考虑磨损的十字轴式万向联轴器可靠性评估

Reliability assessment of cross-shaft universal joint considering wear

摘要

为了避免万向联轴器因磨损导致传动效率下降甚至破坏的问题，基于Archard模型和Hertz接触理论对磨损量进行计算。结合动力学仿真给出输出端角速度变化幅度和磨损量之间的函数关系，进而建立可靠度及灵敏度计算模型。结果表明，磨损量越大，输出端角速度的波动越大，当磨损量超过一定值时，输出端角速度的波动出现明显激增；随着磨损量增大，可靠度逐步下降，可靠度对各随机变量的灵敏度均为负值，其中参数K_H的灵敏度最大。因此，在定期监测磨损量和输出端角速度变化幅度的同时，应采取适当工艺手段提高材料硬度和使用优质润滑油等措施降低K_H的均值和离散性。

Abstract

In order to prevent the issue of transmission efficiency decline or even failure in universal joint caused by wear，the wear amount was calculated based on the Archard model and Hertz contact theory.the functional relationship between the variation amplitude of the output angular velocity and the wear amount was given by using dynamic simulations，and a reliability and sensitivity calculation model was established.The results show that greater wear leads to greater fluctuation of the output angular velocity，with a significant increase in fluctuations once the wear amount exceeds a certain threshold.As the wear amount increases，reliability gradually decreases，and the sensitivity of reliability to each random variable is negative，with the parameter K_H having the highest sensitivity.Therefore，while regularly monitoring the wear amount and the variation amplitude of output angular velocity，appropriate process measures should be taken to improve material hardness and use high-quality lubricants to reduce the mean and dispersion of K_H.

Graphical abstract

关键词

可靠性 / 万向联轴器 / 磨损 / 动力学仿真 / 灵敏度

Key words

reliability / universal joint / wear / dynamic simulations / sensitivity

十字轴式万向联轴器是传动系统中的重要部件之一，采用十字轴式万向联轴器可以实现含折角条件下的动力传递。现代民航客机襟翼处的马达经过万向联轴器将扭矩传递到襟翼下方的机构处，保证飞机增升系统的正常工作^［1］。然而随着服役时间的增长，十字轴式万向联轴器会出现磨损现象，进而影响飞机襟翼的可靠性。

目前在十字轴式万向联轴器及其磨损方面已有一些研究。刘盛娟^［2］使用Adams软件对考虑磨损间隙的十字轴式万向联轴器进行了数值模拟，研究表明，磨损导致的间隙越大，输出端角速度的波动越大。Antonio等^［3］基于Archard磨损模型，通过引入磨损过程的随机性，给出了磨损系数服从几种常用分布的磨损量概率密度函数。Stanković等^［4］利用ANSYS软件对圆柱-圆柱接触磨损过程进行了仿真，提供了一种确定接触磨损体积的数值计算方法。 Zhu等^［5］基于Archard磨损模型计算了车轮磨损量，结果表明，在稳定磨损阶段，载荷增大不会改变磨损的分布规律。Hou等^［6］针对飞机起落架锁的磨损问题设计了磨损实验，验证了Archard磨损模型应用到起落架锁的可行性。Sun等^［7］基于Archard磨损模型和Hertz接触理论对行星减速器中小模数齿轮微动磨损过程进行了数值仿真，结果表明，安装误差会引起齿轮接触轨迹的偏离，随着安装误差的增大磨损深度逐步增大。高恒强等^［8］利用有限元方法和Archard 磨损模型建立了球与内圈磨损的计算模型，并分析了运行时间、径向载荷、接触角等因素对轴承磨损的影响。马生辉等^［9］基于Archard 磨损模型，利用有限元开展了风电轴承磨损行为的仿真模拟，给出了轴承接触和磨损特性的演变过程。

目前，对于十字轴式万向联轴器的研究主要集中在轴承磨损机理和动力学仿真邻域，忽略了万向联轴器所用材料和所受载荷的随机性。然而材料和载荷的随机性是必然存在的，随机性对产品的可靠性是至关重要的。在实际工程中，随着服役时间的增长，某十字轴式万向联轴器输出端角速度出现了较大波动，造成系统运行不稳定。经故障分析发现是万向联轴器运动副存在严重磨损，在更换相应部件后开展修后监测，系统恢复正常。

针对随机性的重要性和工程中出现的具体问题，文中基于Archard磨损模型计算磨损深度，对含间隙的十字轴式万向联轴器进行动力学仿真，给出十字轴式万向联轴器在不同磨损间隙下输出端角速度的变化规律。根据磨损深度和输出端角速度的函数关系，构建十字轴式万向联轴器可靠性计算模型，利用蒙特卡罗模拟（Monte Carlo simulation，MCS）求解十字轴式万向联轴器的可靠性及各影响因素的灵敏度。

