基于共识性测度的多粒度概率语言广义TODIM方法

Multi-granular probabilistic linguistic generalized TODIM method based on consensus measurement

摘要

针对准则值为多粒度概率语言决策信息、准则权重未知的多属性群决策问题，在综合考虑概率语言评价信息的期望值、偏离度和犹豫度的基础上，提出了新的多粒度概率语言距离测度公式，有效克服了现有距离测度公式在某些情况下不能准确测度的问题。基于所提出的距离测度，在综合考虑评价信息数量和质量的基础上，提出了一种基于共识性测度的广义TODIM决策方法，并将其应用于垃圾分类回收APP的选择中。与现有方法的对比结果表明，所提出的多粒度概率语言环境下的距离测度具有良好的有效性，同时验证了基于共识性测度的多粒度概率语言广义TODIM方法的可行性与优越性。

Abstract

Based on the expectation value， deviation degree and hesitancy degree of the probabilistic linguistic judgment information， a new multi-granular probability linguistic distance measure was proposed to solve multi-attribute decision-making problems， where the attribute values were demonstrated in multi-granularity probabilistic linguistic information， and the attribute weights were unknown. The new distance measure could effectively overcome the difficulty that the existing distance measure cannot exactly measure the distance in some circumstances. Based on the new distance measure， a generalized TODIM method was proposed by comprehensively considering the quality and quantity of the judgement information and the consensus measurement and was applied in the selection of waste sorting and recycling APP. The comparison results with existing methods demonstrated that the proposed distance measure in the multi-granular probabilistic linguistic environment had good effectiveness， which also verified the feasibility and superiority of the consensus measure-based generalized TODIM method for multi-granular probabilistic linguistic information.

关键词

多粒度概率语言术语集 / 距离测度 / 共识性测度 / 广义TODIM方法

Key words

multi-granular probabilistic linguistic term sets / distance measure / consensus measurement / generalized TODIM method

0 引言

决策分析广泛应用于生产与生活的各个方面^［1］。决策分析的第一步是根据合适的信息表达形式来选择合适的决策分析方法^［2］。对某一方案关于某一属性的评估而言，语言术语集是一个合适的信息表达形式^［3］。决策者可能在语言术语间表现出犹豫，RODEIGUEZ^［4］把TORRA提出的犹豫模糊集思想^［5］和ZADEH^［3］提出的语言变量思想相结合，提出了犹豫模糊语言术语集。其中，每个语言术语具有相同的概率或权重。决策者可能偏好用几个不相邻的语言术语及其权重来表达其评估值。为此，ZHANG等^［6］提出了语言分布的概念；WU等^［7］利用语言分布思想构建评估分布来表达决策者的偏好分布；PANG等^［8］提出了概率语言术语集的概念，其特点是语言术语集的概率之和小于等于1。概率语言术语集更适合现实的决策情景，逐渐引起了学者们的广泛关注^［9］。

多粒度概率语言术语集是评估者进行评估的语言集之一^［10］。DU等^［11］提出了基于前景理论的多粒度概率语言决策分析方法；LIU等^［12］设计了多粒度概率语言环境下基于Choquet积分算子的群决策方法。本文采用多粒度概率语言术语集来表达决策者的评估值。

在群决策中，决策者权重的确定是一个复杂的问题^［13］，本文在提出的多粒度概率语言评价信息之间距离的基础上，给出群体共识性测度公式，基于此公式，对决策者的初始权重进行修正。

在决策分析过程中，属性权重的确定是一个重要步骤^{［8，14-20］}，本文基于提出的多粒度概率语言术语之间的距离，建立最优化模型来确定属性权重。

总之，本文的创新在于两个方面：（1）综合多粒度概率语言评价信息的均值、偏离度和犹豫度，提出多粒度概率语言术语间新的距离测度，在此基础上提出新的共识性测度；（2）提出基于新距离测度的广义TODIM（Interactive and Multi-Criteria Decision Making）方法，并在垃圾回收APP中应用，与现有方法进行比较分析，以验证所提出方法的可行性和有效性。

