存在镇定时间{{\rm T}}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}>\mathrm{0}，使得{\rm T}\left(l^{*}(\mathrm{0}),\tilde{j}(\mathrm{0})\right)\le {{\rm T}}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}，并且\underset{t\to {{\rm T}}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}‖l^{*}\left(t\right)-\varrho \tilde{j}(t)‖=\mathrm{0}，其中：

l^{*}\left(t\right)={\left(l_{\mathrm{1}}\left(t\right),l_{\mathrm{2}}\left(t\right),\dots l_l\left(t\right),\stackrel{.}{l_{\mathrm{1}}}\left(t\right),\stackrel{.}{l_{\mathrm{2}}}\left(t\right),\dots ,\stackrel{.}{l_l}\left(t\right)\right)}^{\mathrm{T}},

\tilde{j}\left(t\right)={\left(j_{\mathrm{1}}\left(t\right),j_{\mathrm{2}}\left(t\right),\dots j_l\left(t\right),\stackrel{.}{j_{\mathrm{1}}}\left(t\right),\stackrel{.}{j_{\mathrm{2}}}\left(t\right),\dots ,\stackrel{.}{j_l}\left(t\right)\right)}^{\mathrm{T}},

l_k\left(t\right),\stackrel{.}{l_k}\left(t\right),j_k\left(t\right),\stackrel{.}{j_k}\left(t\right)\in \mathrm{ℛ},k\in H,t\ge \mathrm{0},

那么驱动系统（1）和响应系统（3）就称为固定时间投影同步.

引理1^［14］ 下面的微分包含系统可以表示在杂合控制器u_k\left(t\right)控制下的误差系统（6）.

\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}{E}_k(t)}{\mathrm{d}{t}^{\mathrm{2}}}+{\delta }_k\frac{\mathrm{d}{E}_k\left(t\right)}{\mathrm{d}{t}^{\mathrm{2}}}\in -co({\varpi }_k^{*}-{\varpi }_k^{**})E_k\left(t\right)+

{\displaystyle \sum _{r=\mathrm{1}}^L}co({\iota }_{kr}^{*},{\iota }_{kr}^{**})\times K\left[F_r\left(l_r\left(t\right)\right)-F_r\left(\varrho (j_r\left(t\right))\right)\right]+

{\displaystyle \sum _{r=\mathrm{1}}^L}co({\varsigma }_{kr}^{*},{\varsigma }_{kr}^{**})\times K\left[F_r\left(l_r\left(t-{\tau }_r(t)\right)\right)-F_r\left(\varrho (j_r\left(t-{\tau }_r(t)\right))\right)\right]+

{\displaystyle \sum _{r=\mathrm{1}}^L}co(o_{kr}^{*},o_{kr}^{**})\times {\int }_{t-m_r\left(t\right)}^{t}K[F_r\left(l_r\left(t\right)\right)-F_r\left(\varrho (j_r\left(t\right))\right)]\mathrm{d}t+K[{\omega }_k\left(t\right)],t\ge \mathrm{0},k\in H.（12）

引理2^［15］ 假设V(.)在C^{\mathrm{1}}({\mathrm{ℛ}}^{\mathrm{2}d},[\mathrm{0},+\mathrm{\infty }))上径向无界，且V\left(\tilde{E}\left(t\right)\right)=\mathrm{0}\rightleftharpoons \tilde{E}\left(t\right)=\mathrm{0},并且系统（6）的解满足\frac{\mathrm{d}V(\tilde{E}\left(t\right))}{\mathrm{d}t}\le -ϵ+\upsilon V\left(\tilde{E}\left(t\right)\right)-\mathrm{\Im }V{\left(\tilde{E}\left(t\right)\right)}^{\epsilon }-hV{\left(\tilde{E}\left(t\right)\right)}^{\sigma },那么驱动系统（1）和响应系统（3）达到固定时间投影同步，其中， ,\stackrel{.}{E_{\mathrm{1}}}\left(t\right)，{\stackrel{.}{E_{\mathrm{2}}}\left(t\right),\dots ,\stackrel{.}{E_l}\left(t\right))}^{\mathrm{T}}.镇定时间的计算公式如下：

