带有时空时滞的混合扩散竞争系统的行波解

Traveling Wave Solutions for Mixed Diffusive Competition Systems with Spatio-temporal Delays

摘要

本文主要研究一类带有时空时滞的混合扩散竞争系统行波解的存在性。首先，为了消除时空时滞的影响，根据时空时滞中核函数的特性，把带有时空时滞的由两个方程耦合而成的扩散系统转化为无时滞的由四个方程耦合而成的扩散系统。其次，通过变换将系统转化为单调系统。最后，利用上下解方法和不动点定理证明行波解的存在性。

关键词

反应扩散系统 / 上下解 / 非局部时滞

Key words

reaction diffusion system / super- and sub-solutions / nonlocal delays

0 引言

在实际问题中，如果考虑两个不同种群在同一个环境下生活，随着时间的演化，由于环境承载力有限，这两个种群之间会产生相互竞争，这种竞争关系可用经典的Lotka-Volterra反应扩散竞争系统刻画，但经典的反应扩散系统无法反映种群在某一位置某一时刻的密度受之前时刻密度的影响，为此，在原有系统中引入了离散时滞，有限分布时滞等。Britton^［1-2］在此基础上进一步提出了时空时滞，即一类非局部时滞，这类时滞可以更好地解决建模中扩散和时滞的相互独立性，并具有重要的生物意义，同时，研究离散时滞系统行波解存在性的方法无法直接应用于研究带有时空时滞系统行波解的存在性，因此，时空时滞的引入也带来数学研究上的新困难。基于此，本文将克服时空时滞的影响并研究如下Lotka-Volterra混合扩散竞争系统行波解的存在性，

\left\{\begin{array}{l}(u_{\mathrm{1}}{)}_t=(u_{\mathrm{1}}{)}_{xx}+u_{\mathrm{1}}(\mathrm{1}-u_{\mathrm{1}}-a_{\mathrm{1}}K\mathrm{*}{u}_{\mathrm{2}}),\\ (u_{\mathrm{2}}{)}_t=d (J\mathrm{*}{u}_{\mathrm{2}}-u_{\mathrm{2}})+r{u}_{\mathrm{2}}(\mathrm{1}-a_{\mathrm{2}}{u}_{\mathrm{1}}-u_{\mathrm{2}}),\end{array}\right. （1）

其中 u_i ( i = \mathrm{1} , \mathrm{2} )为种群密度， a_{\mathrm{1}} , a_{\mathrm{2}} , d , r为正常数，满足假设

（A₁） ，

核函数 J满足如下假设

（A₂） J \in C ( R )， J ( x ) = J ( - x ) \ge \mathrm{0}， x \in R， {\int }_R^{} J(x)dx=\mathrm{1}， ， i = \mathrm{1,2} , \mathrm{3}， \lambda \in R，

核函数 K为 K ( x , t ) = G ( x , t ) k ( t ) , G ( x , t ) = \frac{\mathrm{1}}{\sqrt[]{\mathrm{4}\mathrm{\pi }t}} {\mathrm{e}}^{-\frac{x^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}t}} , k ( t ) = \frac{t}{{\tau }^{\mathrm{2}}} {\mathrm{e}}^{-\frac{t}{\tau }} , \tau > \mathrm{0}为时滞，卷积 K \mathrm{*} u_{\mathrm{2}}为 ( K \mathrm{*} u_{\mathrm{2}} ) ( x , t ) = {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }} {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{t}K(x-y,t-s)u_{\mathrm{2}}(y,s)\mathrm{d}s\mathrm{d}y，不难验证，函数 G ( x , t )满足初值问题 \left\{\begin{array}{l}{G}_t=G_{xx},\\ G(x,\mathrm{0})=\mathrm{\delta }(x),\end{array}\right.其中 \mathrm{\delta } ( x )为Dirac函数，并且 {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }} {\int }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}K(x,t)\mathrm{d}t\mathrm{d}x=\mathrm{1}， \underset{\tau \to \mathrm{0}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}} ( K \mathrm{*} u_{\mathrm{2}} ) ( x , t ) = u_{\mathrm{2}} ( x , t )。

当 J ( x ) = \mathrm{\delta } ( x ) - \mathrm{\delta } \mathrm{\text{'}} \mathrm{\text{'}} ( x )时，其中， \mathrm{\delta } ( x )为Dirac函数，系统（1）变成

\left\{\begin{array}{l}(u_{\mathrm{1}}{)}_t=(u_{\mathrm{1}}{)}_{xx}+u_{\mathrm{1}}(\mathrm{1}-u_{\mathrm{1}}-a_{\mathrm{1}}K\mathrm{*}{u}_{\mathrm{2}}),\\ (u_{\mathrm{2}}{)}_t=d (u_{\mathrm{2}}{)}_{xx}+r{u}_{\mathrm{2}}(\mathrm{1}-a_{\mathrm{2}}{u}_{\mathrm{1}}-u_{\mathrm{2}})\mathrm{。}\end{array}\right. （2）

