一类(\rho ,k,\phi )⁃比例Hilfer分数阶演化方程温和解的存在性

Existence of mild solutions for a class of (\rho ,k,\phi )⁃proportional Hilfer fractional evolution equation

摘要

在最新引入的(\rho ,k,\phi )-比例分数阶算子基础上，研究了一类(\rho ,k,\phi )-比例Hilfer分数阶Cauchy问题温和解的存在唯一性和解的连续依赖性。利用概率密度函数、(\rho ,k,\phi )-比例Hilfer分数阶导数的性质和半群理论，得到了温和解的定义。通过构造合适的加权空间，根据Banach压缩映射原理，研究了解的存在唯一性。构造广义Gronwall不等式，得到了解的连续依赖性。

Abstract

The existence， uniqueness and continuous dependence of solutions for a class of (\rho ,k,\phi )⁃proportional Hilfer fractional Cauchy problems were investigated. The probability density function， properties of the (\rho ,k,\phi )⁃proportional Hilfer fractional derivative and semigroup theory were utilized to define mild solutions. A proper weighted space was introduced， and within this space， the Banach contraction principle was applied to discuss the uniqueness of the solutions. The continuous dependence of the data on the Cauchy problem was proven by constructing a generalized Gronwall inequality.

关键词

分数阶导数 / 存在性 / 温和解 / 连续依赖

Key words

fractional derivative / existence / mild solutions / continuous dependence

0 引言

近年来，分数阶微分方程的研究吸引了越来越多学者的注意，因为它比整数阶微分方程在物理、医学及其他领域的应用更为广泛^［1-4］。从最初的Caputo型、Riemann-Liouville型分数阶导数开始，大量分数阶微分方程的研究都基于这两类导数，特别是前者。2000年，HILFER^［5］引入了Hilfer分数阶导数，Hilfer分数阶导数统一了Caputo和Riemann-Liouville这两类导数，并且Hilfer分数阶导数自身的性质使得它在现实模型中的应用较之前的分数阶导数更具有应用性，如电子电路模型^［6］。2018年，VANTERLER等^［7］提出的\psi-Hilfer分数阶导数不仅统一了Caputo、Riemann-Liouville和Hilfer导数，而且研究人员可以根据问题的需要，选择合适的单调核函数\psi。尽管从莱布尼茨提出分数阶导数的问题，直到\psi-Hilfer分数阶导数的出现，分数阶微积分理论及应用似乎已经很完美了，但是这些分数阶导数的定义都依赖于伽马函数\mathrm{\Gamma }(\cdot )。2007年，DÍAZ等^［8］给出了广义伽马函数{\mathrm{\Gamma }}_k(\cdot )，这为分数阶导数的进一步发展提供了空间。在广义伽马函数的基础上，2021年，KUCCHE等^［9］给出了(k,\psi )-Hilfer分数阶导数，它包含\psi-Hilfer、k-Hilfer-Hadamard、(k,\psi )-Caputo、(k,\psi )-Riemann-Liouville等分数阶导数。2017年，JARAD等^［10］在ANDERSON比例分数阶导数^［11］的基础上，考虑特殊比例，给出了广义比例分数阶GPF积分和GPF导数的定义，它的好处是可以选择合适的比例常数\rho \in (\mathrm{0,1}]来研究问题。

分数阶演化方程^［12］的研究比分数阶微分方程更具有一般性，如何得到由无穷小生成元A产生的合适预解族，是研究分数阶演化方程的关键。基于(k,\psi )-Hilfer和GPF分数阶导数的定义，文献［13］首次给出了(\rho ,k,\phi )-比例 Hilfer分数阶导数的定义，并且给出了比(\alpha ,\beta )-预解族更具一般性的(\alpha ,\beta ,\rho )-预解族，利用\{S_{\alpha ,\beta ,\rho }{(t)\}}_{t\ge \mathrm{0}}的性质，对一类(\rho ,k,\phi )-比例 Hilfer分数阶Cauchy问题温和解的存在性进行了研究。

本文将不以预解族为切入点，而是利用概率密度函数^［14］和半群理论^［15］，得到(\rho ,k,\phi )-比例Hilfer分数阶Cauchy问题温和解的另一种表示，通过定义合适的加权范数空间，在没有C_{\mathrm{0}}半群紧性的条件下，利用压缩映射原理得到解的存在唯一性，利用广义Gronwall不等式，对解的连续依赖性进行研究。

1 (\rho ,k,\phi )⁃比例积分和(\rho ,k,\phi )⁃比例Hilfer导数的定义

为方便起见，设函数\phi :\mathbf{R}\to \mathbf{R}，{\phi }^{\text{'}}(t)>\mathrm{0}。记

g_{a,\rho ,k,\eta ;\phi }(t)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{0},t\le a,\\ {\widehat{g}}_{\rho ,k,\eta ;\phi }(t,a),t>a,\end{array}\right.

式中：

{\widehat{g}}_{\rho ,k,\eta ;\phi }(t,s)=\frac{g^{\frac{\eta }{k}-\mathrm{1}}(t,s)}{{\rho }^{\frac{\eta }{k}}k{\mathrm{\Gamma }}_k(\eta )}{\mathrm{e}}^{\frac{(\rho -\mathrm{1})g(t,s)}{\rho k}}，

g(t,s)=\phi (t)-\phi (s)，(\rho ,k,\eta >\mathrm{0})。

广义伽马函数{\mathrm{\Gamma }}_k(\cdot )定义为

{\mathrm{\Gamma }}_k(z)={\int }_{\mathrm{0}}^{+\mathrm{\infty }}{s}^{z-\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{-\frac{s^k}{k}}\mathrm{d}s，\mathrm{R}\mathrm{e}(z)>\mathrm{0}。

首先给出广义卷积和广义Laplace变换的定义。

定义1^［16］　若f,h:[a,+\mathrm{\infty })\to \mathbf{R}是两个函数，则其广义卷积定义为

(f_{\phi }^{\mathrm{*}}h)(t)={\int }_a^{t}f(s)h({\phi }^{-\mathrm{1}}(\phi (t)-\phi (s)+\phi (a)))\mathrm{d}s\mathrm{。}

定义2^［17］　设r,k>\mathrm{0}，h:[a,+\mathrm{\infty })\to \mathbf{R}，(k,\phi )-Laplace变换定义为

L_{k,a}^{r;\phi }(h(t))(\lambda )={\int }_a^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-\lambda k^{\mathrm{1}-\frac{r}{k}}g(t,a)}h(t){\phi }^{\text{'}}(t)\mathrm{d}t。

下面给出(\rho ,k,\phi )-比例分数阶积分和Hilfer分数阶算子的定义。

定义3^［13］　设\rho \in (\mathrm{0,1}]，k>\mathrm{0}，一阶左(\rho ,k,\phi )-比例导数{{}_{}{}^k}^{\mathrm{1},\rho ;\phi }h定义为

