带调和振荡算子热方程的适定性研究

On the well-posedness of heat equation with Harmonic oscillators

摘要

带调和振荡算子非线性热方程的适定性问题是当前的一个热门课题. 在低正则Sobolev空间下，利用磨光算子估计、Hahn-Banach延拓定理、Riesz表示定理、压缩映射原理等方法，证明了带调和振荡算子的非线性热方程柯西问题解的全局存在唯一性.

Abstract

The well-posedness problem of the nonlinear heat equation with Harmonic oscillators is a current hot topic. In the lower regularity Sobolev space， by means of methods such as the mollifier estimate， the Hahn-Banach extension theorem， the Riesz representation theorem， and the contraction mapping principle， the global existence and uniqueness of the solution of Cauchy problem of the nonlinear heat equation with Harmonic oscillators are proved.

关键词

调和振荡算子 / 热方程 / 低正则Sobolev空间 / 全局适定性

Key words

Harmonic oscillators / heat equation / lower regularity Sobolev space / global well-posedness

1 基础知识及相关背景

本文主要研究带调和振荡算子热方程的柯西问题的全局适定性.考虑如下非线性热方程的柯西问题：

\left\{\begin{array}{l}{\partial }_{t}f+v·{\nabla }_{x}f+\mathrm{\mathscr{H}}f=f^{\mathrm{2}},\\ f(t,x,v)\left|{}_{t=\mathrm{0}}=f_{in}(x,v),\right.\end{array}\right.（1）

其中\mathrm{\mathscr{H}}=-\mathrm{\Delta }+{\left|v\right|}^{\mathrm{2}}，未知量f=f(t,x,v)表示在时间t\ge \mathrm{0}，位置变量x\in \mathbb{R}，速度变量v\in \mathbb{R}的气体粒子密度分布函数，f_{in}(x,v)为给定初始值.有许多研究工作涉及到热方程解的全局适定性^［1-5］，近期，文献［6］和［7］研究了在调制空间中，与分数阶Hermite算子相关的热方程，通过对分数阶Hermite算子的伪微分分析，作者证明了热方程解的适定性. Hermite算子\mathrm{\mathscr{H}}=-\mathrm{\Delta }+{\left|v\right|}^{\mathrm{2}}在量子力学分析中起着至关重要的作用^［8-9］.本文主要探讨在低正则Sobolev空间H^{\mathrm{1}}({\mathbb{R}}_x)Q^{\mathrm{1}}({\mathbb{R}}_v)中热方程解的适定性问题，Sobolev空间H^{\mathrm{1}}(\mathbb{R})的定义为：

，

对于任何k\in \mathbb{N}，定义Shubin空间Q^k(\mathbb{R})为：

Q^k(\mathbb{R}):=\{u\in S\mathbb{\text{'}}(\mathbb{R});{\mathrm{\mathscr{H}}}^{\frac{k}{\mathrm{2}}}u\in L^{\mathrm{2}}(\mathbb{R})\}.

为了记号简便H^{\mathrm{1}}({\mathbb{R}}_x)Q^{\mathrm{1}}({\mathbb{R}}_v)\triangleq H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}，同时还有：

\begin{array}{c}{L}^{\mathrm{\infty }}([\mathrm{0},T];H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}})=L_T^{\mathrm{\infty }}{H}_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}},\\ L^{\mathrm{2}}([\mathrm{0},T];H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{2}})=L_T^{\mathrm{2}}{H}_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{2}}.\end{array}

2 主要定理及证明

定理1 对于，f_{in}\in H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}，柯西问题（1）有唯一的低正则解，其中：

f\in L_T^{\mathrm{\infty }}{H}_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}\bigcap L_T^{\mathrm{2}}{H}_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{2}}，

且存在常数C>\mathrm{0}，满足：

{‖f‖}_{L_T^{\mathrm{\infty }}{H}_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}+{‖f‖}_{L_T^{\mathrm{2}}{H}_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{2}}}\le C{‖f_{in}‖}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}.（2）

定理的证明将分为两部分展开.第一部分利用磨光算子、Hahn-Banach定理证明线性化的热方程在Sobolev空间L_T^{\mathrm{\infty }}{H}_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}\bigcap L_T^{\mathrm{2}}{H}_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{2}}解的存在唯一性；第二部分利用压缩映射原理证明非线性热方程解的全局适定性.在证明定理1之前，先介绍以下引理1.