{{\rm T}}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=\frac{{\mathrm{2}}^{\sigma -\mathrm{1}}[{(h-\upsilon )}^{\frac{\mathrm{1}}{\sigma }}+{ϵ}^{\frac{\mathrm{1}}{\sigma }}{]}^{\mathrm{1}-\sigma }}{{\left(h-\upsilon \right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\sigma }}(\sigma -\mathrm{1})}+\frac{[{\left(\mathrm{\Im }-\upsilon \right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\epsilon }}+{ϵ}^{\frac{\mathrm{1}}{\epsilon }}{]}^{\mathrm{1}-\epsilon }-{ϵ}^{\frac{\mathrm{1}-\epsilon }{\epsilon }}}{{\left(\mathrm{\Im }-\upsilon \right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\epsilon }}(\mathrm{1}-\epsilon )}.

引理3^［13］ 假设k_{\mathrm{1}},k_{\mathrm{2}},\dots ,k_l\ge \mathrm{0},s_{\mathrm{1}}>\mathrm{1},同时那么：

{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^L}{k}_n^{s_{\mathrm{1}}}\ge L^{\mathrm{1}-s_{\mathrm{1}}}\bullet {\left({\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^L}{k}_n\right)}^{s_{\mathrm{1}}},{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^L}{k}_n^{s_{\mathrm{2}}}\ge {\left({\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^L}{k}_n\right)}^{s_{\mathrm{2}}}.

引理4^［16］ 假设C-正则函数V\left(l\right):{\mathrm{ℛ}}^{\mathrm{2}d}\mapsto \mathrm{ℛ},l(t)是一个绝对连续函数.对于[\mathrm{0},+\mathrm{\infty })每一个紧区间L，都有V\left(l\right):{\mathrm{ℛ}}^{\mathrm{2}d}\mapsto \mathrm{ℛ}是可微的，并且对于\forall t\in [\mathrm{0},+\mathrm{\infty })，有：

\frac{\mathrm{d}V(l(t))}{\mathrm{d}t}={\mathrm{\mho }}^{\mathrm{T}}\left(t\right)\dot{l}\left(t\right),\forall \mathrm{\mho }\left(t\right)\in \partial V\left(l\left(t\right)\right).

2 驱动系统（1）和响应系统（3）的固定时间投影同步

本节给出了驱动系统（1）和响应系统（3）之间固定时间投影同步的结果.

定理1 若假设1和假设2成立，，{\rho }_k>{∆}_r+\mathrm{2}L{M}_r\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}{\varsigma }_{kr}+\mathrm{2}L{M}_r\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}{o}_{kr}{m}_r\left(t\right)，那么驱动系统（1）和响应系统（3）在杂合控制器u_k(t)的作用下达到固定时间投影同步，计算公式如下：

\upsilon =\underset{\mathrm{1}\le k\le L}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\left\{\mathrm{1}-{\delta }_k-{\zeta }_k,{\varpi }_k\left(t\right)+{\xi }_k+{\mathrm{\Lambda }}_k\right\},（13）

\mathrm{\Im }=\underset{\mathrm{1}\le k\le L}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\left\{{\theta }_k,{\nu }_k\right\},（14）

h={(\mathrm{2}L)}^{\mathrm{1}-\tau }\bullet \underset{\mathrm{1}\le k\le L}{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\left\{{\gamma }_k,{\mu }_k\right\},（15）

ϵ={\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^L}({\rho }_k-{\Delta }_r-\mathrm{2}L{M}_{r}max{\varsigma }_{kr}-\mathrm{2}L{M}_{r}max{o}_{kr}{m}_r).（16）