{{}_{}{}^k}^{\mathrm{1},\rho ;\phi }h=\rho {\delta }_{k,\delta }^{\mathrm{1}}h(t)+(\mathrm{1}-\rho )h(t)，

式中：{\delta }_{k,\delta }^{\mathrm{1}}=\frac{k}{{\phi }^{\text{'}}(t)}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}。

注意到方程

{{}_{}{}^k}^{\mathrm{1},\rho ;\phi }{\mathrm{e}}^{\frac{\rho -\mathrm{1}}{\rho k}g(t,a)}f(t)=h(t)

在区间t\ge a上的解为

f(t)={\int }_a^t{\widehat{g}}_{\rho ,k,k;\phi }(t,s)h(s)\mathrm{d}s，

因此很自然地引入如下定义：

定义4^［13］ 设\rho \in (\mathrm{0,1}]，k>\mathrm{0}，\eta >\mathrm{0}，函数h在[a,b]上可积，\eta阶左(\rho ,k,\phi )-比例积分定义为

{}_{}{}^k{}_{a+}^{\eta ,\rho ;\phi }h(t)={\int }_a^t{\widehat{g}}_{\rho ,k,\eta ;\phi }(t,s)h(s){\phi }^{\text{'}}(s)\mathrm{d}s。

定义5^［13］ 设\rho \in (\mathrm{0,1}]，v\in [\mathrm{0,1}]，k>\mathrm{0}，m=[\eta /k]+\mathrm{1}，函数h在[a,b]上m次连续可导，则

\begin{array}{l}{}_{}{}^{k,H}{}_{a+}^{\eta ,\rho ,v;\phi }h=\\ {}_{}{}^k{}_{a+}^{v(mk-\eta ),\rho ;\phi }{D}^{m,\rho ;\phi }{}_{}{}^{k}I{}_{a+}^{(\mathrm{1}-v)(mk-\eta ),\rho ;\phi }h(t),\end{array}

称为函数h的左(\rho ,k,\phi )-比例Hilfer导数。

设p\ge \mathrm{1}，记

Q_{\rho ,k,\phi }(t,a)={\mathrm{e}}^{\frac{-(\rho -\mathrm{1})g(t,a)}{\rho k}}，

考虑如下空间

L_{\rho ,k,\phi }^p[a,b]=\{x(t):(a,b]\to \mathbf{R}:

{\phi }^{\text{'}}(t){\left|Q_{\rho ,k,\phi }(t,a)x(t)\right|}^p\in L[a,b]\},

则L_{\rho ,k,\phi }^p[a,b]在范数

{‖x‖}_{L_{\rho ,k,\phi }^p}={({\int }_a^b{\phi }^{\text{'}}(t){\left|Q_{\rho ,k,\phi }(t,a)x(t)\right|}^p\mathrm{d}t)}^{\frac{\mathrm{1}}{p}}

下为Banach空间。

引理1^［18］ 设\eta >\mathrm{0}，h\in L_{\rho ,k,\phi }^p[a,b]，当\lambda >(\rho -\mathrm{1})/\rho k^{\mathrm{2}-\frac{r}{k}}时，

\begin{array}{l}{L}_{k,a}^{r;\phi }({}_{}{}^{k}I{}_{a+}^{\eta ,\rho ;\phi }h(t))(\lambda )=\\ (\rho k^{\mathrm{2}-\frac{r}{k}}{\lambda +\mathrm{1}-\rho )}^{-\frac{\eta }{k}}\end{array}L_{k,a}^{r;\phi }(h(t))(\lambda )。

引理2^［18］ 设\eta >\mathrm{0}，m=[\eta /k]+\mathrm{1}，h\in L_{\rho ,k,\phi }^p[a,b]且{}_{}{}^k{}_{a+}^{(\mathrm{1}-v)(mk-\eta ),\rho ;\phi }h\in \mathrm{A}{\mathrm{C}}^m[a,b]，则

\begin{array}{l}{L}_{k,a}^{r;\phi }({}_{}{}^{k,H}D{}_{a+}^{\eta ,\rho ,v;\phi }h(t))(\lambda )=\\ (\rho k^{\mathrm{2}-\frac{r}{k}}{\lambda +\mathrm{1}-\rho )}^{\frac{\eta }{k}}{L}_{k,a}^{r;\phi }(h(t))(\lambda )-\\ \rho k{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^{m-\mathrm{1}}}(\rho k^{\mathrm{2}-\frac{r}{k}}{\lambda +\mathrm{1}-\rho )}^{m-i-\mathrm{1}+\frac{v(\eta -mk)}{k}}\times \\ [{{}_{}{}^{k}D}^{i,\rho ;\phi }{}_{}{}^{k}I{}_{a+}^{(\mathrm{1}-v)(mk-\eta )}h{(t)]}_{t=a}\mathrm{。}\end{array}

2 温和解的定义

本节将给出如下(\rho ,k,\phi )-比例Hilfer分数阶Cauchy问题

\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}{}_{}{}^{k,H}{D}_{\mathrm{0}+}^{\eta ,\rho ,v;\phi }x(t)=\\ Ax(t)+f(t,x(t)),t\in (\mathrm{0},b],\end{array}\\ ({}_{}{}^{k}I{I}_{\mathrm{0}+}^{(\mathrm{1}-v)(k-\eta ),\rho ;\phi }x{(t))}_{t=\mathrm{0}}=x_{\mathrm{0}}\end{array}\right.(1)

温和解的定义，其中\eta \in (\mathrm{0},k]；A:D(A)\to X为C_{\mathrm{0}}半群\{T(t):t\ge \mathrm{0}\}的无穷小生成元；f:(\mathrm{0},b]\times X\to X，X为范数‖\cdot ‖下的Banach空间。记

\gamma =(\mathrm{1}-v)(k-\eta )/k，

Q_{\rho ,k,\phi ,\gamma }(t,a)=Q_{\rho ,k,\phi }(t,a)g^{\gamma }(t,a)，

E=\{x\in C((\mathrm{0},b],X):Q_{\rho ,k,\phi ,\gamma }(t,\mathrm{0})x(t)\in

C([\mathrm{0},b],X)\},

则空间E在范数

{‖x‖}_E=\underset{t\in [\mathrm{0},b]}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}‖Q_{\rho ,k,\phi ,\gamma }(t,\mathrm{0})x(t)‖

下成为Banach空间。假设

。

记单侧稳定k-概率密度函数为

{\psi }_{k,q}(\theta )={\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{(-\mathrm{1})}^{n-\mathrm{1}}{\theta }^{-qn-\mathrm{1}}\cdot \frac{{\mathrm{\Gamma }}_k(knq+k)}{n!k^{qn}\mathrm{\pi }}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(n\mathrm{\pi }q),