引理1 设f,g\in Q^{\mathrm{1}}(\mathbb{R})，存在一个正常数C_{\mathrm{0}}，使得：

{‖fg‖}_{Q^{\mathrm{1}}(\mathbb{R})}\le C_{\mathrm{0}}{‖f‖}_{Q^{\mathrm{1}}(\mathbb{R})}{‖g‖}_{Q^{\mathrm{1}}(\mathbb{R})}.（3）

证明 设：

\begin{array}{l}a(x,\xi )={\left({\left|\xi \right|}^{\mathrm{2}}+{\left|x\right|}^{\mathrm{2}}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}},\\ b(x,\xi )={\left((\mathrm{1}+{\left|\xi \right|}^{\mathrm{2}}{)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}+(\mathrm{1}+{\left|x\right|}^{\mathrm{2}}{)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\right)}^{-\mathrm{1}}.\end{array}

即：

a(x,\xi )\in S_{\mathrm{1,0}}^{\mathrm{1}},b(x,\xi )\in S_{\mathrm{1,0}}^{-\mathrm{1}}.

利用文献［10］第一章中的定理1.1.15，得到：

a\diamond b\in S_{\mathrm{1,0}}^{\mathrm{0}}.

由于op(S_{\mathrm{1,0}}^{\mathrm{0}})在L^{\mathrm{2}}(\mathbb{R})上有界，可以证得：

\begin{array}{c}{‖u‖}_{Q^{\mathrm{1}}(\mathbb{R})}={‖{\mathrm{\mathscr{H}}}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}u‖}_{L^{\mathrm{2}}(\mathbb{R})}\le \\ C_{\mathrm{0}}{‖\left({(\mathrm{1}-\mathrm{\Delta })}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}+(\mathrm{1}+{\left|v\right|}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}\right)u‖}_{L^{\mathrm{2}}(\mathbb{R})}\le \\ C_{\mathrm{0}}\left({‖{(\mathrm{1}-\mathrm{\Delta })}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}u‖}_{L^{\mathrm{2}}(\mathbb{R})}+{‖(\mathrm{1}+{\left|v\right|}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}u‖}_{L^{\mathrm{2}}(\mathbb{R})}\right),\end{array}

利用：

\stackrel{\wedge }{fg}=\widehat{f}\mathrm{*}\widehat{g}={\int }_{{\mathit{ℝ}}^{\mathrm{3}}}\widehat{f}(\xi -\eta )\widehat{g}(\eta )\mathrm{d}\eta，

推得：

{‖g‖}_{L^{\mathrm{\infty }}(\mathbb{R})}\le {‖\widehat{g}‖}_{L^{\mathrm{1}}({\mathbb{R}}_{\xi })}\le C_{\mathrm{0}}{‖{(\mathrm{1}-\mathrm{\Delta })}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}g‖}_{L^{\mathrm{2}}(\mathbb{R})}.

根据Cauchy-Schwartz不等式，有：

引理1证毕.

2.1 线性化热方程解的全局存在唯一性

命题1 考虑线性化热传导方程的柯西问题：

\left\{\begin{array}{l}{\partial }_{t}f+v·{\nabla }_{x}f+\mathrm{\mathscr{H}}f=gf,\\ f(t,x,v)\left|{}_{t=\mathrm{0}}=f_{in}(x,v),\right.\end{array}\right.（4）

其中未知分布函数f=f(t,x,v)取决于时间t\ge \mathrm{0}，位置变量x\in \mathbb{R}，速度变量v\in \mathbb{R}. 对于任意的，任意小的正数\delta >\mathrm{0}，当初值f_{in}\in H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}，函数g\in L_T^{\mathrm{\infty }}{H}_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}\bigcap L_T^{\mathrm{2}}{H}_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{2}}且满足：

{‖g‖}_{L_T^{\mathrm{\infty }}{H}_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}^{}+{‖g‖}_{L_T^{\mathrm{2}}{H}_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{2}}}^{}\le \delta ,

则柯西问题（4）存在唯一弱解f_{\epsilon }\in L^{\mathrm{\infty }}([\mathrm{0},T];H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}). 同时存在常数C>\mathrm{0}，满足：

{‖f_{\epsilon }‖}_{L_T^{\mathrm{\infty }}{H}_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}+{‖f_{\epsilon }‖}_{L_T^{\mathrm{2}}{H}_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{2}}}\le C{‖f_{in}‖}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}.

