多自应力模态张拉整体结构质量优化研究

Study on Mass Optimization of Multi Self-stress Modes Tensegrity Structure

摘要

为实现对复杂多自应力模态张拉整体结构的轻量化设计，提出一种两阶段的质量优化方法：第1阶段，根据张拉整体结构找形理论，利用L2范数表征结构的几何对称性，寻找结构整体可行的预应力分布；第2阶段，先进行预应力分布相似判别，通过相似转换策略（STS）扩大种群搜索范围，继而，以结构在满应力状态下的最小质量作为目标函数，以拉索的屈服和压杆的屈服及屈曲为约束条件，建立结构质量最小化的约束优化模型，并对比分析量子天牛须搜索算法（QBSA）、量子进化算法（QEA）和天牛须搜索算法（BASA）在找寻最优的多自应力模态组合系数中的效果，从而实现结构体系轻量化设计的目的。为更精准地对比不同预应力水平对结构质量优化的影响，采用调整预应力水平（APL）的方式确保所有比较对象的最大节点位移相等。最后，以空间四向张拉整体平板结构、不同环向区域份数与径向圈数的张拉整体环形结构和拼接组装的张拉整体三棱柱平板结构3种不同类型的结构为例，结合APL和STS两种策略，以寻找更轻的结构质量，从而验证算法的有效性及普适性。研究结果表明，量子天牛须搜索算法兼具较强的局部寻优能力与全局寻优能力，且植入的APL和STS两种策略可有效提升算法的优化效果。此外，对于拼接而成的复杂张拉整体结构，所提方法可找到比拼接预应力更优的预应力分布形式。

Abstract

Objective Considering economic costs, structural applications, and convenient transportation, the lightweight design of tensegrities with multi-self-stress modes is increasingly popular. Existing approaches primarily concentrate on mass optimization of tensegrity structures with multi self-stress modes under specific loads, without addressing the initial forming conditions that ensure structural geometrical stability. Neglecting these conditions can increase the risk of collapse once the structural stiffness diminishes due to unpredictable variations in external loads. In addition, in the case of complex tensegrities with multi-self-stress modes, the influence of prestress distribution on structural mass has been largely ignored, as current methods fail to establish the relationship between structural mass and self-stress modes. Therefore, conducting research on the mass optimization of tensegrity structures with multi-self-stress modes based on heuristic optimization algorithms is of great significance. Methods A multi-stage mass optimization method was proposed to achieve lightweight design of complex tensegrity structures with multi-self-stress modes. In the first stage, based on the form-finding theory of tensegrities, the L2 norm was applied to characterize the geometric symmetry of the structures, and the integrity-feasible prestressing was obtained. In the second stage, the Similar Transforming Strategy (STS) was utilized to expand the population search range once the judgment on similar prestress distribution was completed. Then, the constrained optimization model of structural mass minimization was established by setting the objective function as the minimum structural mass under full stress, and the constraint conditions, such as cable yield, bar yield, and yield buckling of bars, were considered. The effects of the Quantum Beetle Search Algorithm (QBSA), Quantum Evolution Algorithm (QEA), and Beetle Antennae Search Algorithm (BASA) were compared concerning the search of the combination coefficient for optimal multi-self-stress modes, and therefore, the objective of lightweight design of the structural system was achieved. The maximum node displacement of all comparison objects was adjusted to the same value through the insertion of the Adjusting Prestress Level (APL) strategy to accurately compare the impact of various prestress distributions on optimal structural mass. The performance of three different heuristic optimization algorithms in the process of mass optimization of the spatial four-way tensegrity plate before and after the implementation of the APL strategy was compared. In addition, the optimal algorithm for subsequent research was selected. The influence of various geometric parameters on the lightweight design of the tensegrity torus structure was analyzed. Comparative studies were conducted using the following three schemes: Scheme 1 (simultaneously implementing APL and STS), Scheme 2 (implementing APL without executing STS), and Scheme 3 (implementing STS without executing APL). Results and Discussions The effectiveness of this method was comprehensively examined through three illustrative examples, and the following noteworthy results were obtained: 1) For the four-way tensegrity plate without the APL strategy, the elite individuals of QBSA, QEA, and BASA were 35, 33, and 6, with structural masses of 4 534, 4 808, and 5 039 kg, and optimization rates of 8.05%, 5.85%, and 3.24%. With the implementation of the APL strategy, the number of elite individuals in QBSA, QEA, and BASA was 36, 30, and 5, with structural masses of 3 790, 4 280, and 4 889 kg, and optimization rates of 58.95%, 51.21%, and 48.73%. QBSA has the highest number of elite individuals, which results in the lightest optimized mass and the greatest optimization rate, demonstrating its superior optimization performance. In addition, implementing the APL strategy effectively ensures the consistency of the maximum nodal displacement, while the structures optimized by all three algorithms achieve lighter masses and better results. 2) Changes in prestress distribution affect the loading conditions of tensegrity structures. As the structural mass reduces, the maximum nodal displacement exhibits fluctuations, and changes in prestress distribution also influence the nodal position with maximum displacement, while it remains unchanged after adjusting the prestress level. 3) The analysis of the tensegrity torus shows that when kn is determined, the optimized mass decreases with the increase of nx at first, and then rises when nx exceeds 4; when nx is determined, the optimized mass improves with the increase of kn. In addition, compared to Scheme 2 and Scheme 3, Scheme 1 achieves a lighter structural mass and a higher optimization rate. 4) The optimization results of the triangular prism tensegrity plate show that the variation of prestress distribution has a minor impact on structural mass optimization for plate B with Free Prestress (FP), while it has a significant impact on plate A with FP. In addition, the research results on plate A and plate B (with FP or Splicing Prestress (SP) applied) indicated that the connection bar plays an important role in structural lightweight design. In addition, the final optimized mass of plate A with FP and plate B is lower than the optimized mass corresponding to SP. Conclusions The establishment of multi-stage objective functions facilitates effective lightweight design while ensuring the integral feasible prestress of tensegrity structures. QBSA demonstrates superior local and global optimization capabilities, and by incorporating APL and STS strategies, the optimization outcomes are effectively enhanced. In addition, for complex assembled prestressed members, this method achieves a more favorable prestress distribution compared to that obtained through the conventional SP approach.