式中：k,\theta >\mathrm{0}。对，有

{\int }_{\mathrm{0}}^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-(\rho k^{\mathrm{2}-\frac{r}{k}}\lambda +\mathrm{1}-\rho )\theta }{\psi }_{k,q}(\theta )\mathrm{d}\theta ={\mathrm{e}}^{-(\rho k^{\mathrm{2}-\frac{r}{k}}{\lambda +\mathrm{1}-\rho )}^q}。(2)

引理3 问题（1）有满足如下积分方程

x(t)=\rho {}_{}{}^{k}I{}_{\mathrm{0}+}^{v(k-\eta ),\rho ;\phi }{T}_{\mathrm{1}}(t,\mathrm{0})x_{\mathrm{0}}+

\frac{\mathrm{1}}{k}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\phi }^{\text{'}}(s)T_{\mathrm{1}}(t,s)f(s,x(s))\mathrm{d}s(3)

的解，式中：

T_{\mathrm{1}}(t,s)x=\eta {(\rho k)}^{-\frac{\eta }{k}}{g}^{\frac{\eta }{k}-\mathrm{1}}(t,s){\mathrm{e}}^{\frac{\rho -\mathrm{1}}{\rho k}g(t,s)}\times

{\int }_{\mathrm{0}}^{+\mathrm{\infty }}{h}_{k,\frac{\eta }{k}}(\theta )T({[\frac{g(t,s)}{\rho k}]}^{\frac{\eta }{k}}\theta )\theta \mathrm{d}\theta x，

h_{k,\frac{\eta }{k}}(\theta )=\frac{k}{\eta }{\theta }^{-\frac{k}{\eta }-\mathrm{1}}{\psi }_{k,\frac{\eta }{k}}({\theta }^{-\frac{k}{\eta }})。

证明 对问题（1）第一个方程两边应用(k,\phi )-Laplace变换，结合引理2与半群的表示，有

\begin{array}{l}{L}_{k,\mathrm{0}}^{r;\phi }(x(t))(\lambda )=\rho k(\rho k^{\mathrm{2}-\frac{r}{k}}{\lambda +\mathrm{1}-\rho )}^{\frac{v(\eta -k)}{k}}\times \\ [(\rho k^{\mathrm{2}-\frac{r}{k}}{\lambda +\mathrm{1}-\rho )}^{\frac{\eta }{k}}{I-A]}^{-\mathrm{1}}{x}_{\mathrm{0}}+\\ [(\rho k^{\mathrm{2}-\frac{r}{k}}{\lambda +\mathrm{1}-\rho )}^{\frac{\eta }{k}}I-\\ {A]}^{-\mathrm{1}}{L}_{k,\mathrm{0}}^{r;\phi }(f(t,x(t)))(\lambda )=\\ \rho k(\rho k^{\mathrm{2}-\frac{r}{k}}{\lambda +\mathrm{1}-\rho )}^{\frac{v(\eta -k)}{k}}\times \end{array}

{\int }_{\mathrm{0}}^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-(\rho k^{\mathrm{2}-\frac{r}{k}}{\lambda +\mathrm{1}-\rho )}^{\frac{\eta }{k}s}}T(s)\mathrm{d}s{x}_{\mathrm{0}}+

{\int }_{\mathrm{0}}^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-(\rho k^{\mathrm{2}-\frac{r}{k}}{\lambda +\mathrm{1}-\rho )}^{\frac{\eta }{k}s}}T(s)\mathrm{d}s\cdot

L_{k,\mathrm{0}}^{r;\phi }(f(t,x(t)))(\lambda )≕I_{\mathrm{1}}+I_{\mathrm{2}}。(4)

对于I_{\mathrm{1}}中的积分项，利用式（2）和积分变量代换，可得

{\int }_{\mathrm{0}}^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-(\rho k^{\mathrm{2}-\frac{r}{k}}{\lambda +\mathrm{1}-\rho )}^{\frac{\eta }{k}s}}T(s)\mathrm{d}s=

\frac{\eta }{k}{\int }_{\mathrm{0}}^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-(\rho k^{\mathrm{2}-\frac{r}{k}}{\lambda +\mathrm{1}-\rho )}^{\frac{\eta }{k}}{t}^{\frac{\eta }{k}}}T(t^{\frac{\eta }{k}})t^{\frac{\eta }{k}-\mathrm{1}}\mathrm{d}t=

\frac{\eta }{k}{\int }_{\mathrm{0}}^{+\mathrm{\infty }}{\int }_{\mathrm{0}}^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-(\rho k^{\mathrm{2}-\frac{r}{k}}\lambda +\mathrm{1}-\rho )t\theta }{\psi }_{k,\frac{\eta }{k}}(\theta )T(t^{\frac{\eta }{k}})t^{\frac{\eta }{k}-\mathrm{1}}\mathrm{d}\theta \mathrm{d}t=

\frac{\eta }{k}{\int }_{\mathrm{0}}^{+\mathrm{\infty }}{\int }_{\mathrm{0}}^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-\lambda k^{\mathrm{1}-\frac{r}{k}}\rho kt\theta }{\mathrm{e}}^{-(\mathrm{1}-\rho )t\theta }{\psi }_{k,\frac{\eta }{k}}(\theta )T(t^{\frac{\eta }{k}})t^{\frac{\eta }{k}-\mathrm{1}}\mathrm{d}\theta \mathrm{d}t=

\frac{\eta }{k}{\int }_{\mathrm{0}}^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-\lambda k^{\mathrm{1}-\frac{r}{k}}g(\tau ,\mathrm{0})}{\phi }^{\text{'}}(\tau ){\int }_{\mathrm{0}}^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{\frac{\rho -\mathrm{1}}{\rho k}g(\tau ,\mathrm{0})}{\psi }_{k,\frac{\eta }{k}}(\theta )\times

T({[\frac{g(\tau ,\mathrm{0})}{\rho k\theta }]}^{\frac{\eta }{k}}){(\frac{g(\tau ,\mathrm{0})}{\rho k\theta })}^{\frac{\eta }{k}-\mathrm{1}}\frac{\mathrm{1}}{\rho k\theta }\mathrm{d}\theta \mathrm{d}\tau，(5)

对于I_{\mathrm{2}}，有

I_{\mathrm{2}}={\int }_{\mathrm{0}}^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-(\rho k^{\mathrm{2}-\frac{r}{k}}{\lambda +\mathrm{1}-\rho )}^{\frac{\eta }{k}s}}T(s)\mathrm{d}s\cdot L_{k,\mathrm{0}}^{r;\phi }(f(t,x(t)))(\lambda )=

