互承结构在缩聚节点编码系下的空间刚架位移法

Spatial Matrix Displacement Method of Reciprocal Structures Based on Condensed Nodal Coding System

摘要

互承结构中铰节点位于杆件边缘，无法通过直接修改刚度矩阵的方式描述这类连接关系。为了更加高效地计算互承结构的内力和变形，本文提出一套适用于互承结构的静力计算方法。在铰节点处定义广义节点位移由铰节点的三向线位移、两个梁端节点的三向角位移组成。根据互承搭接节点处梁端节点的位移关系，用铰节点广义位移描述梁端节点位移，在传统空间刚架位移法的基础上，用铰节点处编码取代梁端节点上的两个编码，对整体结构节点编码进行缩聚。根据虚功原理，推导缩聚节点编码系下结构的总体刚度方程，集成缩聚节点编码系下结构的总体刚度矩阵。引入边界条件修正总体刚度矩阵，代入刚度方程即可求得缩聚节点编码系下结构的节点位移，进一步求得原编码系下结构的位移和内力。在算例分析中，采用本文所提方法对空间两杆搭接结构和阿基米德6³型互承结构进行计算分析，并借助有限元软件ANSYS进行对比验证。结果显示：两种计算方法所得结果误差在3.5%以内，验证了本文所提方法的正确性；有限单元法模拟互承搭接节点时需要额外建立短刚臂，短刚臂将产生15个节点自由度，而提出的方法只需要使用实际铰节点处广义节点位移的9个自由度，有效减少了整体结构的计算自由度数目，在求解互承结构时更加简洁高效。

Abstract

Objective The rod articulation in the spatial matrix displacement method is simulated by directly eliminating the rows and columns associated with the hinge point in the stiffness matrix, which is only applicable when two rods are directly articulated on the axial line. For reciprocal structures, the hinge points are located at the rod edges, and the presence of eccentricity allows the bending moments to be transmitted between rods, so the direct modification of stiffness matrices is not applicable to this type of reciprocal system. This study proposes a static calculation method applicable to such systems to accurately and efficiently simulate the reciprocal hinge point and more conveniently calculate the internal forces and deformations of reciprocal structures. Methods First, the generalized nodal displacement consisting of nine components is defined at the hinge point, including the three translations at the hinge point and the three rotations at the two beam end nodes. The displacement relationship of the beam end nodes at the reciprocal connection is simplified by introducing the generalized displacements at the hinge point to describe the displacements of the nodes at the beam ends. Based on the traditional spatial matrix displacement method, the elements and nodes of the spatial frame structure require coding. Because the nodal displacements at the beam end nodes are described by the generalized displacements at the hinge point, the entire structural nodal coding is condensed by replacing the two codes at the beam end nodes with one code at the hinge point. For a structure with N beam end nodes and N_m hinge points, the number of nodal codes decreases from N to N‒N_m after condensation, and the dimension of the nodal displacement vector is also reduced. Due to the adoption of two sets of nodal coding, integrating the whole stiffness matrix by using the traditional positional localization approach becomes difficult. Therefore, the equation of internal virtual work done by the internal force of the beam element on the virtual displacement of the beam end nodes and the equation of external virtual work done by the equivalent node load on the virtual displacement of the beam end nodes are established separately. Based on the principle of virtual work, in which the virtual work of internal force equals the virtual work of external force, the virtual work equation of the structure is obtained as the whole stiffness equation of the structure under the condensed nodal coding system. At the same time, the whole stiffness matrix of the structure under the condensed coding system is obtained and, similar to the traditional matrix displacement method, remains symmetric. After introducing boundary conditions, the whole stiffness matrix is modified, and the nodal displacements of the structure under the condensed nodal coding system are obtained. In addition, the displacements and internal forces of the structure under the original coding system are calculated. Results and Discussions In the numerical examples, the proposed method is first applied to calculate and analyze the nodal displacements and internal forces of the space lap structure with two rods, and ANSYS software is employed to perform finite element analysis for verification. In the finite element model, Beam 189 and Solid 45 are utilized to simulate the rods, and the results show that regardless of the element type, the finite element results agree well with the theoretical results. Further, the reciprocal structure transformed from the 6³ type of Archimedes paving is determined by the proposed method to obtain the nodal displacements and internal forces, and comparative validation is again conducted by using ANSYS finite element software. The results show that the error between the proposed method and ANSYS finite element results remains within 3%. The two sets of results are generally consistent but do not perfectly match because short stiff arms are introduced in the ANSYS model to simulate the articulation of the beam end nodes. The stiff arm is not absolutely rigid, although it has much greater stiffness than the rods, so the ANSYS finite element model does not fully satisfy the flat cross-section assumption. Conclusions Compared to finite element analysis, the spatial rigid matrix displacement method under the condensed nodal coding system presents clear advantages for analyzing reciprocal structures. The finite element method requires additional short stiff arms to simulate the reciprocal connection, which generates 15 nodal degrees of freedom. In contrast, the proposed method uses only 9 degrees of freedom for the generalized nodal displacements at the actual hinge points, effectively reducing the computational degrees of freedom of the whole structure and providing a more concise and efficient analysis approach. In addition, in the finite element method, enforcing the flat cross-section assumption requires the stiffness of the two short rigid arms to be extremely large, which can cause convergence difficulties or even non-convergence in nonlinear calculations when inappropriate stiffness values are used. Because the proposed method does not include short rigid arm elements, it exhibits better numerical stability.