Graphical abstract

关键词

张拉整体 / 轻量化设计 / 多自应力模态 / 预应力水平 / 预应力分布

Key words

tensegrity structures / lightweight design / multi-self-stress modes / prestress level / prestress distribution

本刊网刊

张拉整体结构是一类由离散的受压杆件与连续的拉索组成的稳定自平衡空间结构体系^[1]。构件单元之间合理的预应力为结构提供了初始刚度并确保体系的稳定性。此类结构凭借其轻质、美观、可展等特点，已在建筑结构^[2‒4]、软体机器人^[5‒7]、航空航天^[8‒9]和超材料^[10‒12]等领域被广泛应用。由于张拉整体结构是一种典型的柔性结构，受力明确（拉压分离），其比常规的结构体系具有更大的强度质量比。因此，在上述研究领域中，设计者致力于寻求使结构体系轻量化的策略，以求进一步降低结构的质量，从而充分发挥其轻质高效的特点。

国外学者关于张拉整体结构质量优化的研究较多：Skelton等^[13‒14]针对张拉整体人形桥，提出荷载作用下最小化质量的方法，并对不同设计参数条件下的最优结构拓扑开展了对比；Nagase等^[15]提供了一种利用棱柱单胞构造张拉整体柱的方法，并获得了不同设计参数条件下张拉整体柱在屈服和屈曲应力约束下的最小质量；Fraddosio等^[16]分析了不同V形张拉整体单胞的自应力模态，对在屈服和屈曲应力约束下的自平衡张拉整体结构开展了质量优化研究；Ma等^[17]采用刚度矩阵伪逆法求解结构的欠定平衡方程，并提出了在屈服、屈曲和全局稳定性约束下的环形张拉整体结构的最小质量优化模型；Goyal等^[18]评估了张拉整体结构在外力和预应力作用下的整体稳定性，并通过调整结构的形状和拓扑，给出结构轻量化的方案。国内学者在该领域也开展了类似研究：陈联盟等^[19]提出一种优化张拉整体结构自应力模态的方法，并以重量最轻为优化目标对构件截面进行优化设计；罗阿妮等^[20]以外载荷作用下的圆柱形张拉整体结构为研究对象，根据构件质量和材料失效模式的关系，提出以构件力密度、横截面积作为设计变量，采用线性规划法开展了结构的质量优化研究。上述提及的研究方法，对复杂张拉整体结构，尤其是多自应力模态结构的质量优化通常有两类处理方式：一类方法仅考虑了结构在特定荷载下的质量优化，没有考虑结构自身的初始成形条件，以此避开求解多自应力模态的问题；另一类方法对于多自应力模态情况的处理方法是引入质量以外的其他目标函数，如最小初始应变能、力密度的均匀性、部分构件的最小预应力等，这种处理方式没有直接建立质量与多自应力模态之间的联系，不能充分考虑多种预应力分布形式对结构质量的影响。