1 多粒度概率语言术语集距离

定义1^［8］ 令h_S^{\mathrm{1}}(p)=\{s^{\mathrm{1}(l)}(p_{\mathrm{1}}^{(l)})|l=\mathrm{1,2},\dots ,L_{\mathrm{1}}\}，h_S^{\mathrm{2}}(p)=\{s^{\mathrm{2}(l)}(p_{\mathrm{2}}^{(l)})\left|l=\mathrm{1,2},\dots ,L_{\mathrm{2}}\right.\}是两个规范的概率语言术语集（Probabilistic Linguistic Term Sets，PLTSs），且L_{\mathrm{1}}=L_{\mathrm{2}}，则h_S^{\mathrm{1}}(p)和h_S^{\mathrm{2}}(p)之间的距离定义为：

d_p(h_S^{\mathrm{1}}(p),h_S^{\mathrm{2}}(p))=\sqrt[]{{\displaystyle \sum _{l=\mathrm{1}}^{L_{\mathrm{1}}}}(p_{\mathrm{1}}^{(l)}{r}_{\mathrm{1}}^{(l)}-p_{\mathrm{2}}^{(l)}{r}_{\mathrm{2}}^{(l)}{)}^{\mathrm{2}}/L_{\mathrm{1}}},(1)

式中：r_{\mathrm{1}}^{(l)}和r_{\mathrm{2}}^{(l)}分别是语言术语s^{\mathrm{1}(l)}和s^{\mathrm{2}(l)}的下标。

然而，当两个PLTSs中每个语言术语下标与其概率的乘积都相等时，式（1）定义的距离公式不能正确测量两个概率语言术语集之间的偏离程度。

例1 设S=\{s_{\mathrm{0}},s_{\mathrm{1}},\cdots ,s_{\mathrm{5}}\}为选定的语言术语集，L_{\mathrm{1}}(p)=\{s_{\mathrm{0}}(\mathrm{0.4}),s_{\mathrm{1}}(\mathrm{0.3}),s_{\mathrm{3}}(\mathrm{0.3})\}和L_{\mathrm{2}}(p)=\{s_{\mathrm{0}}(\mathrm{0.625}),s_{\mathrm{2}}(\mathrm{0.15}),s_{\mathrm{4}}(\mathrm{0.225})\}是专家给出的基于S的两个概率语言术语集。由式（1）可得d(L_{\mathrm{1}}(p),L_{\mathrm{2}}(p)=\mathrm{0}。显然这两个概率语言术语集是不同的，其距离不应为0。

定义2^［21］ 设L_{\mathrm{1}}(p)和L_{\mathrm{2}}(p)是基于S的两个规范的概率语言术语集，且L_{\mathrm{1}}=L_{\mathrm{2}}，则两个概率语言术语集之间的Hamming距离为：

d_L(L_{\mathrm{1}}(p),L_{\mathrm{2}}(p))=({\displaystyle \sum _{l=\mathrm{1}}^{L_{\mathrm{1}}(p)}}|p_{\mathrm{1}}^{(l)}{r}_{\mathrm{1}}^{(l)}-p_{\mathrm{2}}^{(l)}{r}_{\mathrm{2}}^{(l)}|)/L_{\mathrm{1}}(p)\mathrm{。}(2)

由式（2）计算可得例1中的两个概率语言术语集之间的距离为d(L_{\mathrm{1}}(p),L_{\mathrm{2}}(p))=\mathrm{0}。显然这两个概率语言术语集是不同的，其距离也不应该为0。

针对上述距离公式不能准确度量概率语言术语集之间偏差的问题，ZHANG等^［22］提出了概率语言数据集之间的距离公式（式（3））。

定义3^［22］ 设L_{\mathrm{1}}(p)和L_{\mathrm{2}}(p)是基于S的两个概率语言术语集，则两个概率语言术语集之间的距离为：

d_Z(L_{\mathrm{1}}(p),L_{\mathrm{2}}(p))={\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^{L_{\mathrm{1}}(p)}}p(r_{\mathrm{1}k},r_{\mathrm{2}k})d(r_{\mathrm{1}k},r_{\mathrm{2}k}),(3)

