一类非线性互联系统的分散输出反馈抗干扰控制

Decentralized robust output-feedback disturbance rejection control for a class of nonlinear interconnected systems

摘要

研究了一类受高阶时变扰动影响的不确定非线性互联系统的分散输出反馈抗干扰控制问题。首先，为每个子系统设计广义比例积分观测器，同时估计各个子系统所受的干扰和未测量状态。然后，基于广义比例积分观测器的估计信息，利用输出反馈控制占优方法，构造出一种复合分散输出反馈抗干扰控制器。理论分析证明，该控制器不仅可以处理系统中的不确定非线性互联项，而且可以通过前馈补偿方式有效地消除干扰造成的影响。最后，通过实例证明了所提控制方法的有效性。

Abstract

The decentralized output-feedback disturbance rejection control problem was investigated for a class of uncertain nonlinear interconnected systems subject to high order time varying disturbances. Firstly， the generalized-proportional integral observers （GPIOs） were designed for every subsystem such that the disturbances and unmeasured states can be recovered. Then， based on the estimation information of GPIOs and the output-feedback domination approach， a composite decentralized output-feedback disturbance rejection controller was constructed. The proposed decentralized control scheme can not only handle the uncertain nonlinear interconnected terms， but also remove the influences of the disturbances effectively via feedforward compensation manner. Finally， the effectiveness of the proposed control approach was demonstrated by practical examples.

Graphical abstract

关键词

非线性互联系统 / 分散控制 / 抗干扰控制 / 广义比例积分观测器

Key words

nonlinear interconnected system / decentralized control / disturbance rejection control / generalized-proportional integral observer

0 引言

几乎所有实际工程系统都受干扰的影响，如电路系统^［1-3］、运动控制系统^［4-5］、航天器系统^［6］等。干扰的存在（尤其是强的干扰或不确定性^［7-8］）可使系统的动态性能降低，甚至导致系统不稳定。显然，干扰抑制问题成为控制领域的焦点问题^［9-10］。当干扰可测量时，处理干扰抑制控制问题的一个直观思路是，设计适当的观测器来估计干扰，然后采用相应的控制方法^［11］，基于干扰的估计来消除干扰的影响。直观地，当系统受不确定性、建模误差和未建模动态影响时，该思想也可用于提高不确定系统的鲁棒性^［12］。这种思想已促进干扰控制方法的发展和应用，如基于干扰观测器的控制^［13］、基于扩张状态观测器的控制^［14］、基于广义扩张状态观测器的控制^［12］和基于有限时间干扰观测器的控制方法^［4］等。值得注意的是，除文献［3］外，上述几乎所有结果主要集中在单个系统的干扰抑制控制问题上。

互联系统也称为大规模系统，由低维子系统组成，广泛存在于电力系统^［15］、网络物理系统^［16］以及许多实际工程系统^［17］。由于互联系统需要在每个子系统之间交换信息，因此互联系统的集中控制效率低、成本高。依据子系统本身的状态信息为其设计分散控制器，是互联系统最为理想的控制策略。分散控制方法显著的优点在于设计简单、计算效率高，还有利于降低经济成本，极大地降低通信费用。因此，无论是从理论还是实践的角度考虑，都非常有必要为工业系统设计有效的控制方法。

最近，互联非线性系统的分散控制问题引起了工业和控制领域的广泛关注^［18-19］。文献［3］考虑了一类带有慢时变干扰的互联非线性系统的半全局分散抗干扰控制问题。据我们所知，研究带有高阶时变干扰不确定非线性互联系统全局分散控制问题的参考文献很少。显然，如何为受高阶时变扰动影响的不确定非线性互联系统设计全局分散输出反馈抗干扰控制器，是一个具有重要意义的问题。

本文针对一类受高阶时变扰动影响的不确定非线性互联系统的分散输出反馈抗干扰控制问题进行研究,主要贡献如下：1)基于输出反馈占优控制方法^[20],设计了全局分散输出反馈抗干扰控制器，要求非线性项连续且满足线性增长条件即可，因此本文所考虑的非线性系统可能是非Lipschitz连续的； 2)根据子系统的标称部分,为各个子系统设计广义比例积分观测器，采用广义比例积分观测器(GPIO)^[2,6]的控制方法来设计扰动观测器,与基于扩张状态观测器(extended state observer, ESO)^[14]的控制方法相比，本文给出的控制方法具有更好的抗干扰能力；3)严格的理论分析表明,所设计的分散输出反馈抗干扰控制器可以保证整个闭环系统的全局实用稳定性；4)所提出的分散抗干扰控制方法成功地解决了一种互联系统以及互联PWM的DC‑DC转换器的输出反馈抗干扰控制问题，仿真结果表明所提方法的合理性和有效性。

1 问题的描述和预备知识

考虑带有干扰的不确定互联非线性系统：

\left\{\begin{array}{l}{\dot{x}}_{ij}=x_{i,j+\mathrm{1}}(t)+f_{ij}(t,\mathit{x}(t)),(j=\mathrm{1},\cdots ,n-\mathrm{1}),\\ {\dot{x}}_{in}=u_i(t)+d_i(t)+f_{in}(t,\mathit{x}(t)),\\ y_i=x_{i\mathrm{1}}(t),(i=\mathrm{1},\cdots ,m),\end{array}\right.(1)