近年，随着计算机技术的发展，启发式算法^[21]已逐步在土木建筑、金融管理、人工智能等工程领域中得到应用，为组合优化问题提供了研究思路。其中，天牛须搜索算法^[22]和量子进化算法^[23]作为两种典型的启发式算法，展现出参数少、计算量小和收敛快等优势，具备了解决张拉整体结构多模态组合优化问题的潜质。此外，杂交了上述两种方法优点的量子天牛须搜索算法^[24]凭借其处理此类优化问题的能力，受到学者的密切关注。

基于此，本文提出一种适用于复杂多自应力模态张拉整体结构的质量优化策略，对满足整体可行预应力的结构进行满应力优化，并通过调整预应力水平使结构最大位移保持一致，深入分析天牛须搜索算法、量子进化算法和量子天牛须搜索算法在寻找最小质量中的优化效果，并对上述3种启发式算法进行择优选取，以此实现张拉整体结构轻量化设计的目的。

1 张拉整体结构找形分析

对已知节点数为n、单元数为b的张拉整体结构，可通过力密度法^[25]得到其结构的自应力模态数s和独立位移模态数m：

s=b-r_{\mathit{A}}（1）

m=dn-r_{\mathit{A}}（2）

式（1）、（2）中，r_{\mathit{A}}为平衡矩阵A的秩，d为空间维度。

对平衡矩阵奇异值分解，可得结构体系的自应力模态。为确保寻找到具有一定对称关系的力密度可行解，可利用L2范数进行分组。

对于张拉整体结构，空间位置上对称构件的自应力模态具有相同的L2范数值。

\mathit{S}为自应力模态矩阵，其表达式为：

\mathit{S}=\left[\begin{array}{cccc}{s}_{\mathrm{11}}& s_{\mathrm{12}}& \cdots & s_{\mathrm{1}s}\\ s_{\mathrm{21}}& s_{\mathrm{22}}& \cdots & s_{\mathrm{2}s}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ s_{b\mathrm{1}}& s_{b\mathrm{2}}& \cdots & s_{bs}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{s}_{\mathrm{1}}& s_{\mathrm{2}}& \cdots & s_s\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\widetilde{{\mathit{S}}_{\mathrm{1}}}\\ \widetilde{{\mathit{S}}_{\mathrm{2}}}\\ ⋮\\ \widetilde{{\mathit{S}}_b}\end{array}\right]（3）

矩阵\mathit{S}中的每一行可由式（4）得出：

{‖\widetilde{{\mathit{S}}_i}‖}_{\mathrm{2}}={\left({\displaystyle \sum _{l=\mathrm{1}}^s}{s}_{il}^{\mathrm{2}}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}（4）

式中，\widetilde{{\mathit{S}}_i}=\left[\begin{array}{cccc}{s}_{i\mathrm{1}}& s_{i\mathrm{2}}& \cdots & s_{is}\end{array}\right]，i=1,2,\cdots,b，l=1,2,\cdots,s。

