分数阶BP神经网络滚动轴承故障诊断方法

Fault diagnosis method of rolling bearings based on fractional-order BP neural network

摘要

研究基于分数阶BP神经网络滚动轴承故障诊断的问题。通过对滚动轴承5种状态类型特征信号的提取，以更全面的方式反映滚动轴承的工作特性。特征信号经过归一化处理后作为神经网络的输入，滚动轴承的故障类型作为神经网络的输出。运用分数阶BP神经网络对滚动轴承进行状态监测和故障诊断，判断其属于哪种故障类型。相较于整数阶BP神经网络，分数阶BP神经网络精度更高，且能更快地达到误差要求。仿真实验结果表明，分数阶BP神经网络能准确获取滚动轴承的运行状态。

Abstract

Rolling bearings fault diagnosis problem based on fractional-order BP neural network was researched. The working characteristics of rolling bearings was reflected in a more comprehensive way by extracting five state types characteristic signals. The characteristic signals were normalized and used as the input of neural network， the fault type of rolling bearing was used as the output of neural network. Condition monitoring and fault diagnosis were performed on rolling bearing by applying fractional-order BP neural network in order to determine which fault type it belonged to. Compared to integer-order BP neural network， the accuracy of fractional-order BP neural network was higher and met the error requirements faster. The simulation experiment results show that the fractional-order BP neural network can acquire running conditions of rolling bearings accurately.

关键词

故障诊断 / 滚动轴承 / 分数阶BP神经网络 / 特征信号 / 故障类型

Key words

fault diagnosis / rolling bearings / fractional-order BP neural network / characteristic signal / fault type

在机械装置中，滚动轴承被视为至关重要的元件之一，其脆弱性使其成为最容易受损的组成部分之一^［1］。其运行状态直接决定了整个设备的正常操作^［2］。因此，迫切需要一种有效的滚动轴承故障诊断方法，通过深入分析滚动轴承的运行状况，及时发现潜在问题并提供解决方案。滚动轴承故障诊断不仅是对设备健康状况的监测，更是一种对滚动轴承工作状态深度解读的诊断手段^［3］。通过这种方法，能够更全面地了解滚动轴承的运转情况，捕捉潜在的故障迹象，从而及时采取修复和维护措施，确保整个机械系统的可靠性和稳定性^［4］。滚动轴承故障导致旋转机械30%的事故，其故障率仅次于齿轮^［5］。因此，对滚动轴承故障诊断的研究应得到进一步的重视。

传统的故障诊断方法更依赖于经验，在这些方法中，振动诊断技术脱颖而出，是目前应用广泛且最为成熟的一种诊断方法^［6］。需要注意的是故障诊断模式和特征参数之间为非线性关系，此时依靠经验不能有效地解决问题^［7］。相比之下，神经网络具有更好的非线性映射能力，能更好地解决此问题^［8］。本文采用分数阶BP神经网络对滚动轴承进行故障诊断，分数阶微积分已被成功地融入BP神经网络算法^［9］，这一创新体现在对神经元节点函数和权值的修正算法两个关键领域的改进上。通过对振动信号的分析和提取^［10］，运用分数阶BP神经网络，能够准确判断滚动轴承的故障类型。

1 BP神经网络和分数阶BP神经网络的理论介绍

1.1 神经网络结构

BP神经网络以信息的前向传递和误差的反向传递为特征。这个网络结构的关键特性在于其能够通过正向传递有效地处理信息，同时通过反向传递机制不断优化模型，以适应不同的输入数据，有较强的自组织、自学习和自适应能力，被广泛运用于多个领域^［11］。BP神经网络结构包括输入层、隐含层及输出层。其中，隐含层的设计具有多样性，既可以是单层结构，也可以是层层叠加的多层结构，一般单层隐含层就可以满足故障诊断的要求。BP神经网络结构如图1所示。

图1中， [ x_{\mathrm{1}} , x_{\mathrm{2}} , \dots , x_n {]}^{\mathrm{T}}为神经网络输入， [ y_{\mathrm{1}} , y_{\mathrm{2}} , \dots , y_m {]}^{\mathrm{T}}为神经网络输出。

1.2 BP神经网络的学习算法

BP神经网络的学习算法有信息正向传递和误差反向传递两个过程。

以3层BP神经网络为例，s、 t、 k分别为输入层、隐含层和输出层的神经元节点； W_{st}为输入层节点s与隐含层节点t之间的权值； W_{tk}为隐含层节点t与输出层节点k之间的权值； x_s为节点s的输入值、 \theta为节点阈值； {\theta }_t为隐含层节点t的阈值、 {\theta }_k为输出层节点k的阈值。

1.2.1 信息正向传播的过程

（1）样本数据从输入层输入到隐含层，隐含层节点t的输入为

\mathrm{n} \mathrm{e} {\mathrm{t}}_t={\displaystyle \sum _{s=\mathrm{1}}^m} W_{st} x_s - {\theta }_t，t=1，2，…，p （1）