Graphical abstract

关键词

互承结构 / 缩聚节点编码 / 刚度矩阵 / 空间刚架位移法 / 有限单元法

Key words

reciprocal structure / condensed nodal coding / stiffness matrix / spatial matrix displacement method / finite element method

本刊网刊

互承结构构型独特，具有节点形式简单、建筑工业化程度高、造型美观等特点，近年来受到工程界的广泛关注。互承结构组成的基本特征是任一杆件的端部与相邻杆件的内部结合，所有节点仅连接两根杆件，杆件之间不存在主次等级关系。目前，这类结构形式主要应用于空间结构屋盖、廊桥和临时建筑。Gobin等^[1]提出直接构型方法，并将遗传算法和牛顿法等应用于互承结构的构型过程，解决了互承结构的形状生成问题。Su^[2‒4]、武岳^[5]、苏岩^[6]、Song^[7‒8]、徐霄雁^[9]、Asefi^[10]等在Gobin等^[1]研究成果的基础上，优化了互承结构的构型方法，设计了可以快速实现互承构型的实用性工具。Brancart^[11]、Nazarzadeh^[12]、夏永强^[13]等针对曲杆互承结构开展了一系列研究，提出曲杆互承结构的构型方法。在互承结构的静动定特性分析方面，Parigi^[14]、Xia^[15]、夏永强^[16]等推导了互承结构的运动矩阵和平衡矩阵，以杆件位移为基本未知量，建立了互承结构的静动定特性判定方法。在互承结构的力学性能方面，Rizzuto^[17]、Castriotto^[18]、齐麟^[19]、武岳^[20]等开展了数值模拟和模型试验；夏永强等^[21]推导了互承结构的静力计算公式；Castriotto^[22]、张文元^[23]等研究了互承结构的节点性能。现有研究成果表明，互承结构比传统结构更柔，其力学性能较大程度地依赖于基本单元块的类型^[24‒27]。

目前，互承结构尚未在实际工程中得到广泛应用，静动力计算方法复杂是造成这一局面的主要原因之一。有限单元法^[28‒29]是当前互承结构静动力分析的首选，由于互承结构杆件间相互搭接，铰节点位于杆件截面边缘，为了模拟节点搭接真实情况，有限元建模时，有两种解决办法：一种是选用实体模型^[17]，求得结构的应力，再根据相应的材料力学知识计算梁单元的内力；另一种是用梁单元模拟互承杆件^[21]，对每一个搭接点，需额外增加两个短刚臂来模拟铰接。然而，无论哪种方式，对于大型互承结构，都将带来巨大的工作量。

互承结构属于空间网格结构，空间刚架位移法是空间网格结构的重要求解方法^[30]。目前，这种方法通过直接划掉刚度矩阵中铰节点对应的行、列来模拟杆件铰接^[31]，但仅适用于两根杆件直接在轴心线上铰接的情况，当铰节点位于杆件边缘时，由于存在偏心矩，杆件之间仍然可以传递弯矩，因此，直接修改刚度矩阵的方法对于这类互承体系并不适用。互承结构研究领域亟待提出一种适用于互承结构的静力计算方法，以准确高效地模拟互承搭接节点。

因此，根据互承搭接节点处梁端节点的位移关系，用铰节点的广义位移描述梁端节点位移，在传统空间刚架位移法编码原则的基础上，用铰节点处编码取代梁端节点上的两个编码，对整体结构节点编码进行缩聚。根据虚功原理，推导缩聚节点编码系下结构的总体刚度矩阵和刚度方程，提出适用于互承结构的静力计算方法。进一步地，开展算例分析，采用本文所提方法对空间两杆搭接结构和阿基米德6³型互承结构进行计算分析，并借助有限元软件ANSYS进行对比验证。

1 基本假定

互承结构搭接节点处力学关系复杂，为了便于刚度矩阵的推导，作如下基本假定：

1）梁单元为等截面直杆；

2）梁截面满足平截面假定，即变形后的梁截面仍保持为平面；

3）变形后的梁截面垂直于中和轴，不考虑剪切变形的影响；

4）杆件间搭接点处不产生局部挤压变形；

5）杆件符合小变形、小应变假定；

6）杆件材料为各向同性的线弹性材料；

7）荷载仅作用在节点上。

2 铰节点处梁端节点位移关系

两根杆件相互搭接于点m，过点m分别做杆件b₁和b₂中和轴的垂面，垂面和中和轴的交点分别为点p和q，互承结构节点连接如图1所示。根据基本假定2）～4），无论两根杆件产生怎样的变形，点p和m始终在同一个横截面上且两点的距离I_mp 始终保持为定值；同理，I_mp 也始终为定值。

