基于热力等效模型的波纹夹芯板热颤振计算

Thermal flutter calculation of corrugated sandwich panels based on the thermo-mechanical equivalent model

摘要

为高效预测防隔热一体化热防护系统在气动热环境下的动态稳定性，提出一种基于热力等效模型的波纹夹芯板热颤振计算方法，以降低有限元计算量。首先，基于均质化理论将夹芯层等效为单层正交各向异性材料，实现模型简化。其次，重新划分腹板与隔热材料所占区域比例，提高等效区域特征尺寸，在保证温度梯度准确性的同时减少有限元模型的网格数量。最后，基于所构建的热力等效模型提取波纹夹芯板的模态特征，并采用p-k法进行热颤振分析，计算气动力响应。计算结果表明，该方法计算效率提升80%，误差控制在3%以内。

Abstract

To efficiently predict the dynamic stability of integrated thermal protection systems under aerodynamic heating environment， a thermal flutter calculation method for corrugated sandwich panels based on a thermo-mechanical equivalent model was proposed， aiming to enhance the computational efficiency of finite element analysis. First， the homogenization theory was applied to approximate the core layer as a single layer of orthotropic material， thereby simplifying the model. Second， the proportion of the areas occupied by the web and the insulating material was redefined to increase the characteristic size of the equivalent area， thereby reducing the number of finite element grids while ensuring the accuracy of the temperature gradient. Finally， based on the developed thermo-mechanical equivalent model， the modal characteristics of the corrugated sandwich panel were extracted， and the p-k method was employed for thermal flutter analysis to evaluate the aerodynamic response. The results show that this method improves computational efficiency by 80%， and the error is controlled within 3%.

Graphical abstract

关键词

波纹夹芯板 / 正交各向异性材料 / 热力等效模型 / 热颤振 / 均质化理论

Key words

corrugated sandwich panel / orthotropic material / thermo-mechanical equivalent model / thermal flutter / homogenization theory

随着航空航天技术的不断进步，飞行器的热防护系统在高温环境下的表现变得尤为关键。如果没有一个可靠耐用的热防护系统，飞行器的多个子系统将会直接暴露在高温环境中，导致飞行器损坏，造成灾难性的后果^［1］。传统的热防护系统通常由陶瓷、金属等高温材料构成，虽然质量小、隔热性能好，但是力学性能较差，只能单独完成防隔热功能，不能承担气动力载荷。而一体化热防护系统将热防护与承载功能相结合，从而达到减小质量、提高效率的目的，其在近年来得到了广泛关注^［2-3］。

波纹夹芯板通常由上、下两层面板、中间的腹板和隔热填充材料组成。独特的结构使得其在隔热的同时能够有效分担外界热载荷，保护飞行器内部结构不被损坏^［4］。然而，结构的复杂性使得其力学和热力学分析面临着巨大的挑战。现有的研究大多侧重于通过复杂的数值模拟与实验方法来分析其热传递与结构响应，但往往计算量大、耗时长，难以满足实际工程中快速设计的需求^［5-6］。国内外许多学者对波纹夹芯板提出了多种等效模型来描述结构的力学与热学行为。早在1951年，Libove等^［7］就对波纹夹芯板的弹性常数展开了研究。Lok等^［8］将三维波纹夹芯板等效为二维均质各向异性板，并将等效结果与有限元数值仿真进行对比，验证了等效方法的有效性。Martinez^［9］建立了一套针对波纹夹芯板的半解析静力计算模型，并提出了相应的设计方法。Sharma^［10］采用一种多精度的分析方法对一体化热防护系统进行了优化设计，利用等效方法构建有限元模型既保证了计算结果的准确性，又显著缩短了计算时间。Xu等^［11］提出了一种基于等效导热系数的热传导简化模型，并对其隔热性能进行了验证。随后，Zhang等^［12］通过有限元方法分析了波纹夹芯板的温度场和应力场，为热力等效模型的研究奠定了基础。Liu等^［13］提出了一种基于能量原理的波纹夹芯板热力等效模型，并进行了参数分析。Wang等^［14］采用了基于遗传算法的优化方法，对波纹夹芯板的热力等效模型进行了修正。