式中：{\mathit{x}}_i(t)=(x_{i\mathrm{1}}(t),\cdots ,x_{in}{(t))}^{\mathrm{T}},(i=\mathrm{1},\cdots ,m)；\mathit{x}(t)=(x_{\mathrm{1}}(t),\cdots ,x_n{(t))}^{\mathrm{T}}\in {\mathbf{R}}^{mn};u_i(t)\in \mathbf{R}分别是系统的状态变量，控制输入和输出；f_{ij}:\mathbf{R}\times {\mathbf{R}}^{mn}\to \mathbf{R}(i=\mathrm{1},\cdots ,m;j=\mathrm{1},\cdots ,n)是不确定的连续函数；d_i(t)\in \mathbf{R}(i=\mathrm{1},\cdots ,m)表示集总干扰，可能包括不确定内部动态和外部干扰。

假设干扰d_i(t)\in \mathbf{R}(i=\mathrm{1},\cdots ,m)具有如下形式：

\begin{array}{l}{d}_i(t)=a_{i\mathrm{0}}+a_{i\mathrm{1}}t+a_{i\mathrm{2}}{t}^{\mathrm{2}}+\cdots +\\ a_{i,p-\mathrm{1}}{t}^{p-\mathrm{1}}+{\gamma }_i(t),\end{array}(2)

式中：a_{ik}(k=\mathrm{0,1},\cdots ,p-\mathrm{1})是未知常数，{\gamma }_i(t)代表一个未知残余项。

本文的目的是解决非线性互联系统（1）的全局分散输出反馈抗干扰控制问题。为此，做出如下假设。

假设1 存在常数c，满足

\begin{array}{l}\left|f_{ij}(t,\mathit{x}(t))\right|\le c(|x_{\mathrm{11}}(t)|+\cdots +\\ |x_{\mathrm{1}j}(t)|+\cdots +\\ |x_{m\mathrm{1}}(t)|+\cdots +|x_{mj}(t)|)\mathrm{。}\end{array}(3)

注1 系统在满足假设1的条件下，意味着系统中的非线性项可能不满足Lipschitz条件，如系统

\left\{\begin{array}{l}{\dot{x}}_{\mathrm{11}}=x_{\mathrm{12}}+{\theta }_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{11}}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}}\mathrm{l}\mathrm{n}(\mathrm{1}+x_{\mathrm{21}}^{\mathrm{2}}),\\ {\dot{x}}_{\mathrm{12}}=u_{\mathrm{1}}(t)+d_{\mathrm{1}}(t),\\ y_{\mathrm{11}}=x_{\mathrm{11}},\\ {\dot{x}}_{\mathrm{21}}=x_{\mathrm{22}}+{\theta }_{\mathrm{2}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(x_{\mathrm{11}})x_{\mathrm{21}}^{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{5}}},\\ {\dot{x}}_{\mathrm{22}}=u_{\mathrm{2}}(t)+d_{\mathrm{2}}(t),\\ y_{\mathrm{21}}=x_{\mathrm{21}},\end{array}\right.(4)

其中：{\theta }_i={\theta }_i(t)(i=\mathrm{1,2})有界，f_{\mathrm{11}}(t,\mathit{x}(t))=x_{\mathrm{12}}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}}\mathrm{l}\mathrm{n}(\mathrm{1}+x_{\mathrm{21}}^{\mathrm{2}})是非线性项，显然既不连续可微的又不满足非Lipschitz条件，即系统(1)是非Lipschitz连续的，但是可以证明,存在c_{\mathrm{0}},c_{\mathrm{1}}>\mathrm{0}，使

|f_{\mathrm{11}}(t,\mathit{x}(t))|\le c_{\mathrm{0}}(|x_{\mathrm{12}}|+|x_{\mathrm{21}}|)，

|f_{\mathrm{21}}(t,\mathit{x}(t))|\le |\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(x_{\mathrm{11}})x_{\mathrm{21}}|\le c_{\mathrm{1}}(|x_{\mathrm{11}}|+|x_{\mathrm{21}}|),

即假设1成立。因此系统（1）在假设1的条件下可以描述一大类互联非线性系统。

假设2 扰动d_i(t)(i=\mathrm{1},\cdots ,m)满足条件：

（i） d_i(t)\in C^{p-\mathrm{1}}，p为正整数；

（ii） 存在正常数{\theta }_i，满足

|{d_i}^p(t)|=|{{\gamma }^p}_i(t)|\le {\theta }_i。

2 全局鲁棒分散输出反馈控制器设计

下面将构建全局分散输出反馈抗干扰控制器。系统（1）可以被写成以下紧凑的形式：

\left\{\begin{array}{l}{\dot{\mathit{x}}}_i(t)={\tilde{\mathit{A}}}_i{\mathit{x}}_i(t)+{\tilde{\mathit{B}}}_i{\mathit{u}}_i(t)+{\tilde{\mathit{F}}}_i(t,\mathit{x}(t)),\\ {\mathit{y}}_i={\tilde{\mathit{C}}}_i{\mathit{x}}_i(t),(i=\mathrm{1},\cdots ,m),\end{array}\right.(5)