式中：d(r_{\mathrm{1}k},r_{\mathrm{2}k})=(r_{\mathrm{1}k}-r_{\mathrm{2}k})/T，p(r_{\mathrm{1}k},r_{\mathrm{2}k})=p_{\mathrm{1}k}{p}_{\mathrm{2}k}，T是语言术语集S中概率语言术语的个数。

当两个概率语言术语集由相同的概率语言术语组成但其概率不同时，由式（3）计算得到的概率语言数据集之间的距离总是0，这是不合理的。

例2 设S=\{s_{\mathrm{0}},s_{\mathrm{1}},\cdots ,s_{\mathrm{5}}\}为选定的语言术语集，L_{\mathrm{1}}(p)=\{s_{\mathrm{1}}(\mathrm{0.5}),s_{\mathrm{3}}(\mathrm{0.3}),s_{\mathrm{5}}(\mathrm{0.2})\}和L_{\mathrm{2}}(p)=\{s_{\mathrm{1}}(\mathrm{0.4}),s_{\mathrm{3}}(\mathrm{0.55}),s_{\mathrm{5}}(\mathrm{0.05})\}是专家给出的S上的两个概率语言术语集。用式（3）计算可得其距离为0，然而L_{\mathrm{1}}(p)和L_{\mathrm{2}}(p)包含相同的语言术语，但其概率各不相同，因此其距离为0是不合理的。

2 决策矩阵共识性测度

2.1 改进的多粒度概率语言术语集距离测度

上述公式在有些情形下不能准确度量概率语言术语集之间距离的原因在于，其仅考虑了概率语言术语集的期望值，未充分考虑概率语言术语集之间偏差度和犹豫度。

基于此思想，首先提出概率语言术语集之间的相似度公式，在此基础上提出概率语言术语集之间的距离公式。

定义4 设S为选定的语言术语集，L_{\mathrm{1}}(p)和L_{\mathrm{2}}(p)是S上的两个概率语言术语集，则L_{\mathrm{1}}(p)和L_{\mathrm{2}}(p)之间的相似度定义如下：

\begin{array}{l}S(L_{\mathrm{1}}(p),L_{\mathrm{2}}(p))=[{\alpha }^{\mathrm{2}}r(s(L_i(p)))\times r(s(L_i(p)))+{\beta }^{\mathrm{2}}\sigma (L_{\mathrm{1}}(p))\sigma (L_{\mathrm{2}}(p))+{\gamma }^{\mathrm{2}}H(L_{\mathrm{1}}(p))H(L_{\mathrm{2}}(p))]/\\ [{\displaystyle \prod _{i=\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}(\mathrm{1}+{\alpha }^{\mathrm{2}}r(s(L_i{(p)))}^{\mathrm{2}}+\\ {\beta }^{\mathrm{2}}\sigma (L_i{(p))}^{\mathrm{2}}+{\gamma }^{\mathrm{2}}H(L_i{(p))}^{\mathrm{2}})]\end{array},(4)

式中：s(L_{\mathrm{1}}(p))、\sigma (L_{\mathrm{1}}(p))、H(L_{\mathrm{1}}(p))分别表示概率语言术语集的得分函数^［8］、偏离度^［8］和犹豫度测度^［16］；r(s(L_i(p)))(i=\mathrm{1,2})是s(L_i(p))(i=\mathrm{1,2})的下标；\alpha、\beta、\gamma为参数，分别用来控制概率语言术语集的得分函数、偏离度和犹豫度的重要性，满足\mathrm{0}\le \alpha ,\beta ,\gamma \le \mathrm{1}，\alpha +\beta +\gamma =\mathrm{1}。

由柯西不等式的性质可知，式（4）定义的相似度公式取值在0和1之间^［23］。

定义5 设S为选定的语言术语集。L_{\mathrm{1}}(p)和L_{\mathrm{2}}(p)是S上的两个概率语言术语集，其距离定义为：

d(L_{\mathrm{1}}(p),L_{\mathrm{2}}(p))=\mathrm{1}-S(L_{\mathrm{1}}(p),L_{\mathrm{2}}(p))\mathrm{。}（5）