矩阵\mathit{S}中每一行代表拉索或压杆，将其中L2范数值相同的构件分为同一组。

对得到的新平衡矩阵\overline{\mathit{A}}，进行奇异值分解：

\overline{\mathit{A}}=\mathit{U}\mathit{V}{\mathit{W}}^{\mathrm{T}}（5）

式中，\mathit{U}、\mathit{W}为正交矩阵，\mathit{V}为矩阵\overline{\mathit{A}}的非负奇异值组成的对角矩阵。

在自平衡的条件下：当s=\mathrm{1}时，结构为单自应力模态；当s>\mathrm{1}时，结构为多自应力模态，正交矩阵可表示为：

\mathit{W}=\left[\begin{array}{cccc}{w}_{\mathrm{1}}& w_{\mathrm{2}}& \cdots & w_{r_{\mathit{A}}}\end{array}|\begin{array}{cccc}{n}_{\mathrm{1}}& n_{\mathrm{2}}& \cdots & n_s\end{array}\right]（6）

结构满足平衡条件的力密度\mathit{q}可由向量基的线性组合表示：

\mathit{q}={\alpha }_{\mathrm{1}}{n}_{\mathrm{1}}+{\alpha }_{\mathrm{2}}{n}_{\mathrm{2}}+\cdots +{\alpha }_s{n}_{\mathit{s}}={\left[\begin{array}{cccc}{q}_{\mathrm{1}}& q_{\mathrm{2}}& \cdots & q_b\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}（7）

式中，\left[\begin{array}{cccc}{n}_{\mathrm{1}}& n_{\mathrm{2}}& \cdots & n_s\end{array}\right]为s个独立的线性列向量，{\alpha }_{\mathrm{1}},{\alpha }_{\mathrm{2}},\cdots ,{\alpha }_s为组合系数，q_{\mathrm{1}},q_{\mathrm{2}},\cdots ,q_b为构件的力密度。

通过对张拉整体结构切线刚度矩阵的分析，可判断该结构的几何稳定性^[26]。

2 轻量化设计策略

结构轻量化设计分为两个阶段：第1阶段为寻找整体可行预应力分布^[27]，对相似解进行转换；第2阶段进行该预应力分布下的结构质量优化（满应力状态下）。因此，对应存在两个阶段的目标函数。

2.1 第1阶段目标函数

第1阶段为寻找整体可行预应力分布，需要在满足分组条件的基础上，进一步满足预设的构件拉压条件。

定义符号转换矩阵\mathit{e}为：

\mathit{e}=\left[\begin{array}{cc}\stackrel{c}{\overbrace{\begin{array}{cccc}\mathrm{1}& & & \\ & \mathrm{1}& & \\ & & \ddots & \\ & & & \mathrm{1}\end{array}}}& \\ & \underset{b-c}{\underbrace{\begin{array}{cccc}-\mathrm{1}& & & \\ & -\mathrm{1}& & \\ & & \ddots & \\ & & & -\mathrm{1}\end{array}}}\end{array}\right]（8）

式中，c为索的数量，b-c为杆的数量。

对可行式（7）中的\mathit{q}进行符号转换：

\mathit{\tau }=\mathit{e}\mathit{q}（9）

此时，若\mathit{\tau }内数值的所有元素均大于0，则表明所得的力密度\mathit{q}满足预设的拉压关系。

\mathit{\eta }为\mathit{\tau }内数值小于0的所有元素，其表达式为：

\mathit{\eta }={[\begin{array}{cccc}{\eta }_{\mathrm{1}}& {\eta }_{\mathrm{2}}& \cdots & {\eta }_{\beta }\end{array}]}^{\mathrm{T}}（10）

式中，\beta为列向量\mathit{\tau }内数值小于0的元素个数。

第1阶段的目标函数O_{\mathrm{b}\mathrm{j}{\mathrm{v}}_{\mathrm{1}}}可设计为：

O_{\mathrm{b}\mathrm{j}{\mathrm{v}}_{\mathrm{1}}}=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(\left(\beta +\left|{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\beta }}{\eta }_i\right|\right)\times {\mathrm{10}}^{\mathrm{5}}\right)（11）

O_{\mathrm{b}\mathrm{j}{\mathrm{v}}_{\mathrm{1}}}的值越小，则适应度越高，天牛种群越容易往该方向前进。优化迭代直至O_{\mathrm{b}\mathrm{j}{\mathrm{v}}_{\mathrm{1}}}等于0，表示当前预应力分布为整体可行预应力分布。

