基于博弈论组合赋权法的轴承性能退化特征指标选择

Selection of performance degradation characteristic indicators of bearings based on game theory combinatorial weighting method

摘要

为了选择更有效的表征空压机轴承性能退化特征指标，提出一种基于博弈论组合赋权法的特征指标选取方法。通过对轴承振动进行时域指标分析及冗余信息预处理，获得轴承时域指标数据集。利用单调性、鲁棒性和趋势性3种特征指标评价方法，分别完成性能特征指标选择。基于此，利用博弈论组合赋权法，对3种特征指标和16种时域指标进行加权，完成轴承性能退化指标的选择，并通过实例验证，说明该方法的有效性。

Abstract

In order to select the characteristic indicator to more effectively characterize the performance degradation of the air compressor bearing，a feature indicator selection method based on game theory combinatorial weighting method was proposed.Through the analysis of the time-domain indicator of the bearing vibration and the preprocessing of redundant information，the time-domain indicator dataset of the bearing was obtained.Three characteristic indicator evaluation methods including monotonicity，robustness and trend were used to complete the selection of performance characteristic indicators.Based on this，the game theory combinatorial weighting method was used to weight three characteristic indicator and sixteen time-domain indicator to complete the selection of bearing performance degradation indicator.The effectiveness of this method was illustrated by example verification.

Graphical abstract

关键词

性能退化特征 / 时域指标 / 特征指标选取方法 / 博弈论组合赋权法 / 空压机轴承

Key words

performance degradation characteristics / time-domain indicators / feature indicator selection method / game theory combinatorial weighting method / air compressor bearing

空压机作为主要的动力能源，在石油、汽车和航空航天等许多领域发挥着十分重要的作用。轴承作为空压机中故障率最高的元件，其故障状况影响着整个系统的运行可靠性，因此通常利用监测空压机轴承的振动信号来诊断空压机的运行状态^［1-3］。在空压机运行的过程中，由于受到摩擦、振动、腐蚀等物理化学作用，输出轴轴承性能的退化，功能退化的累积造成零件的故障及停机连锁。因此对空压机输入、输出轴轴承性能的退化情况实时监测是进行空压机及时故障诊断的重要方式。

为了能够选择更有效的评价性能退化的趋势和规律的时域指标，学者们做了大量的研究。马洪涛等^［4］通过时域信号自相关和时域同步平均方法，对振动信号进行降噪处理，得到故障齿轮的峭度指标为最优特征指标。韩毅^［5］针对地铁车辆滚动轴承通过时域分析，得到了方根幅值和绝对平均值可作为诊断轴承性能退化的有效指标。本文利用传感器采集轴承的振动信号数据并进行冗余信息的过滤，获得振动信号的16种时域指标。

为了更加科学地选择特征指标，学者们通过不同的特征指标评价方法进行研究。孙丽等^［6］从时域和频域谱峭度提取信号的特征进行平滑处理，并从单调性的角度出发进行排序，从而选取峰值指标、脉冲指标和谱峭度的均值为最优特征指标。庞世杰等^［7］为了提高轴承预测精度，提取振动信号中的时域特征，对时域特征的趋势性进行研究，得到最优表征特征。然而单一的特征指标评价方法的评价结果不够全面，因此，苏皓南等^［8］分析了时域、频域等特征，捕捉不同的故障信息并根据单调性和趋势性评价方法，得到了均方根和方根幅值等时域指标为优选特征进行研究。周建民等^［9］采用时域方法和集成经验模态分解能量熵提取轴承特征，综合考虑相关性、单调性和鲁棒性，最终得到均方根值、绝对平均幅值等为最优的退化特征指标。

本文根据上述文献轴承性能退化时序性的特点，同时结合已有研究成果的优势，提出对空压机轴承进行时域分析，然后采用不同的特征指标评价方法，并综合这些不同特征的优势，将各个指标进行综合运算，采用博弈论组合赋权法综合主客观赋权方法对特征指标进行加权计算，得到每个特征指标评价方法下每个时域指标的综合权重，由此选出表征空压机轴承性能退化状态的最优时域指标集，来更加精准地对轴承运行状态进行分析。