与现有的距离公式相比，本文提出的改进概率语言术语集之间的距离公式，综合考虑了概率语言术语集的期望值及其偏离度和犹豫度信息，能够更科学地刻画概率语言术语集之间的差异。对于现有距离公式在某些情形下计算结果失真的问题，提出的距离公式也能较好克服。

对于例1中的语言术语集S=\{s_{\mathrm{0}},s_{\mathrm{1}},\cdots ,s_{\mathrm{5}}\}，设L_{\mathrm{1}}(p)=\{s_{\mathrm{0}}(\mathrm{0.4}),s_{\mathrm{1}}(\mathrm{0.3}),s_{\mathrm{3}}(\mathrm{0.3})\}和L_{\mathrm{2}}(p)=\{s_{\mathrm{0}}(\mathrm{0.5}),s_{\mathrm{2}}(\mathrm{0.15}),s_{\mathrm{4}}(\mathrm{0.225})\}为专家给出的两个概率语言术语集，利用式（2）和式（3）计算得，

d_L(L_{\mathrm{1}}(p),L_{\mathrm{2}}(p))=\mathrm{0}，

d_Z(L_{\mathrm{1}}(p),L_{\mathrm{2}}(p))=\mathrm{0}。

假设\alpha =\beta =\gamma =\mathrm{1}/\mathrm{3}，利用式（4）计算得d(L_{\mathrm{1}}(p),L_{\mathrm{2}}(p))=\mathrm{0.191}\mathrm{2}，可见本文提出的新距离公式能有效克服现有公式的缺陷。

对于S=\{s_{\mathrm{0}},s_{\mathrm{1}},\cdots ,s_{\mathrm{5}}\}上的概率语言术语集L_{\mathrm{1}}(p)=\{s_{\mathrm{1}}(\mathrm{0.35}),s_{\mathrm{3}}(\mathrm{0.25}),s_{\mathrm{5}}(\mathrm{0.4})\}和L_{\mathrm{2}}(p)=\{s_{\mathrm{1}}(\mathrm{0.4}),s_{\mathrm{3}}(\mathrm{0.1}),s_{\mathrm{5}}(\mathrm{0.5})\}。利用式（3）可得d(L_{\mathrm{1}}(p),L_{\mathrm{2}}(p))=\mathrm{0}，而用式（5）计算可得d(L_{\mathrm{1}}(p),L_{\mathrm{2}}(p))=\mathrm{0.109}\mathrm{4}，可见在某些情形下本文提出的新距离公式能更有效地区分不同的概率语言术语集所包含的信息差异。

2.2 决策矩阵共识性测度

共识性测度可用来测量多粒度概率语言术语集之间的一致性以及决策矩阵间的一致性，根据提出的多粒度概率语言术语集间的距离测度分别定义如下。

定义6 设L_{\mathrm{1}}(p)和L_{\mathrm{2}}(p)为基于语言术语集的任意多粒度概率语言术语集，它们之间的共识性测度定义为：

C(L_{\mathrm{1}}(p),L_{\mathrm{2}}(p))=S(L_{\mathrm{1}}(p),L_{\mathrm{2}}(p))\mathrm{。}(6)

定义7 针对某个决策问题，设确定了m个备选方案A_i(i=\mathrm{1},\dots ,m)，每个备选方案根据n个属性C_j(j=\mathrm{1},\dots ,n)进行评估，共有e个专家E_l(l=\mathrm{1},\dots ,e)参与评估。

设{\mathit{D}}^l=[L_{ij}^l{(p)]}_{m\times n}(l=\mathrm{1},\dots ,e)为e个专家给出的决策矩阵，则第l个专家给出的第i方案关于第j个准则的共识性指标C_{ij}^l定义为：

C_{ij}^l=\frac{\mathrm{1}}{e}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^e}C(L_{ij}^l(p),L_{ij}^k(p))\mathrm{。}(7)

定义8 第l(l=\mathrm{1},\dots ,e)个专家的群体共识性指标定义为：

C^l=\frac{\mathrm{1}}{emn}{\displaystyle \sum _{l=\mathrm{1}}^e}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^e}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^m}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}C(L_{ij}^l(p),L_{ij}^k(p))\mathrm{。}（8）

