基于Kringing和贝叶斯优化的飞机翼梁结构可靠性优化

Reliability optimization of aircraft wing beam structure based on Kringing and Bayesian optimization

摘要

为了提高飞机的飞行性能及飞行安全性，根据适航规定确立飞机翼梁结构的实际工况。通过设计翼梁结构参数、构建综合目标函数、设置约束条件、构建可靠性优化数学模型，完成对翼梁结构的可靠性优化设计。采用Kriging与贝叶斯优化的可靠性双层优化求解策略，对翼梁结构进行求解。结果表明，随着目标函数调用次数的递增，翼梁结构的质量呈现出明显的下降趋势，不同工况下翼梁结构的位移也随之减少，最终得出翼梁结构的质量最小值和不同工况下的最小位移。研究结果为飞机翼梁结构优化设计提供了理论支撑。

Abstract

The practical working conditions of the wing beam structure were established according to the airworthiness regulations to improve the flight performance and safety of the aircraft. The reliability optimization design of the wing beam structure was completed by designing the wing beam structure parameters，constructing the comprehensive objective function，setting the constraint conditions and constructing the reliability optimization mathematical model. The reliability double-layer optimization strategy of Kriging and Bayesian optimization was adopted to solve the problem of the wing beam structure. The results show that with increasing the calls of the objective function，the mass of the wing beam structure shows a significantly decreasing trend，and the displacement of the wing beam structure under different working conditions is also reduced. Finally，the minimum mass of the wing beam structure and the minimum displacement of the wing beam structure under different working conditions are obtained. These research results provide theoretical support for the optimization design of aircraft wing beam structure.

关键词

翼梁结构 / Kriging代理模型 / 贝叶斯优化 / 质量最小值 / 最小位移 / 可靠性优化

Key words

wing beam structure / Kriging surrogate model / Bayesian optimization / minimum mass / minimum displacement / reliability optimization

随着科技的不断革新，飞机机翼的结构设计也不断发生演变。机翼是每一个飞机必不可少的部件，它不仅能使飞机获得升力，还承受着飞机在飞行中的重力和惯性力。因此，机翼结构设计的可靠性和合理性，对于飞机的安全性和稳定性具有非常重要的意义^［1］。可靠性优化理论将优化设计与可靠性分析相结合，弥补了只进行可靠性分析或结构优化设计的不足，为机翼的设计过程提供了更为精确和全面的方法。

20世纪60年代，Murthy等^［2］首次提出在结构优化设计中加入可靠性分析。2018年，安海等^［3］提出一种自适应遗传新算法，该算法能在提升收敛速度和精确度的同时，有效跳出局部收敛，结果证实该算法在解决实际问题中具有显著优势。2024年，林龙等^［4］提出一种近似模型拟合下的排气系统轻量化的设计优化方法，该方法使排气系统的降重率取得良好结果，为轻量化工作提供参考。此外，在可靠性优化中，应用代理模型可以减少计算成本，提升计算效率。其中，Vtali等^［5］在运输机机舱的优化分析中应用响应面法，降低质量并求解出了最优解。刘龙杰等^［6］利用MATLAB遗传算法求解模型对齿轮传动的主要结构参数进行优化设计，结果显示体积之和减小，齿轮结构更加紧凑。吴勃夫等^［7］对6种确定性优化方案的结果进行基于不确定性准则的多目标可靠性优化，从而实现车门下沉刚度位移的最小化及车门轻量化的设计目标。

利用经典可靠性理论分析复杂问题的最大问题在于数据样本少，使得按传统方法进行系统的可靠性验证十分困难。冯广斌等^［8］应用贝叶斯方法对复杂系统在研制阶段进行可靠性验证，所需的样本数明显少于基于经典可靠性理论所需的样本数。李赛^［9］采用人工鱼群算法结合Kringing代理模型对飞机机翼进行优化分析。

相比于经典可靠性分析理论，在处理优化目标具有多峰和目标函数未知等问题时，贝斯优化方法展现出良好的优化性能。本文采用基于Kringing和贝叶斯理论的飞机翼梁结构的可靠性优化，在外层运用贝叶斯优化方法构建失效概率的代理模型，可以提升外层优化的效率。本文对于翼梁结构这种带有隐式极限状态函数的可靠性优化问题，采用基于Kriging方法及贝叶斯优化的可靠性双层优化求解策略。在3种工况下进行可靠性优化分析，解决可靠性分析计算量庞大的问题时，采用Kriging方法构建内层的隐式极限状态函数代理模型，在外层运用贝叶斯优化方法构建失效概率的代理模型，以此提升外层优化效率。这样的处理方式使得整个分析过程更为高效和精确。

1 可靠性优化方法

由于工程问题日趋复杂，可靠性结构优化变得更加困难^［10］。可靠性优化设计考虑设计变量的不确定性，以可靠性指标β作为优化目标或约束条件，最终可得到既满足可靠性条件，又具有最佳性能的设计方案^［11］。针对翼梁结构这种存在隐式极限状态函数的可靠性优化问题，采用一种基于Kri-ging与贝叶斯优化的可靠性双层优化求解策略。在优化过程中，逐步改进Kriging代理模型，这一过程需调用有限元分析，最终运用完善的Kriging代理模型来求得最优解。