1 磨损量的计算

1.1 Archard磨损模型

Archard磨损模型^［10］为

h=\frac{V}{A}=\frac{KLP}{HA}=\frac{KvPt}{HA}=K_{\mathrm{H}}vt\sigma（1）

式中：v为相对滑动速度；t为时间；\sigma为接触应力；h_{}为磨损深度；A为接触面积；V为磨损体积；K为磨损系数；H为接触对中较软材料的硬度；P为法向载荷；L为相对滑动距离；K_{\mathrm{H}}为磨损系数和硬度的比值。

1.2 相对滑动速度

万向节在实际的工作状态中做摆动运动而非一般的旋转运动，陈佳华^［11］将摆动运动转换成等价的旋转运动，等价转速为

n=\frac{\beta n\text{'}}{\mathrm{90}°}（2）

式中：n为万向节等价转速；n\text{'}为联轴器转速；\beta为联轴器轴线折角。

万向节工作时外圈旋转而内圈静止，滚子的自转线速度^［12］为

v_{\mathrm{a}}=\frac{\mathrm{\pi }n{R}_{\mathrm{1}}}{\mathrm{60}\times {\mathrm{10}}^{\mathrm{3}}}\left(\frac{D_{\mathrm{P}\mathrm{W}}}{\mathrm{2}{R}_{\mathrm{1}}}-\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}\alpha }{D_{\mathrm{P}\mathrm{W}}/\mathrm{2}{R}_{\mathrm{1}}}\right)（3）

式中：v_{\mathrm{a}}为滚子的自转线速度；R_{\mathrm{1}}为滚子半径；D_{\mathrm{P}\mathrm{W}}为节圆直径；\alpha为接触角。

滚子的公转线速度^［12］为

v_{\mathrm{c}}=\frac{\mathrm{\pi }n{D}_{\mathrm{P}\mathrm{W}}}{\mathrm{12}\times {\mathrm{10}}^{\mathrm{4}}}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha }{D_{\mathrm{P}\mathrm{W}}/\mathrm{2}{R}_{\mathrm{2}}}\right)（4）

式中：v_{\mathrm{c}}滚子的公转线速度；R₂为十字轴轴径半径。

滚子与内圈的相对滑移速度为

v_{\mathrm{1}}=v_{\mathrm{c}}-v_{\mathrm{a}}（5）

滚子与外圈的相对滑移速度为

v_{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{\pi }(D_{\mathrm{P}\mathrm{W}}+\mathrm{2}{R}_{\mathrm{2}})n}{\mathrm{60}\times {\mathrm{10}}^{\mathrm{3}}}-(v_{\mathrm{c}}+v_{\mathrm{a}})（6）

1.3 接触应力

联轴器传递力矩过程中，由主动叉头和被动叉头通过与其接触的轴承座并经过轴承座内的滚动体向十字轴传递弯矩，十字轴所受弯矩为一对大小相等、方向相反的转矩^［2］。因此，十字轴的受力可简化为一对大小相等、方向相反的径向载荷F_{\mathrm{r}}。F_{\mathrm{r}}的计算公式为

F_{\mathrm{r}}=\frac{T}{\mathrm{2}R}（7）

式中：T为转矩；R为十字轴的工作半径。

基于Hertz接触理论^［13］，接触表面的最大接触应力\sigma为

\sigma =\frac{\mathrm{2}Q}{\mathrm{\pi }bl}（8）

式中：Q为最大接触载荷；b为接触区域半宽度；l为接触体长度。

b=\sqrt[]{\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{\pi }}·\frac{\mathrm{1}}{\tilde{E}}·\frac{Q}{l}·\frac{R_{\mathrm{1}}{R}_{\mathrm{2}}}{R_{\mathrm{1}}\pm R_{\mathrm{2}}}}（9）

式中：\tilde{E}为等效弹性模量。

\frac{\mathrm{1}}{\tilde{E}}=\frac{\mathrm{1}-u_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{E_{\mathrm{1}}}+\frac{\mathrm{1}-u_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}{E_{\mathrm{2}}}（10）

式中：E和u分别为两接触物体各自弹性模量和泊松比。在径向载荷F_{\mathrm{r}}的作用下，滚子轴承中的最大接触载荷为

Q=\frac{\mathrm{4.08}{F}_{\mathrm{r}}}{Z}（11）

式中：Z为轴承中滚动体个数。

2 可靠性评估

2.1 功能函数

输出端角速度作为评判十字轴式万向联轴器传动平稳性的重要指标之一，角速度的标准差越大说明角速度波动越明显，故以角速度的标准差作为可靠性判据。联轴器的功能函数为

G(t)={\sigma }_{\omega }^{\mathrm{t}\mathrm{h}}-{\sigma }_{\omega }(t)（12）

式中：{\sigma }_{\omega }^{\mathrm{t}\mathrm{h}}为输出端角速度标准差的阈值；{\sigma }_{\omega }(t)为输出端角速度的标准差。