图1中，在整体坐标系O‒XYZ下，杆件b₁的梁端节点p有3个线位移和3个角位移，点p的线位移向量 d_p ={\left[\begin{array}{ccc}{u}_p& v_p& w_p\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}，点p的角位移向量 Φ_p ={\left[\begin{array}{ccc}{\phi }_{Xp}& {\phi }_{Yp}& {\phi }_{Zp}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}，其中，u_p 、v_p 、w_p 分别为点p沿X、Y、Z方向的线位移，φ_Xp 、φ_Yp 、φ_Zp 分别为点p绕X、Y、Z轴的角位移。铰节点m只有3个线位移，点m的线位移向量{\widehat{\mathit{d}}}_m={\left[\begin{array}{ccc}{u}_m& v_m& w_m\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}，其中，u_m 、v_m 、w_m 分别为点m沿X、Y、Z方向的线位移。可得到m和p点位移的关系：

{\mathit{d}}_p={\widehat{\mathit{d}}}_m-{\mathit{B}}_p^m{\mathit{\Phi }}_p（1）

式中，{\mathit{B}}_p^m为m和p点的位移转换矩阵，{\mathit{B}}_p^m=\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{0}& z_m-z_p& -\left(y_m-y_p\right)\\ -\left(z_m-z_p\right)& \mathrm{0}& x_m-x_p\\ y_m-y_p& -\left(x_m-x_p\right)& \mathrm{0}\end{array}\right]，其中，x_m 、y_m 、z_m 分别为整体坐标系O‒XYZ下点m沿X、Y、Z方向的坐标，x_p 、y_p 、z_p 分别为整体坐标系O‒XYZ下点p沿X、Y、Z方向的坐标。

同理可得：

{\mathit{d}}_q={\widehat{\mathit{d}}}_m-{\mathit{B}}_q^m{\mathit{\Phi }}_q（2）

式中： d_q 为点q的线位移向量， d_q =[u_q{v}_q{w}_q{]}^{\mathrm{T}}，其中，u_q 、v_q 、w_q 分别为点q沿X、Y、Z方向的线位移； Φ_q 为点q的角位移向量，{\mathit{\Phi }}_{\mathrm{q}}=[{\phi }_{Xq}{\phi }_{Yq}{\phi }_{Zq}{]}^{\mathrm{T}}，其中，φ_Xq 、φ_Yq 、φ_Zq 分别为点q绕X、Y、Z轴的角位移；{\mathit{B}}_q^m为m和q点的位移转换矩阵，{\mathit{B}}_q^m=\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{0}& z_m-z_q& -\left(y_m-y_q\right)\\ -\left(z_m-z_q\right)& \mathrm{0}& x_m-x_q\\ y_m-y_q& -\left(x_m-x_q\right)& \mathrm{0}\end{array}\right]，其中，x_q 、y_q 、z_q 分别为整体坐标系O‒XYZ下点q沿X、Y、Z方向的坐标。

特别地，当铰节点位于梁端节点上，即点p和q直接铰接时，{\mathit{B}}_p^m={\mathit{B}}_q^m=\mathrm{0}，有{\mathit{d}}_p={\mathit{d}}_q={\widehat{\mathit{d}}}_m，点p、q和m这3点线位移相等。

定义广义节点位移向量{\widehat{\mathit{D}}}_m，由铰节点m的线位移、梁端节点p的角位移和梁端节点q的角位移3部分组成，{\widehat{\mathit{D}}}_m={\left[\begin{array}{ccc}{\widehat{\mathit{d}}}_m^T& {\mathit{\Phi }}_p^T& {\mathit{\Phi }}_q^T\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}。点p和q的位移向量 D_p 、 D_q 分别由{\widehat{\mathit{D}}}_m表示为：

{\mathit{D}}_p={\left[\begin{array}{cc}{\mathit{d}}_p^T& {\mathit{\Phi }}_p^T\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}={\mathit{R}}_p^{}{\widehat{\mathit{D}}}_m（3）

{\mathit{D}}_q={\left[\begin{array}{cc}{\mathit{d}}_q^T& {\mathit{\Phi }}_q^T\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}={\mathit{R}}_q^{}{\widehat{\mathit{D}}}_m（4）