隐含层节点t的输出为

O_t=f（\mathrm{n} \mathrm{e} {\mathrm{t}}_t）， t=1，2，…，p （2）

式中：f为隐含层的激活函数，激活函数通常选择S型函数（Sigmoid函数）。

（2）数据从隐含层输入到输出层，输出层节点k的输入为

y i_k={\displaystyle \sum _{t=\mathrm{1}}^p} W_{tk} O_t - {\theta }_k，k=1，2，…，n （3）

输出层节点k的输出为

y o_k = f ( y i_k )，k=1，2，…，n （4）

（3）在实际训练过程中，误差的计算公式一般采用平方型误差公式，即

E_k=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} {\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^n} ( y_k - y o_k {)}^{\mathrm{2}} （5）

式中： y_k为期望输出值； y o_k为实际输出值。

1.2.2 误差反向传播过程

假设期望输出与实际输出之差为 {\delta }_k= y_k- y o_k，当学习算法的误差不满足 E_k≤ {\delta }_k时，利用梯度下降法来调整各层之间的权值，即

W_{st} = W_{st} - \mu \frac{\partial E}{{\partial }_{W_{st}}} （6）

W_{tk} = W_{tk} - \mu \frac{\partial E}{{\partial }_{W_{tk}}} （7）

权值修正量可分解成与隐含层输入或输出层输入有关联的公式，即

\frac{\partial E}{{\partial }_{W_{st}}}=\frac{\partial E}{{\partial }_{\mathrm{n}\mathrm{e}{\mathrm{t}}_{\mathrm{t}}}} \frac{{\partial }_{\mathrm{n}\mathrm{e}{\mathrm{t}}_{\mathrm{t}}}}{{\partial }_{W_{st}}} （8）

\frac{\partial E}{{\partial }_{W_{tk}}}= \frac{\partial E}{{\partial }_{y{i}_k}} \frac{{\partial }_{y{i}_k}}{{\partial }_{W_{tk}}} （9）

1.3 BP神经网络的优势与局限性

1.3.1 BP神经网络的优势

（1）BP神经网络通过实现非线性映射关系，不受模型依赖性限制，而是依赖权值存储输入与输出之间的信息。这种网络的特性在于能够自适应地捕捉并学习输入与输出之间的非线性关系，而无需对整体模型进行过度设定；

（2）理论上，只要隐含层的数量和节点数足够多，BP神经网络就能够近似得出任意复杂的非线性映射关系。这意味着BP网络具备强大的泛化能力，能够适应并学习各种复杂模式，而不受过多限制；

（3）BP神经网络以其出色的自适应和自组织能力而著称，表现出强大的信号识别和分类能力。在训练过程中，网络根据外部输入信号的多样性灵活地调整权值，从而更有效地适应不同的输入模式。

1.3.2 BP神经网络的局限性

（1）运用梯度下降法求解权值的过程是一个非线性优化过程，容易出现局部极小值问题，很难再找到函数的全局最优解；

（2）在训练过程中，当网络学习新样本时，往往会呈现出一种遗忘旧样本的趋势。这种现象表明网络更加专注于适应最新的输入信息，可能导致对之前学到知识的丧失或削弱；

（3）目前尚无理论上的指导来确定隐含层节点数的选择，文献［12］会根据经验公式进行取值。此外，一般而言，对于隐含层的层数，常常倾向于选择单层结构。

1.4 分数阶微积分的定义

在分数阶微积分中涉及对变量进行非整数阶的导数或积分运算。这一概念的引入将传统微积分中整数阶导数的阶次推广到分数，从而在理论上和应用中都极大地拓展了微积分的范畴，且具有更好的记忆性和遗传性。本文主要介绍 Caputo定义下的分数阶微积分定义，如式（10）所示

{}_c D_x^z f {\left(x\right)}^{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}} =

（10）

Caputo定义下的常数微分是有界的且为零，极大地拓展了应用范围。

1.5 基于分数阶Caputo定义的BP算法

BP神经网络算法中加入分数阶微积分理论的内容有权值修正方法与神经元节点函数的选取方法，此为与传统BP神经网络的区别。

（1）权值修正：基于分数阶Caputo定义，可以推导出复合函数的分数阶微分，进而得到整数阶微分与分数阶微分的乘积关系。设函数h（v），则可得到

D_t^z h（v）=\frac{\partial }{\partial v}（h（v）） D_t^z v （11）

分数阶BP神经网络基于Caputo定义的输入层与隐含层的权值修正量为

D_{W_{st}}^z E=\frac{\partial E}{\partial \mathrm{n}\mathrm{e}{\mathrm{t}}_t} D_{W_{st}}^z（\mathrm{n} \mathrm{e} {\mathrm{t}}_t）（12）

