几何参数对复合材料圆柱壳折减因子的影响

Influence of geometric parameters on knock-down factor of composite cylindrical shells

摘要

对于弹箭体结构中常见的复合材料圆柱壳结构，在计算其轴压屈曲载荷时需要对理论线性解进行折减，从而弥补实际含缺陷产品与理想的完美结构之间的差别。目前，虽然可以基于非线性有限元分析得到较为精确的折减因子数值，但是折减因子随结构几何参数变化而变化的具体规律尚未厘清。针对这一问题，研究当复合材料圆柱壳的长度、半径、单层厚度等几何参数的变化对折减因子的影响，发现无论铺层方式如何，折减因子总是与半径和单层厚度呈近似线性的正相关，而与结构长度间呈近似线性的负相关。在初始设计阶段应用这一结论，可以减少非线性有限元分析的次数，提高设计效率。

Abstract

Composite cylindrical shells are commonly used in missile and rocket structures.When calculating the axial compression buckling load，the analytical linear solution needs to be knocked down to compensate for the difference between the actual as-built product and the ideal perfect structure.Although the knock down factors can be obtained from nonlinear finite element analysis，the regularity of the knock down factors varying with the structural geometric parameters has not been clarified.To this issue，the influence of the geometric parameters，such as length，radius，and monolayer thickness，on the knock down factors was investigated.It is showed that the knock-down factors are always approximately linear，positively correlated with the radius and monolayer thickness，and approximately linear negatively correlated with the structural height，regardless of the stacking sequence.By applying these conclusions into the primary design phase，the numbers of finite element analysis can be reduced hence the design efficiency can be improved.

关键词

复合材料 / 圆柱壳 / 折减因子 / 屈曲 / 有限元分析 / 几何参数

Key words

composite / cylindrical shells / knock-down factors / buckling / finite element analysis / geometric parameters

碳纤维增强复合材料圆柱壳广泛应用于航天运载器结构，其薄壁特性导致其在使用中易于发生轴压屈曲，需要准确地预测其极限屈曲载荷从而保证结构安全。此类结构对几何缺陷非常敏感^［1-3］，表现为结构轴压屈曲的实验值往往显著低于其理论解析解。结构实际承载能力与理论解之间的比值被称为折减因子（Knock-down Factor，KDF^［4］），因此KDF视为是对结构几何缺陷敏感性的定量描述^［5-6］。

20世纪60年代，NASA基于大量的实验结果给出了薄壁非加筋/加筋圆柱壳KDF的建议值^［5］。进入21世纪后，随着材料、工艺等技术的不断进步，人们发现传统的KDF严重低估了结构的承载力，导致结构质量的冗余。因此，有必要重新研究新的KDF确定方法，以提高箭体结构的设计质量^［7］。由于现代有限元技术已经能够在模型中充分考虑几何缺陷的影响，进行高逼真仿真分析，因此可以用分析代替实验来获得“基于分析”的KDF。

高逼真有限元分析的关键问题在于引入缺陷的种类和幅值。Hilburger等^［8］测量了复合材料圆柱壳的真实几何缺陷，并在有限元模型中进行了承载性能分析，所预测出的结构的极限屈曲载荷、载荷位移曲线以及结构在屈曲过程中模态的变化等都与实验结果吻合。实测缺陷法的局限性在于初始设计阶段无法确定缺陷的几何形状和幅值。于是Arbocz等^［9］和Elishakoff ^［10］提出不断更新实测缺陷数据库并结合概率法来预测产品的性能，但这种做法虽然可行，但是经济、计算成本都非常高昂。欧洲钢结构设计规范^［11］中建议在尚不充分掌握缺陷信息的情况下，将薄壁结构的一阶特征值屈曲模态作为初始缺陷进行结构设计预估结构的承载力，但这种方法预测的承载能力过低，容易造成较大的结构冗余^［12］。