上述研究为波纹夹芯板的性能预测提供了理论基础，但在实际应用中，这些模型复杂且难以快速应用。等效模型的计算精度和计算效率之间存在矛盾，如何在保证精度的前提下提高计算效率仍是一个难题^［15］。本文旨在提出一种适用于波纹夹芯板一体化热防护系统的热力等效模型，并使用有限元软件Nastran进行分析，对比波纹夹芯板模型与等效模型的结果误差。基于隔热等效模型的计算结果，考虑由温度变化引起的结构动态不稳定现象，从静力等效模型分析波纹夹芯板的热颤振特性，从而实现一体化热防护系统的快速计算。

1 波纹夹芯板热力等效模型

1.1 静力等效

如图1所示，复杂的夹芯结构由等高的正交各向异性板代替。其关键尺寸包括上面板厚度t_{\mathrm{1}}、下面板厚度t_{\mathrm{2}}、腹板厚度t_{\mathrm{w}}、波纹倾斜角\theta、芯层厚度h、波纹半胞元长度p、沿y方向的长度a、沿x方向的长度b。各面板厚度均为1 mm，芯层厚度为40 mm，倾斜角为75°。

结合现有的一体化热防护系统隔热与承载的双重需求，波纹夹芯板选用的材料为：上面板选用Inconel718合金，腹板选用Ti-6Al-4V钛合金，隔热材料选用Saffil隔热毡，下面板选用Lc9合金。选用材料的热-力性能参数如表1所示。

根据Bartolozzi等^［16］和Mohammadi等^［17］的研究，选取波纹夹芯结构胞元的1/4进行分析，如图2所示。其中，等效后x、y、z方向的弹性模量分别为E_x、E_y、E_z；xy、yz、xz平面的剪切模量分别为G_{xy}、G_{yz}、G_{xz}；等效后的密度为{\rho }_{\mathrm{e}\mathrm{q}\mathrm{y}}。

关于E_x、E_y、E_z、G_{xz}、G_{xy}、G_{yz}、{\rho }_{\mathrm{e}\mathrm{q}\mathrm{y}}的计算分别表示为

E_x=E\frac{A_y}{A_{\mathrm{e}\mathrm{q}\mathrm{y}}}=\frac{t_{\mathrm{w}}}{p{d}_{\mathrm{f}}}\left(\frac{d_{\mathrm{f}}}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta }+\frac{p}{\mathrm{2}}-\frac{d_{\mathrm{f}}}{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\theta }\right)E（1）

E_y=\frac{{\sigma }_y}{{\epsilon }_y}=\frac{H/(d_{\mathrm{f}}b)}{{\delta }_{\mathrm{H}}/p}=\frac{t_{\mathrm{w}}p}{d_{\mathrm{f}}\left(C_{\mathrm{11}}-C_{\mathrm{13}}^{\mathrm{2}}/C_{\mathrm{33}}\right)}E（2）

E_z=\frac{{\sigma }_z}{{\epsilon }_z}=\frac{V/(pb)}{{\delta }_v/d_{\mathrm{f}}}=\frac{t_{\mathrm{w}}{d}_{\mathrm{f}}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\left({\mathit{C}}_{\mathrm{r}}^z\right)}{p\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\left({\mathit{C}}_z\right)}E（3）

G_{xz}=\frac{t_{\mathrm{w}}{d}_{\mathrm{f}}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+\mu \right)p\left(d_{\mathrm{f}}/\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta +p/\mathrm{2}-d_{\mathrm{f}}/\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\theta \right)}E（4）

G_{xy}=\frac{t_{\mathrm{w}}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+\mu \right)p{d}_{\mathrm{f}}}\left(\frac{d_{\mathrm{f}}}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta }+\frac{p}{\mathrm{2}}-\frac{d_{\mathrm{f}}}{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\theta }\right)E（5）