证明 利用磨光函数\mathrm{0}\le \rho (x)\in S(\mathbb{R})且{\int }_{{\mathbb{R}}^{\mathrm{2}}}\rho (x)\mathrm{d}x=\mathrm{1}.设g_{\epsilon }^{}=g\mathrm{*}{\rho }_{\epsilon }(x)，f_{in}^{\epsilon }=f_{in}\mathrm{*}{\rho }_{\epsilon }(x)，其中{\rho }_{\epsilon }(x)={\epsilon }^{-\mathrm{2}}\rho (\frac{x}{\epsilon }). 根据命题1中条件可得：

且

{‖g_{\epsilon }^{}‖}_{L_T^{\mathrm{\infty }}{H}_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}^{}+{‖g_{\epsilon }^{}‖}_{L_T^{\mathrm{2}}{H}_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{2}}}^{}\le {‖g‖}_{L_T^{\mathrm{\infty }}{H}_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}^{}+{‖g‖}_{L_T^{\mathrm{2}}{H}_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{2}}}^{}\le \delta .

考虑自伴算子：

P^{\mathrm{*}}=-{\partial }_t-v·{\nabla }_x-{\mathrm{\Delta }}_v+{\left|v\right|}^{\mathrm{2}}，

对于函数\psi \in C^{\mathrm{\infty }}([\mathrm{0},T],S({\mathbb{R}}_{x,v}^{\mathrm{2}}))，其中\psi (T)=\mathrm{0}，可得：

\mathrm{R}\mathrm{e}(\psi ,P^{\mathrm{*}}{\psi )}_{(\mathrm{1,0})}=-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{‖\psi ‖}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+{‖{\mathrm{\mathscr{H}}}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}\psi ‖}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{R}\mathrm{e}(g_{\epsilon }{\psi ,\psi )}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}.

由引理1，可得：

\left|(g_{\epsilon }{\psi ,\psi )}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}\right|\le C_{\mathrm{0}}{‖g_{\epsilon }‖}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}{‖\psi ‖}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}，

利用Cauchy-Schwartz不等式，可以得到：

-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{‖\psi ‖}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{‖\psi ‖}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}-C_{\mathrm{0}}{‖g_{\epsilon }‖}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}{‖\psi ‖}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}\le \mathrm{2}{‖\psi ‖}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}{‖P^{\mathrm{*}}\psi ‖}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}，

考虑到\delta >\mathrm{0}足够小，使得，则有：

-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{‖\psi ‖}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+{‖\psi ‖}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}\le \mathrm{2}{‖\psi ‖}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}{‖P^{\mathrm{*}}\psi ‖}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}，

两边关于t在[t,T]上积分，有：

{‖\psi (t)‖}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+{\int }_t^T{‖\psi (\tau )‖}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}\tau \le C{‖\psi ‖}_{L_T^{\mathrm{\infty }}{H}_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}{‖P^{\mathrm{*}}\psi ‖}_{L_T^{\mathrm{1}}{H}_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}，

故

{‖\psi (t)‖}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}\le C{\int }_t^T{‖P^{\mathrm{*}}\psi ‖}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}\mathrm{d}\tau，

从而有{‖\psi ‖}_{L_T^{\mathrm{\infty }}{H}_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}\le C{‖P^{\mathrm{*}}\psi ‖}_{L_T^{\mathrm{1}}{H}_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}.

下面考虑泛函子空间：

\begin{array}{c}Q=\{\psi =Pu;\psi \in C^{\mathrm{\infty }}([\mathrm{0},T],S({\mathbb{R}}_{x,v}^{\mathrm{2}})),\\ \psi (T)=\mathrm{0}\}\subset L^{\mathrm{1}}([\mathrm{0},T];H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}})\end{array}，

因为f_{in}\in H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}，可以定义线性函数：

Q:\mathbb{Q}\to \mathbb{C}，u=P^{\mathrm{*}}\psi \mapsto (f_{in},\psi {(\mathrm{0}))}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}，

其中\psi \in C^{\mathrm{\infty }}([\mathrm{0},T],S({\mathbb{R}}_{x,v}^{\mathrm{2}}))，P^{\mathrm{*}}单射，因此：

\begin{array}{c}‖Q(u)‖=\left|{\left(f_{\mathrm{0}},\psi (\mathrm{0})\right)}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}\right|\le {‖f_{in}‖}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}{‖\psi (\mathrm{0})‖}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}\le \\ {‖f_{in}‖}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}{‖\psi ‖}_{L^{\mathrm{\infty }}([\mathrm{0},T];H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}\le C{‖f_{in}‖}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}{‖P^{\mathrm{*}}{f}_{\epsilon }‖}_{L_T^{\mathrm{1}}{H}_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}\le \\ C{‖f_{in}‖}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}{‖u‖}_{L_T^{\mathrm{1}}{H}_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}.\end{array}