定义9 设{\mathit{D}}^l=[L_{ij}^l{(p)]}_{m\times n}(l=\mathrm{1},\dots ,e)为e个专家给出的决策矩阵，第i方案关于第j个准则的群体共识性指标C_{ij}^c定义为：

C_{ij}^c=\frac{\mathrm{1}}{e}{\displaystyle \sum _{l=\mathrm{1}}^e}{C}_{ij}^l\mathrm{。}（9）

定义10 设{\mathit{D}}^l=[L_{ij}^l{(p)]}_{m\times n}(l=\mathrm{1},\dots ,e)为e个专家给出的决策矩阵，则e个专家之间的群体共识性指标定义为：

C^c=\frac{\mathrm{1}}{emn}{\displaystyle \sum _{l=\mathrm{1}}^e}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^m}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{C}_{ij}^l\mathrm{。}（10）

设w=(w_{\mathrm{1}},w_{\mathrm{2}},\dots ,w_e)为根据专家们的知识结构、资历等给出的e个专家的初始权重，在求取各专家个体决策矩阵后，可利用式（11）根据个体决策矩阵的共识性水平对专家们的权重进行修正：

w_k^r=\lambda w_k+(\mathrm{1}-\lambda )C^k/{\displaystyle \sum _{l=\mathrm{1}}^e}{C}^l,（11）

式中：\lambda为参数，满足\mathrm{0}\le \lambda \le \mathrm{1}；w^k(k=\mathrm{1},\dots ,e)为给专家预设的权重。

定义11 设E_l(l=\mathrm{1},\dots ,e)为e个评估专家，其权重为w_l(l=\mathrm{1},\dots ,e)，满足\mathrm{0}\le w_l\le \mathrm{1},{\displaystyle \sum _{l=\mathrm{1}}^n}{w}_l=\mathrm{1}。由个体决策矩阵

{\mathit{D}}^l=[L_{ij}^l{(p)]}_{m\times n}(l=\mathrm{1},\dots ,e),

得到群体决策矩阵为：

\begin{array}{l}{\mathit{D}}^g=[L_{ij}^g{(p)]}_{m\times n},\\ L_{ij}^g(p)=\{L^x(p^x)\left|L^x\right.\in S,p^x={\displaystyle \sum _{l=\mathrm{1}}^X}{w}_l{q}_l^x\}\mathrm{。}\end{array}（12）

3 基于群体共识性测度的多粒度概率语言广义TODIM方法

3.1 基于改进优势度的广义TODIM决策方法

在决策过程中，专家具有有限理性^［24］。在前景理论^［25］基础上发展起来的TODIM方法，以决策者的有限理性为决策基础，充分考虑决策者在面对风险时对于收益和损失的不同态度对决策过程以及决策结果的影响，受到了学者的广泛关注^［26］。LLAMAZARES^［27］研究发现传统的TODIM方法计算步骤复杂且有两个悖论，提出了广义TODIM方法，对原有步骤进行了简化，并克服了两个悖论。基于所提出的新距离公式，把广义TODIM方法拓展到多粒度概率语言环境，具体步骤如下：

步骤1 各专家利用多粒度概率语言术语集，根据各个属性对所有方案进行评估，得到个体决策矩阵{\mathit{D}}^l=[L_{ij}^l{(p)]}_{m\times n}(l=\mathrm{1},\dots ,e)。选择粒度最大的概率语言术语集作为基准概率语言术语集，把基于其他粒度概率语言术语集的个体决策矩阵转化为基于基准概率语言术语集的个体决策矩阵，仍记为{\mathit{D}}^l=[L_{ij}^l{(p)]}_{m\times n}(l=\mathrm{1},\dots ,e)，设共识性测度指标临界值为{\alpha }_{\mathrm{0}}=\mathrm{0.90}^［20］，求取各专家个体决策矩阵的共识性测度指标。