式中， R_p 、 R_q 分别为点m广义节点位移和点p、q位移之间的转换矩阵，{\mathit{R}}_p^{}={\mathit{R}}_p^{\mathrm{E}}\otimes {\mathit{E}}_{\mathrm{3}}-{\mathit{R}}_p^{\mathrm{B}}\otimes {\mathit{B}}_p^m，{\mathit{R}}_q^{}={\mathit{R}}_q^{\mathrm{E}}\otimes {\mathit{E}}_{\mathrm{3}}-{\mathit{R}}_q^{\mathrm{B}}\otimes {\mathit{B}}_q^m，其中，\otimes表示克罗内克积， E₃为3阶单位矩阵，{\mathit{R}}_p^{\mathrm{E}}、{\mathit{R}}_p^{\mathrm{B}}、{\mathit{R}}_q^{\mathrm{E}}、{\mathit{R}}_q^{\mathrm{B}}为专门定义的过渡矩阵，{\mathit{R}}_p^{\mathrm{E}}=\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}\end{array}\right]，{\mathit{R}}_p^{\mathrm{B}}=\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right]，{\mathit{R}}_q^{\mathrm{E}}=\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}\right]，{\mathit{R}}_q^{\mathrm{B}}=\left[\begin{array}{ccc}\mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right]。

利用式（3）和（4），梁端节点位移可以由对应的铰节点的广义节点位移描述。

3 缩聚节点编码系下的总刚度方程

3.1 单元刚度矩阵

对空间中的梁单元数e，点i、j为梁单元的两个端点。根据梁的基本理论，空间梁单元两端截面分别存在6个节点内力分量和6个节点位移分量。在整体坐标系O‒XYZ下，6个节点内力分量 F^e 可表示为：

F^e ={\left[f_{Xi}{f}_{Yi}{f}_{Zi}{M}_{Xi}{M}_{Yi}{M}_{Zi}{f}_{Xj}{f}_{Yj}{f}_{Zj}{M}_{Xj}{M}_{Yj}{M}_{Zj}\right]}^{\mathrm{T}}（5）

式中，f_Xi 、f_Yi 、f_Zi 分别为端点i沿着X、Y、Z方向的节点力，M_Xi、M_Yi 、M_Zi 分别为端点i绕着X、Y、Z方向的节点力矩，f_Xj 、f_Yj 、f_Zj 分别为端点j沿着X、Y、Z方向的节点力，M_Xj、M_Yj 、M_Zj 分别为端点j绕着X、Y、Z方向的节点力矩。

6个节点位移分量 D^e 可表示为：

D^e ={\left[u_{\mathrm{i}}{v}_{\mathrm{i}}{w}_{\mathrm{i}}{\phi }_{Xi}{\phi }_{Yi}{\phi }_{Zi}{u}_{\mathrm{j}}{v}_{\mathrm{j}}{w}_{\mathrm{j}}{\phi }_{Xj}{\phi }_{Yj}{\phi }_{Zj}\right]}^{\mathrm{T}}（6）

式中，u_i、v_i、w_i 分别为端点i沿着X、Y、Z方向的节点位移，φ_Xi、φ_Yi、φ_Zi 分别为端点i绕着X、Y、Z轴的转角；u_j、v_j、w_j 分别为端点j沿着X、Y、Z方向的节点位移，φ_Xj、φ_Yj、φ_Zj 分别为端点j绕着X、Y、Z轴的转角。

梁单元节点力和节点位移之间的关系可表示为：

K^eD^e = F^e（7）

式中： K^e 为第e个单元在整体坐标系下的刚度矩阵，可参考李亚明^[30]的研究成果并配合坐标转换矩阵推导获得。

3.2 缩聚节点编码

对各个单元和节点进行编码，设结构共有N个梁端节点，梁端节点位移可用一个6N维向量 D 表示：

\mathit{D}={\left[\begin{array}{cccc}{\mathit{D}}_{\mathrm{1}}^T& {\mathit{D}}_{\mathrm{2}}^T& \cdots & {\mathit{D}}_N^T\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}（8）

式中， D_i （i=1,2,…,N）为节点的位移向量。

当结构存在N_m个铰节点时，铰节点处对应的两个梁端节点的节点位移可以用铰节点处的广义节点位移描述，因此，可用一个铰节点处的编码来取代梁端节点上的两个编码（图1中，点p和q不再编码，只在点m编码）。将原编码系进行缩聚，缩聚后编码的个数由N变为N‒N_m，缩聚节点编码系下的节点位移向量\widehat{\mathit{D}}削减为6N‒3N_m维。

\widehat{\mathit{D}}={\left[\begin{array}{cccc}{\widehat{\mathit{D}}}_{\mathrm{1}}^T& {\widehat{\mathit{D}}}_{\mathrm{2}}^T& \cdots & {\widehat{\mathit{D}}}_{N-N_m}^T\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}（9）

设梁端节点在原编码系下的编码为n（1\len\leN），对应缩聚节点编码系下的编码为k（1\lek\leN_m），引入(N‒N_m)×(N‒N_m)的分块矩阵 H，第k行、k列子矩阵 H_(k,k)为：