利用Hahn-Banach定理，Q可以在L^{\mathrm{1}}([\mathrm{0},T];H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}})推广为连续线性形式，且其范数小于C{‖f_{in}‖}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}. 根据Riesz表示定理，存在唯一的f_{\epsilon }\in L^{\mathrm{\infty }}([\mathrm{0},T];H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}})满足：

{‖f_{\epsilon }‖}_{L_T^{\mathrm{\infty }}{H}_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}\le C{‖f_{in}‖}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}，

使得：

\forall u\in L_T^{\mathrm{1}}{H}_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}},Q(u)={\int }_{\mathrm{0}}^T(f_{\epsilon }(t),u{(t))}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}\mathrm{d}t，

这表明对所有函数\psi \in C_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}((-\mathrm{\infty },T),S({\mathbb{R}}_{x,v}^{\mathrm{2}}))，可得：

Q(P^{\mathrm{*}}\psi )={\int }_{\mathrm{0}}^T(f_{\epsilon }(t),u{(t))}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}\mathrm{d}t={\int }_{\mathrm{0}}^T(P{f}_{\epsilon }(t),\psi {(t))}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}\mathrm{d}t=(f_{in},\psi {(\mathrm{0}))}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}，

因此，f_{\epsilon }\in L_T^{\mathrm{\infty }}{H}_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}是柯西问题的唯一弱解，且满足：

{‖f_{\epsilon }‖}_{L_T^{\mathrm{\infty }}{H}_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}\le C{‖f_{in}‖}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}},

代回到方程（4）可得：

{\partial }_t{f}_{\epsilon }+v·{\nabla }_x{f}_{\epsilon }+\mathrm{\mathscr{H}}{f}_{\epsilon }=g_{\epsilon }{f}_{\epsilon }，

两边同时在H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}上和f_{\epsilon }作内积得：

({\partial }_t{f}_{\epsilon },f_{\epsilon }{)}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}+(v·{\nabla }_x{f}_{\epsilon },f_{\epsilon }{)}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}+(\mathrm{\mathscr{H}}{f}_{\epsilon },f_{\epsilon }{)}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}=(g_{\epsilon }{f}_{\epsilon },f_{\epsilon }{)}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}，

则：

\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{‖f_{\epsilon }‖}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+{‖f_{\epsilon }‖}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}\le \left|(g_{\epsilon }{f}_{\epsilon },f_{\epsilon }{)}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}\right|\le C_{\mathrm{0}}{‖g_{\epsilon }‖}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}{‖f_{\epsilon }‖}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}，

进一步：

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{‖f_{\epsilon }‖}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+(\mathrm{2}-\mathrm{2}{C}_{\mathrm{0}}\epsilon ){‖f_{\epsilon }‖}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}\le \mathrm{0}，

对于任何，可以推得：

{‖f_{\epsilon }‖}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+{‖f_{\epsilon }‖}_{L_T^{\mathrm{2}}{H}_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}\le {‖f_{in}(x,v)‖}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}.

命题1证毕.

2.2 非线性热方程解的全局存在唯一性

在命题1的基础上，利用迭代方法证明柯西问题（4）中的弱解f_{\epsilon }在L_T^{\mathrm{\infty }}{H}_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}\bigcap L_T^{\mathrm{2}}{H}_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{2}}上收敛于f，使得f\in L_T^{\mathrm{\infty }}{H}_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}\bigcap L_T^{\mathrm{2}}{H}_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{2}}就是非线性热方程柯西问题（1）的低正则弱解.

下面证明定理1.

证明 利用迭代的方法定义\{f_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}，其中f_n是以下柯西问题的弱解，即：

\left\{\begin{array}{l}{\partial }_t{f}_n+v·{\nabla }_x{f}_n+\mathrm{\mathscr{H}}{f}_n=f_{n-\mathrm{1}}{f}_n,\\ f_n(\mathrm{0},x,v)=f_{in}(x,v).\end{array}\right.（5）

起始密度分布函数f_{\mathrm{0}}(t,x,v)满足：

\left\{\begin{array}{l}{\partial }_t{f}_{\mathrm{0}}+v·{\nabla }_x{f}_{\mathrm{0}}+\mathrm{\mathscr{H}}{f}_{\mathrm{0}}=\mathrm{0},\\ f_{\mathrm{0}}(\mathrm{0},x,v)=f_{in}(x,v).\end{array}\right.

对方程组（5）中的f_n和f_{n-\mathrm{1}}做差，令{\omega }_n=f_n-f_{n-\mathrm{1}}，可以得到：

\left\{\begin{array}{l}{\partial }_t{\omega }_n+v·{\nabla }_x{\omega }_n+\mathrm{\mathscr{H}}{\omega }_n=f_{n-\mathrm{1}}{f}_n-f_{n-\mathrm{2}}{f}_{n-\mathrm{1}},\\ {\omega }_n(\mathrm{0},x,v)=\mathrm{0}.\end{array}\right.