如果每个专家的个体决策矩阵均满足共识性测度要求，就转入下一步。如果存在某一位专家的个体决策矩阵不满足共识性测度要求，就提供建议，让这位专家对个体决策矩阵进行修改，直至所有个体决策矩阵都满足共识性测度为止，然后才转入下一步。

步骤2 基于群体决策矩阵，分别算出在每个属性c_j(j=\mathrm{1,2},\dots ,n)下方案A_i相对于所有方案A_s的单优势度{\Phi }_j(A_i,A_s)，从而进一步得到在属性c_j(j=\mathrm{1,2},\dots ,n)下所有方案的单优势度矩阵[{\Phi }_j(A_i,A_s{)]}_{m\times m}：

（13）

式中：L_{ij}(p)为群体决策矩阵中方案A_i在属性c_j下的评估值；g_{\mathrm{1}},g_{\mathrm{2}}:(\mathrm{0,1})\to {\mathbf{R}}^{+};f_{\mathrm{1}},f_{\mathrm{2}}:(\mathrm{0,1})\to {\mathbf{R}}^{+}，且f_{\mathrm{1}}(\mathrm{0})=f_{\mathrm{2}}(\mathrm{0})=\mathrm{0}。

步骤3 利用式（14）计算方案A_i相对于所有方案A_s的优势度\Phi (A_i,A_s)，得到方案A_i相对于所有方案A_s的优势度矩阵[\Phi (A_i,A_s{)]}_{m\times m}，其中

\Phi (A_i,A_s)={\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{\Phi }_j(A_i,A_s)\mathrm{。}（14）

步骤4 利用式（15）计算每一个方案A_i(i=\mathrm{1,2},\dots ,m)的总优势度\Phi (A_i)(i=\mathrm{1,2},\dots ,m)，并根据方案的总优势度，按照从大到小的顺序对方案进行排序。

\Phi (A_i)={\displaystyle \sum _{s=\mathrm{1}}^e}\Phi (A_i,A_s)\mathrm{。}（15）

广义TODIM简化了传统TODIM的应用步骤，使其更加简洁，且解决了传统TODIM的两个悖论。在下面的案例^［27］中，取f_{\mathrm{1}}(x)=x^{\alpha },f_{\mathrm{2}}(x)=\lambda x^{\beta }，其中\alpha =\beta =\mathrm{0.88},\lambda =\mathrm{2.25}，即：

（16）

3.2 问题描述

考虑多粒度概率语言多属性群决策问题。针对某个具体问题，经过专家初选，设确定了m个备选方案A_i(i=\mathrm{1,2},\dots ,m)，每个备选方案根据n个属性C_j(j=\mathrm{1,2},\dots ,n)进行评估，准则权重为w_j(j=\mathrm{1,2},\dots ,n)，且满足

\mathrm{0}\le w_j\le \mathrm{1},{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{w}_j=\mathrm{1}，

共有e个专家E_l(l=\mathrm{1,2},\dots ,e)参与，专家们的初始权重向量为\mathit{\omega }=({\omega }_{\mathrm{1}},{\omega }_{\mathrm{2}},\dots ,{\omega }_n{)}^{\mathrm{T}}，满足{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{\omega }_j=\mathrm{1}和{\omega }_j\in [\mathrm{0,1}]。每个专家根据某一粒度的概率语言术语集，针对各个属性对所有备选方案进行评价，得到个体决策矩阵{\mathit{D}}^l=[L_{ij}^l{(p)]}_{m\times n}(i=\mathrm{1},\dots ,m;j=\mathrm{1},\dots ,n;l=\mathrm{1},\dots ,e)，其中L_{ij}^l(p)为专家l给出的备选方案i在属性j下的个体评估值。

3.3 决策具体步骤

步骤1 识别决策者集合DM=\{E_{\mathrm{1}},\dots ,E_l\}，属性集合C=\{C_{\mathrm{1}},\dots ,C_n\}和方案集合A=\{A_{\mathrm{1}},\dots ,A_m\}，获取属性权重{\omega }_j(j=\mathrm{1,2},\dots ,n)。