{\mathit{H}}_{(\mathit{k},\mathit{k})}=\left\{\begin{array}{c}\mathit{A},\mathrm{编码}\mathrm{为}k\mathrm{的节}\mathrm{点不}\mathrm{是铰}\mathrm{接点};\\ {\mathit{E}}_{\mathrm{9}}, \mathrm{编码}\mathrm{为}k\mathrm{的节}\mathrm{点是}\mathrm{铰接}\mathrm{点} \end{array}\right.（10）

式中： A =[ E₆0_6×3]^T，其中， E₆为6阶单位矩阵，0_6×3为6行3列的0矩阵； E₉为9阶单位矩阵。

矩阵 H 中除了第k行、第k列子矩阵，其余位置的子矩阵均为0矩阵。可得到过渡节点位移向量{\widehat{\mathit{D}}}_{\mathit{H}}=\mathit{H}\widehat{\mathit{D}}，该向量用以建立两套节点编码系统下节点位移向量之间的联系。

引入N×(N‒N_m)的矩阵 I_n， I_n 仅第n行、第k列元素为1，其余元素均为0，定义参数矩阵 C_n 为：

{\mathit{C}}_n=\left\{\begin{array}{l}{\mathit{I}}_n\otimes {\mathit{A}}^{\mathrm{T}}, \mathrm{编码}\mathrm{为}k\mathrm{的节}\mathrm{点是}\mathrm{铰接}\mathrm{点}; \\ {\mathit{I}}_n\otimes {\mathit{R}}_n , \mathrm{编码}\mathrm{为}k\mathrm{的节}\mathrm{点不}\mathrm{是铰}\mathrm{接点}\end{array}\right.（11）

式中， R_n 为转换矩阵，通过{\mathit{R}}_p^{}={\mathit{R}}_p^{\mathrm{E}}\otimes {\mathit{E}}_{\mathrm{3}}-{\mathit{R}}_p^{\mathrm{B}}\otimes {\mathit{B}}_p^m，{\mathit{R}}_q^{}={\mathit{R}}_q^{\mathrm{E}}\otimes {\mathit{E}}_{\mathrm{3}}-{\mathit{R}}_q^{\mathrm{B}}\otimes {\mathit{B}}_q^m求得。

进一步地，可得到整体结构的缩聚节点编码系节点位移转换矩阵 J 为：

\mathit{J}={\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^N}{\mathit{C}}_n（12）

两套节点编码系下的节点位移转换关系为：

\mathit{D}=\mathit{J}{\widehat{\mathit{D}}}_{\mathit{H}}=\mathit{J}\mathit{H}\widehat{\mathit{D}}（13）

3.3 缩聚节点编码系下的整体刚度矩阵

对于互承结构，由于采取两套节点编码准则，传统“对号入座”的整体刚度矩阵集成过程难以实现。故而，借助虚功原理，集成结构的整体刚度矩阵。

空间梁单元的节点力和节点位移如图2所示。对图2的任意梁单元在整体坐标系下，梁端节点产生虚位移δ D^e ：

\mathrm{\delta }{\mathit{D}}^e={\mathit{\lambda }}^e\mathrm{\delta }\mathit{D}={\mathit{\lambda }}^e\mathit{J}\mathit{H}\mathrm{\delta }\widehat{\mathit{D}}（14）

式中：\mathrm{\delta }为虚位移的计算符号； λ^e 为12×6N维的单元定位矩阵，反映了梁单元的梁端节点位移在整体结构节点位移中的位置，该矩阵求法参考李亚明^[30]的研究。

梁单元内力在虚位移δ D^e 上所做的虚功W_{\mathrm{i}\mathrm{n}}^e为：

W_{\mathrm{i}\mathrm{n}}^e=\mathrm{\delta }[{\mathit{D}}^e{]}^{\mathrm{T}}{\mathit{K}}^e{\mathit{D}}^e=\mathrm{\delta }[{\mathit{\lambda }}^e{\mathit{J}\mathit{H}\widehat{\mathit{D}}]}^{\mathrm{T}}{\mathit{K}}^e[{\mathit{\lambda }}^e\mathit{J}\mathit{H}\widehat{\mathit{D}}]（15）

P^e 为作用于第e个梁单元上的等效节点荷载向量，荷载在虚位移δ D^e 上做的虚功W_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}^e为：

W_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}^e=\mathrm{\delta }[{\mathit{D}}^e{]}^{\mathrm{T}}{\mathit{P}}^e=\mathrm{\delta }[{\mathit{\lambda }}^e{\mathit{J}\mathit{H}\widehat{\mathit{D}}]}^{\mathrm{T}}{\mathit{P}}^e（16）

当结构包含N^e 个单元时，根据整体结构内力虚功和外力虚功相等的原则，可以得到结构的虚功方程为：

{\displaystyle \sum _e^{N^e}}\delta [{\mathit{\lambda }}^e{\mathit{J}\mathit{H}\widehat{\mathit{D}}]}^T{\mathit{K}}^e[{\mathit{\lambda }}^e\mathit{J}\mathit{H}\widehat{\mathit{D}}]={\displaystyle \sum _e^{N^e}}\mathrm{\delta }[{\mathit{\lambda }}^e{\mathit{J}\mathit{H}\widehat{\mathit{D}}]}^{\mathrm{T}}{\mathit{P}}^e（17）