{\int }_{\mathrm{0}}^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-(\rho k^{\mathrm{2}-\frac{r}{k}}{\lambda +\mathrm{1}-\rho )}^{\frac{\eta }{k}s}}T(s)\cdot {\int }_{\mathrm{0}}^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-\lambda k^{\mathrm{1}-\frac{r}{k}}g(w,\mathrm{0})}{\phi }^{\text{'}}(w)\cdot

f(w,x(w))\mathrm{d}w\mathrm{d}s=

\frac{\eta }{k}{\int }_{\mathrm{0}}^{+\infty }{\int }_{\mathrm{0}}^{+\infty }{e}^{-(\rho k^{\mathrm{2}-\frac{r}{k}}{\lambda +\mathrm{1}-\rho )}^{\frac{\eta }{k}}{u}^{\frac{\eta }{k}}}T(u^{\frac{\eta }{k}})\cdot

{\int }_{\mathrm{0}}^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-\lambda k^{\mathrm{1}-\frac{r}{k}}g(w,\mathrm{0})}{\phi }^{\text{'}}(w)f(w,x(w))\mathrm{d}w{u}^{\frac{\eta }{k}-\mathrm{1}}\mathrm{d}u=

\frac{\eta }{k}{\int }_{\mathrm{0}}^{+\mathrm{\infty }}{\int }_{\mathrm{0}}^{+\mathrm{\infty }}{\int }_{\mathrm{0}}^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-(\rho k^{\mathrm{2}-\frac{r}{k}}\lambda +\mathrm{1}-\rho )u\theta }{\psi }_{k,\frac{\eta }{k}}(\theta )\mathrm{d}\theta T(u^{\frac{\eta }{k}})\times

{\mathrm{e}}^{-\lambda k^{\mathrm{1}-\frac{r}{k}}g(w,\mathrm{0})}{\phi }^{\text{'}}(w)f(w,x(w))\mathrm{d}w{u}^{\frac{\eta }{k}-\mathrm{1}}\mathrm{d}u=

\frac{\eta }{k}{\int }_{\mathrm{0}}^{+\mathrm{\infty }}{\int }_{\mathrm{0}}^{+\mathrm{\infty }}{\int }_{\mathrm{0}}^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-(\rho k^{\mathrm{2}-\frac{r}{k}}\lambda +\mathrm{1}-\rho )g(\sigma ,\mathrm{0})\theta }{\psi }_{k,\frac{\eta }{k}}(\theta )\mathrm{d}\theta \times

T(g^{\frac{\eta }{k}}(\sigma ,\mathrm{0})){\mathrm{e}}^{-\lambda k^{\mathrm{1}-\frac{r}{k}g(w,\mathrm{0})}}{\phi }^{\text{'}}(w)f(w,x(w))\mathrm{d}w\times

g^{\frac{\eta }{k}-\mathrm{1}}(\sigma ,\mathrm{0}){\phi }^{\text{'}}(\sigma )\mathrm{d}\sigma =

\frac{\eta }{k}{\int }_{\mathrm{0}}^{+\mathrm{\infty }}{\int }_{\mathrm{0}}^{+\mathrm{\infty }}{\int }_{\mathrm{0}}^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-\lambda k^{\mathrm{1}-\frac{r}{k}}g(\delta ,\mathrm{0})}{\mathrm{e}}^{\frac{\rho -\mathrm{1}}{\rho k}g(\delta ,\mathrm{0})}{\psi }_{k,\frac{\eta }{k}}(\theta )\mathrm{d}\theta \times

T({[\frac{g(\delta ,\mathrm{0})}{\rho k\theta }]}^{\frac{\eta }{k}}){\mathrm{e}}^{-\lambda k^{\mathrm{1}-\frac{r}{k}}g(w,\mathrm{0})}{\phi }^{\text{'}}(w)f(w,x(w))\mathrm{d}w\times

{[\frac{g(\delta ,\mathrm{0})}{\rho k\theta }]}^{\frac{\eta }{k}-\mathrm{1}}\frac{{\phi }^{\text{'}}(\delta )}{\rho k\theta }\mathrm{d}\delta =

\frac{\eta }{k}{\int }_{\mathrm{0}}^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-\lambda k^{\mathrm{1}-\frac{r}{k}}[g(\delta ,\mathrm{0})+g(w,\mathrm{0})]}{\int }_{\mathrm{0}}^{+\mathrm{\infty }}{\int }_{\mathrm{0}}^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{\frac{\rho -\mathrm{1}}{\rho k}g(\delta ,\mathrm{0})}{\psi }_{k,\frac{\eta }{k}}(\theta )\times

T({[\frac{g(\delta ,\mathrm{0})}{\rho k\theta }]}^{\frac{\eta }{k}}){\phi }^{\text{'}}(w)f(w,x(w))\mathrm{d}w\times

{[\frac{g(\delta ,\mathrm{0})}{\rho k\theta }]}^{\frac{\eta }{k}-\mathrm{1}}\frac{{\phi }^{\text{'}}(\delta )}{\rho k\theta }\mathrm{d}\theta \mathrm{d}\delta =

\frac{\eta }{k}{\int }_{\mathrm{0}}^{+\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{-\lambda k^{\mathrm{1}-\frac{r}{k}}g(\tau ,\mathrm{0})}{\phi }^{\text{'}}(\tau ){\int }_{\mathrm{0}}^{+\mathrm{\infty }}{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }{\mathrm{e}}^{\frac{(\rho -\mathrm{1})g(\tau ,w)}{\rho k}}{\psi }_{k,\frac{\eta }{k}}(\theta )\times

T({[\frac{g(\tau ,w)}{\rho k\theta }]}^{\frac{\eta }{k}})f(w,x(w)){[\frac{g(\tau ,w)}{\rho k\theta }]}^{\frac{\eta }{k}-\mathrm{1}}\times

\frac{{\phi }^{\text{'}}(w)}{\rho k\theta }\mathrm{d}w\mathrm{d}\theta \mathrm{d}\tau。(6)

利用引理1，综合式（4）—式（6），化简可得

L_{k,\mathrm{0}}^{r;\phi }(x(t))(\lambda )=L_{k,\mathrm{0}}^{r;\phi }(g_{\mathrm{0},\rho ,k,v(k-\eta );\phi }(t))(\lambda )\times

L_{k,\mathrm{0}}^{r;\phi }(\rho \eta {\int }_{\mathrm{0}}^{+\infty }{e}^{\frac{\rho -\mathrm{1}}{\rho k}g(\tau ,\mathrm{0})}{h}_{k,\frac{\eta }{k}}(\theta )T({[\frac{g(\tau ,\mathrm{0})}{\rho k}\theta ]}^{\frac{\eta }{k}})\times