式中：

\begin{array}{l}{\tilde{\mathit{A}}}_i=\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{0}}_{(n-\mathrm{1})\times \mathrm{1}}& I_{(n-\mathrm{1})\times (n-\mathrm{1})}\\ {\mathrm{0}}_{\mathrm{1}\times \mathrm{1}}& {\mathrm{0}}_{\mathrm{1}\times (n-\mathrm{1})}\end{array}\right],\\ \tilde{\mathit{C}}=[\begin{array}{cc}\mathrm{1}& {\mathrm{0}}_{\mathrm{1}\times (n-\mathrm{1})}\end{array}],\end{array}

{\tilde{\mathit{F}}}_i(t,\mathit{x}(t))=[f_{i\mathrm{1}}(\cdot ),\cdots ,f_{in}{(\cdot )]}^{\mathrm{T}}。

根据假设2，如果定义以下一系列辅助变量：

\begin{array}{l}{x}_{i,n+\mathrm{1}}(t)=d_i(t),x_{i,n+\mathrm{2}}(t)={\dot{d}}_i(t),\cdots ,\\ x_{i,n+p}(t)={d_i}^{(p-\mathrm{1})}(t),\end{array}

那么不确定非线性系统（1）可以扩展为：

\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}{\dot{\mathit{\chi }}}_i(t)={\mathit{A}}_i{\mathit{\chi }}_i(t)+{\mathit{B}}_i{\mathit{u}}_i(t)+\\ {\mathit{F}}_i(t,\mathit{x}(t),{\mathit{\gamma }}_i^{(p-\mathrm{1})}(t)),\end{array}\\ {\mathit{y}}_i={\mathit{C}}_i{\mathit{\chi }}_i(t),(i=\mathrm{1},\cdots ,m),\end{array}\right.(6)

式中：

{\mathit{\chi }}_i(t)=[x_{i\mathrm{1}}(t),\cdots ,x_{in}(t),\cdots ,x_{i,n+p}{(t)]}^{\mathrm{T}}，

{\tilde{\mathit{A}}}_i=\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{0}}_{(n+p-\mathrm{1})\times \mathrm{1}}& {\mathit{I}}_{(n+p-\mathrm{1})\times (n+p-\mathrm{1})}\\ {\mathrm{0}}_{\mathrm{1}\times \mathrm{1}}& {\mathrm{0}}_{\mathrm{1}\times (n+p-\mathrm{1})}\end{array}\right]，

{\mathit{B}}_i={\left[\begin{array}{cc}{\tilde{\mathit{B}}}_i& {\mathrm{0}}_{p\times \mathrm{1}}\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}，{\mathit{C}}_i=\left[\begin{array}{cc}{\tilde{\mathit{C}}}_i& {\mathrm{0}}_{\mathrm{1}\times p}\end{array}\right]，

\begin{array}{l}{\mathit{F}}_i(t,\mathit{x}(t),{{\mathit{\gamma }}_i}^{(p-\mathrm{1})}(\cdot ))=\\ [{\tilde{\mathit{F}}}_i(t,\mathit{x}(t)),{\mathrm{0}}_{(p-\mathrm{1})\times \mathrm{1}},{{\mathit{\gamma }}_i}^{(p-\mathrm{1})}{(\cdot )]}^{\mathrm{T}}\end{array}。

对于系统（6），考虑以下坐标转换：

z_{i,k}=\frac{x_{i,k}}{L^{k-\mathrm{1}}},(k=\mathrm{1},\cdots ,n+p)；v_i=\frac{u_i(t)}{L^n}，(7)

式中：L>\mathrm{1}是需要确定的有界常数。

在坐标变换（7）下，系统（6）变换为

\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}{\dot{\mathit{z}}}_i(t)=L{\mathit{A}}_i{\mathit{z}}_i(t)+L{\mathit{B}}_i{\mathit{v}}_i(t)+\\ {\mathit{\phi }}_i(t,\mathit{z}(t),{\mathit{\gamma }}_i^{(p-\mathrm{1})}(t)),\end{array}\\ {\mathit{y}}_i={\mathit{C}}_i{\mathit{z}}_i(t),(i=\mathrm{1},\cdots ,m),\end{array}\right.(8)

式中：

\begin{array}{l}{\mathit{z}}_i(t)=[{\tilde{z}}_i(t),z_{i,n+\mathrm{1}}(t),\cdots ,z_{i,n+p}{(t)]}^{\mathrm{T}}=\\ [z_{i\mathrm{1}}(t),\cdots ,z_{in}(t),z_{i,n+\mathrm{1}}(t),\cdots ,z_{i,n+p}{(t)]}^{\mathrm{T}}=\\ [{\phi }_{i\mathrm{1}}(\cdot ),\cdots ,{\phi }_{in}(\cdot ),{\phi }_{i,n+\mathrm{1}}(\cdot ),\cdots ,{\phi }_{i,n+p}{(\cdot )]}^{\mathrm{T}},\end{array}

