机器人手指抓取临界力问题的动力系统求解方法

The dynamical system method for solving the critical force problem of robotic finger grasping

摘要

为确保抓取稳定、防止物体滑脱并避免结构损伤，建立了3种机器人手指常见的抓取模型，精准求解机器人手指抓取过程中的临界力。在机器人手设计和被抓物体理想物理假设的情况下，通过力学中的受力分析，根据静力学平衡方程得出机器人手指抓取临界力问题的约束条件，进一步给出抓取临界力优化模型。首先，根据优化模型写出karush-kuhn-tucker（KKT）条件，然后利用NR函数将其转化为光滑方程组，进一步引入价值函数，将KKT条件转化为无约束优化问题。构建动力方程系统，并分析动力方程系统的稳定性，利用动力方程系统解和优化问题解之间的关系，从而求解机器人手指抓取临界力问题。最后，通过数值实验验证动力方程系统方法的有效性。

Abstract

To ensure grasping stability， prevent object slippage， and avoid structural damage， three common grasping models were established for a three-fingered robotic hand， and the critical force during the robotic finger grasping process was accurately solved. In the case of the design of the robot hand and the ideal physical assumption of the object to be grasped， through the force analysis in mechanics， the constraints of the critical force of the robot finger grasping problem were obtained according to the static equilibrium equation， and the optimization model of the critical force of the robot finger grasping was further given. Firstly， the KKT condition was written according to the optimization model， and then the NR function was used to transform it into a smooth equation system， and the value function was further introduced to transform the KKT condition into an unconstrained optimization problem. The dynamic equation system was constructed， and the stability of the dynamic equation system was analyzed， and the relationship between the solution of the dynamic equation system and the solution of the optimization problem was used to solve the critical force problem of robot finger grasping. Finally， a numerical experiment was conducted to verify the effectiveness of the dynamical equation system method.

Graphical abstract

关键词

抓取临界力 / 三指机器人 / KKT条件 / 动力方程系统 / 稳定性

Key words

grasping critical force / three-finger robot / KKT condition / dynamical equation system / stability

在物体和机器人手指接触点处施加能够保证稳定抓取物体而不滑动的最小的力，被称为临界力。为了实现高度灵巧的机器人操作，抓取力优化的结果至关重要。Natarajan等^［1］ 提出了一个线性关系方程来描述物体质量和所需最小抓取力之间的关系。Liang等^［2］研究了机器人手小指的对立运动对机器手抓取性能的影响。Xia等^［3］对多指机械人手指抓取力优化展开研究。Nakamura等^［4］提出使用拉格朗日乘子法求解最优力，Kumar等^［5］提出了接触力优化的次优算法，而Buss等^［6］将接触力优化问题转化为半定规划问题，再使用投影梯度流算法进行求解。针对接触力优化问题和变分不等式问题，很多学者也进行了深入的研究。Lobo等^［7］讨论了二阶锥规划（SOCP）在解决变分不等式问题中的应用，Sun等^［8］在早期提出了两种神经网络模型来处理SOCCVI问题的KKT条件，总结了神经网络在解决SOCCVI问题方面的潜力，Sun等^［9］列举了一个关于求解机器人抓取力问题，将优化问题转化为SOCCVI，最后使用提出的神经网络求解出最优力。

本文对机器人施加在物体上的抓取力进行分析，使之不会掉落物体或破坏物体，进一步提高机器人工作的效率。在Lobo等^［7］和Sun等^［9］的启发下，本文研究的创新点是将抓取力优化问题转化为无约束优化问题，并利用动力方程系统方法求解该问题，从而解决了机器人手指抓取力优化问题。

1 机器人手的设计

根据摩擦情况，手指和物体之间的接触又可以为分无摩擦点接触和有摩擦点接触^［10］。本文要解决机器人手指临界力问题，就必须知道机器人手指是如何设计的。目前机器人手爪的类型有很多，包括多指灵巧手爪、机械手爪等。在日常生活中，抓取物体一般有以下两种方式，如图1所示。

本文研究的机器人手指设计类似于图1b，基于三指机器人手的抓取临界力优化问题展开研究。设物体的质量为m，重力加速度g=9.8 m/s²。机器人手指抓取物体以速度v沿着半径r做圆形路径移动，机器人抓取物体随时间运动轨迹图如图2所示，向心力f_{\mathrm{c}}=m{v}^{\mathrm{2}}/r，角度\theta (t)=vt/r。