G_{yz}=\frac{{\tau }_{yz}}{{\gamma }_{yz}}=\frac{H/(pb)}{{\delta }_{\mathrm{H}}/d_{\mathrm{f}}}=\frac{t_{\mathrm{w}}{d}_{\mathrm{f}}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\left({\mathit{C}}_{\mathrm{r}}\right)}{p\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}\left(\mathit{C}\right)}（6）

{\rho }_{\mathrm{e}\mathrm{q}\mathrm{y}}=\rho \frac{A_y}{A_{\mathrm{e}\mathrm{q}\mathrm{y}}}=\frac{t_{\mathrm{w}}}{p{d}_{\mathrm{f}}}\left(\frac{d_{\mathrm{f}}}{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta }+\frac{p}{\mathrm{2}}-\frac{d_{\mathrm{f}}}{\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\theta }\right)\rho（7）

式（1）—（7）中所涉及到的矩阵 C 及其元素参见文献［16］、［17］。通过Bartolozzi等^［16］和Mohammadi等^［17］的方法计算得到波纹夹芯板模型的等效参数，并用于构建等效模型，对比等效前后的误差，从而将等效模型用于后续的热颤振分析。

采用有限元软件Nastran分别建立等效前波纹夹芯板壳单元模型和等效后等高的三明治板实体模型进行分析，假设整块波纹夹芯板模型在x方向和y方向分别由\mathrm{10}\times \mathrm{10}个单胞组合而成，将等效前、后的模型进行四边简支，计算模型的固有频率。图3为等效前后的有限元模型。

表2为波纹夹芯板等效前后的前4阶固有频率对比，等效后的建模方法与传统的波纹夹芯板建模方法获得的结果误差不超过\mathrm{3.5}%，各阶误差值均在工程实践允许的范围内。图4为波纹夹芯板等效前、后的前4阶模态云图，等效前后的各阶模态振型均保持一致。

1.2 隔热参数等效

在计算热传导时，波纹夹芯板模型整体的温度场分布主要与波纹夹芯的高度相关，所以将中间隔热层进行均质化，等效处理隔热填充材料和波纹腹板的热物理参数。由于隔热填充材料的导热系数小，而腹板的导热系数大，所以腹板的传热速度远大于隔热填充材料的传热速度，导致结构整体传热不均匀从而造成热短路现象。如果将腹板和隔热填充材料看作一个整体全部均质化处理，会导致整个传热过程中到达下面板的温度过高，超过许用温度，对飞行器内部造成损坏。因此，将部分隔热填充材料与腹板进行等效，忽略二者的界面效应，与原本的波纹夹芯板模型相比，在使用有限元软件进行建模时操作简化，网格划分过程更加便捷，同时也能保证波纹夹芯板的工作效率。等效传热示意图如图5所示。

等效过程需要计算均质材料的隔热参数，分别是等效密度{\rho }_{\mathrm{e}}、等效热传导系数k_{\mathrm{e}}与等效比热容c_{\mathrm{e}}，可表示为

{\rho }_{\mathrm{e}}=\frac{{\rho }_{\mathrm{w}}{t}_{\mathrm{w}}+{\rho }_{\mathrm{s}}\left(p\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta -t_{\mathrm{w}}\right)}{p\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta }（8）

k_{\mathrm{e}}=\frac{k_{\mathrm{w}}{t}_{\mathrm{w}}+k_{\mathrm{s}}\left(p\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta -t_{\mathrm{w}}\right)}{p\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta }（9）

c_{\mathrm{e}}=\frac{{\rho }_{\mathrm{w}}{c}_{\mathrm{w}}{t}_{\mathrm{w}}+{\rho }_{\mathrm{s}}{c}_{\mathrm{s}}\left(p\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta -t_{\mathrm{w}}\right)}{{\rho }_{\mathrm{w}}{t}_{\mathrm{w}}+{\rho }_{\mathrm{s}}\left(p\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta -t_{\mathrm{w}}\right)}（10）