1.1 Kriging代理模型

在工程应用中计算可靠度时，为减少分析次数，应用代理模型成为一种重要的方法。20世纪50年代，南非地质学家Krige^［12］提出了Kriging代理模型，后经Matherton^［13］的发展，逐渐演变成一种精确的半参数化插值方法。经推导得出Kriging代理模型的通用表达式为

\overline{G} ( x ) = \stackrel{\wedge }{\beta } + r ( x ) R^{-\mathrm{1}} ( Y - \mathrm{1} \stackrel{\wedge }{\beta } ) （1）

1.2 贝叶斯优化

贝叶斯优化方法又被称作序贯克里金优化，其以精确高效的优化分析效果在机器人领域、信息提取、组合优化等方面广泛应用^［14］。贝叶斯优化方法是一种基于模型的序贯优化方法，通过采用目标函数和约束函数的近似模型进行分析，有效地减少了复杂函数的迭代次数，从而显著提高了优化效率^［15］。贝叶斯优化的过程为：

1） 获取初优化点。在贝叶斯优化中，采用随机搜索算法来随机抽取初始优化点，其表达式为

s = \underline{s} + ( \overline{s} - s ) a （2）

选取满足确定性约束函数的优化点为

s_{\mathrm{f}\mathrm{e}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}} = \mathrm{a} \mathrm{r} \mathrm{g} \left\{g_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}}^{\mathrm{1}}(s),g_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}}^{\mathrm{2}}(s),g_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}}^i(s),g_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}}^n(s)\right\} （3）

式中： g_{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{t}} ( s )为确定的条件约束函数；n为约束函数的个数。

2） 选取下一个贝叶斯优化过程的优化点。目标函数的后验概率分布表达式为

P ( f | S_{\mathrm{1}:i} ) = P ( S_{\mathrm{1}:i} | f ) P ( f ) （4）

1.3 基于Kringing和贝叶斯优化的可靠性优化流程

在对结构进行可靠性优化分析时，优化过程中每一次循环迭代都会伴随着可靠性的计算，导致计算量巨大且需要大量的时间，而基于Kriging代理模型的贝叶斯优化方法则会使优化过程中的计算量减少，提高工作效率。基于此方法建立翼梁结构的可靠性优化流程图，如图1所示。

2 翼梁结构可靠性优化设计

2.1 有限元仿真模型的建立

本文主要考虑翼梁结构主要部件中厚度分散性对结构可靠性的影响。该翼梁结构由上、下缘条和腹板等组成，其中上、下缘条及腹板选用的材料为高强度铝合金LY16，加强肋选用的材料为铝合金LY12。本文共选取翼梁结构中的31个厚度变量作为输入变量。翼梁结构有限元模型图如图2所示。

翼梁结构的厚度变量表达式为

\delta = ( {\delta }_{\mathrm{1}} , {\delta }_{\mathrm{2}} , \cdots , {\delta }_{\mathrm{31}} ) （5）

式中：δ_i （i=1，2，…，15）为腹板厚度；δ_i （i=16，17，…，29）为加强肋厚度；δ_i （i=30，31）为上、下缘条的厚度。另外，定义主要部件A_i （i=1，2）为上、下缘条；B_i （i=1，2，…，15）为腹板；C_i （i=1，2，…，14）为加强肋。

根据《正常类飞机适航规定》 C章结构总则中第23.2235条结构强度的规定^［16］，在不妨碍飞机的安全运行或者出现有害的永久变形的情况下，提出限制载荷状态下的3种工况：

1） 翼梁结构上缘条（上、下缘条同理，故仅对上缘条分析）。对上缘条前、中、后三处施加垂直于上缘条竖直向下的3.25×10⁴

N的面载荷。

2） 翼梁结构腹板。对腹板前、中、后三处施加垂直于腹板向前的2.58×10⁴ N的面载荷。

3） 翼梁结构腹板侧围。对腹板侧围中部施加垂直于侧围向左的2.35×10⁴ N的面载荷。

2.2 构建综合目标函数

多目标优化的综合目标函数表达式为

F ( \rho ) = {\left[{\omega }^{\mathrm{2}}{({\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\omega }_i\frac{C_i-C_i^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}}{C_i^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-C_i^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}})}^{\mathrm{2}}+{(\mathrm{1}-\omega )}^{\mathrm{2}}{(\frac{{\Lambda }^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-\Lambda (\rho )}{{\Lambda }^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-{\Lambda }^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}})}^{\mathrm{2}}\right]}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} （6）

式中：F（ρ）为综合目标函数；ω_i 为第i个工况的质量目标函数； \Lambda ( \rho )为位移的目标函数。

为验证决策矩阵是否满足一致性原则，引入一致性比值作为验证标准^［17］，表示为

C R = \frac{CI}{RI} （7）

C I = \frac{{\lambda }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}-n}{n-\mathrm{1}} （8）