2 机器人手指抓取临界力问题的模型建立

抓取临界力问题是寻找一组最佳接触力，使得物体的合力为0，并且物体保持在合理的位置运动。由文献［11—12］可知，力闭合能够抵消外力和力矩，并限制物体在所需方向上的运动。本节将考虑一类三指机器人手指在三维空间抓取物体且和被抓物体之间存在3个接触点的问题。取机器人手指抓取物体的某一个瞬间进行受力分析，以接触点为原点，建立空间直角坐标系。以被抓物体为研究对象，将机器人手指传给物体的接触力y_i(i=\mathrm{1,2},\mathrm{3})沿着坐标轴分解为两部分：一是垂直于表面的分量y_{i\mathrm{3}}，二是切向于表面的分量y_{i\mathrm{1}}和y_{i\mathrm{2}}。而机器人每个手指向物体施加的抓取力y_i必须保证物体能够稳定抓取，稳定抓取主要是为了确保物体和机器人手不产生相对滑动，防止物体掉落，抓取力需要满足的条件是切向作用力摩擦条件，即

\sqrt[]{{y_{i\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+{y_{i\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}}\le {\mu }_i{y}_{i\mathrm{3}}（1）

式中：{\mu }_i为接触处的摩擦系数。

首先假设物体形状规则且密度均匀分布，所以坐标系的原点和物体的质心重合。该物体的受力为空间力系，为了保持物体平衡，每个手指向物体施加抓取力{\mathit{y}}_i=[y_{i\mathrm{1}},y_{i\mathrm{2}},y_{i\mathrm{3}}]必须满足物体静力学平衡方程，其平衡方程公式为

\left\{\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}{F}_i+f_{ext}^i=\mathrm{0}\\ {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{4}}^{\mathrm{6}}}{F}_i{d}_i+f_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}^i=\mathrm{0}\end{array}\right.（2）

式（2）中两个方程分别表示力的平衡方程和力矩的平衡方程，周洪等^［13］推导出物体在抓取状态下的力平衡方程可以用矩阵形式代替。可以采用矩阵的形式将上面的方程组简化，其矩阵形式可以表示为

\mathit{A}\mathit{y}+f_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}=\mathrm{0}（3）

式中：\mathit{A}\in R^{\mathrm{6}\times \mathrm{3}m}是抓取变换矩阵；f_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}=(\mathrm{0},f_{\mathrm{c}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta (t),-Mg+f_{\mathrm{c}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta {(t),\mathrm{0,0},\mathrm{0})}^{\mathrm{T}}是随时间变化的外力，f_{\mathrm{c}}是物体做圆周运动的向心力；\mathit{y}=[{\mathit{y}}_{\mathrm{1}},{\mathit{y}}_{\mathrm{2}},\cdot \cdot \cdot ,{\mathit{y}}_m{]}^{\mathrm{T}}\in R^{\mathrm{3}m}，{\mathit{y}}_i\in R^{\mathrm{3}}(i=\mathrm{1,2},\cdot \cdot \cdot ,m)是抓取力矢量。

为了防止抓取力挤压物体及物体滑动，必须找到最优的抓取力，即找到一个临界力满足所有条件。本文考虑一个抓取力的二次目标函数，因此保持物体抓取临界力模型可以表示为如式（4）所示优化问题。

\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}f(y)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\mathit{y}}^{\mathrm{T}}\mathit{Q}\mathit{y}+{\mathit{q}}^{\mathrm{T}}\mathit{y}\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.\mathit{A}\mathit{y}+f_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}=\mathrm{0}\\ \sqrt[]{{y_{i\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+{y_{i\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}}\le {\mu }_i{y}_{i\mathrm{3}},(i=\mathrm{1,2},\cdot \cdot \cdot ,m)\end{array}（4）

式中：\mathit{Q}为一个正定矩阵。

3 动力方程系统的构造

根据物体临界力问题模型，本节得出式（4）的KKT条件。

\left\{\begin{array}{c}L(y,\alpha ,\lambda ){\mathit{Q}}^{\mathrm{T}}\mathit{y}+{\mathit{q}}^{\mathrm{T}}+\mathit{A}\alpha +{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}\nabla \left(\sqrt[]{y_{i\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+y_{i\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}-{\mu }_i{y}_{i\mathrm{3}}\right){\lambda }_i=\mathrm{0}\\ \mathit{A}\mathit{y}+f_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}=\mathrm{0}\\ \mathrm{0}\le {\lambda }_i\perp (\sqrt[]{y_{i\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+y_{i\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}-{\mu }_i{y}_{i\mathrm{3}})\le \mathrm{0}\end{array}\right.（5）

式中：L(y,\alpha ,\lambda )={\mathit{Q}}^{\mathrm{T}}\mathit{y}+{\mathit{q}}^{\mathrm{T}}+\mathit{A}\alpha +

{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}\nabla {\left(\sqrt[]{y_{i\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+y_{i\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}-{\mu }_i{y}_{i\mathrm{3}}\right)}^{\mathrm{T}}{\lambda }_i是式（4）的拉格朗日函数。接下来引入光滑化NR互补函数