2.2 第2阶段目标函数

对于在自重和外荷载作用下的结构，可采用齿行法^[28]计算出每组整体可行预应力分布对应的结构在满应力状态下的截面尺寸和质量。因此，在第2阶段中采用齿行法，实现满应力状态下张拉整体结构的质量优化。

第2阶段的质量优化约束优化模型如下：

O_{\mathrm{b}\mathrm{j}{\mathrm{v}}_{\mathrm{2}}}=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}m={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}\rho A_i{l}_i（12）

式中，n为构件数量，A_i 为第i根构件的截面面积，l_i 为第i根构件的长度，\rho为材料密度。

约束条件为：

\left\{\begin{array}{l}{\sigma }_i\le \left[{\sigma }_i\right],i=\mathrm{1,2},\dots ,n;\\ A_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\le A_i\le A_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}},i=\mathrm{1,2},\dots ,n\end{array}\right.(13)

式中，{\sigma }_i、\left[{\sigma }_i\right]分别为第i根构件的应力和允许应力，A_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}、A_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}分别为杆件截面积的上限和下限。

第i根压杆、拉索的允许应力{\left[{\sigma }_i\right]}_{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{t}}、{\left[{\sigma }_i\right]}_{\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}}和第i根压杆的欧拉临界应力（压杆的屈曲应力）{\sigma }_{i,\mathrm{2}}计算式分别为：

{\left[{\sigma }_i\right]}_{\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{u}\mathrm{r}\mathrm{t}}=\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}({\sigma }_{i,\mathrm{1}},{\sigma }_{i,\mathrm{2}})（14）

{\left[{\sigma }_i\right]}_{\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{l}\mathrm{e}}={\sigma }_{i,\mathrm{1}}（15）

{\sigma }_{i,\mathrm{2}}=\frac{{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}{E}_i{I}_i}{A_i{l}_i^{\mathrm{2}}}（16）

式（14）~（16）中，{\sigma }_{i,\mathrm{1}}为构件的屈服应力，E_i为第i根构件的弹性模量，I_i为第i根构件的截面惯性矩。

2.3 相似转化策略

由于多自应力模态张拉整体结构需模态组合的特性，在预应力分布优化过程会频繁找到相似预应力分布的情况，这些分布对应的结构在优化后的质量相差非常小。为实现在有限代数内找到更轻的结构的目的，本文提出一种相似转化策略。

值得注意的是，经第1阶段优化后找到的各组力密度\mathit{q}往往不处于同一量级，为避免不同量级对相似性判断带来影响，需对其进行归一化处理：

{\mathit{q}}_{\mathrm{0}}=\frac{\mathit{q}}{{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^b}\left|q_i\right|},i=\mathrm{1,2},\cdots ,b（17）

在每次完成第2阶段的计算后，将此次计算的力密度{\mathit{q}}_{\mathrm{0}}存入当前对照矩阵中的列向量 Q，此后每当进行第2阶段计算前都需要对比力密度{\mathit{q}}_{\mathrm{0}}与 Q 中所有向量的相似度，仅满足式（18）的{\mathit{q}}_{\mathrm{0}}才能进入第2阶段的计算。

（18）

式中：\theta为余弦相似度，\theta \in \left[-\mathrm{2,0}\right]，越接近0表示两向量越相似，反之越不相似；q_{\mathrm{0}i}为{\mathit{q}}_{\mathrm{0}}的第i个元素；Q_i为\mathit{Q}的第i个元素。

若相似度过高，不满足式（18），则随机转化该个体的收敛方向，重新进行迭代。

本文的算法流程如图1所示。

3 四向张拉整体平板结构的轻量化设计

3.1 相同预应力水平下的质量优化

考虑一个由82个节点、96个杆和217根索组成的四向张拉整体平板结构。四向张拉整体平板如图2所示，结构的跨度为18 m，网格尺寸为3 m。四向张拉整体平板构件分组方案如图3所示，该结构利用L2范数可分为45组构件，为直观地展示具体的分组情况，取结构几何对称的1/8，并将网格划分为4个部分：上层拉索（图3（c））、上下层连接拉索（图3（d））、下层拉索（图3（e））和压杆（图3（f））。图3中，数字为节点坐标编号，括号中的数字为结构分组编号。