\frac{g^{\frac{\eta }{k}-\mathrm{1}}(\tau ,\mathrm{0})}{{(\rho k)}^{\frac{\eta }{k}}}\theta \mathrm{d}\theta )(\lambda )x_{\mathrm{0}}+\frac{\eta }{k}{L}_{k,\mathrm{0}}^{r;\phi }({\int }_{\mathrm{0}}^{+\mathrm{\infty }}{\int }_{\mathrm{0}}^{\tau }{\mathrm{e}}^{\frac{(\rho -\mathrm{1})g(\tau ,w)}{\rho k}}\times

\begin{array}{l}{h}_{k,\frac{\eta }{k}}(\theta )T({[\frac{g(\tau ,w)}{\rho k}]}^{\frac{\eta }{k}}\theta )f(w,x(w))\times \\ \frac{g^{\frac{\eta }{k}-\mathrm{1}}(\tau ,w)}{{(\rho k)}^{\frac{\eta }{k}}}\theta \mathrm{d}w\mathrm{d}\theta ,\end{array}

由(k,\phi )-Laplace逆变换，可知x(t)满足式（3）。证毕。

定义6 若x(t)满足式（3），则称x(t)为问题（1）的温和解。

3 解的存在性及连续依赖性

引理4 （1）对于\mathrm{0}\le s\le t，T_{\mathrm{1}}为X\to E中线性算子，{}_{}{}^k{}_{\mathrm{0}+}^{v(k-\eta ),\rho ;\phi }{T}_{\mathrm{1}}(t,\mathrm{0})为X\to E中线性有界算子，且

{‖{}_{}{}^k{I}_{\mathrm{0}+}^{v(k-\eta ),\rho ;\phi }{T}_{\mathrm{1}}(t,\mathrm{0})x‖}_E\le {\Lambda }_{\mathrm{1}}‖x‖,

式中：

{\Lambda }_{\mathrm{1}}=\frac{M}{{\rho }^{\frac{v(k-\eta )+\eta }{k}}{\mathrm{\Gamma }}_k(v(k-\eta )+\eta )};

（2） 当\mathrm{0}\le s\le t时，

{\int }_{\mathrm{0}}^{+\mathrm{\infty }}{h}_{k,\frac{\eta }{k}}(\theta )T({[\frac{g(t,s)}{\rho k}]}^{\frac{\eta }{k}}\theta )\theta \mathrm{d}\theta

为X中强连续算子。

证明 （1） 对于x\in X，由定义1，有

‖T_{\mathrm{1}}(t,s)x‖\le \eta M\frac{\mathrm{1}}{{(\rho k)}^{\frac{\eta }{k}}}{g}^{\frac{\eta }{k}-\mathrm{1}}(t,s)\times

{\mathrm{e}}^{\frac{\rho -\mathrm{1}}{\rho k}g(t,s)}{\int }_{\mathrm{0}}^{+\mathrm{\infty }}{h}_{k,\frac{\eta }{k}}(\theta )\theta \mathrm{d}\theta ‖x‖=

{\Lambda }_{\mathrm{2}}{g}^{\frac{\eta }{k}-\mathrm{1}}(t,s){\mathrm{e}}^{\frac{\rho -\mathrm{1}}{\rho k}g(t,s)}‖x‖，

{‖{}_{}{}^k{I}_{\mathrm{0}+}^{v(k-\eta ),\rho ;\phi }{T}_{\mathrm{1}}(t,\mathrm{0})x‖}_E\le

Q_{\rho ,k,\phi ,\gamma }(t,\mathrm{0})\times

\frac{\eta M{\int }_{\mathrm{0}}^t{g}^{\frac{v(k-\eta )}{k}-\mathrm{1}}(t,s){\mathrm{e}}^{\frac{\rho -\mathrm{1}}{\rho k}g(t,\mathrm{0})}{\phi }^{\text{'}}(s)g^{\frac{\eta }{k}-\mathrm{1}}(s,\mathrm{0})\mathrm{d}s}{{\rho }^{\frac{v(k-\eta )+\eta }{k}}{k}^{\mathrm{1}+\frac{\eta }{k}}{\mathrm{\Gamma }}_k(v(k-\eta ))\mathrm{\Gamma }(\mathrm{1}+\eta /k)}‖x‖=

{\Lambda }_{\mathrm{1}}‖x‖，

式中：

{\Lambda }_{\mathrm{2}}=\eta M\frac{\mathrm{1}}{{(\rho k)}^{\frac{\eta }{k}}\mathrm{\Gamma }(\mathrm{1}+\eta /k)}\mathrm{。}

（2）对于\mathrm{0}\le s\le t，\mathrm{0}\le t_{\mathrm{1}}\le t_{\mathrm{2}}\le b，有

\begin{array}{l}‖{\int }_{\mathrm{0}}^{+\mathrm{\infty }}{h}_{k,\frac{\eta }{k}}(\theta )\{T({[\frac{g(t_{\mathrm{2}},s)}{\rho k}]}^{\frac{\eta }{k}}\theta )-\\ T({[\frac{g(t_{\mathrm{1}},s)}{\rho k}]}^{\frac{\eta }{k}}\theta )\}\theta x\mathrm{d}\theta ‖\le \end{array}

M{\int }_{\mathrm{0}}^{+\infty }\theta h_{k,\frac{\eta }{k}}(\theta )\times ‖\{T({[\frac{g(t_{\mathrm{2}},s)}{\rho k}]}^{\frac{\eta }{k}}\theta -

{[\frac{g(t_{\mathrm{1}},s)}{\rho k}]}^{\frac{\eta }{k}}\theta )-I\}x‖\mathrm{d}\theta。

根据算子T(t)的强连续性，可知

{\int }_{\mathrm{0}}^{+\mathrm{\infty }}{h}_{k,\frac{\eta }{k}}(\theta )T({[\frac{g(t,s)}{\rho k}]}^{\frac{\eta }{k}}\theta )\theta \mathrm{d}\theta

为X中强连续算子。证毕。

为了讨论解的连续依赖性，需要如下广义Gronwall不等式。下面引理5是文献［19］中定理3的推广。

引理5 设u,v\in L([a,b],{\mathbf{R}}^{+})，h\in C([a,b],{\mathbf{R}}^{+})单调不减，，当t\in [a,b]时，有

u(t)\le v(t)+h(t)\times

{\int }_a^t{g}^{\frac{\eta }{k}-\mathrm{1}}(t,\tau )g^{-\gamma }(\tau ,a){\phi }^{\text{'}}(\tau )u(\tau )\mathrm{d}\tau，(7)

则

u(t)\le v(t)+

{\int }_a^t{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}\frac{h^n(t)\mathrm{\Gamma }(\eta /k){\mathrm{\Gamma }}^n(\eta /k-\gamma )}{\mathrm{\Gamma }(n\eta /k-(n-\mathrm{1})\gamma )}\times

g^{\frac{n\eta }{k}-(n-\mathrm{1})\gamma -\mathrm{1}}(t,\tau )g^{-\gamma }(\tau ,a){\phi }^{\text{'}}(\tau )v(\tau )\mathrm{d}\tau。