式中：CI为一致性指标；RI为随机一致性指标。

考虑到翼梁结构共有3种不同的工况，因此n为3。将所得结果与随机一致性指标RI的参考值进行对比，可以得出随机一致性指标RI为0.58。进一步利用式（7）和式（8）进行计算，可以得出CI的值为0.019 25， C R为0.033，小于0.1，结果证明该决策矩阵符合一致性原则，则翼梁结构3个工况的权重系数分别为0.150 6、0.371 5和0.477 9。

2.3 设置约束条件

以翼梁结构自身的结构尺寸及系统可靠性指标β作为约束条件，构建优化求解框架，具体约束条件如下：

1） 翼梁结构的尺寸约束条件与其可靠性指标β的取值保持一致。

2） 建立翼梁结构可靠性约束条件。为确定翼梁结构可靠性约束条件，运用拉丁超立方抽样方法，在结构尺寸的合理取值范围内提取实际变量。然后，采用Kriging代理模型将可靠性指标β的计算结果与设计变量进行拟合，从而构建出翼梁结构部件厚度变量与可靠性指标β之间的代理模型，记为β=［δ ₁，δ ₃，…，δ ₃₁］，则以可靠性代理模型建立的优化约束条件为

\beta > R （9）

式中：R为翼梁结构设计时允许的可靠性指标最小值。

2.4 建立可靠性优化数学模型

综合考虑2.1—2.3节中所确定的结构尺寸参数，并依据设定的最小质量和最小位移的综合目标函数及已确定的约束条件，构建如下的可靠性优化数学模型表达式。

\mathrm{f} \mathrm{i} \mathrm{n} \mathrm{d} d = \left\{{\delta }_{\mathrm{1}},{\delta }_{\mathrm{3}},\cdots ,{\delta }_{\mathrm{31}}\right\}

\mathrm{m} \mathrm{i} \mathrm{n} \left\{m(d),\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left(\mathit{\Delta }\mathit{r}(d)\right)\right\}

（10）

式中：m为翼梁结构质量； Δr 为位移。

3 优化结果分析

在内层贝叶斯优化过程中，质量目标函数值变化历程如图3所示。应用此方法时，内层贝叶斯优化关键在于构建原始极限状态函数的Kriging代理模型，而外层优化则侧重于基于Kriging代理模型来进行优化求解。

由图3可知，随着目标函数调用次数的递增，翼梁结构质量呈现出明显的下降趋势。特别是在前20次调用中，质量下降的趋势尤为显著，随后逐渐趋于平缓。当调用次数达到约36次时，质量开始逐渐收敛，并未再出现下降趋势。最终，在第52次调用时，得到了翼梁结构质量的最优解。翼梁结构的质量在开始时下降速度快是因为δ ₃和δ ₇的厚度变化快。在翼梁结构的质量目标函数中，δ ₃和δ ₇的占比较大，是较为主要的优化结构。δ ₃在第30次调用后达到最小值，δ ₇在第26次调用后达到最小值。随着调用次数的递增，其他部件厚度均呈现出缓慢减小的趋势。经过多次计算，最终在第52次输出结果时，得出最优解，即m的值为20.196 kg，与初始翼梁结构质量相比下降了5.94%。

除了质量目标函数之外，本文还定义了最小位移目标函数，3种工况中优化前后的位移分析结果如表1所示，优化后的位移云图如图4所示。

从图4中可以看出，在经过翼梁结构位移最小化优化后，工况1中上缘条前部的位移由0.158 9 mm下降到0.122 8 mm，下降了22.72%；上缘条中部的位移由0.392 9 mm下降到0.269 9 mm，下降了31.31%；上缘条后部的位移由0.196 4 mm降低到0.124 4 mm，下降了36.66%。工况2中腹板前部的位移由0.651 7 mm下降到0.317 0 mm，下降了51.36%；腹板中部的位移由0.388 9 mm下降到0.201 5 mm，下降了48.19%；腹板后部的最大位移由0.162 8 mm下降到0.108 5 mm，下降了33.35%。工况3中的腹板侧围的最大位移由0.213 5 mm下降到0.105 2 mm，下降了50.73%。

4 结论

1） 在对飞机翼梁结构的可靠性优化中，可应用基于Kriging和贝叶斯优化的可靠性双层优化求解策略。通过设计翼梁结构参数、构建综合目标函数、设置约束条件的过程完成对翼梁结构可靠性优化设计。将可靠性指标β与参数值拟合成Kriging代理模型，并将其设为优化分析中Kriging代理模型响应值的约束条件，可以避免调用目标函数时的重复计算。

2） 优化结果显示，翼梁结构质量与初始值相比下降了5.94%，3种工况下的最小位移均有不同程度的降低，且均满足飞机适航标准，可以在保证飞机翼梁结构可靠性满足要求的同时，降低制造成本，缩短制造时间，使翼梁结构的可靠性性能在追求最小质量和位移的基础上得到进一步加强，给飞机翼梁结构的设计提供了参考。

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基金资助

国家自然科学基金(51005228)

辽宁省教育厅项目(JYTMS20230228)

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