步骤2 建立多粒度概率语言决策矩阵

\mathit{D}=[L_{ij}^l{(p)]}_{m\times n}。

步骤3 统一粒度，利用规范化原则使评估信息中语言术语的个数相等^［18］。

步骤4 建立规范化的概率语言决策分析矩阵，仍记为\mathit{D}=[L_{ij}^l{(p)]}_{m\times n}。

步骤5 基于定义11集结个体决策矩阵{\mathit{D}}^l=[L_{ij}^l{(p)]}_{m\times n}(l=\mathrm{1,2},\dots ,e)为群体决策矩阵{\mathit{D}}^g=[L_{ij}^g{(p)]}_{m\times n}。

步骤6 专家组成员协商给出群体共识性测度和每个专家的共识性测度的下界值{\epsilon }_{\mathrm{0}}。根据式（10）计算出相应数值。若C^c\ge {\epsilon }_{\mathrm{0}}，则称决策问题满足群体共识性测度要求。

步骤7 用式（8）计算每个专家的共识性测度。若所有个体决策矩阵都满足群体共识性测度要求，则利用式（11）对专家的初始权重w进行修正，然后转步骤9；否则，识别不满足群体共识性测度要求的个体决策矩阵{\mathit{D}}^l(l=e_{i_{\mathrm{1}}},e_{i_{\mathrm{2}}},\dots ,e_{i_f})，转到步骤8。

步骤8 与不满足群体共识性测度的专家进行交流，给出信息修改建议。若专家愿意亲自调整，则获取其修改后的决策矩阵，转步骤6。若专家不愿意亲自调整，则利用下面的式（17a）和式（17b）对其权重进行修正。

w_l^{\text{'}}=w_l\times C(D^l,D^g)/{\displaystyle \sum _{l=\mathrm{1}}^e}C(D^l,D^g),（17a）

{w_l}^r=w_l^{\text{'}}/{\displaystyle \sum _{l=\mathrm{1}}^e}{w}_l^{\text{'}},（17b）

式中：l=\mathrm{1,2},\dots ,e\mathrm{。}

步骤9 此时所有专家的个体决策矩阵都满足群体共识性测度要求。利用定义11中的方法对个体决策矩阵进行集结，得到可接受群体决策矩阵{\mathit{D}}^c=[L_{ij}^c{(p)]}_{m\times n}。

步骤10 群决策中，群体共识性水平越高，则决策越令人信服，从而更容易推进。根据此原理，建立下面的最优化模型来获取属性权重。

\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1},k\ne i}^m}G(L_{ij}^c(p),L_{kj}^c(p))w_j（18）

\mathrm{s}.\mathrm{t}.

{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^n}{w}_j=\mathrm{1},w_j\ge \mathrm{0}\mathrm{。}

步骤11 基于达到群体共识性要求的群体决策矩阵和准则权重，利用3.1节中给出的基于改进优势度的广义TODIM决策方法对备选方案进行排序择优。

4 算例分析

根据手机应用商店中垃圾分类回收APP的下载量，确定备选方案，分别为小黄狗A_{\mathrm{1}}、爱回收A_{\mathrm{2}}、章鱼回收A_{\mathrm{3}}和蚂上回收A_{\mathrm{4}}。小黄狗和章鱼回收设有线下垃圾回收箱，居民可就近选择垃圾回收箱，分类投放垃圾；爱回收和蚂上回收需要线上预订，回收人员提供上门垃圾回收服务。5个属性为技术特征C_{\mathrm{1}}、界面设计C_{\mathrm{2}}、APP安全性C_{\mathrm{3}}、回收价格及种类C_{\mathrm{4}}和APP服务质量C_{\mathrm{5}}。专家们采用合适粒度的概率语言术语集对备选方案进行评价。计算机领域、设计领域和回收领域专家的权重为\{w_{\mathrm{1}}=\mathrm{0.5},w_{\mathrm{2}}=\mathrm{0.1},w_{\mathrm{3}}=\mathrm{0.4}\}。在上述条件下，对各个垃圾分类回收APP进行评估^［28］。

4.1 算法的应用

步骤1 专家E_{\mathrm{1}}选择5粒度的概率语言术语集，专家E_{\mathrm{2}}选择7粒度的概率语言术语集，专家E_{\mathrm{3}}选择9粒度的概率语言术语集进行评估，给出多粒度概率语言决策矩阵，如表1所示。