在H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}上，用{\omega }_n做内积有：

{\partial }_t{‖{\omega }_n‖}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+{‖{\omega }_n‖}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}\le {‖f_{n-\mathrm{1}}‖}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}\left({‖{\omega }_n‖}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}+{‖{\omega }_{n-\mathrm{1}}‖}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}\right)，

则：

\begin{array}{c}{‖{\omega }_n‖}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+{‖{\omega }_n‖}_{L_T^{\mathrm{2}}{H}_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}\le \\ C{‖f_{n-\mathrm{1}}‖}_{L_T^{\mathrm{\infty }}{H}_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}\left({‖{\omega }_n‖}_{L_T^{\mathrm{2}}{H}_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}+{‖{\omega }_{n-\mathrm{1}}‖}_{L_T^{\mathrm{2}}{H}_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}\right)\le \\ \mathrm{2}{C}_{\mathrm{0}}{‖f_{in}(x,v)‖}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{‖{\omega }_n‖}_{L_T^{\mathrm{2}}{H}_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}},\end{array}

可以得到：

{‖{\omega }_n‖}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+{‖{\omega }_n‖}_{L_T^{\mathrm{2}}{H}_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}\le \mathrm{8}{C}_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}{‖{\omega }_{n-\mathrm{1}}‖}_{L_T^{\mathrm{2}}{H}_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{‖f_{in}(x,v)‖}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}.

记，即：

{‖{\omega }_n‖}_{L_T^{\mathrm{\infty }}{H}_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+{‖{\omega }_n‖}_{L_T^{\mathrm{2}}{H}_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}\le \lambda {‖{\omega }_{n-\mathrm{1}}‖}_{L_T^{\mathrm{2}}{H}_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}，

函数列\{f_n\}是泛函空间L_T^{\mathrm{\infty }}{H}_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}\bigcap L_T^{\mathrm{2}}{H}_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{2}}上的一个柯西列，L_T^{\mathrm{\infty }}{H}_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}\bigcap L_T^{\mathrm{2}}{H}_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{2}}是一个完备空间，根据压缩映射原理，故存在f\in L_T^{\mathrm{\infty }}{H}_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}\bigcap L_T^{\mathrm{2}}{H}_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{2}}，使得：

f_n\to f\in L_T^{\mathrm{\infty }}{H}_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}\bigcap L_T^{\mathrm{2}}{H}_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{2}}，

且满足：

{‖f‖}_{L_T^{\mathrm{\infty }}{H}_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}+{‖f‖}_{L_T^{\mathrm{2}}{H}_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{2}}}\le C{‖f_{in}‖}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}.

下面开始证明唯一性.

假设\tilde{f}是柯西问题的另一个弱解且满足：

{‖\tilde{f}‖}_{L^{\mathrm{\infty }}{H}_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{2}}}+{‖\tilde{f}‖}_{L^{\mathrm{2}}{H}_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{2}}}\le C{‖f_{in}‖}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}，

设h=f-\tilde{f}，则h满足方程：

\left\{\begin{array}{l}{\partial }_{t}h+v·{\nabla }_{x}h+Hh\mathrm{\mathscr{H}}=f^{\mathrm{2}}-{\tilde{f}}^{\mathrm{2}},\\ h(\mathrm{0},x,v)=\mathrm{0},\end{array}\right.

作估计得：

({\partial }_t{h,h)}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}+(v·{\nabla }_x{h,h)}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}+{(\mathrm{\mathscr{H}}h,h)}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}=({(f+\tilde{f})h,h)}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}，

则：

\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{‖h‖}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}+{‖h‖}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{2}}}\le C_{\mathrm{0}}{‖f+\tilde{f}‖}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}{‖h‖}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}\le \mathrm{2}{C}_{\mathrm{0}}C{‖f_{in}‖}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}{‖h‖}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}，

令{\epsilon }_{\mathrm{0}}>\mathrm{0}足够小，使得，则有：

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{‖h‖}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}\le \mathrm{0}，

即：

{‖h‖}_{L{H}_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}\le {‖h(\mathrm{0},x,v)‖}_{H_x^{\mathrm{1}}{Q}_v^{\mathrm{1}}}=\mathrm{0}，

从而h=\mathrm{0}，即f=\tilde{f}，柯西问题弱解唯一.定理1得证.

参考文献

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基金资助

湖北省自然科学基金资助项目(2025AFB696)