当不考虑磨损间隙时，十字轴式万向联轴器输入端、中间轴和输出端角速度的关系^［14］为

\left\{\begin{array}{l}{\omega }_{\mathrm{2}}={\omega }_{\mathrm{1}}\\ {\omega }_{\mathrm{3}}=\frac{{\omega }_{\mathrm{1}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\beta }{\mathrm{1}-\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{\mathrm{2}}\beta \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\phi }_{\mathrm{1}}}\\ {\phi }_{\mathrm{1}}={\phi }_{\mathrm{2}}\end{array}\right.（13）

式中：{\omega }_{\mathrm{1}}\mathrm{、}{\omega }_{\mathrm{3}}\mathrm{、}{\omega }_{\mathrm{2}}分别为输入端、中间轴和输出端角速度；{\phi }_{\mathrm{1}}和{\phi }_{\mathrm{2}}分别为输入端和输出端转过的角度；\beta为轴线间夹角。

当考虑磨损间隙时，十字轴式万向联轴器输入端、中间轴和输出端角速度的关系难以获得解析表达式，文中通过动力学仿真给出。

2.2 可靠度与灵敏度

可靠度R_{\mathrm{m}}和失效概率P_{\mathrm{f}}分别为

R_{\mathrm{m}}=R(G(t)>\mathrm{0})（14）

P_{\mathrm{f}}=\mathrm{1}-R_{\mathrm{m}}（15）

基于MCS，失效概率对随机变量均值和标准差的灵敏度^［15］为

\frac{\partial P_{\mathrm{f}}}{\partial {\mu }_{xi}}=\frac{\mathrm{1}}{M}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^M}\left[I_{\mathrm{F}}\left({\mathit{X}}_k\right)\left(\frac{x_{ki}-{\mu }_{xi}}{{\sigma }_{xi}^{}}\right)\right]（16）

\frac{\partial P_{\mathrm{f}}}{\partial {\sigma }_{xi}}=\frac{\mathrm{1}}{M}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^M}\left\{I_{\mathrm{F}}\left({\mathit{X}}_k\right)\left[{\left(\frac{x_{ki}-{\mu }_{xi}}{{\sigma }_{xi}}\right)}^{\mathrm{2}}-\mathrm{1}\right]\right\}（17）

式中：{\mathit{X}}_k=\left\{x_{k\mathrm{1}},x_{k\mathrm{2}},\cdots ,x_{kn}\right\}为第k个样本矢量；M为样本总数；{\sigma }_{xi}为第i个变量的标准差；{\mu }_{xi}为第i个变量的均值；I_{\mathrm{F}}为示性函数。

（18）

失效概率对随机变量均值和标准差的无量纲的灵敏度为

S_{{\mu }_{xi}}=\frac{\partial P_{\mathrm{f}}}{\partial {\mu }_{xi}}\cdot \frac{{\sigma }_{xi}}{P_{\mathrm{f}}}（19）

S_{{\sigma }_{xi}}=\frac{\partial P_{\mathrm{f}}}{\partial {\sigma }_{xi}}\cdot \frac{{\sigma }_{xi}}{P_{\mathrm{f}}}（20）

3 算例

3.1 不考虑磨损的动力学仿真

某型十字轴式万向联轴器的三维数模如图1所示，左端叉头为输入端，右边叉头为输出端。利用Adams软件建立动力学仿真模型，输入端和输出端均为旋转副，中间轴为平移副；套筒与叉头之间设置接触对，根据文献［16］设置接触对的接触刚度、阻尼系数、穿透深度、静态摩擦因数和动态摩擦因数等参数；材料密度为7 850 \mathrm{k}\mathrm{g}/{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}，两端叉头与中间轴折角\beta为2.5°，输入端角速度{\omega }_{\mathrm{1}}为6 369 °/s，输出端阻力矩为65 kN。

输出端角速度{\omega }_{\mathrm{2}}和中间轴角速度{\omega }_{\mathrm{3}}的仿真结果如图2所示。从图2可以看出，仿真结果与式（13）给出的理论解高度一致，表明动力学仿真模型是正确的。

3.2 考虑磨损的动力学仿真

分别开展含有0.05、0.1、0.15、0.2、0.25 和0.3 mm磨损深度的动力学仿真，磨损深度通过修改三维数模的几何尺寸进行设置。0.1、0.2和0.3 mm磨损深度下输出端角速度{\omega }_{\mathrm{2}}如图3所示。从图3可以看出，磨损深度越大，输出端角速度的波动越大。