证明 定义一个C-正则函数：

V\left(t\right)={\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^L}(|{\dot{E}}_k(t)|+|E_k\left(t\right)|),

然后对该函数进行求导：

\frac{\mathrm{d}V\left(t\right)}{\mathrm{d}t}={\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^L}\left\{{\dot{E}}_k(t)\bullet {\varphi }_k\left(t\right)+{\ddot{E}}_k\left(t\right)\bullet {\mathrm{R}}_k\left(t\right)\right\}=

{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^L}\{{\dot{E}}_k(t)\bullet {\varphi }_k\left(t\right)+(-{\delta }_k\frac{\mathrm{d}{E}_k\left(t\right)}{\mathrm{d}{t}^{\mathrm{2}}}-{\varpi }_k\left(l_k\left(t\right)\right)l_k\left(t\right)+\varrho {\varpi }_k\left(j_k\left(t\right)\right)j_k\left(t\right)+

{\displaystyle \sum _{r=\mathrm{1}}^L}\left[{\iota }_{kr}\left(l_k\right)F_r\left(l_r\left(t\right)\right)-\varrho {\iota }_{kr}\left(j_k\right)F_r\left(j_r\left(t\right)\right)\right]+

{\displaystyle \sum _{r=\mathrm{1}}^L}\left[{\varsigma }_{kr}\left(l_k\left(t\right)\right)F_r\left(l_r\left(t-{\tau }_r\left(t\right)\right)\right)-\varrho {\varsigma }_{kr}\left(j_k\left(t\right)\right)F_r\left(j_r\left(t-{\tau }_r\left(t\right)\right)\right)\right]+

{\displaystyle \sum _{r=\mathrm{1}}^L}\left[{\int }_{t-m_r\left(t\right)}^t{o}_{kr}\left(t\right)F_r\left(l_r\left(t\right)\right)\mathrm{d}t-\varrho {\int }_{t-m_r\left(t\right)}^t{o}_{kr}\left(t\right)F_r\left(j_r\left(t\right)\right)\mathrm{d}t\right]+

\left(\mathrm{1}-\varrho \right)I_k\left(t\right)u_k\left(t\right)\bullet {\mathrm{R}}_k\left(t\right)\} =

{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^L}\{{\dot{E}}_k\left(t\right)\bullet {\varphi }_k\left(t\right)+R_k(t)(-{\delta }_k\frac{\mathrm{d}{E}_k\left(t\right)}{\mathrm{d}{t}^{\mathrm{2}}}-{\varpi }_k(t)E_k\left(t\right)+

{\displaystyle \sum _{r=\mathrm{1}}^L}\left[{\iota }_{kr}\left(t\right)F_r\left(l_r\left(t\right)\right)-{\iota }_{kr}\left(t\right)F_r\left(\varrho (j_r\left(t\right))\right)\right]+

{\displaystyle \sum _{r=\mathrm{1}}^L}{\varsigma }_{kr}\left(t\right)\left[F_r\left(l_r\left(t-{\tau }_r\left(t\right)\right)\right)-\varrho F_r\left(j_r\left(t-{\tau }_r\left(t\right)\right)\right)\right]+

\begin{array}{c}{\displaystyle \sum _{r=\mathrm{1}}^L}{o}_{kr}\left(t\right)\left[{\int }_{t-m_r\left(t\right)}^t{F}_r\left(l_r\left(t\right)\right)\mathrm{d}t-\varrho {\int }_{t-m_r\left(t\right)}^t{F}_r\left(j_r\left(t\right)\right)\mathrm{d}t\right]+\\ \left(\mathrm{1}-\varrho \right)I_k\left(t\right)+{\tilde{\omega }}_k(t)\}.\end{array}（17）

