开环轨迹太阳能小车设计与仿真分析

Design and simulation analysis of open-loop trajectory solar-powered car

摘要

为了满足太阳能小车开环轨迹运动要求，提出了一种太阳能小车的设计制作方法。首先，通过使用 B 样条曲线，将特征点坐标拟合出理想的开环轨迹曲线，并利用MATLAB软件对规划轨迹进行分析和优化，生成凸轮轮廓线。其次，根据总体功能要求，设计太阳能小车的整体结构、传动机构及转向微调机构。然后，运用仿真软件对凸轮轨迹进行仿真分析和优化，并组装小车电路模块。最后，进行小车实际行驶测试，通过调整微调机构改变前轮偏移角度，提高小车的轨迹运行精度。实验结果表明，制作的小车运行稳定，能够顺利通过所有预定特征点。

Abstract

To meet the requirements for open-loop trajectory motion of a solar-powered car， a design and fabrication method was proposed for a solar-powered car. Firstly， by using B-spline curves， the characteristic points were fitted to generate an ideal open-loop trajectory curve. MATLAB software was then utilized to analyze and optimize the planned trajectory to produce the cam profile. Next， based on the overall functional requirements， the overall structure， transmission mechanism， and steering fine-tuning mechanism of the solar-powered car were designed. Subsequently， simulation software was employed to perform simulation analysis and optimization of the cam trajectory， and the car’s circuit modules were assembled. Finally， actual driving tests of the car were conducted. To improve the trajectory accuracy of the car， the front wheel offset angle was modified by adjusting the fine-tuning mechanism. Experimental results demonstrate that the car fabricated using this method operates stably and successfully passes through all predetermined characteristic points.

Graphical abstract

关键词

太阳能小车 / 开环轨迹 / 凸轮轮廓 / 微调机构 / 仿真分析

Key words

solar-powered car / open-loop trajectory / cam profile / fine-tuning mechanism / simulation analysis

太阳能小车的设计理念是推广低碳环保，实现可持续发展的目标^［1］。以往的太阳能小车行驶路线大多是闭环路线，从S型轨迹、双8字形轨迹发展到多桩环形轨迹^［2-4］。本文太阳能小车的路线采用开环轨迹路线，打卡指定特征点，包括A—J 10个点位，并利用传感器打卡记录，同时语音播报。

1 小车行驶轨迹分析

1.1 打卡点位

太阳能小车打卡点位及坐标如表1所示。

1.2 拟合行驶曲线

小车转向轮的转弯半径R₀可以表示为

R_{\mathrm{0}}=\frac{\mathrm{1}}{K}=\frac{{\left[\phi {\text{'}}^{\mathrm{2}}\left(t\right)+\omega {\text{'}}^{\mathrm{2}}\left(t\right)\right]}^{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}}}{\left[{\phi }^{\text{'}}\left(t\right)\omega \text{'}\text{'}\left(t\right)+\omega {\text{'}}^{\mathrm{2}}\left(t\right)\phi \text{'}\text{'}\left(t\right)\right]}（1）

式中：K为行驶轨迹的曲率；φ（t）为x坐标与变量t之间的函数；ω（t）为坐标与变量t之间的函数。

在设计凸轮时，行驶距离S与轨迹曲率Ｋ阶数相等。由于凸轮加速度不应有突变情况，则凸轮廓线应具有2阶连续性，所以行驶路线的方程应该有4阶及以上的连续性。高次多项式曲线计算复杂，同时容易产生震动^［5］。贝塞尔曲线修改不方便，不容易达到连续性要求^［6-8］。

B样条曲线在逼近特征多边形上具有更高的精度，克服了多项式曲线在解决此类问题上的不足，可以满足要求。m阶n次B样条曲线公式^［9］为

P\left(t\right)={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^n}{P}_{j+i}{N}_{i,m}\left(t\right),t\in \left[\mathrm{0,1}\right]（2）

式中：P_{j+i}为控制点数；N_{i,m}(t)中，i为第i个m阶B样条函数。

B样条曲线连续方程为

{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^{\mathrm{5}}}{P}_{j+i}{N}_{i,m}\left(\mathrm{1}\right)={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^{\mathrm{5}}}{P}_{j+i+\mathrm{1}}{N}_{i,m}\left(\mathrm{0}\right)（3）