证明 令

Au(t)=h(t){\int }_a^t{g}^{\frac{\eta }{k}-\mathrm{1}}(t,\tau )\cdot g^{-\gamma }(\tau ,a){\phi }^{\text{'}}(\tau )u(\tau )\mathrm{d}\tau ,

则式（7）可写为

u(t)\le v(t)+Au(t)，

依次迭代下去，可知

u(t)\le {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^{n-\mathrm{1}}}{A}^{i}v(t)+A^{n}u(t)。(8)

由h的单调性及交换累次积分顺序，可得不等式

A^{\mathrm{2}}u(t)=h(t){\int }_a^t{g}^{\frac{\eta }{k}-\mathrm{1}}(t,s)g^{-\gamma }(s,a){\phi }^{\text{'}}(s)u(s)h(s)\times

{\int }_a^s{g}^{\frac{\eta }{k}-\mathrm{1}}(s,\tau )g^{-\gamma }(\tau ,a){\phi }^{\text{'}}(\tau )u(\tau )\mathrm{d}\tau \mathrm{d}s\le

h^{\mathrm{2}}(t){\int }_a^t{g}^{-\gamma }(\tau ,a){\phi }^{\text{'}}(\tau )u(\tau )\mathrm{d}\tau \times

{\int }_{\tau }^t{g}^{\frac{\eta }{k}-\mathrm{1}}(t,s)g^{\frac{\eta }{k}-\mathrm{1}}(s,\tau )g^{-\gamma }(s,a){\phi }^{\text{'}}(s)\mathrm{d}s\le

h^{\mathrm{2}}(t){\int }_a^t{g}^{-\gamma }(\tau ,a){\phi }^{\text{'}}(\tau )u(\tau )\mathrm{d}\tau \times

{\int }_{\tau }^t{g}^{\frac{\eta }{k}-\mathrm{1}}(t,s)g^{\frac{\eta }{k}-\gamma -\mathrm{1}}(s,\tau ){\phi }^{\text{'}}(s)\mathrm{d}s=

h^{\mathrm{2}}(t)B(\frac{\eta }{k},\frac{\eta }{k}-\gamma )\times

{\int }_a^t{g}^{\frac{\mathrm{2}\eta }{k}-\gamma -\mathrm{1}}(t,\tau )g^{-\gamma }(\tau ,a){\phi }^{\text{'}}(\tau )u(\tau )\mathrm{d}\tau。

由数学归纳法易知，当n\to \mathrm{\infty }时，有

A^{n}u(t)\le \frac{h^n(t)\mathrm{\Gamma }(\eta /k){\mathrm{\Gamma }}^n(\eta /k-\gamma )}{\mathrm{\Gamma }(n\eta /k-(n-\mathrm{1})\gamma )}\times

{\int }_a^t{g}^{\frac{n\eta }{k}-(n-\mathrm{1})\gamma -\mathrm{1}}(t,\tau )g^{-\gamma }(\tau ,a){\phi }^{\text{'}}(\tau )u(\tau )\mathrm{d}\tau \to \mathrm{0}。

最后，在式（8）两边令n\to \mathrm{\infty }，有

u(t)\le {\displaystyle \sum _{i=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}{A}^{i}v(t)\le

v(t)+{\int }_a^t{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}\frac{h^n(t)\mathrm{\Gamma }(\eta /k){\mathrm{\Gamma }}^n(\eta /k-\gamma )}{\mathrm{\Gamma }(n\eta /k-(n-\mathrm{1})\gamma )}\times

g^{\frac{n\eta }{k}-(n-\mathrm{1})\gamma -\mathrm{1}}(t,\tau )g^{-\gamma }(\tau ,a){\phi }^{\text{'}}(\tau )v(\tau )\mathrm{d}\tau。

证毕。

定理1 设

（H1） 对几乎所有的t\in (\mathrm{0},b]，f(t,\cdot )\in C(X,X)，对任何x\in X，f(\cdot ,x):(\mathrm{0},b]\to E强可测；

（H2） 存在正数L>\mathrm{0}，满足

‖f(t,x)-f(t,y)‖\le L‖x-y‖，

t\in (\mathrm{0},b]；x,y\in X，且f(t,\mathrm{0})在E中有界，若

，

则问题（1）有唯一的温和解。

证明 取r>\mathrm{0}满足

k\rho {\Lambda }_{\mathrm{1}}‖x_{\mathrm{0}}‖+{\Lambda }_{\mathrm{2}}{g}^{\frac{\eta }{k}}(b,\mathrm{0})B(\frac{\eta }{k},\mathrm{1}-\gamma )\times

[Lr+\underset{s\in [\mathrm{0},b]}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{‖f(s,\mathrm{0})‖}_E]\le kr。

首先考虑算子F:E_r\to X，其中E_r=\{x\in E:{‖x‖}_E\le r\}，

(Fx)(t)=\rho {}_{}{}^{k}I{}_{\mathrm{0}+}^{v(k-\eta ),\rho ;\phi }{T}_{\mathrm{1}}(t,\mathrm{0})x_{\mathrm{0}}+

\frac{\mathrm{1}}{k}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\phi }^{\text{'}}(s)T_{\mathrm{1}}(t,s)f(s,x(s))\mathrm{d}s。

由定义4和引理4易知，Q_{\rho ,k,\phi ;\gamma }(t,\mathrm{0})Fx(t)\in C([\mathrm{0},b],E)。因为

{‖Fx‖}_E\le \rho {\Lambda }_{\mathrm{1}}‖x_{\mathrm{0}}‖+\frac{\mathrm{1}}{k}{Q}_{\rho ,k,\phi ,\gamma }(t,\mathrm{0}){\int }_{\mathrm{0}}^t{\phi }^{\text{'}}(s)‖T_{\mathrm{1}}(t,s)‖\times

[‖f(s,x(s))-f(s,\mathrm{0})‖+‖f(s,\mathrm{0})‖]\mathrm{d}s\le

\begin{array}{l}\rho {\Lambda }_{\mathrm{1}}‖x_{\mathrm{0}}‖+\frac{\mathrm{1}}{k}{Q}_{\rho ,k,\phi ,\gamma }(t,\mathrm{0}){\Lambda }_{\mathrm{2}}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\phi }^{\text{'}}(s)g^{\frac{\eta }{k}-\mathrm{1}}(t,s)\times \\ {\mathrm{e}}^{\frac{\rho -\mathrm{1}}{\rho k}g(t,s)}[L‖x(s)‖+‖f(s,\mathrm{0})‖]\mathrm{d}s\le \end{array}