1 数据采集

本文数据来源于某粮食运输公司空压机轴承传感器的五年的运行数据，包括水平方向振动（VI7051A）、垂直方向振动（VI7051B）和轴承温度（TI7052），轴承相关图例如图1所示。

2 数据分析

在实际工况中，通过传感器得到的性能退化数据往往存在着一些冗余信息。为了更好地表征性能退化状态，一般通过时域、频域分析等手段对数据进行预处理。由于性能退化状态信息往往存在严格的时间序列，因此采用时域分析对数据进行预处理。

2.1 空压机轴承振动信号时域分析

时域分析是以时间为自变量，描述振动信号在不同时刻的取值。空压机轴承的时域分析通过振动信号在时间和空间上的变化趋势传递了大量的轴承退化信息。为了更加准确地表达这些信息，采用16种时域指标，有量纲和无量纲时域指标分别如表1和表2所示^［10］。表1、2的公式中，X_i 为传感器收集到的原始数据；N为收集总量。

2.2 特征指标评价方法

为了从16种时域指标中选择更有效表征轴承性能退化的指标，提升故障诊断精度，学者们做了很多探索。但是不同的评价方法选择的特征指标差别较大。

2.2.1 单调性特征指标评价方法

在工程实践中，轴承的退化过程是不可逆的。单调性是一个退化指标的固有属性。一个退化指标的单调性越好，则代表它表征轴承退化轨迹的能力越强^［11］。单调性指标计算方法如公式（1）所示。

（1）

式中：Mon（X_i）为单调性的有效系数；Mon（X_i）取值范围为0到1，Mon（X_i）越接近1，则代表其单调性越好；X_i 为时域指标，i=（1，2，…，16）；N为退化指标序列的长度；No.diff（x）为一阶差分的数量。

2.2.2 鲁棒性特征指标评价方法

退化指标中包括噪声、随机冲击及异常点等不可控因素，将会降低退化指标的表征退化轨迹的能力。为了量化退化指标的这种能力，将其命名为鲁棒性^［12］，如式（2）所示。

\mathrm{R}\mathrm{o}\mathrm{b}\left(X\right)=\frac{\mathrm{1}}{N}{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^N}exp\left(-\left|\frac{x_n-\overline{x_n^t}}{x_n}\right|\right)（2）

式中：Rob（X）为鲁棒性的有效系数，Rob（X）取值范围为0到1，Rob（X）越接近1，则代表鲁棒性越好；x_n 为X在t_n 时刻的退化指标值；\overline{x_n^t}为X在t_n 时刻的平均趋势值。

2.2.3 趋势性特征指标评价方法

轴承的退化过程是与时间强关联的，随着工作时长的增加，轴承磨损程度会逐渐加重，同时也表现在退化轨迹上，特征指标整体趋势逐渐呈现出递增或递减，故采用趋势性衡量特征与时间的相关性，如公式（3）所示。

\mathrm{T}\mathrm{r}\mathrm{e}\left(X,T\right)=\frac{N{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^N}{x}_n{t}_n-{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^N}{x}_n·{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^N}{t}_n}{\sqrt[]{\left[N{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^N}{x}_n^{\mathrm{2}}-{\left({\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^N}{x}_n\right)}^{\mathrm{2}}\right]\left[N{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^N}{t}_n^{\mathrm{2}}-{\left({\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^N}{t}_n\right)}^{\mathrm{2}}\right]}}（3）

式中，x_n 为X在t_n 时刻的退化指标值；|Tre（X，T）为趋势性的有效系数；Tre（X，T）≤1，其越接近1，趋势性越强^［13］。

2.3 博弈论组合赋权法

经上述研究，采用不同的指标评价方法选取的特征指标各不相同，不能确定最优指标。因此为了选取的特征指标能够较为全面地表征轴承的退化性能的三大特性，综合属性最优，拟通过博弈论组合赋权法，对不同的特征指标评价方法和时域特征指标进行加权。

2.3.1 熵值法

熵值法是根据包含的各个变量的变异程度进行赋权的方法，是一种客观赋权方法。在信息论中，熵值法通过计算各特征指标评价方法的熵值来确定它们的权重。主要步骤包括^［14］：

1）构建数据源矩阵

{\mathit{Z}}_b=\left(\begin{array}{ccc}{z}_{\mathrm{11}}& \cdots & z_{\mathrm{1}m}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ z_{n\mathrm{1}}& \cdots & z_{nm}\end{array}\right)（4）