式（3）中，每两条连续曲线的7个控制点P_j 到P_j+6均符合上述公式。经计算，其应符合以下条件

\left[\begin{array}{c}{N}_{\mathrm{0,6}}^{\text{'}}\left(\mathrm{1}\right)\\ N_{\mathrm{1,6}}^{\text{'}}\left(\mathrm{1}\right)\\ N_{\mathrm{2,6}}^{\text{'}}\left(\mathrm{1}\right)\\ N_{\mathrm{3,6}}^{\text{'}}\left(\mathrm{1}\right)\\ N_{\mathrm{4,6}}^{\text{'}}\left(\mathrm{1}\right)\\ N_{\mathrm{5,6}}^{\text{'}}\left(\mathrm{1}\right)\\ N_{\mathrm{5,6}}^{\text{'}}\left(\mathrm{0}\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mathrm{0}\\ N_{\mathrm{0,6}}\left(\mathrm{0}\right)\\ N_{\mathrm{1,6}}\left(\mathrm{0}\right)\\ N_{\mathrm{2,6}}\left(\mathrm{0}\right)\\ N_{\mathrm{3,6}}\left(\mathrm{0}\right)\\ N_{\mathrm{4,6}}\left(\mathrm{0}\right)\\ \mathrm{0}\end{array}\right]（4）

由于该样条曲线具有4阶连续性，式（4）可以表示为

\left\{\begin{array}{c}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^{\mathrm{5}}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^{\mathrm{5}}}{P}_{j+i}{N}_{i,m}^{\text{'}}\left(\mathrm{1}\right)={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^{\mathrm{5}}}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^{\mathrm{5}}}{P}_{j+i+\mathrm{1}}{N}_{i,m}^{\text{'}}\left(\mathrm{0}\right)\\ ⋮\\ {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^{\mathrm{5}}}{P}_{j+i}{N}_{i,m}^{\text{'}}\left(\mathrm{1}\right)={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^{\mathrm{5}}}{P}_{j+i+\mathrm{1}}{N}_{i,m}^{\text{'}}\left(\mathrm{0}\right)\end{array}\right.（5）

可得其应满足以下条件

\left[\begin{array}{c}{N}_{\mathrm{0,6}}^{\text{'}}\left(\mathrm{1}\right)\\ N_{\mathrm{1,6}}^{\text{'}}\left(\mathrm{1}\right)\\ N_{\mathrm{2,6}}^{\text{'}}\left(\mathrm{1}\right)\\ N_{\mathrm{3,6}}^{\text{'}}\left(\mathrm{1}\right)\\ N_{\mathrm{4,6}}^{\text{'}}\left(\mathrm{1}\right)\\ N_{\mathrm{5,6}}^{\text{'}}\left(\mathrm{1}\right)\\ N_{\mathrm{5,6}}^{\text{'}}\left(\mathrm{0}\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mathrm{0}\\ N_{\mathrm{0,6}}^{\text{'}}\left(\mathrm{0}\right)\\ N_{\mathrm{1,6}}^{\text{'}}\left(\mathrm{0}\right)\\ N_{\mathrm{2,6}}^{\text{'}}\left(\mathrm{0}\right)\\ N_{\mathrm{3,6}}^{\text{'}}\left(\mathrm{0}\right)\\ N_{\mathrm{4,6}}^{\text{'}}\left(\mathrm{0}\right)\\ \mathrm{0}\end{array}\right]\dots \left[\begin{array}{c}{N}_{\mathrm{0,6}}^{\text{'}}\left(\mathrm{1}\right)\\ N_{\mathrm{1,6}}^{\text{'}}\left(\mathrm{1}\right)\\ N_{\mathrm{2,6}}^{\text{'}}\left(\mathrm{1}\right)\\ N_{\mathrm{3,6}}^{\text{'}}\left(\mathrm{1}\right)\\ N_{\mathrm{4,6}}^{\text{'}}\left(\mathrm{1}\right)\\ N_{\mathrm{5,6}}^{\text{'}}\left(\mathrm{1}\right)\\ N_{\mathrm{5,6}}^{\text{'}}\left(\mathrm{0}\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mathrm{0}\\ N_{\mathrm{0,6}}^{(\mathrm{4})}\left(\mathrm{0}\right)\\ N_{\mathrm{1,6}}^{(\mathrm{4})}\left(\mathrm{0}\right)\\ N_{\mathrm{2,6}}^{(\mathrm{4})}\left(\mathrm{0}\right)\\ N_{\mathrm{3,6}}^{(\mathrm{4})}\left(\mathrm{0}\right)\\ N_{\mathrm{4,6}}^{(\mathrm{4})}\left(\mathrm{0}\right)\\ \mathrm{0}\end{array}\right]（6）

由于样条曲线通过起点和终点时，在6个控制点P_i 到P_i+5中，3个点P_i+1、P_i+2和P_i+3需重合并作为自身曲线初始点，且5个点P_i 、P_i+1、P_i+2、P_i+3和P_i+4共线，可知其需满足如下方程