{\varphi }_{\mathrm{N}\mathrm{R}}^{\epsilon }(u,v)=u-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}(u-v+\sqrt[]{{(u-v)}^{\mathrm{2}}+\mathit{e}{\epsilon }^{\mathrm{2}}})（6）

式中：\mathit{e}为单位向量，则式（5）可以转化为光滑组方程，即

\mathit{S}(\epsilon ,y,\alpha ,\lambda )=\left(\begin{array}{c}\epsilon \\ \begin{array}{c}L(y,\alpha ,\lambda )\\ -h(y)\\ {\varphi }_{NR}^{\epsilon }(-g(y),\lambda )\end{array}\end{array}\right)=\mathrm{0}（7）

式中：h(y)=\mathit{A}\mathit{y}+f_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}，g(y_i)=\sqrt[]{{y_{i\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+{y_{i\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}}-{\mu }_i{y}_{i\mathrm{3}}\le \mathrm{0},(i=\mathrm{1,2},\cdot \cdot \cdot ,m)。

令z=(\epsilon ,y,\alpha ,\lambda )，并引入价值函数\Phi (z)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\mathit{S}}^{\mathrm{T}}(z)\mathit{S}(z)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{‖\mathit{S}(z)‖}^{\mathrm{2}}，则式（5）可以写成式（8）的无约束优化问题。

\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\Phi (z)=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{‖\mathit{S}(z)‖}^{\mathrm{2}}（8）

则有\nabla \Phi (z)=\nabla \mathit{S}{(z)}^{\mathrm{T}}\mathit{S}(z)，建立的动力方程系统如式（9）所式^［14］，求解无约束优化问题\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\Phi (z)=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{‖\mathit{S}(z)‖}^{\mathrm{2}}。

\ddot{z}(t)+\gamma (t)\dot{z}(t)+\beta (t)\nabla \Phi (z(t))=\mathrm{0}（9）

式中：\gamma (t)=\frac{\theta }{t}为正黏性阻尼系数，\beta (t)为时间尺度系数，且\gamma ,\beta在t\in [t_{\mathrm{0}},+\mathrm{\infty })上是非负连续函数。由文献［15］可知，若\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\Phi非空，式（9）存在唯一的全局解。

4 动力系统的稳定性分析

在\Phi (z)=\mathrm{0}的情况下，对式（9）进行直接积分，可以得到p(t)=e^{{\int }_{t_{\mathrm{0}}}^t\gamma (u)\mathrm{d}u}。假设条件满足，定义函数\Gamma :[t_{\mathrm{0}},+\mathrm{\infty })

\Gamma (t)=p(t){\int }_t^{+\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}u}{p(u)}（10）

显然\Gamma :[t_{\mathrm{0}},+\mathrm{\infty })的定义不依赖于初始时间的选择，对其求导得

\dot{\Gamma }(t)=\gamma (t)\Gamma (t)-\mathrm{1}（11）

定义全局能量函数

W(t)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{‖\dot{z}(t)‖}^{\mathrm{2}}+\beta (t)\{\Phi [z(t)]-\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\Phi \}（12）

和锚函数

h(t)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{‖z(t)-z^{\mathrm{*}}‖}^{\mathrm{2}}（13）

式中：z^{\mathrm{*}}\in \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\Phi。根据上述定义，定义函数\zeta (t)如式（14）所示，\zeta (t)在动力系统的收敛性分析中起着重要作用^［16］。

\zeta (t)=\Gamma {(t)}^{\mathrm{2}}W(t)+h(t)+\Gamma (t)\dot{h}(t)（14）

式中：\dot{h}（t）为h（t）导数。

定理1 假设\Phi :R^n\to R是一个凸函数，且解集\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\Phi非空。正黏性阻尼系数\gamma (t)和时间尺度系数\beta (t)在t\in [t_{\mathrm{0}},+\mathrm{\infty })都是连续的函数，其增长条件H_{\gamma ,\beta }如式（15）所示。

H_{\gamma ,\beta }:\Gamma (t)\dot{\beta }(t)\le \beta (t)[\mathrm{3}-\mathrm{2}\gamma (t)\Gamma (t)]（15）

则式（9）的轨迹z(t)和\Gamma (t)\dot{z}(t)在[t_{\mathrm{0}},+\mathrm{\infty })上是有界的，并且当t\to +\mathrm{\infty }时的收敛速率为

\Phi [z(t)]-\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\Phi =O[\frac{\mathrm{1}}{\beta (t)\Gamma {(t)}^{\mathrm{2}}}]（16）

证明：对能量函数\zeta (t)进行求导，得

\dot{\zeta }(t)=(\mathrm{2}\Gamma (t)\dot{\Gamma }(t)\beta (t)+\Gamma {(t)}^{\mathrm{2}}\dot{\beta }(t))(\Phi (z(t))-\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\Phi )-〈\Gamma (t)\beta (t)\nabla \Phi (z{(t))}^{\mathrm{T}},z(t)-z^{\mathrm{*}}〉（17）