分数阶BP神经网络基于Caputo定义的隐含层与输出层的权值修正量为

D_{W_{tk}}^z E=\frac{\partial E}{\partial y{i}_k} D_{W_{tk}}^z（y i_k）（13）

（2）神经元节点函数：Mittag-Leffler函数表达式如式（14）所示

E_{\alpha ,\beta } \left(x\right) = {\displaystyle \sum _{k=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}} \frac{x^k}{\mathrm{\Gamma }\left(\alpha k+\beta \right)},\alpha \mathrm{、}\beta \in C （14）

当 \alpha=1 \mathrm{、} \beta=1时，Mittag-Leffler函数和指数函数等同。

在整数阶BP神经网络中引入分数阶微积分理论，对于不稳定信号处理具有良好的效果^［13］。分数阶BP神经网络相比整数阶BP神经网络收敛速度更快，精度更高。

在简单的分数阶BP神经网络之后，延迟、脉冲扰动、系统辨识等一些复杂的分数阶网络结构被相继提出，且具有很好的实用价值。 文献［14］通过神经网络实现对非线性分数阶系统的识别，实现对时域中非线性分数阶系统导数阶次的估算，是目前的研究方向之一。文献［15］提出了一项独特的分数阶神经网络算法，并将其应用于模型预测。这一方法不仅为非线性分数阶系统的建模提供了新的思路，还通过神经网络的学习能力，更准确地估计系统的导数阶次，为相关领域的深入研究和应用提供了有力支持。

2 滚动轴承故障诊断分数阶BP神经网络模型的建立与训练

2.1 时域特征参数的选取

时域特征参数用来判断滚动轴承是否存在故障，本文选取脉冲因子、裕度因子、波形因子、峭度和峰值因数5个无量纲指标作为时域特征的输入参数。

2.2 建立分数阶BP神经网络

三层神经网络能解决故障诊断问题。

输入层设计：由于之前选取的时域特征参数为5个，所以输入层神经元个数为5；

输出层设计：滚动轴承故障类型编码的位数为输出层神经元的个数。

确定5种状态类型：正常类型（1，0，0，0，0）、内圈故障（0，1，0，0，0）、外圈故障（0，0，1，0，0）、滚动体故障（0，0，0，1，0）和保持架故障（0，0，0，0，1），即确定输出层神经元个数为5。输出阈值设置为0.85，即在输出值大于0.85时输出为1，否则为0。根据输出值判断属于哪种故障类型。

隐含层设计：隐含层节点数的选取并没有统一的标准，一般是根据经验选取。通过经验公式计算后，确定隐含层神经元个数为60。

所以，本文中分数阶BP神经网络的结构为（5，60，5）。

2.3 训练分数阶BP神经网络

为了有效训练神经网络，训练样本集需要同时具备两个关键特征：第一，样本集的规模必须足够大，因为样本数量的多少直接决定了网络的识别能力；第二，样本集的完整性也至关重要，即要包含滚动轴承各类故障的样本。

训练网络过程需要反复进行^{，通过不断地调整网络参数，追求最佳的权值配置，以确保网络在处理各类输入数据时能够取得最优的性能表现。}

分数阶BP神经网络的训练需下载分数阶工具箱（FOTF Toolbox）来进行分数阶建模和仿真，神经网络训练时需要导入分数阶工具箱。

网络训练在MATLAB环境中完成，其中训练样本比重占到70%，15%用于验证，15%用于测试。

3 实验验证

分别用整数阶BP算法和分数阶BP算法训练网络，误差变化曲线如图2所示。

依据测试样本，分数阶BP神经网络的输出即滚动轴承的故障类型，网络输出结果如图3所示。

设定输出值大于0.85时，输出为1，反之为0。根据输出的故障编码判断其属于何种故障类型。

测试样本数据及故障类型如表1所示。

本文选取了5个时域特征参数作为输入，所以每组样本有5个数据，这里选取6组样本，即测试样本数据一共有30个。故障类型曲线如图4所示。期望类型和预测输出类型的6个点（6组样本）重合，说明训练好的分数阶BP神经网络模型有很好的识别能力，可以满足滚动轴承故障诊断的要求。

由图2可以看出，分数阶BP神经网络算法比整数阶BP神经网络算法精度更高，也能够更快地满足误差要求。经过训练的分数阶BP神经网络成为了一种专用于滚动轴承故障类型识别的网络。在学习过程中这个网络通过适应各种振动信号模式，能够在实际应用中准确辨识滚动轴承不同类型的故障，为故障诊断提供了可靠的工具。

4 结论

本文通过对滚动轴承5种类型的振动信号的处理，提取无量纲参数作为神经网络的输入，确定网络结构和参数后训练神经网络，最后依据测试样本数据，分数阶BP神经网络判断出各故障类型，验证了分数阶BP神经网络算法用于滚动轴承故障诊断的可行性。

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基金资助

国家自然科学基金(62003223)