\rho {\Lambda }_{\mathrm{1}}‖x_{\mathrm{0}}‖+\frac{\mathrm{1}}{k}{\Lambda }_{\mathrm{2}}{g}^{\gamma }(t,\mathrm{0}){\int }_{\mathrm{0}}^t{\phi }^{\text{'}}(s)g^{\frac{\eta }{k}-\mathrm{1}}(t,s)\times

g^{-\gamma }(s,\mathrm{0})[L{‖x‖}_E+{‖f(s,\mathrm{0})‖}_E]\mathrm{d}s\le

\rho {\Lambda }_{\mathrm{1}}‖x_{\mathrm{0}}‖+\frac{\mathrm{1}}{k}{\Lambda }_{\mathrm{2}}{g}^{\frac{\eta }{k}}(b,\mathrm{0})B(\frac{\eta }{k},\mathrm{1}-\gamma )\times

[L{‖x‖}_E+\underset{s\in [\mathrm{0},b]}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{‖f(s,\mathrm{0})‖}_E]，

从而{‖Fx‖}_E\le r，即F为E_r中的自映射。

另一方面，对任意的x,y\in E_r，t\in [\mathrm{0},b]，

{‖Fx-Fy‖}_E\le \frac{\mathrm{1}}{k}{Q}_{\rho ,k,\phi ,\gamma }(t,\mathrm{0}){\int }_{\mathrm{0}}^t{\phi }^{\text{'}}(s)‖T_{\mathrm{1}}(t,s)‖\times

‖f(s,x(s))-f(s,y(s))‖\mathrm{d}s\le

\frac{\mathrm{1}}{k}{\Lambda }_{\mathrm{2}}{g}^{\gamma }(t,\mathrm{0}){\int }_{\mathrm{0}}^t{\phi }^{\text{'}}(s)g^{\frac{\eta }{k}-\mathrm{1}}(t,s)g^{-\gamma }(s,\mathrm{0})\mathrm{d}s\times

L{‖x-y‖}_E\le

\frac{\mathrm{1}}{k}{\Lambda }_{\mathrm{2}}L{g}^{\frac{\eta }{k}}(b,\mathrm{0})B(\frac{\eta }{k},\mathrm{1}-\gamma ){‖x-y‖}_E，

即F为E_r中的压缩映射，从而F有唯一的不动点x\in E_r，也即x为问题（1）的温和解。证毕。

定理2 设，，f:(\mathrm{0},b]\times E\to E，x(t)为问题（1）的温和解，\widehat{x}(t)为如下问题

\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}{}_{}{}^{k,H}{D}_{\mathrm{0}+}^{\eta -\widehat{\eta },\rho ,v;\phi }\widehat{x}(t)=\\ Ax(t)+f(t,\widehat{x}(t)),t\in (\mathrm{0},b],\end{array}\\ ({}_{}{}^{k}I{I}_{\mathrm{0}+}^{(\mathrm{1}-v)(k-\eta +\widehat{\eta }),\rho ;\phi }\widehat{x}{(t))}_{t=\mathrm{0}}={\widehat{x}}_{\mathrm{0}}\end{array}\right.(9)

的温和解，则

\begin{array}{l}{Q}_{\rho ,k,\phi ,\gamma }(t,\mathrm{0})‖x(t)-\widehat{x}(t)‖\le {\Lambda }_{\mathrm{3}}(t)+\\ {\int }_{\mathrm{0}}^t{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{(\frac{M\eta }{k}\frac{\Lambda }{{(\rho k)}^{\frac{\eta -\widehat{\eta }}{k}}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{\Gamma }(\mathrm{1}+\eta /k)})}^n\times \\ \frac{\mathrm{\Gamma }(\eta /k){\mathrm{\Gamma }}^n(\eta /k-\gamma )}{\mathrm{\Gamma }(n\eta /k-(n-\mathrm{1})\gamma )}\times \end{array}

g^{\frac{n\eta }{k}-(n-\mathrm{1})\gamma -\mathrm{1}}(t,\tau )g^{-\gamma }(\tau ,a){\phi }^{\text{'}}(\tau ){\Lambda }_{\mathrm{3}}(\tau )\mathrm{d}\tau ,

式中：

\begin{array}{l}{\Lambda }_{\mathrm{3}}(t)=Q_{\rho ,k,\phi ,\gamma }(t,\mathrm{0})\Vert \rho {}_{}{}^{k}I{}_{\mathrm{0}+}^{v(k-\eta ),\rho ;\phi }{T}_{\mathrm{1}}(t,\mathrm{0})x_{\mathrm{0}}-\\ \rho {}_{}{}^{k}I{}_{\mathrm{0}+}^{v(k-\eta +\widehat{\eta }),\rho ;\phi }{\widehat{T}}_{\mathrm{1}}(t,\mathrm{0}){\widehat{x}}_{\mathrm{0}}\Vert +\end{array}

\frac{M\eta }{k}[\frac{\mathrm{1}}{{(\rho k)}^{\frac{\eta }{k}}}+\mathrm{2}\frac{\mathrm{1}}{{(\rho k)}^{\frac{\eta -\widehat{\eta }}{k}}}]g^{\frac{\eta }{k}}(t,\mathrm{0})B(\frac{\eta }{k},\mathrm{1}-\gamma )\times

\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{\Gamma }(\mathrm{1}+\eta /k)}{‖f‖}_E+

\frac{M(\eta -\widehat{\eta })}{k}\frac{\mathrm{1}}{{(\rho k)}^{\frac{\eta -\widehat{\eta }}{k}}}{g}^{\frac{\eta -\widehat{\eta }}{k}}(t,\mathrm{0})B(\frac{\eta -\widehat{\eta }}{k},\mathrm{1}-\gamma )\times

\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{\Gamma }(\mathrm{1}+(\eta -\widehat{\eta }/)k)}{‖f‖}_E。

证明 类似引理3，问题（9）的温和解为

\widehat{x}(t)=\rho {}_{}{}^{k}I{}_{\mathrm{0}+}^{v(k-\eta +\widehat{\eta }),\rho ;\phi }{\widehat{T}}_{\mathrm{1}}(t,\mathrm{0}){\widehat{x}}_{\mathrm{0}}+

\frac{\mathrm{1}}{k}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\phi }^{\text{'}}(s){\widehat{T}}_{\mathrm{1}}(t,s)f(s,\widehat{x}(s))\mathrm{d}s，

式中：

{\widehat{T}}_{\mathrm{1}}(t,s)x=\frac{\eta -\widehat{\eta }}{{(\rho k)}^{\frac{\eta -\widehat{\eta }}{k}}}{g}^{\frac{\eta -\widehat{\eta }}{k}-\mathrm{1}}(t,s){\mathrm{e}}^{\frac{\rho -\mathrm{1}}{\rho k}g(t,s)}\times