在杂合控制器（7）的作用下得到：

K\left[{\omega }_k\left(t\right)\right]=-{\xi }_k{E}_k\left(t\right)-{\zeta }_k{\dot{E}}_k\left(t\right)-co\left[\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}\left({\dot{E}}_k\left(t\right)\right)\right]\left[{\rho }_k+{\theta }_k{\left|E_k\left(t\right)\right|}^{\epsilon }+{\nu }_k{\left|{\dot{E}}_k\left(t\right)\right|}^{\epsilon }+{\gamma }_k{\left|E_k\left(t\right)\right|}^{\tau }+{\mu }_k{\left|{\dot{E}}_k\left(t\right)\right|}^{\tau }\right],

{\tilde{\omega }}_k\left(t\right)=-{\xi }_k{E}_k\left(t\right)-{\zeta }_k{\dot{E}}_k\left(t\right)-{\mathrm{R}}_k\left(t\right)\left[{\rho }_k+{\theta }_k{\left|E_k\left(t\right)\right|}^{\epsilon }+{\nu }_k{\left|{\dot{E}}_k\left(t\right)\right|}^{\epsilon }+{\gamma }_k{\left|E_k\left(t\right)\right|}^{\tau }+{\mu }_k{\left|{\dot{E}}_k\left(t\right)\right|}^{\tau }\right].（18）

根据公式（17）和（18），有：

\frac{\mathrm{d}V\left(t\right)}{\mathrm{d}t}={\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^L}\{{\dot{E}}_k\left(t\right)\bullet {\varphi }_k\left(t\right)+R_k\left(t\right)\bullet [-\left({\delta }_k+{\zeta }_k\right){\dot{E}}_k\left(t\right)-\left({\varpi }_k+{\xi }_k\right)E_k\left(t\right)+

\begin{array}{c}{\displaystyle \sum _{r=\mathrm{1}}^L}\left[{\iota }_{kr}\left(t\right)F_r\left(l_r\left(t\right)\right)-{\iota }_{kr}\left(t\right)F_r\left(\varrho (j_r\left(t\right))\right)\right]+\\ {\displaystyle \sum _{r=\mathrm{1}}^L}{\varsigma }_{kr}\left(t\right)\left[F_r\left(l_r\left(t-{\tau }_r\left(t\right)\right)\right)-\varrho F_r\left(j_r\left(t-{\tau }_r\left(t\right)\right)\right)\right]+\end{array}

\begin{array}{c}{\displaystyle \sum _{r=\mathrm{1}}^L}{o}_{kr}\left(t\right)\left[{\int }_{t-m_r\left(t\right)}^t{F}_r\left(l_r\left(t\right)\right)\mathrm{d}t-\varrho {\int }_{t-m_r\left(t\right)}^t{F}_r\left(j_r\left(t\right)\right)\mathrm{d}t\right]+\\ \left(\mathrm{1}-\varrho \right)I_k-{\rho }_k-{\left|E_k\left(t\right)\right|}^{\epsilon }{\theta }_k-{\nu }_k{\left|{\dot{E}}_k\left(t\right)\right|}^{\epsilon }-\end{array}

-{\gamma }_k{\left|E_k\left(t\right)\right|}^{\tau }-{\mu }_k{\left|{\dot{E}}_k\left(t\right)\right|}^{\tau }]\}\le

{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^L}\{\left|{\dot{E}}_k\left(t\right)\right|\left(\mathrm{1}-{\delta }_k-{\zeta }_k\right)+\left|E_k\left(t\right)\right|\left({\varpi }_k\left(t\right)+{\xi }_k+{\mathrm{\Lambda }}_k\right)+\mathrm{2}L{M}_{r}max{\varsigma }_{kr}+

\mathrm{2}L\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}{o}_{kr}{m}_r{M}_r+{\mathrm{\Delta }}_r-{\rho }_k-{\theta }_k{\left|E_k\left(t\right)\right|}^{\epsilon }-{\nu }_k{\left|{\dot{E}}_k\left(t\right)\right|}^{\epsilon }-{\gamma }_k{\left|E_k\left(t\right)\right|}^{\tau }-{\mu }_k{\left|{\dot{E}}_k\left(t\right)\right|}^{\tau }\}\le