设拉索和压杆的弹性模量分别设置为E_{\mathrm{c}}=\mathrm{1.95}\times {\mathrm{10}}^{\mathrm{8}}\mathrm{k}\mathrm{N}/{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}和E_{\mathrm{s}}=\mathrm{2.06}\times {\mathrm{10}}^{\mathrm{8}}\mathrm{k}\mathrm{N}/{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}。索的设计强度为{\sigma }_{\mathrm{c}}=\mathrm{5.58}\times {\mathrm{10}}^{\mathrm{5}}\mathrm{k}\mathrm{N}/{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}，杆的设计强度为{\sigma }_{\mathrm{s}}=\mathrm{2.15}\times {\mathrm{10}}^{\mathrm{5}}\mathrm{k}\mathrm{N}/{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}。杆的直径上限为0.20 m，直径下限为0.05 m，结构采用4点支撑，支座采用三向固定铰支座，结构承受1.0 kN/m²的竖向均布荷载。

设置3种不同启发式算法（量子天牛须搜索算法、量子进化算法和天牛须搜索算法）的种群个数均为100，最大迭代数均为250，步长衰减系数均为0.95。3种方法对四向张拉整体平板结构的优化迭代过程如图4所示，其优化结果如表1所示。

一方面，由图4可知，根据式（11）中惩罚系数的设定，第1阶段的目标函数值会远大于第2阶段的目标函数，故在目标函数骤降前算法处于找寻整体可行预应力分布的第1阶段，随即进入第2阶段的质量优化。显然量子天牛须搜索算法和天牛须搜索算法在第1阶段所需的迭代次数均比量子进化算法更少，表明这两种方法在执行第1阶段时均具备较高的优化效率和较强的局部寻优能力。

另一方面，图4的250代种群迭代中，3种启发式算法分别经历了35、33和6次有效优化，可视为当前种群中的精英个体。精英个体数量代表算法找到局部最优解的次数，其数量越多表明算法越不容易陷入局部最优解。由表1可知，量子天牛须搜索算法较量子进化算法而言有更好的全局寻优能力，而后者则优于天牛须搜索算法。

由此可见，量子天牛须搜索算法结合了另外两种算法的优点，其在保留较高局部寻优能力的同时具备了更强的全局搜索能力。

进一步对量子天牛须搜索算法中的精英个体进行深入分析，精英个体对应的结构质量和最大节点位移如图5所示。由图5可知，随着预应力分布的不断优化，精英个体对应的结构质量在不断下降，与此同时最大的结点位移出现波动（最大位移点在52、62节点间变化）。结果表明，对预应力分布的优化可以很大程度上改善结构的整体受力状态，从而影响结构的最终质量与位移。

3.2 预应力水平的调节

图5中出现部分精英个体对应的结构质量和最大节点位移，未同时达到最佳设计的现象（例如，图5中第35代精英个体对应的结构质量最轻，但最大节点位移的最小值却出现在第32代）。由此表明，存在未对预应力分布进行充分优化的情况。为更精准地分析预应力分布对结构轻量化设计的影响，需要明确预应力水平在质量优化过程中的作用。

图4中量子天牛须搜索算法优化后的四向张拉整体平板结构在不同预应力水平作用下的结构质量与最大节点位移，预应力水平与最大节点位移和结构质量关系如图6所示。由图6可知：结构质量随预应力水平的增大而增大，这是由于结构内力会随预应力水平的增大而增加，在满应力状态下的构件截面会增大，使得整体结构质量变大；节点的最大位移随预应力水平的增大而减小，这是因为预应力水平的提高增强了结构的刚度，从而增强了结构抵抗外部荷载的能力。