进一步地，可得到缩聚节点编码系下结构的总体刚度方程：

\widehat{\mathit{K}}\widehat{\mathit{D}}=\widehat{\mathit{P}}（18）

式中，\widehat{\mathit{K}}和\widehat{\mathit{P}}分别为缩聚节点编码系下结构的总体刚度矩阵和等效节点荷载向量，与传统的矩阵位移法一样，\widehat{\mathit{K}}也为对称矩阵。

\widehat{\mathit{K}}={\mathit{H}}^{\mathrm{T}}{\mathit{J}}^{\mathrm{T}}[{\displaystyle \sum _e^{N^e}}[{\mathit{\lambda }}^e{]}^{\mathrm{T}}{\mathit{K}}^e{\mathit{\lambda }}^e]\mathit{J}\mathit{H}（19）

\widehat{\mathit{P}}={\mathit{H}}^{\mathrm{T}}{\mathit{J}}^{\mathrm{T}}{\displaystyle \sum _e^{N^e}}[{\mathit{\lambda }}^e{]}^{\mathrm{T}}{\mathit{P}}^e（20）

对于式（18），通过修正刚度矩阵，引入边界条件，使结构满足成为几何不变体系的条件\left|\widehat{\mathit{K}}\right|\ne \mathrm{0}，即可求得缩聚节点编码系下结构的节点位移\widehat{\mathit{D}}。如果\left|\widehat{\mathit{K}}\right|=\mathrm{0}，说明结构是几何可变体系，无法计算。

4 算例分析

4.1 空间两杆搭接结构计算分析

空间中两根杆件在端部搭接组成一“L”形刚架，杆件b₁沿X方向，杆件b₂沿Y方向，空间两杆搭接结构如图3所示。杆件截面为直径20 mm的实心圆。结构材料的弹性模量E=2.06×10¹¹ N/m²，泊松比υ=0.3，剪切模量G=E/2(1+υ)。杆件与基础刚接，在b₁端点位置作用沿Z轴负向的集中荷载800 N。

根据空间刚架位移法的基本原理，可将整体结构离散为两个单元，杆件上的箭头表示单元的正方向，由梁端节点i指向梁端节点j。本文算例节点数目较少，为了减少矩阵的维度，采用先处理法^[30]，不对支座约束处的节点进行编码，原始梁端节点编码、缩聚节点编码见图3。两套编码系统下的位移描述转换关系为：

{\mathit{D}}_{\mathrm{1}}={\mathit{R}}_{\mathrm{1}}^{}{\widehat{\mathit{D}}}_{\mathrm{1}}（21）

{\mathit{D}}_{\mathrm{2}}={\mathit{R}}_{\mathrm{2}}^{}{\widehat{\mathit{D}}}_{\mathrm{1}}（22）

式（21）、（22）中： D₁为杆件b₁端部节点位移向量； D₂为杆件b₂端部节点位移向量；{\widehat{\mathit{D}}}_{\mathrm{1}}为缩聚节点编码系下的节点位移向量；{\mathit{R}}_{\mathrm{1}}^{}、{\mathit{R}}_{\mathrm{2}}^{}为转换矩阵，分别表示为

{\mathit{R}}_{\mathrm{1}}^{}=\left[\begin{array}{ccccccccc}\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0.01}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}& -\mathrm{0.01}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right]，

{\mathit{R}}_{\mathrm{2}}^{}=\left[\begin{array}{ccccccccc}\mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& -\mathrm{0.01}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0.01}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{1}\end{array}\right]。

可得到结构的虚功方程：

\mathrm{\delta }{\mathit{D}}_{\mathrm{1}}^{\mathbf{T}}{\mathit{K}}_{{}^{jj}}^{\mathrm{1}}{\mathit{D}}_{\mathrm{1}}+\mathrm{\delta }{\mathit{D}}_{\mathrm{2}}^{\mathbf{T}}{\mathit{K}}_{{}^{jj}}^{\mathrm{2}}{\mathit{D}}_{\mathrm{2}}=\mathrm{\delta }{\mathit{D}}_{\mathrm{1}}^{\mathbf{T}}{\mathit{P}}_j^{\mathrm{1}}（23）

式中，{\mathit{K}}_{jj}^{\mathrm{1}}、{\mathit{K}}_{jj}^{\mathrm{2}}分别为整体坐标系O‒XYZ下1号梁单元j端的刚度矩阵和2号梁单元j端的刚度矩阵，{\mathit{P}}_j^{\mathrm{1}}为整体坐标系O‒XYZ下作用于1号梁单元j端的等效节点荷载向量。