{\mathit{\phi }}_i(t,\mathit{z}(t),{\mathit{\gamma }}_i^{(p-\mathrm{1})}(t))=[{\tilde{\phi }}_i(\cdot ),{\phi }_{i,n+\mathrm{1}}(\cdot ),\cdots ,{\phi }_{i,n+p}{(\cdot )]}^{\mathrm{T}},

{\phi }_{ik}(t)=\frac{f_{ik}(\cdot )}{L^{k-\mathrm{1}}},(k=\mathrm{1},\cdots ,n+p)。

2.1 分散控制器设计

受文献［1-2］的启发，对非线性系统（8）设计如下形式的广义比例积分观测器：

\begin{array}{l}{\dot{\widehat{\mathit{z}}}}_i(t)=L{\mathit{A}}_i{\widehat{\mathit{z}}}_i(t)+L{\mathit{B}}_i{\mathit{v}}_i(t)+\\ L{\mathit{H}}_i{\mathit{C}}_i({\mathit{z}}_i-{\widehat{\mathit{z}}}_i),\end{array}（9）

式中：{\mathit{H}}_i=[h_{i\mathrm{1}},\cdots ,h_{i,n+p}{]}^{\mathrm{T}},h_i>\mathrm{0}(i=\mathrm{1},\cdots ,n)是Hurwitz多项式

\begin{array}{l}{p}_{\mathrm{1}i}(s)=s^{n+p}+h_{i,\mathrm{1}}{s}^{n+p-\mathrm{1}}+\cdots +\\ h_{i,n+p-\mathrm{1}}s+h_{i,n+p}\end{array}

的系数。

基于观测器（9），可以将基于广义比例积分观测器的分散式输出反馈抗干扰控制器设计为：

\begin{array}{l}{u}_i(t)=L^n{v}_i(t)=\\ -L[{\tilde{K}}_i{\widehat{z}}_{i,n}(t)+{\widehat{\mathit{z}}}_{i,n+\mathrm{1}}(t)],\end{array}(10)

式中：{\mathit{K}}_i=[{\tilde{\mathit{K}}}_i{,\mathrm{1,0},\cdots ,\mathrm{0}]}^{\mathrm{T}}=[k_{i\mathrm{1},}\cdots ,k_{in},\mathrm{1,0},\cdots ,\mathrm{0}]\in {\mathbf{R}}^{n+p}，k_{il}>\mathrm{0}(l=\mathrm{1},\cdots ,n)是Hurwitz多项式

p_{\mathrm{2}i}(s)=s^n+k_{i,\mathrm{1}}{s}^{n-\mathrm{1}}+\cdots +h_{i,n-\mathrm{1}}s+h_{i,n}

的系数。

2.2 稳定性分析

定义{\mathit{e}}_i(t)={\mathit{z}}_i(t)-{\widehat{\mathit{z}}}_i(t)，则联立式（8）和（9）可得

{\dot{\mathit{e}}}_i(t)=L({\mathit{A}}_i-{\mathit{H}}_i{\mathit{C}}_i){\mathit{e}}_i(t)+{\phi }_i(t,{\mathit{z}}_i(t),{\mathit{\gamma }}_i^{(p-\mathrm{1})}(t))\mathrm{。}（11）

基于系统（8）的前n个方程构成的n阶子系统和系统（9），可得出

\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}{\dot{\tilde{\mathit{z}}}}_i(t)=L{\tilde{\mathit{A}}}_i{\tilde{z}}_i(t)+\\ L{\tilde{\mathit{B}}}_i(v_i(t)+{\mathit{z}}_{i,n+\mathrm{1}}(t))+{\tilde{\phi }}_i(\cdot ),\end{array}\\ {\dot{\mathit{e}}}_i(t)=L({\mathit{A}}_i-{\mathit{H}}_i{\mathit{C}}_i){\mathit{e}}_i(t)+{\phi }_i(\cdot )\mathrm{。}\end{array}\right.(12)

将式(10)代入系统(12),得到相应的闭环系统：

\left[\begin{array}{c}{\dot{\tilde{\mathit{z}}}}_i(t)\\ {\dot{\mathit{e}}}_i(t)\end{array}\right]=L\left[\begin{array}{cc}{\tilde{\mathit{A}}}_i-{\tilde{\mathit{B}}}_i{\tilde{\mathit{K}}}_i& {\tilde{\mathit{B}}}_i{\tilde{\mathit{K}}}_i\\ \mathrm{0}& {\mathit{A}}_i-{\mathit{H}}_i{\mathit{C}}_i\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\tilde{\mathit{z}}}_i(t)\\ {\mathit{e}}_i(t)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{\tilde{\phi }}_i(\cdot )\\ {\phi }_i(\cdot )\end{array}\right]。(13)

由于{\tilde{\mathit{A}}}_i-{\tilde{\mathit{B}}}_i{\tilde{\mathit{K}}}_i\mathrm{和}{\mathit{A}}_i-{\mathit{H}}_i{\mathit{C}}_i都是Hurwitz矩阵，所以容易证明，矩阵