Horak等^［13］指出圆柱壳结构的局部凹陷是一种既现实又危险的缺陷类型。Huehne等^［14］则提出可以在圆柱壳的半腰处施加一个径向的扰动载荷来模拟这种既现实又危险的缺陷，即单点扰动载荷法（Single Perturbation Load Approach，SPLA）。Huehne ^［15］证实了SPLA在复合材料圆柱壳中产生了具有物理意义的特征屈曲响应。有限元分析和实验结果都表明，随着扰动载荷增加，结构屈曲载荷迅速下降。但是当扰动载荷超过一个阈值时，结构屈曲载荷会收敛于一个下限值，该下限值很好地预测了实际产品的承载能力下限，据此获得的基于分析的KDF值是安全而不过分保守的。需要注意的是KDF与复合材料壳体的铺层方式密切相关。基于对SPLA方法的拓展，Meurer等^［16］提出了概率扰动载荷方法（Probabilistic Perturbation Load Approach，PPLA），代表了SPLA和非传统缺陷的组合。Jiao等^［17］提出可采用多重扰动载荷法（Multiple Perturbation Load Approach，MPLA）来获得更安全的设计方案。Hao等^［18］针对多重扰动载荷法研究了扰动载荷位置对结构屈曲载荷的影响，建议采用最差多重扰动载荷法（Worst Multiple Perturbqtion Load Approach，WMPLA）评估三角形网格加筋圆柱壳的轴压承载能力^［19］。这些对SPLA改进的方法能够得到更安全的KDF，但是也提高了计算成本^［20］。

基于准确的实验值或数值解研究几何参数对结构轴压性能的影响对于改善设计具有重要的意义。这方面的代表性工作包括早期NASA基于试验值给出的圆柱壳KDF关于半径/厚度比的曲线，以及近期Wagner等^［21］基于有限元法给出的屈曲载荷关于长度/半径比变化的趋势。这些工作所针对的都是各向同性材料，关于复合材料结构的几何参数对KDF的影响的研究工作尚未见诸报道。为此，本文基于SPLA法研究了当复合材料圆柱壳结构的长度、半径和单层厚度等几何参数变化时KDF的变化规律。结果表明，无论铺层方式如何，结构半径和厚度的增加总会导致KDF升高，而结构长度的增加则会导致KDF降低，而且当这些参数在±20%的范围内摄动时（即火箭初始设计阶段内参数的主要变化区间），KDF近似呈线性变化。在初始设计阶段应用这些结论有助于降低计算成本，缩短研发周期。

1 基于SPLA的KDF计算

单点扰动载荷法（SPLA）是基于有限元软件在圆柱壳的母线中点位置施加一个径向扰动载荷，模拟现实又危险的几何凹陷缺陷，从而预测结构轴压屈曲载荷下限值的方法。

以ABAQUS为例，基于SPLA法的屈曲分析可按下列步骤进行：

（1） 定义两个非线性静力分析步，在第一个分析步中，在圆柱壳母线L/2处沿径向施加单个扰动载荷P（如图1所示）；

（2） 在第二个分析步中，沿轴向在圆柱壳上边缘以准静态的方式施加强制位移W，采用Newton-Raphson方法求解，注意设置合适的阻尼因子，以保证分析为准静态；

（3） 在结果中提取载荷-位移曲线中的载荷峰值为结构的屈曲载荷，如图2所示；

（4） 增大扰动载荷P的值并重复步骤（1）～（3），直至得到的屈曲载荷收敛，如图3中的 N_{\mathrm{S}\mathrm{P}\mathrm{L}\mathrm{A}}即为实际结构产品的承载能力下限。

在得到 N_{\mathrm{S}\mathrm{P}\mathrm{L}\mathrm{A}}之后，即可根据式（1）计算出结构的KDF，其中 N_{\mathrm{L}\mathrm{B}\mathrm{A}}为理想结构的线性屈曲载荷。

\mathrm{K} \mathrm{D} \mathrm{F} = \frac{N_{\mathrm{S}\mathrm{P}\mathrm{L}\mathrm{A}}}{N_{\mathrm{L}\mathrm{B}\mathrm{A}}} （1）

2 几何参数对KDF的影响

本节针对两种不同铺层［0/90/90/0］和［0/90/45/-45］的复合材料圆柱壳，研究当设计参数在±20%内变化时对KDF的影响。结构的材料数据及其初始几何参数如表1和表2所示。

如图4所示，图中 \pm \alpha表示铺设角度，箭头所指方向为铺层堆叠方向。如图5所示，采用线性减缩积分壳单元进行离散，单元尺寸为7.9 mm，扰动载荷施加在母线中点的节点上，边界条件是约束参考点RP-2的全部自由度以及参考点（RP-1）的除U3（图5中的Z轴方向）之外的全部自由度，U3为强制位移载荷的施加方向，两参考点分别与圆柱壳上下边缘刚性连接，阻尼系数设为 \mathrm{1} \times {\mathrm{10}}^{-\mathrm{9}} ^［22］。