2 隔热等效结果分析与验证

波纹夹芯板的传热分析模型如图6所示。综合考虑了热传导、表面热辐射及空气热对流3种传热机制。辐射率为0.8，自由换热系数为\mathrm{15}\mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{k})，下面板可接受的极限温度为\mathrm{170}℃。

传热模型不考虑胞元之间侧向的热传递，仅计算单个胞元的温度场分布。图7为波纹夹芯板的单胞有限元模型，图7a为包含隔热填充物的完整模型，图7b为不显示隔热填充物的模型。

为了验证等效传热模型设计方案瞬态热传导结果的准确性，分别使用Nastran软件对等效传热模型设计方案进行瞬态热传导分析。为了模拟飞行器再入大气层过程的真实情况，将瞬态的热流加载时间设置为全程4 500 s。提取模型的温度场输出，得到等效前后在传热过程中的温度场分布和随时间变化的曲线，并进行讨论。图8、9分别为传热模型等效前后温度梯度最大时刻的温度场分布和传热结束时刻的温度场分布。

从图8和图9可以看出，在传热过程中温度梯度最大时刻的传热趋势一致，等效前结构的温度差为\mathrm{746}℃，等效后结构的温度差为\mathrm{738}℃，误差率仅为-\mathrm{1}\mathrm{\%}。在传热结束时刻，等效前下面板的温度为\mathrm{53.8}℃，等效后下面板的温度为\mathrm{54.1}℃，误差率仅为\mathrm{0.56}\mathrm{\%}。等效后的传热模型能够精确地预测波纹夹芯板的温度变化。

图10为模型等效前后传热过程中下面板的温度随时间变化历程。下面板的温度通常作为一体化热防护结构设计中的一个重要性能指标，因此下面板温度的准确性非常重要。从图10可以看出，等效前后模型的温度变化结果非常接近且变化趋势几乎重合。同时，整个传热过程中到达下面板的最高温度等效前为\mathrm{165}℃，等效后为\mathrm{168}℃，均在下面板可接受的极限温度范围内，隔热参数等效后整体结构仍不会遭到破坏，有效地保证了一体化热防护系统的工作效率。

3 等效模型的热颤振计算

在高温环境下，波纹夹芯板材料性能的变化对结构的颤振行为有着显著的影响。波纹夹芯板各种材料的隔热参数随温度变化而变化。随着温度的升高，材料的弹性模量通常会降低，导致结构的整体刚度和固有频率下降，从而降低颤振临界速度，缩小飞行器安全运行的速度范围，致使飞行器遭受破坏。波纹夹芯板中的隔热填充材料不仅可以有效地降低高温环境下的热传导，隔离外部高温环境，缓解内部的温度上升，还能在一定程度上维持结构的刚度，提高其抗颤振能力，增强结构的稳定性。

在Patran中建立有限元模型，假设整块波纹夹芯板模型由\mathrm{50}\times \mathrm{50}个单胞组合而成。采用Nastran中的p-k方法分别计算波纹夹芯板模型等效前后的热颤振速度，其中气动力计算基于软件中内置的活塞理论方法。空气密度\rho \mathrm{为}\mathrm{1.226}\mathrm{k}\mathrm{g}/{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}，空气密度比为1.0。为了保证计算精确度，在颤振计算的过程中均采用前16阶固有模态。

图11为波纹夹芯板模型和等效模型在M{a}_{\mathrm{\infty }}=\mathrm{5}的情况下的颤振速度计算结果。由图11a可知，波纹夹芯板模型的颤振速度为\mathrm{2}\mathrm{030}\mathrm{m}/\mathrm{s}，颤振发生在第1阶模态；由图11b可知，等效模型的颤振速度为\mathrm{1}\mathrm{970}\mathrm{m}/\mathrm{s}，颤振发生在第4阶模态。波纹夹芯板的结构设计和材料选取使其具有很高的刚度和稳定性，能够在极高的速度范围下抵抗颤振现象。等效前后的颤振速度仅相差-3%，等效后的模型可以代替波纹夹芯板模型进行热颤振计算，分析传热过程中颤振速度的变化。