将式（21）、（22）代入式（23）可得：

\left({\mathit{R}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}{\mathit{K}}_{{}^{jj}}^{\mathrm{1}}{\mathit{R}}_{\mathrm{1}}^{}+{\mathit{R}}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{T}}{\mathit{K}}_{{}^{jj}}^{\mathrm{2}}{\mathit{R}}_{\mathrm{2}}^{}\right){\widehat{\mathit{D}}}_{\mathrm{1}}={\mathit{R}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}{\mathit{P}}_j^{\mathrm{1}}（24）

因此，结构在缩聚节点编码系下的总体刚度矩阵\widehat{\mathit{K}}和等效节点荷载向量\widehat{\mathit{P}}为：

\widehat{\mathit{K}}={\mathit{R}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}{\mathit{K}}_{{}^{jj}}^{\mathrm{1}}{\mathit{R}}_{\mathrm{1}}^{}+{\mathit{R}}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{T}}{\mathit{K}}_{{}^{jj}}^{\mathrm{2}}{\mathit{R}}_{\mathrm{2}}^{}（25）

\widehat{\mathit{P}}={\mathit{R}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}{\mathit{P}}_j^{\mathrm{1}}（26）

根据结构力学，可得：

{\mathit{K}}_{{}^{jj}}^{\mathrm{1}}=\mathrm{3}\mathrm{234.2}\times \left[\begin{array}{cccccc}\mathrm{2}\times {\mathrm{10}}^{\mathrm{4}}& & & & & \\ \mathrm{0}& \mathrm{6}& & & & \\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{6}& & & \\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0.385}& & \\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& -\mathrm{3}& \mathrm{0}& \mathrm{2}& \\ \mathrm{0}& \mathrm{3}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{2}\end{array}\right]（27）

{\mathit{K}}_{{}^{jj}}^{\mathrm{2}}=\mathrm{3}\mathrm{234.2}\times \left[\begin{array}{cccccc}\mathrm{6}& & & & & \\ \mathrm{0}& \mathrm{2}\times {\mathrm{10}}^{\mathrm{4}}& & & & \\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{6}& & & \\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& -\mathrm{3}& \mathrm{2}& & \\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0.385}& \\ \mathrm{3}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{2}\end{array}\right]（28）

{\mathit{P}}_j^{\mathrm{1}}={\left[\begin{array}{cccccc}\mathrm{0}& \mathrm{0}& -\mathrm{800}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}（29）

将具体数值代入式（28）、（29）可得：

\begin{array}{c}\widehat{\mathit{K}}=\mathrm{3}\mathrm{234.2}\times \\ \left[\begin{array}{ccccccccc}\mathrm{20}\mathrm{006}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{200}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& -\mathrm{0.06}& \mathrm{3}\\ \mathrm{0}& \mathrm{20}\mathrm{006}& \mathrm{0}& -\mathrm{0.06}& \mathrm{0}& \mathrm{3}& \mathrm{200}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{12}& \mathrm{0}& -\mathrm{3}& \mathrm{0}& -\mathrm{3}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& -\mathrm{0.06}& \mathrm{0}& \mathrm{0.39}& \mathrm{0}& -\mathrm{0.03}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{200}& \mathrm{0}& -\mathrm{3}& \mathrm{0}& \mathrm{4}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{3}& \mathrm{0}& -\mathrm{0.03}& \mathrm{0}& \mathrm{2}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{200}& -\mathrm{3}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{4}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ -\mathrm{0.06}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0.39}& -\mathrm{0.03}\\ \mathrm{3}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& -\mathrm{0.03}& \mathrm{2}\end{array}\right]\end{array}（30）

\widehat{\mathit{P}}={\left[\begin{array}{ccccccccc}\mathrm{0}& \mathrm{0}& -\mathrm{800}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}（31）

求解式（18）可得缩聚节点编码系下的节点位移\widehat{\mathit{D}}=\left[\begin{array}{cccccccc}\mathrm{0.001}& \mathrm{0.001}& -\mathrm{0.083}& \mathrm{0}& -\mathrm{0.124}& -\mathrm{0.002}& -\mathrm{0.124}& \mathrm{0}\end{array}\right.{\left.-\mathrm{0.002}\right]}^{\mathrm{T}}。

代入式（21）、（22），可求得原编码系下的梁端节点位移{\mathit{D}}_{\mathrm{1}}^{}={\left[\begin{array}{cccccc}\mathrm{0}& \mathrm{0.001}& -\mathrm{0.083}& \mathrm{0}& -\mathrm{0.124}& -\mathrm{0.002}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}，\mathit{D}{}_{\mathrm{2}}={\left[\begin{array}{cccccc}\mathrm{0.001}& \mathrm{0}& -\mathrm{0.083}& -\mathrm{0.124}& \mathrm{0}& -\mathrm{0.002}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}。