\left[\begin{array}{cc}{\tilde{\mathit{A}}}_i-{\tilde{\mathit{B}}}_i{\tilde{\mathit{K}}}_i& {\tilde{\mathit{B}}}_i{\tilde{\mathit{K}}}_i\\ \mathrm{0}& {\mathit{A}}_i-{\mathit{H}}_i{\mathit{C}}_i\end{array}\right]

也是Hurwitz的。因此存在正定矩阵\mathit{P}\in {\mathbf{R}}^{(\mathrm{2}n+p)(\mathrm{2}n+p)}满足{\mathit{A}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}+\mathit{P}{\mathit{A}}^{\mathrm{T}}=-\mathit{I}。

基于上述分析，所得结果可概括为定理1。

定理1 考虑不确定的互联非线性系统（1），若假设1和假设2成立，则在抗干扰控制器（10）下，整个闭环系统的状态（13）是全局有界的，并收敛到如下有界区域

\begin{array}{l}B=\{\mathit{Z}\left|||\mathit{Z}|{|}^{\mathrm{2}}\right.\le \\ \frac{{\lambda }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}^{\mathrm{2}}(\mathit{P})\theta }{{\lambda }_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}(\mathit{P})(L-(\mathrm{2}c+\mathrm{1}){\lambda }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}(\mathit{P}))}\}\end{array}，(14)

式中：

\mathit{Z}(t)=[{\mathit{Z}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}(t),\cdots ,{\mathit{Z}}_m^{\mathrm{T}}{(t)]}^{\mathrm{T}};

{\mathit{Z}}_i(t)=[{\tilde{\mathit{z}}}_i^{\mathrm{T}}(t),{\mathit{e}}_i^{\mathrm{T}}{(t)]}^{\mathrm{T}},（i=\mathrm{1},\cdots ,m)；

{\lambda }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\mathrm{和}{\lambda }_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}分别表示正定矩阵\mathit{Z}的最大和最小特征值；\theta =\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{{\theta }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}},\cdots ,{\theta }_m^{\mathrm{2}}\}。

证明 对闭环系统（13）的第i个子系统，选取Lyapunov函数

V_i(Z_i)={\mathit{Z}}_i^{\mathrm{T}}(t)\mathit{P}{\mathit{Z}}_i(t)，(15)

然后沿着系统（13）第i个子系统的轨迹对V_i({\mathit{Z}}_i)求导，可得

{\dot{V}}_i({\mathit{Z}}_i)=-L||\mathit{Z}|{|}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{\mathit{Z}}_i^{\mathrm{T}}(t)\mathit{P}{\left[\begin{array}{c}{\tilde{\phi }}_i(\cdot )\\ {\phi }_i(\cdot )\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}。(16)

令

V(\mathit{Z})={\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^m}{V}_i({\mathit{Z}}_i)，

则沿着系统（13）的轨迹对V(\mathit{Z})求导得到

\dot{V}(\mathit{Z})=-L{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^m}||\mathit{Z}|{|}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^m}{\mathit{Z}}_i^{\mathrm{T}}(t)\mathit{P}{\left[\begin{array}{c}{\tilde{\phi }}_i(\cdot )\\ {\phi }_i(\cdot )\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}。(17)

基于L\ge \mathrm{1}的事实，由假设1可得

\begin{array}{l}\left|{\phi }_{ik}(\cdot )\right|=-\frac{\left|f_{ik}(\cdot )\right|}{L^{k-\mathrm{1}}}\le \\ \frac{c_{\mathrm{1}}}{L^{k-\mathrm{1}}}(|z_{\mathrm{11}}(t)|+|z_{\mathrm{12}}(t)|+\cdots +\\ |z_{ik}(t)|+\cdots +|z_{m\mathrm{1}}(t)|+\\ |z_{m\mathrm{2}}(t)|)+\cdots +|z_{mk}(t)|)\le c_{\mathrm{1}}||Z||,\end{array}(18)

|{\phi }_{\mathrm{i},n+p}(\cdot )|=\frac{|{\gamma }_i^p|}{L^{n+p-\mathrm{1}}}\le {\theta }_i，(19)

式中：k=\mathrm{1},\cdots ,n;i=\mathrm{1},\cdots ,m\mathrm{。}

由不等式(18)和(19)可以证明，存在常数c>\mathrm{0}，使得

\begin{array}{l}‖\mathrm{2}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^m}{\mathit{Z}}_i^{\mathrm{T}}(t)\mathit{P}{\left[\begin{array}{c}{\tilde{\phi }}_i(\cdot )\\ {\phi }_i(\cdot )\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}‖\le \\ \mathrm{2}{\lambda }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}(p)(c||\mathit{Z}|{|}^{\mathrm{2}}+\theta ||\mathit{Z}||),\end{array}

联合式(17)，可推导出：

\dot{V}(\mathit{Z})\le -[L-(\mathrm{2}c+\mathrm{1})]||\mathit{Z}|{|}^{\mathrm{2}}+{\lambda }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}(\mathit{P})\theta。(20)

因为

\frac{V(\mathit{Z})}{{\lambda }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}(\mathit{P})}\le ||\mathit{Z}||\le \frac{V(\mathit{Z})}{{\lambda }_{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}(\mathit{P})}，