在传热时结构整体温度的变化使得材料的隔热参数也发生变化，进而影响结构的动态特性。根据瞬态传导的分析结果，提取不同时刻下模型的温度，计算等效弹性常数，分析不同时刻下等效模型颤振速度的变化，确保波纹夹芯板在高温环境下的安全性和可靠性。

图12为传热过程中上面板温度最高时刻(t\mathrm{为}\mathrm{1}\mathrm{500}\mathrm{s})和传热结束时刻(t\mathrm{为}\mathrm{4}\mathrm{500}\mathrm{s})的颤振计算结果。上面板温度达到整个传热过程的最高温度时，在M{a}_{\mathrm{\infty }}=\mathrm{2}情况下，颤振计算得出的颤振速度为\mathrm{987}\mathrm{m}/\mathrm{s}，颤振发生在第3阶模态，与传热初始时刻相比颤振速度下降了\mathrm{49.9}%。整个传热过程结束时同样在M{a}_{\mathrm{\infty }}=\mathrm{5}情况下，颤振计算得出的颤振速度为\mathrm{1}\mathrm{955}\mathrm{m}/\mathrm{s}，颤振发生在第4阶模态，与传热初始时刻相比颤振速度仅相差\mathrm{0.8}\mathrm{\%}。

为了验证等效热颤振计算结果的准确性，在传热结束时刻(t\mathrm{为}\mathrm{4}\mathrm{500}\mathrm{s})对波纹夹芯板模型进行热颤振分析。使用波纹夹芯板模型进行热颤振分析时，整体计算时间为50 min，而使用等效模型进行热颤振分析时，整体计算时间为10 min，整体计算效率提升了\mathrm{80}%。图13为波纹夹芯板热颤振计算结果，颤振速度为\mathrm{1}\mathrm{930}\mathrm{m}/\mathrm{s}，颤振发生在第4阶模态。与等效模型的计算结果相比，误差仅为-\mathrm{1.3}%。使用等效模型进行热颤振分析，既提高了计算效率又保证了计算结果的准确性。

根据上述分析，传热过程中颤振速度的下降表明结构在高温环境下的稳定性大幅度下降，温度升高对结构的动态特性有显著的影响。传热结束时颤振速度几乎恢复到初始状态，结构温度降低后材料性能也随之恢复，在冷却后能够重新达到初始状态的安全水平。

4 结论

本文基于均质化理论，对波纹夹芯板进行静力参数和隔热参数的等效建模，并通过算例验证了等效模型的准确性。考虑传热过程中的温度变化，使用等效模型计算热颤振，得到以下主要结论：

1）将波纹夹芯板等效为三明治板，有效地节约了时间成本，也保证了计算结果的准确性。在波纹夹芯板优化设计方面可以显著减少计算量。

2）对波纹夹芯板进行隔热参数等效，减少了有限元建模过程中的网格划分数量。波纹夹芯板下面板温度随时间的变化曲线等效前后二者基本吻合，误差不超过2%，等效后的模型能够代替完整的传热模型进行计算，预测波纹夹芯板的温度分布变化。

3）通过对波纹夹芯板进行热力等效，使用有限元软件进行验证，热力等效的误差均在合理范围内，满足提高计算速度的同时又达到精度的要求，有效地代替了波纹夹芯板进行热力分析。

4）使用等效模型对波纹夹芯板进行热颤振计算，分析颤振速度随温度变化的情况，有助于预测结构的疲劳损伤和使用寿命。通过选择合适的隔热填充材料和填充方式来提高在高温环境下的抗颤振能力，防止因温度升高导致的结构失稳或破坏。

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基金资助

辽宁省教育厅面上项目(JYTMS20230253)

辽宁省教育厅面上项目(JYTMS20230224)