\left\{\begin{array}{c}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^{\mathrm{5}}}{P}_{i+j}{N}_{j,\mathrm{6}}\left(\mathrm{0}\right)=P_{i+\mathrm{1}}\\ P_i+P_{i+\mathrm{4}}=\mathrm{2}{P}_{i+\mathrm{1}}\\ P_{i+\mathrm{1}}=P_{i+\mathrm{2}}=P_{i+\mathrm{3}}\end{array}\right.（7）

将上述方程联立求解，并选择合适的起始点位和控制点，得到小车的初始运行轨迹。

为了增大小车行驶过程中对特征点的覆盖面积，尽可能增大踩点概率，经过多次优化，调整轨迹平滑度，得到太阳能小车的最终行驶轨迹，如图1所示，图1中圆点为10个需打卡的点位。

2 小车结构设计

2.1 整体结构设计

小车结构包括：用于安装小车各部件的车架、小车的前轮及控制转向的前叉、小车的后轮及后轮传动机构、齿轮啮合形成的减速传动机构、小车动力机构、控制转向的凸轮机构及微调机构^［10-12］。小车整体结构如图2所示，小车部分零件参数如表2所示。

2.2 传动机构

为了保证传动精度与平稳性，在设计传动机构时应该尽可能减少传动齿轮数量及传动级数。本文中小车传动机构齿轮采用两级传动，第一级传动为动力传动齿轮，第二级传动机构为减速机构，传动机构简图如图3所示。经过计算，小车打卡所有点位坐标行驶距离为13 150 mm。

传动机构的总传动比为

n_{\mathrm{总}}=\frac{z_{\mathrm{1}}{z}_{\mathrm{3}}}{z_{\mathrm{2}}{z}_{\mathrm{4}}}（8）

式中：z₁=107，z₂=12，z₃=218，z₄=44，可计算出n_总=44。

大齿轮采用不锈钢、小齿轮采用黄铜材料，保证了齿轮的强度，同时对齿轮与左后轮进行简化设计，减少了小车传动机构的零部件数量，同时减小了小车的质量。

2.3 微调机构

小车主要是由太阳能提供动力，再由电机传递到机械传动部件，驱动小车行驶。但由于小车及零部件在制造、装配过程中可能出现误差，尤其是凸轮的加工及装配误差，导致小车无法按照设计轨迹正常行驶。因此，设计了一种微调机构，通过旋转螺母调整推杆和凸轮的间隙，微调小车的前轮转角，矫正了上述误差，确保小车能够按照规划的轨迹行驶，微调机构如图4所示。

3 凸轮的优化设计

3.1 凸轮廓线的设计

开环轨迹路线不规整，部分点位之间的曲率变化较大。间歇运动机构结构复杂、拆装繁琐、精度要求高^［13］，无法很好地发挥机构的作用。而凸轮机构具有可靠性高、运动控制精确、结构紧凑等优点，可以确保小车按照上述轨迹的行驶。小车的机构运动简化图如图5所示。

其中：L₁为前后两轮轴的距离；L₂为2个后轮外表面之间的距离；α为前轮转动角度；R₀为转弯半径；r为凸轮基准直径；m为凸轮内侧与前轮轴之间垂直方向的距离。凸轮廓线的具体计算方法如下：

小车凸轮的半径是根据凸轮轮廓表面与推杆直接接触而导致的推拉方式来确定的，选用与凸轮接触的推杆直径为3 mm。

当车体左转时，推杆与凸轮内表面轮廓线之间为点接触，经过计算得出每个点的曲率\rho，轨迹上各点的曲率半径R₀ 为

R_{\mathrm{0}}=\frac{\mathrm{1}}{\rho }（9）

则可得到凸轮半径的计算公式。

r_{\mathrm{1}}=r-\frac{(m+\mathrm{1.5})L_{\mathrm{1}}}{R_{\mathrm{0}}}（10）

当右转时，推杆与凸轮外表面轮廓线之间点接触，可得到凸轮半径的计算公式。

r_{\mathrm{1}}=r+\frac{(m+\mathrm{1.5})L_{\mathrm{1}}}{R_{\mathrm{0}}}（11）

依据小车行驶轨迹的总长度s，计算出小车各段轨迹s_i 及所占总体轨迹的比例，由此可以计算出各段轨迹所占凸轮的角度为

\alpha =\frac{s_i}{s}\times \mathrm{360}°（12）

凸轮的基准直径r与凸轮的轮廓密切相关，r变大，凸轮的基圆半径就变大，整个凸轮就变大，凸轮的轮廓变化率变小，则压力角变小。同时，凸轮的轮廓与凸轮内侧与小车中心线的距离k和小车前、后两轮的轴距d相关，距离k变大，凸轮的轮廓变化率变大，则压力角变大。轴距d变大，凸轮的轮廓变化率变小，则压力角变小。测量小车基准直径r后，凸轮的材料选择厚度为1 mm的钢板。