2.1 算例1：正交对称铺设［0/90/90/0］

线性屈曲分析得到的屈曲载荷为93.9 kN，屈曲模态为棋盘状，其中轴向5个半波，环向12个全波，如图6所示。

由SPLA法得到的计算结果如图7所示。从图7可以看出，随着扰动载荷的增加结构屈曲载荷迅速降低，但是当扰动载荷大于20 N之后，结构屈曲载荷的变化开始趋于平缓。另外还可以看出，对于理想结构或小缺陷结构，结构的后屈曲模态为纵向2个半波；而当扰动载荷较大，即结构含有较为明显的单点凹陷时，结构的后屈曲模态变为纵向1个半波，说明局部凹陷主导了结构的变形过程。这里取P ₁=40 N所对应的73.47 kN作为结构的非线性屈曲载荷，再根据式（1）计算可得KDF为0.782。

当P ₁=40 N时，结构的载荷位移曲线及对应的位移云图如图8所示。可以看出横向扰动载荷造成了结构半腰处的局部凹陷，当载荷增加到峰值时，凹陷开始向四周传播，随后达到稳定的后屈曲状态，呈轴向1个半波，环向5个全波的状态。

当结构长度、半径及厚度等参数在±20%范围内摄动时（扰动载荷仍取P ₁=40 N），KDF也会随之变化，相应的结果列于表3之中。表3中L、R和 t_p分别表示圆柱壳初始几何参数长度、半径和单层厚度，同时±5%、±10%、±15%及±20%指在初始几何参数基础上的摄动范围。可以看出当几何参数在（-20%，20%）区间变化时，壳体长度变化与KDF呈负相关，半径和单层厚度变化与KDF呈正相关。由图9中关系曲线可以看出，当几何参数在（-20%，20%）区间变化时，KDF在（0.75，0.8）之间近似呈线性变化。

2.2 算例2：非对称铺设［0/90/45/-45］

除铺层方式不同外，算例2与算例1的网格尺寸、边界条件等分析设置完全一致。当结构为理想状态时，可得其线性屈曲载荷值为101.4 kN。由于其中存在斜交层，因此其一阶屈曲模态为沿斜向环绕的椭圆状，如图10所示。

由SPLA法得到的计算结果如图11所示，可以看出随着扰动载荷的增加，结构的屈曲载荷迅速降低；但当扰动载荷大于30 N之后，结构的屈曲载荷变化开始逐渐趋于平缓。另外还可以看出，对于理想结构或者小缺陷结构后屈曲模态为纵向2个半波，而当扰动载荷增大，即结构含有较明显的单点凹陷时，结构的后屈曲模态变为纵向一个半波，说明局部凹陷主导了结构的变形过程。这里取P ₁=40 N所对应的74.34 kN作为结构的非线性屈曲载荷，再根据式（1）计算得出相应KDF=0.742。

当P ₁=40 N时，结构的载荷位移曲线及对应的位移云图如图12所示。可以看出横向扰动载荷造成了结构半腰处的局部凹陷，当载荷增加到峰值时，凹陷开始向四周传播，随后达到稳定的后屈曲状态，呈轴向1个半波，环向4个全波的状态。

当结构长度、半径及厚度等参数在±20%范围内摄动时（扰动载荷仍取P ₁=40 N），KDF也会随之变化，相应的结果列于表4之中。

表4中L、R和 t_p表示的含义分别与表3中相同。可以看出当几何参数在（-20%，20%）区间变化时，壳体长度变化与KDF呈负相关，而半径和单层厚度变化与KDF呈正相关。由图13中关系曲线可以看出，当几何参数在（-20%，20%）区间变化时，KDF在（0.71，0.76）之间近似呈线性变化。

3 结论

本文基于SPLA法研究了复合材料圆柱壳的几何参数变化对结构轴压屈曲KDF的影响。结果表明无论铺层方式如何，KDF总是随结构长度的增加而降低，且随半径或壁厚的增加而增加。当几何参数在（-20%，20%）范围内变化时，KDF与各个几何参数间的关系都近似为线性。利用这一结论，通过对少数几次SPLA分析的结果进行线性插值而获得较大设计空间内的KDF分布，再结合线性计算就可以迅速得到新设计方案的承载能力，从而显著地提高计算效率，缩短研发周期。

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基金资助

国家重点研发计划项目(2020YFA0711104)