式中：z_1m 为同一时域指标下不同特征指标评价值；z_n1为同一特征指标评价方法下的时域指标值。

2）数据标准化处理：对构建的数据源矩阵进行正向化、标准化处理。

{\mathit{B}}_{ij}=\frac{z_{nm}}{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{z}_{nm}}（5）

\mathit{B}=\left(\begin{array}{ccc}{b}_{\mathrm{11}}& \cdots & b_{\mathrm{1}j}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ b_{i\mathrm{1}}& \cdots & b_{ij}\end{array}\right)（6）

3）计算熵值：根据标准化的数据计算各指标熵e_j。

e_j=-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{l}\mathrm{n}m}·{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{\mathit{B}}_{ij}\mathrm{l}\mathrm{n}{\mathit{B}}_{ij}（7）

其中：j=1，2，…，m；0≤ e_j<1

4）计算指标差异系数：差异系数g_j 等于1减去熵值，表示指标的变异程度。

g_j=\mathrm{1}-e_j（8）

5）计算权重：对差异系数进行归一化处理，得到各指标权重W{}_j^{}。

W_j^{}=\frac{g_j}{{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^m}{g}_j}（9）

2.3.2 优序图

优序图是通过多个指标重要性程度进行两两比较，最终得到系统指标重要程度的一种主观赋权法。用“0”“0.5”和“1”来表示指标之间的优劣，即“1”表示在两个指标的对比中前者更为重要，“0.5”表示两个指标同等重要，“0”则代表后者更为重要，由此建立各个指标关系表，计算得到各个指标的权重。

2.3.3 基于博弈论方法的组合赋权

该方法将各个评价指标通过构建博弈模型，分析各指标在博弈中的策略选择和行为模式，从而确定各指标的权重，强调在权重确定过程中决策者之间的相互影响和制约关系。具体计算方法如下^［15］：

1）利用博弈论思想求取纳什均衡点。

\mathrm{M}\mathrm{i}\mathrm{n}||w^{\mathrm{*}}-w_k|{|}_{\mathrm{2}},k=\mathrm{1,2}（10）

式中：||∙||₂表示矩阵的二范式。

2）根据矩阵的微分性质，将式（10）变换为一阶导数下的线性方程组。

\left[\begin{array}{cc}{\mathit{w}}_{\mathrm{1}}{\mathit{w}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}& {\mathit{w}}_{\mathrm{1}}{\mathit{w}}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{T}}\\ {\mathit{w}}_{\mathrm{2}}{\mathit{w}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}& {\mathit{w}}_{\mathrm{2}}{\mathit{w}}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{T}}\end{array}\right]\left[\frac{{\alpha }_{\mathrm{1}}}{{\alpha }_{\mathrm{2}}}\right]=\left[\begin{array}{c}{\mathit{w}}_{\mathrm{1}}{\mathit{w}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}\\ {\mathit{w}}_{\mathrm{2}}{\mathit{w}}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{T}}\end{array}\right] （11）

式中：\mathit{w}₁为熵值法客观赋权法得到的权重值；\mathit{w}₂为利用优序图得到的权重值。

3）求解权重系数α₁和α₂，并对其进行归一化处理，得到α{}_{\mathrm{1}}^{*}和α{}_{\mathrm{2}}^{*}。

\left\{\begin{array}{l}{\alpha }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}=\frac{\left|{\alpha }_{\mathrm{1}}\right|}{\left|{\alpha }_{\mathrm{1}}\right|+\left|{\alpha }_{\mathrm{2}}\right|}\\ {\alpha }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}=\frac{\left|{\alpha }_{\mathrm{2}}\right|}{\left|{\alpha }_{\mathrm{1}}\right|+\left|{\alpha }_{\mathrm{2}}\right|}\end{array}\right.（12）

4）确定组合权重\mathit{w}{}_{ij}^{}。

{\mathit{w}}_{ij}={\alpha }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{*}}{\mathit{w}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}+{\alpha }_{\mathrm{2}}^{\mathrm{*}}{\mathit{w}}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{T}}（13）