基于上述考虑，可采用预应力水平调节的方式以确保在荷载作用下不同预应力分布的结构具有相同的最大节点位移，以便于分析不同预应力分布对结构质量优化的影响。

四向张拉整体平板在图5的35组预应力分布下（确保具有相同最大节点位移，可根据需求进行调整，本文统一最大位移为50 mm）计算得到的结果，精英个体对应的结构质量与最大节点位移如图7所示。由图7可知，通过APL能精准地控制结构的最大节点位移，且相较于图5，结构的最大节点位移编号均没有发生改变，但优化后的结构质量有较大区别。具体而言，节点的最大位移越接近50 mm，经过预应力水平调节后结构的质量与调节前的差值越小，反之，其差值越大。此外，经预应力水平调节后，结构最小质量对应的精英个体由调节前的第35代变更为第32代。

植入APL后采用3种启发式算法得到质量优化结果，植入APL的四向张拉整体平板优化迭代过程如图8所示，其优化结果如表2所示。对比图4、8可知，3种算法在植入APL后，结构优化后的质量更轻，均获得了更佳的优化效果。与此同时，量子天牛须搜索算法展示出了与图4类似的优势，即兼具了天牛须搜索算法与量子进化算法的特点，获得了最佳的优化结果。鉴于此，第4、5节将执行该方法进行结构轻量化设计。

4 张拉整体环形结构的轻量化设计

对具有不同环向区域份数k_n 与径向圈数n_x 的张拉整体环形结构进行轻量化设计。该环形结构是由三角形单胞组合而成（每个单胞自身并不独立成形）的多自应力模态张拉整体结构。将重点分析不同几何参数对该结构质量优化结果的影响。采用3种方案开展对比研究：同时植入APL与STS（方案1）、植入APL、不执行STS（方案2）及植入STS、不执行APL（方案3）。

张拉整体环形结构如图9所示，一个径向圈数n_x 为3、环向区域份数k_n 为8的环形结构，其直径为25.75 m，高度为6.00 m。张拉整体环形结构构件分组方案如图10所示，利用L2范数可将384根构件分为57组，为了直观地展示具体的分组情况，取结构几何对称的1/8，并将网格分为4个部分：上层拉索（图10（c））、上下层连接拉索（图10（d））、下层拉索（图10（e））和压杆（图10（f））。图10中，数字为节点坐标编号，括号中的数字为结构分组编号。根据式（1）可得s=\mathrm{102}，采用范数分组法可将结构的自应力模态从102降低至16。结构周围支座采用三向固定铰支座，结构及算法基本参数设置同第3节。

采用3种方案的张拉整体环形结构优化迭代过程如图11所示。由图11可知，3种方案在第10代前均处于第1阶段，从第11代开始启动第2阶段的优化。方案2不执行STS，在迭代过程中极易找到相似的预应力分布，使寻优过程中结构的质量差异不明显，从而导致算法优化效果不佳。类似地，方案3不执行APL，结构的预应力水平系数始终保持一致，导致不同预应力分布下结构的质量差距接近，优化效果也较差。此外，方案1因同时植入了STS和APL，避免了出现以上问题，优化效果最佳，最终所得质量为6 564 kg，优化率达35％。不同径向圈数n_x 对环形结构质量优化的影响如表3所示。

环向区域份数k_n 为8，不同径向圈数n_x 的张拉整体环形结构如图12所示，最终结果如表3所示。结果表明，随着n_x 的增大，模态数s、构件分组数h也随之变大。优化后结构的质量随着n_x 的增大呈现出先降后升的趋势。其主要原因是n_x 的增加能降低节点的最大位移，为满足不同结构具有相同最大节点位移的限定条件，预应力水平会随着n_x 增大而降低，构件内力减小，使优化后的结构质量降低。当n_x 继续增大后，构件内力进一步降低，截面的尺寸也将随之变小，但由于存在最小截面的约束条件，部分构件的面积无法进一步减小，最终优化后的质量呈现反向上升趋势。

当n_x 为3时，不同环向区域份数k_n 的张拉整体环形结构如图13所示，优化后的最终结果如表4所示。n_x 增大的情况相似，k_n 的增大也会使结构的态数s随着构件数的增加而变大，但由于结构的对称性，构件分组数h值始终保持不变。优化后的结构质量随着k_n 的增加呈现持续上升的趋势。这是由于k_n 的增加使最大位移所在节点附近的构件数量增多，导致结构自重和最大位移增大，最终随着构件总数量的增加，出现优化后结构质量不断增大的结果。