3.2 凸轮的优化与仿真

在利用MATLAB进行拟合分析时，参数的设置尤为重要。首先，设定初始参数r为35 mm、m为35 mm、L₁为125 mm，通过MATLAB进行拟合分析，得到凸轮仿真轮廓线如图6a所示。在此参数组合下，凸轮轮廓的曲率变化较大，导致压力角偏大，这可能会增加传动机构的磨损并影响小车的运动平顺性^［14-15］。

为进一步优化凸轮轮廓，将参数调整为r为40 mm、m为30 mm、L₁为125 mm时，分析得到凸轮仿真轮廓线如图6b所示。与图6a相比，图6b中的凸轮轮廓曲率略有减小，但优化效果并不显著。

进一步综合考虑小车凸轮的压力角、运动平顺性及整体尺寸的限制，对参数进行优化调整，最终选取r为45 mm、m为25 mm、L₁为115 mm，通过MATLAB拟合分析得到优化后的凸轮仿真轮廓线，如图6c所示。优化后的凸轮轮廓曲率变化更加平缓，压力角显著减小，能够有效降低传动机构的摩擦损耗，增强小车的运动稳定性，提高运行效率。

4 电路模块设计

小车电路结构如图7所示。小车所用的太阳能板由多个光伏电池组成，当太阳光照射到太阳能板时，光子与光伏电池中的半导体材料相互作用，产生光生伏特效应，从而将光能转化为电能。在小车运行前，电能通过充电储存在超级电容中。

当小车开始运行时，需要将超级电容调为放电档，使用的超级电容模组最大电压为7.5V。为避免实验过程中主控板因电压过大而被烧坏，在实际调试过程中需要利用充放电模块对电能进行调节，将主控板的供电电压调为5V，最大输出电流为2A。最后，通过电机将电能转化为机械能，驱动齿轮带动小车前进。

5 仿真与行驶验证

5.1 仿真验证

使用MATLAB软件对行驶轨迹进行分析，其中曲率最大值k_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\mathrm{为}\mathrm{0.002}\mathrm{796}，那么曲率半径的最小值R_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\mathrm{为}\mathrm{361.14}\mathrm{m}\mathrm{m}，小车车长L₁为110 mm，主动轮与小车中心的距离d₁为60 mm，可以计算出小车最大转角{\theta }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\mathrm{为}\mathrm{20.07}°，转向部分设计合理。

同时，使用MATLAB软件分析凸轮轮廓线的曲率半径，曲率最大值k_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\mathrm{为}\mathrm{0.348}，曲率半径的最小值R_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\mathrm{为}\mathrm{2.87}\mathrm{m}\mathrm{m}，推杆机构工作稳定、可靠，凸轮设计具有可行性。

最后，将点位信息输入MATLAB中进行小车行驶路线仿真，验证小车的理论设计的正确性，通过输入小车电机转速、传动比及凸轮廓线等参数后，输出的小车仿真轨迹如图8所示。

5.2 实际行驶验证

在保证小车性能稳定的前提下，简化小车结构，选择质量较小、强度满足要求的材料，车架采用铝合金型材，车轮、凸轮、部分齿轮采用1 mm厚不锈钢板切割制成，小车外壳采用3 mm厚的亚克力板制成。辅助太阳能电池板、超级电容模组、稳压、充电电路PVB板等零部件，小车外形图如图9所示。

在规定的路线图上，进行实际行驶验证。经过微调机构、发车位置、角度的调整，小车行驶稳定，能够打卡、播报全部10个特征点。

6 结论

利用B样条曲线对固定打卡点进行轨迹拟合，用MATLAB软件分析优化后得到凸轮结构，最后设计得到小车的方法整体效率较高，可以根据所需行驶轨迹的不同而快速调整凸轮形状，规划出不同的运动轨迹。采用不锈钢板材料切割制成的凸轮，材料硬度高，凸轮边缘不易磨损，可以保证重复实验时的精度。研究发现，凸轮基圆直径及转向推程对小车行驶轨迹影响较大，因此，在设计小车时应该设置转向微调机构，以满足小车轨迹调整的需要。

本文的小车设计、制作、微调及仿真方案具有通用性，可以为以后工程小车类竞赛及无碳小车的设计提供一定的参考。

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基金资助

辽宁省教育厅基础研究项目(JYT2020073)