步骤2 选择9粒度的概率语言术语集为基本概率语言术语集。把专家E_{\mathrm{1}}给出的基于5粒度概率语言术语集S^{\mathrm{2}}的决策矩阵和专家E_{\mathrm{2}}给出的基于7粒度概率语言术语集S^{\mathrm{3}}的决策矩阵转换为基于9粒度概率语言术语集的决策矩阵^［18］。

步骤3 利用式（12）把专家的个体决策矩阵集结为群体决策矩阵。

步骤4 专家组成员协商给出共识性测度的下界值{\epsilon }_{\mathrm{0}}=\mathrm{0.9}。根据式（10）计算可得决策问题群体共识性测度指标值为C^c=\mathrm{0.944}\mathrm{9}。3位专家的个体共识性指标分别为C^{\mathrm{1}}=\mathrm{0.939}\mathrm{3}，C^{\mathrm{2}}=\mathrm{0.956}\mathrm{9}，C^{\mathrm{3}}=\mathrm{0.938}\mathrm{4}，3位专家的个体决策矩阵满足群体共识性测度要求。根据式（11）对各专家的初始权重进行修正，得修正后的专家权重为w=\{\mathrm{0.499}\mathrm{3,0.101}\mathrm{7,0.399}\mathrm{0}\}。

步骤5 利用最优化模型（18）求取属性权重为：w=(\mathrm{0.311}\mathrm{1,0.167}\mathrm{6,0.234}\mathrm{2,0.130}\mathrm{0,0.157}\mathrm{1})。

步骤6 利用3.1节中提出的多粒度概率语言环境下的广义TODIM方法来求取方案的综合优势度。首先利用式（13）求取方案之间在属性C_j下的相对优势度。

步骤7 根据式（14），计算4个方案之间的相对优势度。由式（15）求得方案的综合优势度为：

\Phi (A_{\mathrm{1}})=-\mathrm{0.073}\mathrm{6}，\Phi (A_{\mathrm{2}})=-\mathrm{0.059}\mathrm{3}，

\Phi (A_{\mathrm{3}})=-\mathrm{0.033}\mathrm{3}，\Phi (A_{\mathrm{4}})=\mathrm{0.005}\mathrm{5}。

因此，APP排名顺序为：蚂上回收>章鱼回收>爱回收>小黄狗。

4.2 对比分析

为验证所提出的基于共识性测度的多粒度概率语言决策方法的合理性和可行性，把本文方法与张燕等^［29］传统的TODIM方法、马艳芳等^［28］基于前景理论的TODIM方法、FANG等^［30］基于前景理论的TOPSIS方法作比较。

本文方法的排序结果与马艳芳等^［28］和FANG等方法^［30］排序结果一致，这3种方法与张燕等^［29］的传统TODIM方法排序结果存在差异，说明本文所提方法的结果是可靠的，技术是可行有效的。本文所提方法的主要优点是同时考虑了多粒度概率语言评价术语集的均值、偏离度和犹豫度的新距离测度。

5 结束语

给出了综合考虑多粒度概率语言评价信息期望值、偏离度和犹豫度的新距离测度，在此基础上定义了测量个体决策矩阵与群体决策矩阵之间一致性的共识性测度指标；在改进优势度公式的广义TODIM方法基础上，给出了基于群体一致性测度的多粒度概率语言多属性决策分析方法程序。

创新之处：（1）提出了综合考虑多粒度概率语言评价信息期望值、偏离度和犹豫度的更合理的多粒度概率语言评价信息的距离公式；（2）提出了新的更合理的群体共识性测度；（3）提出了基于距离测度的多粒度概率语言环境下的广义TODIM多属性决策分析程序。

所提出的方法也适合于解决其他问题，比如超市食品供应链选择等。另外，人们的思维具有可变性，下一步将把研究聚焦于多阶段或动态多粒度概率语言多属性决策问题，研究相应的多粒度概率语言决策模型。

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基金资助

国家社会科学基金项目(18BJY153)