\upsilon {\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^L}\left(\left|\stackrel{.}{E_k}\left(t\right)\right|+\left|E_k\left(t\right)\right|\right)-{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^L}\left({\left|E_k\left(t\right)\right|}^{\epsilon }{\theta }_k+{\nu }_k{\left|{\dot{E}}_k\left(t\right)\right|}^{\epsilon }+{\gamma }_k{\left|E_k\left(t\right)\right|}^{\tau }+{\mu }_k{\left|{\dot{E}}_k\left(t\right)\right|}^{\tau }\right)-ϵ\le

\upsilon {\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^L}\left(\left|\stackrel{.}{E_k}\left(t\right)\right|+\left|E_k\left(t\right)\right|\right)-{\theta }_k{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^L}{\left(\left|E_k\left(t\right)\right|\right)}^{\epsilon }-{\nu }_k{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^L}{\left({\dot{E}}_k\left(t\right)|\right)}^{\epsilon }-{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}-\tau }\bullet {\gamma }_k{\left({\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^L}\left|E_k\left(t\right)\right|\right)}^{\tau }-{\mathrm{1}}^{\mathrm{1}-\tau }\bullet

{\mu }_k{\left({\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^L}\left|\stackrel{.}{E_k}\left(t\right)\right|\right)}^{\tau }\le \upsilon V\left(t\right)-\mathrm{\Im }V{\left(t\right)}^{\epsilon }-hV{\left(t\right)}^{\sigma }-ϵ.（19）

此时，根据引理1可以得到驱动系统（1）和响应系统（3）在控制器（7）的作用下达到固定时间投影同步，另外，镇定时间是{{\rm T}}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}.

推论1 （1）当投影参数\varrho \ne \mathrm{0,1},-\mathrm{1}时，驱动系统（1）和响应系统（3）达到固定时间投影同步；

（2）当投影参数\varrho =\mathrm{1}时，驱动系统（1）和响应系统（3）达到固定时间完全同步；

（3）当投影参数\varrho =-\mathrm{1}时，驱动系统（1）和响应系统（3）达到固定时间反同步；

（4）当投影参数\varrho =\mathrm{0}时，驱动系统（1）达到镇定.

注2 实际上，把{\omega }_k(t)替换成{\omega }_k^{*}(t)，也可以研究预设时间投影同步：

{\omega }_k^{*}\left(t\right)=-{\xi }_k{E}_k\left(t\right)-{\zeta }_k\stackrel{.}{E_k}\left(t\right)-

\frac{{{\rm T}}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}{{{\rm T}}_p}\left\{\left[{\left|E_k\left(t\right)\right|}^{\epsilon }{\theta }_k+{\nu }_k{\left|{\dot{E}}_k\left(t\right)\right|}^{\epsilon }+{\gamma }_k{\left|E_k\left(t\right)\right|}^{\tau }+{\mu }_k{\left|{\dot{E}}_k\left(t\right)\right|}^{\tau }+{ϵ}_k+\frac{{{\rm T}}_p}{{{\rm T}}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}{\mathrm{\mho }}_k\right]\bullet \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}\left(\stackrel{.}{E_k}\left(t\right)\right)\right\}+

\upsilon (\frac{{{\rm T}}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}{{{\rm T}}_p}-\mathrm{1})[{\dot{E}}_k\left(t\right)+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{n}\left(\stackrel{.}{E_k}\left(t\right)\right)\bullet \left|E_k\left(t\right)\right|].