根据材料力学公式，可进一步求得杆件的内力。图4为杆件b₁的弯矩。

为了检验计算结果的正确性，利用ANSYS软件进行有限元分析。首先，采用Beam189梁单元模拟杆件，支座位置约束节点的全部位移。在杆件端部建立短刚臂有限元模型（图5），刚臂一端与杆件刚接，另一端与另一刚臂铰接，用来模拟互承搭接节点。采用Beam189单元模拟刚臂，弹性模量取2×10⁵⁰ N/m²，密度和泊松比均取0。忽略结构自重，计算结构在荷载作用下的内力和变形，结构在荷载作用下Z向的位移云图，如图6所示。图6中，w为Z向位移。最大值出现在图1的m点，为‒0.083 m。图7为使用ANSYS计算杆件b₁弯矩的结果。由图7可知，无论是位移还是内力，ANSYS计算结果均与理论计算结构一致。

进一步，采用Solid45实体单元模拟杆件，约束条件和材料特性与上述梁单元有限元模型相同，图8为实体单元有限元模拟得到Z向位移云图。由图8可知，结构的最大Z向位移仍然为‒0.083 m，有限元结果与理论计算结果吻合良好。

4.2 阿基米德6³ 型互承结构的计算分析

图9为阿基米德6³型互承结构，每根杆件为直径60 mm、长1.2 m的等截面圆杆，杆件外部自由端与基础铰接，点2和12处沿Z轴负向的集中荷载均为80 kN。按照空间刚架位移法，该构型共包含21个梁单元、30个梁端节点，有12对梁端节点存在两两铰接关系。经过节点编码缩聚，缩聚节点编码系中共12个节点编码，如图9中编号1～12所示。

梁单元材料特性、ANSYS单元选取、互承节点模拟方式等同算例4.1。图10为阿基米德6³型互承结构的有限元模型。分别采用本文所提方法和有限元软件ANSYS计算结构在荷载作用下的节点位移和内力。

阿基米德6³型互承结构梁端节点位移、内力数据对比分别如图11、12所示。图11、12中，\tau_X 、\tau_Y 、\tau_Z 分别为节点沿着X、Y、Z方向的节点位移或节点力，\tau_rotX 、\tau_rotY 、\tau_rotZ 分别为节点绕着X、Y、Z轴的转角或节点力矩，η_τ 为理论计算结果和有限元结果计算的误差率。

由图11、12可知，两种计算方法所得结果误差率小于3.5%，结果基本一致，但不完全符合。误差产生的原因是：ANSYS模拟梁端节点铰接时建立了短刚臂，虽然令刚臂的刚度远大于结构杆件的刚度，但并没有达到绝对刚性，因此，ANSYS的建模并不完全符合平截面假定。

通过算例分析可以发现，相较于有限元分析，将本文提出的缩聚节点编码系下的空间刚架位移法用于分析互承结构时，具有以下两点优势：

1）有限单元法采用增加刚臂单元的方法来模拟互承搭接节点，建立一对短刚臂需要引入15个自由度，包括两个刚臂，分别和所在杆件刚接产生的6个自由度（3个线位移、3个角位移），两刚臂铰接产生的3个自由度（3个线位移）；而在缩聚节点编码系下，只需要使用实际铰节点m处广义节点位移的9个自由度，自由度的数目减少了40%。因此，本文所提方法有效减少了整体结构的计算自由度数目，大大降低了计算工作量。

2）有限单元法中，为了符合平截面假定，两个短刚臂需要设定非常大的刚度值，若刚度取值不当，会导致非线性计算收敛困难甚至不收敛。本文提出的方法不包含刚臂单元，具有更好的数值稳定性。

5 结 论

1）根据互承结构搭接点处梁端节点的位移关系，在实际铰节点上定义广义节点位移，用广义节点位移描述梁端节点位移。在传统空间刚架位移法编码原则的基础上，用铰节点处编码来取代梁端节点上的两个编码，对整体结构节点编码进行缩聚。根据虚功原理，推导缩聚节点编码系下结构的总体刚度矩阵和刚度方程，提出适用于互承结构的静力计算方法。

2）将传统的空间刚架位移法计算铰接于梁端节点外的互承结构时，必须额外增加短刚臂，对于大型结构，将带来巨大的工作量。本文所提方法在已知构型的情况下，铰节点位置已经确定，无须专门增加单元，在实际操作执行时，可以更加便捷地算出梁端节点位移和节点力，从而获得整个结构的变形和内力。

3）利用提出的方法分别对空间两杆搭接结构和阿基米德6³型互承结构进行计算分析，并与有限元软件ANSYS分析结果比较，结果表明，两种方法计算误差在3.5%以内，所得结果基本一致，验证了本文所提方法的正确性。

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基金资助

浙江省“尖兵”“领雁”研发攻关计划(2022C03157)

国家自然科学基金青年科学基金项目(72301238)

浙江省自然科学基金青年科学基金项目(LQ23G20002)