对不同磨损深度下输出端角速度的数据进行统计，得到输出端角速度的标准差，如图4所示。利用高阶多项式对仿真数据进行拟合，得到输出端角速度标准差与磨损深度的关系式为

\begin{array}{l}{\sigma }_{\omega }(t)=\mathrm{3.701}\times {\mathrm{10}}^{\mathrm{6}}h{(t)}^{\mathrm{6}}-\mathrm{2.119}\times {\mathrm{10}}^{\mathrm{6}}h{(t)}^{\mathrm{5}}\\ +\mathrm{3.487}\times {\mathrm{10}}^{\mathrm{5}}h{(t)}^{\mathrm{4}}-\mathrm{3258}h{(t)}^{\mathrm{3}}\\ -\mathrm{2}\mathrm{040}h{(t)}^{\mathrm{2}}+\mathrm{133.8}h(t)+\mathrm{11.55}\end{array}（21）

从图4可以看出，在0.25 mm磨损深度以内，输出端角速度的标准差与磨损深度接近线性关系；当磨损深度超过0.25 mm之后，输出端角速度的标准差出现了明显的激增。因此，将0.25 mm磨损深度对应的输出端角速度的标准差作为可靠性分析的阈值{\sigma }_{\omega }^c。经过维修厂家的测量，某型十字轴式万向联轴器出现故障时的磨损深度为0.27 mm，仿真的磨损深度为0.25 mm，表明本文方法是合理有效的，且仿真结果相对保守。

3.3 可靠度计算

可靠度计算过程中需要引入随机变量，随机变量主要有尺寸、材料属性和载荷。对于尺寸的随机性，由于联轴器为精密件且目前制造水平很高，因此不考虑尺寸的随机性。对于材料属性，根据《结构可靠性设计手册》^［17］，材料属性可认为是服从正态分布的随机变量且金属材料属性的变异系数一般在0.01~0.1。因此，将弹性模量E、泊松比u和K_{\mathrm{H}}认为是服从正态分布的随机变量，保守起见，变异系数取0.1。对于载荷，在实际工作中，联轴器的转矩相对其均值的变动范围一般在\pm30%以内^［18］，因此将转矩认为是服从正态分布的随机变量，利用\mathrm{3}\sigma原则确定其变异系数为0.1。综上，随机变量均服从正态分布，变异系数均为0.1，随机变量的均值如表1所示。

基于式（1）—（11），计算得到不同服役时间下的磨损深度h，结合式（12）、（14）和（21），利用MCS（样本数量10⁶）可得可靠度随服役时间的变化，如图5所示。利用平均故障间隔时间MTBF与可靠度的积分关系，通过仿真计算得到的MTBF为3.09年，与某型十字轴式万向联轴器输出端角速度出现较大波动造成系统运行不稳定的时间3.3年比较接近，说明本文所建可靠性求解模型是合理有效且仿真结果相对保守。

3.4 灵敏度计算

利用式（19）和（20）可求得失效概率对各随机变量均值和标准差的灵敏度。基于式（15）的转换，可获得可靠度对各随机变量均值和标准差的灵敏度，如图6所示。

从图 6a可以看出，可靠度对各随机变量均值的灵敏度均为负值，其中K_{\mathrm{H}}的均值灵敏度最大。因此，在实际工程中可通过工艺手段提高材料硬度和使用优质润滑油等措施降低K_{\mathrm{H}}，进而提高可靠性。从图6b可以看出，可靠度对各随机变量均值的灵敏度均为负值，其中K_{\mathrm{H}}的标准差灵敏度最大。因此，在实际工程中需更关注K_{\mathrm{H}}的离散性。

4 结论

1）基于Archard磨损模型、Hertz接触理论和Adams动力学仿真软件给出了磨损量与输出端角速度的变化规律。算例结果表明，在0.25 mm磨损深度以内，输出端角速度的标准差与磨损深度接近线性关系；当磨损深度超过0.25 mm之后，输出端角速度的标准差出现了明显的激增。因此在实际工程中，应定期检测磨损深度和输出端角速度的变化幅度，以确保传动系统的安全可靠。

2）基于仿真数据，建立了磨损量和输出端角速度标准差的函数关系，进而构建了可靠性计算模型。算例结果表明，可靠度对各随机变量均值和标准差的灵敏度均为负值，对可靠度具有不利的影响，其中，K_{\mathrm{H}}的均值灵敏度和标准差灵敏度均最大。因此，在实际工程中可通过工艺手段提高材料硬度和使用优质润滑油等措施降低K_{\mathrm{H}}，同时还需关注K_{\mathrm{H}}的离散性。

3）对于十字轴式万向联轴器，结构存在多种失效模式，如输出端角速度波动过大、结构强度不足及结构疲劳寿命不足等。本文仅讨论了由于磨损所引起的输出端角速度波动过大这一失效模式，对于多失效模式可靠性评估工作将在后续研究中进行深入讨论。

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基金资助

国家自然科学基金(12272240)

辽宁省教育厅面上项目(JYTMS20230224)