2.4 特征指标加权评估

根据2.2中3种特征指标评价方法和式（13）的组合权重，得到不同特征指标评价方法下的不同时域指标的组合数据值。

HM\left(X\right)=\mathrm{M}\mathrm{A}\mathrm{X}\left[{\mathit{w}}_{\mathrm{1}j}\mathrm{M}\mathrm{O}\mathrm{N}\left(X\right)+{\mathit{w}}_{\mathrm{2}j}\mathrm{T}\mathrm{R}\mathrm{E}\left(X\right)+{\mathit{w}}_{\mathrm{3}j}\mathrm{R}\mathrm{O}\mathrm{B}(X)\right]（14）

HM（X）为不同特征指标评价方法下的不同时域指标中的最优综合评价值。其中，\mathit{w}_ij>0且{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}{\mathit{w}}_{ij}=\mathrm{1}，数值越大，代表该指标越能精确地表征轴承的性能退化特性。

3 实例验证

以某型空压机轴承运行5年时间，经传感器传输所得的3组运行数据中的水平方向振动数据作为输入数据集对所述方法进行验证。

3.1 数据预处理

为了更好地表征轴承的退化状态，去除原始数据存在的冗余信息，先对空压机轴承水平振动原始数据进行预处理，代入式（1）—（3）中，得到轴承时域指标数据集，如表3所示。

从表3可以看出，同一时域指标在不同评价方法下，计算得到的结果差距较大，而且对性能退化趋势特征表达的强弱程度的位序也存在差异。由于每种方法侧重描述的特征有所不同，因此这种单一特征指标评价方法有可能遗漏掉最佳的表征指标。

3.2 熵值法客观赋权值

采用式（9）对时域指标数据集进行加权计算，求得熵值法权重W{}_j^{}。

表4为熵值法变观赋权值。由表4可知，同一时域指标在不同特征指标评价方法下，计算得到的权重值差异较大，并且采用不同的特征指标评价方法下所占权重最大的时域指标也各不相同，因此单一使用熵值法、客观赋权法无法得到最优表征轴承性能退化的时域指标。

3.3 优序图主观赋权值

经学者对各个指标进行排序对比，根据2.3.2优序图主观赋权法的评价规则，最终得到基于优序图主观赋权值，如表5所示。

3.4 博弈论组合赋权值

根据式（10）—（13）将主客观赋权法结合，得到空压机轴承性能退化指标的博弈论组合赋权值，如表6所示。

由表6和表4对比可知，通过博弈论组合得到的权重值与熵值法单一权重数值与位次均有所不同，因此通过结合优序图赋权法的博弈论组合赋权法得到更加严谨的权重值。

3.5 博弈论组合赋权法评价结果

通过博弈论组合赋权值和特征指标数据集，并根据式（14），最终得到空压机轴承在水平振动数据的博弈论组合赋权法评价结果，如表7所示。

由表7可以看出，通过博弈论组合赋权法计算后得到绝对平均幅值时域指标相对于其他时域指标数值最大，说明在同时考虑3种特征指标评价方法时，绝对平均幅值表征轴承性能退化能力更好。通过对比表3与表7的数据，使用博弈论组合赋权法可以准确地捕捉到单一特征指标评价方法下不是位于前列位次的时域指标，作为最优表征轴承性能退化的时域指标集，验证了博弈论组合赋权法的准确性和有效性。

4 结论

本文提出一种基于博弈论组合赋权法的特征指标选择方法，并将其应用到空压机轴承振动监测的特征指标选择中，得到如下结论：

1）单一的特征指标评价方法所得到的最优时域指标各不相同，仅能选择出在一种特性下突出优势的指标，并不能综合得到全面表征轴承运行状态的时域指标。

2）将3种特征指标评价方法通过博弈论组合赋权法进行综合研究，相对于单一的特征指标评价方法可以得到更优的表征性能退化状态的指标，为特征指标选择提供了有力的支持。

3）博弈论组合赋权法避免了由于优序图主观赋权法带来的主观偏差，并且结合了熵值法客观赋权法基于数据本身更好的量化能力，保障了时域指标选取的综合性和全面性，使整个特征指标选择更加科学、严谨，评价结果更贴近真实情况。

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基金资助

辽宁省教育厅基本科研项目(JYTMS20230229)