由式（20）可以得出

\begin{array}{l}\dot{V}(\mathit{Z})\le -\left(\frac{L}{{\lambda }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}(\mathit{P})}-(\mathrm{2}c+\mathrm{1})\right)V(\mathit{Z})+\\ {\lambda }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}(\mathit{P})\theta \mathrm{。}\end{array}（21）

选取

L>\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{(\mathrm{2}c+\mathrm{1}){\lambda }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}(\mathit{P}),\mathrm{1}\}，(22)

由不等式（21）得

\begin{array}{l}V(\mathit{Z})\le \frac{{\lambda }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}(\mathit{P})\theta }{L-(\mathrm{2}c+\mathrm{1}){\lambda }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}(\mathit{P})}{\mathrm{e}}^{-\left(\frac{L}{{\lambda }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}(\mathit{P})}-(\mathrm{2}c+\mathrm{1})\right)t}\times \\ (V(\mathrm{0})-\frac{{{\lambda }^{\mathrm{2}}}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}(\mathit{P})\theta }{L-(\mathrm{2}c+\mathrm{1}){\lambda }_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}(\mathit{P})})\mathrm{。}\end{array}(23)

由式（23）可以得出，闭环系统（13）的所有状态将全局稳定到有界区域B。从式（21）可以看出，如果t\to \mathrm{\infty }，\theta \to \mathrm{0}，那么在所提出的分散输出反馈控制器（10）下，不确定非线性互联系统的所有状态指数收敛到原点。证毕。

推论1 考虑不确定非线性互联系统（1），如果假设1和假设2成立，那么在复合抗干扰控制器（10）下，整个闭环系统（13）是全局指数稳定的。

注2 在系统（2）中，扰动d_i(\cdot )是带有残差项的p-\mathrm{1}阶的泰勒多项式^［1］。该模型可用于描述广泛的干扰，例如常值干扰、谐波干扰和多项式干扰等。根据设计的广义比例积分观测器，p越大，干扰估计精度越高。当p=\mathrm{1}时，广义比例积分观测器将退化成一个扩张状态观测器^［14］，此时基于GPIO的控制器退化成基于ESO的控制器。

下文将基于GPIO的控制器简记为GPIOBC，将基于ESO的控制器简记为ESOBC。

3 应用实例

为了进一步证明所提出算法的有效性，分别选取注1中的互联系统和DC-DC转换器系统进行仿真实验。

3.1 实例1

考虑注1中的非线性互联系统（4）：

\left\{\begin{array}{l}{\dot{x}}_{\mathrm{11}}=x_{\mathrm{12}}+{\theta }_{\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{11}}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}}\mathrm{l}\mathrm{n}(\mathrm{1}+x_{\mathrm{21}}^{\mathrm{2}}),\\ {\dot{x}}_{\mathrm{12}}=u_{\mathrm{1}}(t)+d_{\mathrm{1}}(t),\\ y_{\mathrm{11}}=x_{\mathrm{11}},\\ {\dot{x}}_{\mathrm{21}}=x_{\mathrm{22}}+{\theta }_{\mathrm{2}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(x_{\mathrm{11}})x_{\mathrm{21}}^{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{5}}},\\ {\dot{x}}_{\mathrm{22}}=u_{\mathrm{2}}(t)+d_{\mathrm{2}}(t),\\ y_{\mathrm{21}}=x_{\mathrm{21}},\end{array}\right.

式中：{\theta }_i={\theta }_i(t)(i=\mathrm{1,2})有界；

d_{\mathrm{1}}=\mathrm{2}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{\pi }t)+\mathrm{3}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{0.5}\mathrm{\pi }t),

d_{\mathrm{2}}=\mathrm{1.5}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{0.5}\mathrm{\pi }-\mathrm{3})+\mathrm{2}

是系统所受到的干扰。

基于定理1，构造如下分散输出反馈抗干扰控制器：

\left\{\begin{array}{l}{\dot{\widehat{x}}}_{i\mathrm{1}}={\widehat{x}}_{i\mathrm{2}}+L{a}_{i\mathrm{1}}(x_{i\mathrm{1}}-{\widehat{x}}_{i\mathrm{1}}),\\ {\dot{\widehat{x}}}_{i\mathrm{2}}=u_i+{\widehat{x}}_{i\mathrm{3}}+L^{\mathrm{2}}{a}_{i\mathrm{2}}(x_{i\mathrm{1}}-{\widehat{x}}_{i\mathrm{1}}),\\ {\dot{\widehat{x}}}_{i\mathrm{3}}={\widehat{x}}_{i\mathrm{4}}+L^{\mathrm{3}}{a}_{i\mathrm{3}}(x_{i\mathrm{1}}-{\widehat{x}}_{i\mathrm{1}}),\\ {\dot{\widehat{x}}}_{i\mathrm{4}}=L^{\mathrm{4}}{a}_{i\mathrm{4}}(x_{i\mathrm{1}}-{\widehat{x}}_{i\mathrm{1}}),\\ u=-L^{\mathrm{2}}{k}_{i\mathrm{1}}{\widehat{x}}_{i\mathrm{1}}-L{k}_{i\mathrm{2}}{\widehat{x}}_{i\mathrm{2}}-{\widehat{x}}_{i\mathrm{3}}\mathrm{。}\end{array}\right.(24)