此外，针对相同k_n 和n_x 的同一个张拉整体环形结构，由表3和4可知，相较于另外两种方案，执行方案1可获得更轻的结构质量和更高的优化率，由此表明，在轻量化设计中植入STS和APL可有效提升算法的优化效果。

5 张拉整体三棱柱平板的轻量化设计

对复杂三棱柱张拉整体平板结构进行质量优化研究。与前两个算例不同，三棱柱张拉整体平板结构由三棱柱单胞拼接形成且每个单胞都可独立成形。一个独立的三棱柱单胞其镜像如图14所示，可将此单胞以不同方式的拼接（有联系杆和无联系杆（图15））进行组装，可得到两个张拉整体平板结构（图16），跨度均为20 m，厚度均为2.2 m。其中，张拉整体平板A由182个节点、486根索和162根杆组成，而张拉整体平板B则在其基础上增加了146根联系杆。

通常而言，可将由单胞拼接而成的复杂张拉整体结构的预应力形式分为两类：已成形的三棱柱单胞通过相应的拼接方式组装为平板后所得的预应力分布，称为拼接预应力（SP）；自由预应力（FP）则是由未成形的三棱柱单胞组装后通过模态自由组合所得。平板A和B采用L2范数分组后得到的组数分别为6和7，s均为1。结构中的环索初始力密度均为1.000，斜索初始力密度均为1.732，压感初始力密度均为-1.732，其中，平板B联系杆的初始力密度（SP）为0，表明在未受荷载前（自由状态下），联系杆不受力。

采用轻量化设计方案1，分别对平板A和B进行优化分析。三棱柱平板结构的优化迭代过程如图17所示。由图17可知，对于施加FP的平板B，预应力分布的变化对结构质量优化影响较小，而对施加FP的平板A影响较大。同时，平板A和B（施加FP或SP）的研究结果表明，联系杆在结构轻量化设计中起着重要作用。具体而言，联系杆可提高结构刚度，从而减轻所需的结构质量，三棱柱平板结构的优化结果如表5所示。此外，具有FP平板A和B的最终优化质量均小于SP对应的优化质量，这表明对于此张拉整体三棱柱平板FP的解比SP更好。

6 结 论

本文提出一种适用于多自应力模态张拉整体结构的轻量化设计策略，通过算例对轻量化设计策略的有效性进行验证，得到结论如下：

1）通过对多自应力模态张拉整体结构找形过程中目标函数的合理设计，可保证结构的预应力在符合成形要求的前提下，既满足给定分组条件，又满足预设拉压条件。

2）预应力分布的改变会影响结构整体的受力情况。采用本算法进行轻量化设计时，随着结构质量的减轻，最大节点位移值会出现波动，且预应力分布的变化也会导致最大位移所在节点位置发生变化；在调整预应力水平后最大位移所在节点位置保持不变。

3）在多自应力模态张拉整体质量优化研究中，量子天牛须搜索算法因兼具了天牛须搜索算法与量子进化算法的特点，有较高的局部寻优能力和更强的全局搜索能力，算例结果表明其寻优效果最佳。

4）多自应力模态张拉整体存在许多预应力分布相似的结构，植入STS可以排除相似解，扩大搜索范围，能有效提升优化效果；植入APL可有效控制结构的最大位移，结合量子天牛须算法能有效找寻最佳的预应力分布，使多自应力模态张拉整体结构有更好的质量优化效果。此外，对于复杂的拼接张拉体，应用STS和APL后可以获得比拼接预应力更好的预应力分布。

目前，本研究对多自应力模态张拉整体结构的质量优化研究已经取得了一定成果，在下一阶段还需要对部分内容作更深入的拓展：

1）根据设计需求，将该方法推广至复杂的工作条件和材料失效模式；

2）在质量优化阶段，综合考虑力密度均匀性及结构最小应变能等目标，将算法从单目标优化拓展为多目标优化。

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基金资助

国家自然科学基金面上项目(52478189)