{\int }_{\mathrm{0}}^{+\mathrm{\infty }}{h}_{k,\frac{\eta -\widehat{\eta }}{k}}(\theta )T({[\frac{g(t,s)}{\rho k}]}^{\frac{\eta -\widehat{\eta }}{k}}\theta )\theta \mathrm{d}\theta x。

由三角不等式，可知

‖x(t)-\widehat{x}(t)‖\le \Vert \rho {}_{}{}^{k}I{}_{\mathrm{0}+}^{v(k-\eta ),\rho ;\phi }{T}_{\mathrm{1}}(t,\mathrm{0})x_{\mathrm{0}}-

\rho {}_{}{}^{k}I{}_{\mathrm{0}+}^{v(k-\eta +\widehat{\eta }),\rho ;\phi }{\widehat{T}}_{\mathrm{1}}(t,\mathrm{0}){\widehat{x}}_{\mathrm{0}}\Vert +

\frac{\eta }{k}|\frac{\mathrm{1}}{{(\rho k)}^{\frac{\eta }{k}}}-\frac{\mathrm{1}}{{(\rho k)}^{\frac{\eta -\widehat{\eta }}{k}}}|{\int }_{\mathrm{0}}^t{g}^{\frac{\eta }{k}-\mathrm{1}}(t,s)e^{\frac{\rho -\mathrm{1}}{\rho k}g(t,s)}{\phi }^{\text{'}}(s)\times

\begin{array}{l}{\int }_{\mathrm{0}}^{+\infty }{h}_{k,\frac{\eta }{k}}(\theta )\Vert T({[\frac{g(t,s)}{\rho k}]}^{\frac{\eta }{k}}\theta )\Vert \theta \mathrm{d}\theta \times \\ ‖f(s,x(s))‖\mathrm{d}s+\end{array}

\frac{\eta }{k}\frac{\mathrm{1}}{{(\rho k)}^{\frac{\eta -\widehat{\eta }}{k}}}{\int }_{\mathrm{0}}^t{g}^{\frac{\eta }{k}-\mathrm{1}}(t,s){\mathrm{e}}^{\frac{\rho -\mathrm{1}}{\rho k}g(t,s)}{\phi }^{\text{'}}(s){\int }_{\mathrm{0}}^{+\mathrm{\infty }}{h}_{k,\frac{\eta }{k}}(\theta )\times

‖T({[\frac{g(t,s)}{\rho k}]}^{\frac{\eta }{k}}\theta )‖\theta \mathrm{d}\theta ‖f(s,x(s))-f(s,\widehat{x}(s))‖\mathrm{d}s+

\frac{\mathrm{1}}{{(\rho k)}^{\frac{\eta -\widehat{\eta }}{k}}}{\int }_{\mathrm{0}}^t{\mathrm{e}}^{\frac{\rho -\mathrm{1}}{\rho k}g(t,s)}{\phi }^{\text{'}}(s){\int }_{\mathrm{0}}^{+\mathrm{\infty }}‖\frac{\eta }{k}{g}^{\frac{\eta }{k}-\mathrm{1}}(t,s)h_{k,\frac{\eta }{k}}(\theta )\times

T({[\frac{g(t,s)}{\rho k}]}^{\frac{\eta }{k}}\theta )-\frac{\eta -\widehat{\eta }}{k}{g}^{\frac{\eta -\widehat{\eta }}{k}-\mathrm{1}}(t,s)h_{k,\frac{\eta -\widehat{\eta }}{k}}(\theta )\times

T({[\frac{g(t,s)}{\rho k}]}^{\frac{\eta -\widehat{\eta }}{k}}\theta )‖\theta \mathrm{d}\theta ‖f(s,\widehat{x}(s))‖\mathrm{d}s，

进一步地，有

Q_{\rho ,k,\phi ,\gamma }(t,\mathrm{0})‖x(t)-\widehat{x}(t)‖\le {\Lambda }_{\mathrm{3}}(t)+\begin{array}{l}\frac{M\eta }{k}\frac{\Lambda }{{(\rho k)}^{\frac{\eta -\widehat{\eta }}{k}}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{\Gamma }(\mathrm{1}+\eta /k)}\times \\ {\int }_{\mathrm{0}}^t{g}^{\frac{\eta }{k}-\mathrm{1}}(t,s)g^{-\gamma }(s,\mathrm{0}){\phi }^{\text{'}}(s)\times \end{array}Q_{\rho ,k,\phi ,\gamma }(s,\mathrm{0})‖x(s)-\widehat{x}(s)‖\mathrm{d}s，

由引理5，有

\begin{array}{l}{Q}_{\rho ,k,\phi ,\gamma }(t,\mathrm{0})‖x(t)-\widehat{x}(t)‖\le {\Lambda }_{\mathrm{3}}(t)+\\ {{\int }_{\mathrm{0}}^t{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}(\frac{M\eta }{k}\frac{\Lambda }{{(\rho k)}^{\frac{\eta -\widehat{\eta }}{k}}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{\Gamma }(\mathrm{1}+\eta /k)})}^n\times \end{array}

\begin{array}{l}\frac{\Gamma (\eta /k){\Gamma }^n(\eta /k-\gamma )}{\Gamma (n\eta /k-(n-\mathrm{1})\gamma )}\times \\ g^{\frac{n\eta }{k}-(n-\mathrm{1})\gamma -\mathrm{1}}(t,\tau )g^{-\gamma }(\tau ,a){\phi }^{\text{'}}(\tau ){\Lambda }_{\mathrm{3}}(\tau )\mathrm{d}\tau \mathrm{。}\end{array}

证毕。

4 结束语

文献［13］引入了一类(\rho ,k,\phi )-Hilfer分数阶导数，此类分数阶导数包含了许多著名的分数阶导数。在此类导数的基础上，本文研究了一类(\rho ,k,\phi )-Hilfer分数阶Cauchy问题，利用概率密度函数和广义拉普拉斯变换，得到了Cauchy问题温和解的正确表示形式，纠正了某些文献中关于分数阶Cauchy问题温和解的错误表示。通过Banach压缩映射原理，考虑了解的存在唯一性，也建立了更一般的广义Gronwall不等式，并利用它对解的连续依赖性进行了研究。所得结果可为(\rho ,k,\phi )-分数阶微积分的相关研究提供理论依据。

若C_{\mathrm{0}}半群\{T(t):t\ge \mathrm{0}\}具有紧性，则可利用其他不动点定理（如Krasnoselskii不动点定理、Schauder不动点定理）得到解的存在性，结合广义Gronwall不等式，在适当条件下，可得到解的唯一性。本文只考虑了非线性项f映入空间X中，还可进一步考虑f映入X的子空间X_{\beta }中，其中X_{\beta }=D(A^{\beta })，。

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基金资助

国家自然科学基金项目(62166015)

海南省自然科学基金项目(122MS088)