在控制器（24）中，选取控制器增益：

k_{\mathrm{11}}=\mathrm{5},k_{\mathrm{12}}=\mathrm{6},k_{\mathrm{21}}=\mathrm{3},k_{\mathrm{22}}=\mathrm{4},

观测器增益：a_{i\mathrm{1}}=\mathrm{40},a_{i\mathrm{2}}=\mathrm{600},a_{i\mathrm{3}}=\mathrm{4000},a_{i\mathrm{4}}=\mathrm{1000}(i=\mathrm{1,2})，对系统进行仿真模拟，仿真结果如图1—图4所示。

图1是控制输入的响应曲线，图2和图3给出了系统的状态与其估计的响应曲线。从图2和图3可以看出，GPIO观测器可以将系统的状态有效地估计出来。图4 给出了系统干扰及其估计的响应曲线，从图4可以看出，干扰估计响应曲线与干扰基本一致，干扰得到了有效估计，说明本文给出的观测器设计合理。仿真结果显示控制效果较好，达到了抗干扰的目的。

仿真结果表明：在控制器（24）下，系统能很好地调节精度且具有更强的抗干扰能力。

3.2 实例2

互联PWM的DC-DC转换器^［3］可用如下系统描述：

\left\{\begin{array}{l}{\dot{V}}_{\mathrm{01}}=\frac{\mathrm{1}}{C_{\mathrm{1}}}{I}_{\mathrm{1}}-\frac{\mathrm{1}}{C_{\mathrm{1}}R}{V}_{\mathrm{01}},\\ I_{\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{L_{\mathrm{1}}}({\mu }_{\mathrm{1}}+w_{\mathrm{1}}(t))E_{\mathrm{1}}-\frac{\mathrm{1}}{L_{\mathrm{1}}}{V}_{\mathrm{01}},\\ {\dot{V}}_{\mathrm{02}}=\frac{\mathrm{1}}{C_{\mathrm{2}}}{I}_{\mathrm{2}}-\frac{\mathrm{1}}{C_{\mathrm{2}}R}{V}_{\mathrm{02}},\\ I_{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{L_{\mathrm{2}}}({\mu }_{\mathrm{2}}+w_{\mathrm{2}}(t))E_{\mathrm{2}}-\frac{\mathrm{1}}{L_{\mathrm{2}}}{V}_{\mathrm{02}},\end{array}\right.(25)

式中：I_i\mathrm{、}{L}_i\mathrm{、}{C}_i\mathrm{、}{V}_{\mathrm{0}i}\mathrm{、}{E}_i(i=\mathrm{1,2})分别是每个转换器正常电流、电感、电容、平均输出电容电压和输入电压；R是电路的负载电阻；每个占空比{\mu }_{\mathrm{1}},{\mu }_{\mathrm{2}}\in [\mathrm{0,1}]表示控制信号；w_{\mathrm{1}}=w_{\mathrm{1}}(t)和w_{\mathrm{2}}=w_{\mathrm{2}}(t)是系统所受到的干扰。

令y_{i\mathrm{1}}=x_{i\mathrm{1}}=V_{\mathrm{0}i}-V_{\mathrm{d}},x_{i\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{C_i}(I_i-\frac{\mathrm{1}}{R}{V}_{\mathrm{d}}),(i=\mathrm{1,2}),其中V_{\mathrm{d}}表示期望的输出电压。由系统（25）得出，误差动力互联系统模型

\left\{\begin{array}{l}{\dot{x}}_{\mathrm{11}}(t)=x_{\mathrm{12}}(t),\\ {\dot{x}}_{\mathrm{12}}(t)=u_{\mathrm{1}}(t)+d_{\mathrm{1}}(t)+f_{\mathrm{12}}(t,x),\\ {\dot{x}}_{\mathrm{21}}(t)=x_{\mathrm{22}}(t),\\ {\dot{x}}_{\mathrm{22}}(t)=u_{\mathrm{2}}(t)+d_{\mathrm{2}}(t)+f_{\mathrm{22}}(t,x),\end{array}\right.(26)

式中：

\begin{array}{l}{u}_i=\frac{{\mu }_i{E}_i-V_{\mathrm{d}}}{C_i{L}_i},f_{i\mathrm{2}}=-\frac{x_{i\mathrm{2}}}{C_{i}R}-\frac{x_{i\mathrm{1}}}{C_i{L}_i},\\ d_i=\frac{E_i{\omega }_i(t)}{C{}_i{}^{}L{}_i{}^{}},(i=\mathrm{1,2})\mathrm{。}\end{array}

为了比较学习，将GPIOBC和ESOBC两种控制方法都用于该系统的控制问题。同时，用时间与跟踪误差的绝对值乘积的积分（integral of time multiplied absolute-value of error，ITAE）^［4］作为两种控制方法的性能量化指标。