3 仿真模拟

例1 如下是二维惯性神经网络：

\left\{\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}{j}_{\mathrm{1}}(t)}{\mathrm{d}t}=-\mathrm{0.8}\frac{\mathrm{d}{j}_{\mathrm{1}}\left(t\right)}{\mathrm{d}t}-{\varpi }_{\mathrm{1}}\left(j_{\mathrm{1}}\left(t\right)\right)j_{\mathrm{1}}\left(t\right)+{\sum }_{k=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\iota }_{\mathrm{1}r}\left(j_{\mathrm{1}}\left(t\right)\right)F_r\left(j_r\left(t\right)\right)+{\sum }_{k=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\varsigma }_{\mathrm{1}r}\left(j_{\mathrm{1}}\left(t\right)\right)F_r\left(j_r\left(t-{\tau }_r\left(t\right)\right)\right)+\\ {\sum }_{k=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{o}_{\mathrm{1}r}\left(j_{\mathrm{1}}\left(t\right)\right){\int }_{t-m_r\left(t\right)}^t{F}_r\left(j_r\left(t\right)\right)\mathrm{d}t,\\ \frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}{j}_{\mathrm{2}}\left(t\right)}{\mathrm{d}t}=-\mathrm{1.4}\frac{\mathrm{d}{j}_{\mathrm{2}}\left(t\right)}{\mathrm{d}t}-{\varpi }_{\mathrm{2}}\left(j_{\mathrm{2}}\left(t\right)\right)j_{\mathrm{2}}\left(t\right)+{\sum }_{k=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\iota }_{\mathrm{2}r}\left(j_{\mathrm{2}}\left(t\right)\right)F_r\left(j_r\left(t\right)\right)+{\sum }_{k=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\varsigma }_{\mathrm{2}r}\left(j_{\mathrm{2}}\left(t\right)\right)F_r\left(j_r\left(t-{\tau }_r\left(t\right)\right)\right)+\\ {\sum }_{k=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{o}_{\mathrm{2}r}\left(j_{\mathrm{2}}\left(t\right)\right){\int }_{t-m_r\left(t\right)}^t{F}_r\left(j_r\left(t\right)\right)\mathrm{d}t.\end{array}\right.（20）

系统（20）的不连续激活函数如下：

\left\{\begin{array}{c}{F}_r\left(j_r\left(t\right)\right)=\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(j_r\left(t\right)\right)+\mathrm{0.03},j_r\left(t\right)\le \mathrm{0},\\ F_r\left(j_r\left(t\right)\right)=\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}\left(j_r\left(t\right)\right)-\mathrm{0.04},j_r\left(t\right)>\mathrm{0},r=\mathrm{1,2},\end{array}\right.（21）

这里，{\tau }_r\left(t\right)=\mathrm{1},m_r\left(t\right)=\frac{{\mathrm{e}}^t}{\mathrm{1}+{\mathrm{e}}^t}.

相位图的初始位置为{\varphi }_{\mathrm{1}}\left(s\right)=-\mathrm{0.85},{\varphi }_{\mathrm{2}}\left(s\right)=\mathrm{0.7}，{\phi }_{\mathrm{1}}\left(s\right)=\mathrm{0.9},{\phi }_{\mathrm{2}}\left(s\right)=\mathrm{0.6},\forall s\in \left[-\mathrm{1,0}\right),根据驱动系统（20），响应系统如下：