根据柯西不等式和函数\Phi的凸性，可以推断出不等式

\dot{\zeta }(t)\le [\mathrm{2}\Gamma (t)\dot{\Gamma }(t)\beta (t)+\Gamma {(t)}^{\mathrm{2}}\dot{\beta }(t)][\Phi (z(t))-\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\Phi ]\le \mathrm{0}（18）

因此，能量函数\zeta (t)是有界的，并结合\zeta (t)的定义，可以得到

{‖z(t)-z^{\mathrm{*}}‖}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}\Gamma (t)〈z(t)-z^{\mathrm{*}},\dot{z}(t)〉\le C（19）

其中，C=\mathrm{2}\zeta (t_{\mathrm{0}})。\dot{h}(t)=〈z(t)-z^{\mathrm{*}},\dot{z}(t)〉，动力方程系统解轨迹是有界的，则\Gamma (t)\dot{z}(t)有界。

已知函数\zeta (t)是有界的，并且\zeta (t)\le \zeta (t_{\mathrm{0}})在(t_{\mathrm{0}},t)上是成立的。对于任意的t\ge t_{\mathrm{0}}，有

\Phi (z(t))-\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\Phi \le \frac{\zeta (t_{\mathrm{0}})}{\beta (t)\Gamma {(t)}^{\mathrm{2}}}（20）

则定理1结论成立。

5 数值实验

取被抓物体质量m=\mathrm{0.1}\mathrm{k}\mathrm{g}，机器人手指抓取物以速度v=\mathrm{0.4}\mathrm{\pi }\mathrm{m}/\mathrm{s}沿着半径r=\mathrm{0.2}\mathrm{m}圆形路径移动。

取\theta (t)=\mathrm{0.4}\mathrm{\pi }，令(x_i,x_{i+\mathrm{1}},x_{i+\mathrm{2}})=(\mu y_{i+\mathrm{2}},y_i,y_{i+\mathrm{1}})，考虑如式（21）形式的优化问题。

\begin{array}{l}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}f(x)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{\mathit{x}}^{\mathrm{T}}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}(\frac{\mathrm{1}}{{\mu }^{\mathrm{2}}},\mathrm{1,1},\frac{\mathrm{1}}{{\mu }^{\mathrm{2}}},\mathrm{1,1},\frac{\mathrm{1}}{{\mu }^{\mathrm{2}}},\mathrm{1,1})x\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.\overline{\mathit{A}}x+f_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}=\mathrm{0}\\ x_{i+\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}+x_{i+\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}-x_i^{\mathrm{2}}\le \mathrm{0}(i=\mathrm{1,4},\mathrm{7})\end{array}（21）

式中：{\mathit{x}}^{\mathrm{T}}=\left(x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}},x_{\mathrm{3}},x_{\mathrm{4}},x_{\mathrm{5}},x_{\mathrm{6}},x_{\mathrm{7}},x_{\mathrm{8}},x_{\mathrm{9}}\right)；\mu为摩擦系数；\overline{\mathit{A}}为抓取变换矩阵；式（21）的相关参数具体数值为

\begin{array}{c}\mu =\mathrm{0.60}\\ \begin{array}{l}{f}_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}=(\mathrm{0,0.08}{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{0.4}\mathrm{\pi }),-\mathrm{0.98}+\mathrm{0.08}{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{0.4}\mathrm{\pi }),\\ {\mathrm{0,0},\mathrm{0})}^{\mathrm{T}}\end{array}\\ \overline{\mathit{A}}=\left(\begin{array}{ccccccccc}\mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& -\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{3}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}\\ -\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{3}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& -\mathrm{1}& \frac{\mathrm{5}}{\mathrm{3}}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& -\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& -\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& -\mathrm{1}\\ \mathrm{0}& -\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& -\mathrm{0.5}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& -\mathrm{1}& \frac{\mathrm{5}}{\mathrm{6}}& \mathrm{0}& -\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}\end{array}\right)\end{array}（22）

式（9）的参数选取\theta =\mathrm{25}，\beta (t)=\mathrm{1}。解的轨迹x（t）随时间t的变化图如图3所示，可见轨迹最后总是趋于一组稳定值。

6 结论

本文给出机器人的手指抓取临界力问题的优化模型，并得出对应的优化问题模型的KKT条件。通过光滑化NR函数，将优化问题的KKT条件转化为光滑方程组，借助价值函数，进而将机器人手指抓取临界力问题模型转化为无约束优化问题。通过建立动力方程系统求解无约束优化问题，并严格地证明了该动力系统的稳定性。最后给出一个数值实验验证了动力方程系统的有效性。

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基金资助

国家自然科学基金(52475482)