基于定理1，为系统（26）构造如下分散输出反馈抗干扰控制器：

\left\{\begin{array}{l}{\dot{\widehat{x}}}_{i\mathrm{1}}(t)={\widehat{x}}_{i\mathrm{2}}(t)+L{a}_{i\mathrm{1}}(x_{i\mathrm{1}}(t)-{\widehat{x}}_{i\mathrm{1}}(t)),\\ \begin{array}{l}{\dot{\widehat{x}}}_{i\mathrm{2}}(t)=u_i(t)+{\widehat{x}}_{i\mathrm{3}}(t)+\\ L^{\mathrm{2}}{a}_{i\mathrm{2}}(x_{i\mathrm{1}}(t)-{\widehat{x}}_{i\mathrm{1}}(t)),\end{array}\\ {\dot{\widehat{x}}}_{i\mathrm{3}}(t)={\widehat{x}}_{i\mathrm{4}}(t)+L^{\mathrm{3}}{a}_{i\mathrm{3}}(x_{i\mathrm{1}}(t)-{\widehat{x}}_{i\mathrm{1}}(t)),\\ {\dot{\widehat{x}}}_{i\mathrm{4}}(t)=L^{\mathrm{4}}{a}_{i\mathrm{4}}(x_{i\mathrm{1}}(t)-{\widehat{x}}_{i\mathrm{1}}(t)),\\ \begin{array}{l}{u}_i(t)=-L^{\mathrm{2}}{k}_{i\mathrm{1}}{\widehat{x}}_{i\mathrm{1}}(t)-\\ L{k}_{i\mathrm{2}}{\widehat{x}}_{i\mathrm{2}}(t)-{\widehat{x}}_{i\mathrm{3}}(t)),(i=\mathrm{1,2})\mathrm{。}\end{array}\end{array}\right.（27）

互联转换器的初值选取为：E₁=20 V，E₂=20 V，L₁=5 mH，L₂=7 mH，V_d=10 V，C₁=1000 μF，C₂=1200 μF。负载电阻R在0.5 s时从标称值50 Ω变为100 Ω。

情形1 系统受相同幅值的正余弦干扰

假设系统所受的干扰为

{\omega }_{\mathrm{1}}(t)=\mathrm{0.2}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{2}\mathrm{\pi }t)，

{\omega }_{\mathrm{2}}(t)=\mathrm{0.2}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{2}\mathrm{\pi }t)。

公平起见，为GPIOBC和ESOBC选取相同的控制器增益k_{i\mathrm{1}}=\mathrm{2},k_{i\mathrm{3}}=\mathrm{3}(i=\mathrm{1,2})；GPIO和ESO观测器的带宽均为2。GPIO观测器的增益为a_{i\mathrm{1}}=\mathrm{8},a_{i\mathrm{2}}=\mathrm{24},a_{i\mathrm{3}}=\mathrm{24},a_{i\mathrm{4}}=\mathrm{16}; ESO观测器增益为a_{i\mathrm{1}}=\mathrm{6},a_{i\mathrm{2}}=\mathrm{12},a_{i\mathrm{3}}=\mathrm{8},L=\mathrm{260}，仿真如图5和图6所示。

从图5中可以看出，和基于ESOBC控制相比，在GPIOBC控制器下输出电压V_{\mathrm{01}}和V_{\mathrm{02}}被调节到期望值的精度更高。此外，通过计算可以得到GIPOBC的ITAE=0.008 9，ESOBC的ITAE=0.310 5。因此，仿真结果和量化指标ITAE均表明：与ESOBC相比，GPIOBC能够进一步提升系统的控制性能。占空比随时间变化的响应曲线如图6所示。

情形2 系统受不同幅值的正余弦干扰

假设系统所受干扰为

{\omega }_{\mathrm{1}}(t)=\mathrm{0.25}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{1.2}\mathrm{\pi }t-\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{6}})，

{\omega }_{\mathrm{2}}(t)=\mathrm{0.15}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{2}\mathrm{\pi }t+\frac{\mathrm{\pi }}{\mathrm{3}})。

公平起见，为GPIOBC和ESOBC选取的控制器和观测器的增益与情形1中相同。图7（a）给出了输出电压V_{\mathrm{01}}和V_{\mathrm{02}}的响应曲线，显示GPIOBC快速精准地将电压调整到期望值，图7（b）给出了占空比{\mu }_{\mathrm{1}}和{\mu }_{\mathrm{2}}的响应曲线。通过计算可得到GIPOBC的ITAE=0.006 5，ESOBC的ITAE=0.227 3。仿真结果和量化指标ITAE均表明：虽然控制器ESOBC和GPIOBC都有效，但是在控制器GPIOBC下系统具有更好的调节精度和更强的抗干扰能力。

4 结论

研究了一类受高阶时变干扰影响且可能含有非Lipschitz非线性项的互联系统的全局分散输出反馈抗干扰控制。基于广义比例积分观测器和输出反馈控制方法，设计了一个复合分散抗干扰控制器，该控制器使得整个闭环系统具有良好的抗干扰能力和收敛性能。互联系统与DC-DC转换器的稳定性仿真实例，说明了所提出的控制策略的有效性。

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基金资助

国家自然科学基金项目(61503122)

河南省自然科学基金项目(252300420390)

平顶山职业技术学院科研培育项目(202202001)