\left\{\begin{array}{c}\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}{l}_{\mathrm{1}}(t)}{\mathrm{d}t}=-\mathrm{0.8}\frac{\mathrm{d}{l}_{\mathrm{1}}\left(t\right)}{\mathrm{d}t}-{\varpi }_{\mathrm{1}}\left(l_{\mathrm{1}}\left(t\right)\right)l_{\mathrm{1}}\left(t\right)+{\sum }_{k=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\iota }_{\mathrm{1}r}\left(l_{\mathrm{1}}\left(t\right)\right)F_r\left(l_r\left(t\right)\right)+{\sum }_{k=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\varsigma }_{\mathrm{1}r}\left(l_{\mathrm{1}}\left(t\right)\right)F_r\left(l_r\left(t-{\tau }_r\left(t\right)\right)\right)+\\ {\sum }_{k=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{o}_{\mathrm{1}r}\left(l_{\mathrm{1}}\left(t\right)\right){\int }_{t-m_r\left(t\right)}^t{F}_r\left(l_r\left(t\right)\right)\mathrm{d}t+u_{\mathrm{1}}(t),\\ \frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{2}}{l}_{\mathrm{2}}\left(t\right)}{\mathrm{d}t}=-\mathrm{1.4}\frac{\mathrm{d}{l}_{\mathrm{2}}\left(t\right)}{\mathrm{d}t}-{\varpi }_{\mathrm{2}}\left(l_{\mathrm{2}}\left(t\right)\right)l_{\mathrm{2}}\left(t\right)+{\sum }_{k=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\iota }_{\mathrm{2}r}\left(l_{\mathrm{2}}\left(t\right)\right)F_r\left(l_r\left(t\right)\right)+{\sum }_{k=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{\varsigma }_{\mathrm{2}r}\left(l_{\mathrm{2}}\left(t\right)\right)F_r\left(l_r\left(t-{\tau }_r\left(t\right)\right)\right)+\\ {\sum }_{k=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{o}_{\mathrm{2}r}\left(l_{\mathrm{2}}\left(t\right)\right){\int }_{t-m_r\left(t\right)}^t{F}_r\left(l_r\left(t\right)\right)\mathrm{d}t+u_{\mathrm{2}}\left(t\right),\end{array}\right.（22）

其中初始位置为：{\chi }_{\mathrm{1}}\left(s\right)=-\mathrm{0.1},{\chi }_{\mathrm{2}}\left(s\right)=-\mathrm{0.5},{\psi }_{\mathrm{1}}\left(s\right)=\mathrm{0.9},{\psi }_{\mathrm{2}}\left(s\right)=\mathrm{0.7},\forall s\in \left[-\mathrm{1,0}\right).

根据不连续激活函数（21）可得M_r=\mathrm{1.04},{\mathrm{\Lambda }}_k=\mathrm{1}，{\mathrm{\Delta }}_k=\mathrm{0.07},假设\epsilon =\mathrm{0.5},\tau =\mathrm{1.5},{\xi }_{\mathrm{1}}=\mathrm{180},{\xi }_{\mathrm{2}}=\mathrm{190},{\zeta }_{\mathrm{1}}={\zeta }_{\mathrm{2}}=\mathrm{50},o_{\mathrm{1}}=o_{\mathrm{2}}={\nu }_{\mathrm{1}}={\nu }_{\mathrm{2}}=\mathrm{195},{\varpi }_{\mathrm{1}}={\varpi }_{\mathrm{2}}={\mu }_{\mathrm{1}}={\mu }_{\mathrm{2}}=\mathrm{390},{\rho }_{\mathrm{1}}=\mathrm{10.986},{\rho }_{\mathrm{2}}=\mathrm{10.57}. 计算后得\upsilon =\mathrm{193.95},\mathrm{\Im }=h=\mathrm{194.35},ϵ=\mathrm{0.2},满足定理1的所有条件. 因此，惯性神经网络（20）和（22）在控制器（7）的作用下达到固定时间投影同步，镇定时间为{{\rm T}}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=\mathrm{8.628}. 表2给出了当k=1，2时驱动系统的参数. 图1~6为模型（20）与（22）在此参数下的仿真模拟结果.

4 结语

本文利用杂合控制器、微分包含理论、固定时间控制理论、不等式放缩技巧和非降阶法，选取恰当的Lyapunov函数、控制器增益研究了惯性神经网络的固定时间投影同步问题，获得相关判据，并给出模拟仿真例子有效证明结论的有效性. 本文所得结论丰富并简化了文献［8］的成果和控制器.

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基金资助

国家自然科学基金资助项目(62373383)