进一步，当 \mathrm{\tau } \to {\mathrm{0}}^{+}时，系统（2）变成经典的Lotka-Volterra反应扩散竞争系统，

\left\{\begin{array}{l}(u_{\mathrm{1}}{)}_t=(u_{\mathrm{1}}{)}_{xx}+u_{\mathrm{1}}(\mathrm{1}-u_{\mathrm{1}}-a_{\mathrm{1}}{u}_{\mathrm{2}}),\\ (u_{\mathrm{2}}{)}_t=d (u_{\mathrm{2}}{)}_{xx}+r{u}_{\mathrm{2}}(\mathrm{1}-a_{\mathrm{2}}{u}_{\mathrm{1}}-u_{\mathrm{2}})\mathrm{。}\end{array}\right. （3）

当假设 ( {\mathrm{A}}_{\mathrm{1}} )成立时，系统（3）有三个非负平衡点（0，0），（1，0），（0，1），并且在对应的常微分系统中，（1，0）是稳定的，（0，1）是不稳定的。因此，自然考虑种群 u_{\mathrm{1}}入侵种群 u_{\mathrm{2}}，而这一入侵现象可以用系统（1）—（3）连结（0，1）和（1，0）的行波解表示。对于系统（3）连结（0，1）和（1，0）的行波解存在性研究已有大量结果，可参考文献［3-4］等。

当 K \left(x,t\right) = G \left(x,t\right) k ( t )， k ( t ) = \frac{\mathrm{1}}{\tau } {\mathrm{e}}^{-\frac{t}{\tau }}时，此时，核函数称为弱核^［5］。当 d = \mathrm{1}时，Hou等^［6］利用单调迭代的方法证明了系统（2）连结（0，1）和（1，0）的行波解的存在性。之后，当 d > \mathrm{0}时，Chang等^［7］利用上下解方法和谱分析方法证明了行波解的存在性和稳定性。进一步，对于带有混合扩散的系统（1），Hao和Zhang^［8］利用上下解方法和加权能量方法证明了行波解的存在性和稳定性。当 K ( x , t ) = G ( x , t ) k ( t )， k ( t ) = \frac{t}{{\tau }^{\mathrm{2}}} {\mathrm{e}}^{-\frac{t}{\tau }}时，核函数称为强核^［5］，系统（2）连结（0，1）和（1，0）的行波解的相关研究可以参考文献［9］。对于时滞系统的行波解存在性的研究可以参考文献［10-12］。

受文献［5-9］的启发，在本文，当核函数为强核时，我们采用文献［7］的上下解构造方法证明系统（1）连接（0，1）和（1，0）的行波解的存在性。为此，令

v_{\mathrm{1}} ( x , t ) = {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }} {\int }_{-\mathrm{\infty }}^t\frac{\mathrm{1}}{\tau \sqrt[]{\mathrm{4}\mathrm{\pi }(t-s)}}{\mathrm{e}}^{-\frac{{(x-y)}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}(t-s)}}{\mathrm{e}}^{-\frac{t-s}{\tau }}{u}_{\mathrm{2}}(y,s)\mathrm{d}s\mathrm{d}y，

v_{\mathrm{2}} ( x , t ) = {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }} {\int }_{-\mathrm{\infty }}^t\frac{\sqrt[]{t-s}}{{\tau }^{\mathrm{2}}\sqrt[]{\mathrm{4}\mathrm{\pi }}}{\mathrm{e}}^{-\frac{{(x-y)}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}(t-s)}}{\mathrm{e}}^{-\frac{t-s}{\tau }}{u}_{\mathrm{2}}(y,s)\mathrm{d}s\mathrm{d}y。

不难验证 v_{\mathrm{1}}， v_{\mathrm{2}}满足

( v_{\mathrm{1}} {)}_t = ( v_{\mathrm{1}} {)}_{xx} + \frac{\mathrm{1}}{\tau } ( u_{\mathrm{2}} - v_{\mathrm{1}} )， ( v_{\mathrm{2}} {)}_t = ( v_{\mathrm{2}} {)}_{xx} + \frac{\mathrm{1}}{\tau } ( v_{\mathrm{1}} - v_{\mathrm{2}} )。

为方便起见，令 \rho = \frac{\mathrm{1}}{\tau }。因此，系统（1）连结（0，1）和（1，0）的行波解等价于系统

\left\{\begin{array}{l}(u_{\mathrm{1}}{)}_t=(u_{\mathrm{1}}{)}_{xx}+u_{\mathrm{1}}(\mathrm{1}-u_{\mathrm{1}}-a_{\mathrm{1}}{v}_{\mathrm{2}}),\\ (u_{\mathrm{2}}{)}_t=d (J\mathrm{*}{u}_{\mathrm{2}}-u_{\mathrm{2}})+r{u}_{\mathrm{2}}(\mathrm{1}-a_{\mathrm{2}}{u}_{\mathrm{1}}-u_{\mathrm{2}}),\\ (v_{\mathrm{1}}{)}_t=(v_{\mathrm{1}}{)}_{xx}+\rho (u_{\mathrm{2}}-v_{\mathrm{1}}),\\ (v_{\mathrm{2}}{)}_t=(v_{\mathrm{2}}{)}_{xx}+\rho (v_{\mathrm{1}}-v_{\mathrm{2}})\end{array}\right. （4）

连结（0，1，1，1）和（1，0，0，0）的行波解。

令 {\tilde{u}}_{\mathrm{1}} = u_{\mathrm{1}}， {\tilde{u}}_{\mathrm{2}} = \mathrm{1} - u_{\mathrm{2}}， {\tilde{v}}_{\mathrm{1}} = \mathrm{1} - v_{\mathrm{1}}， {\tilde{v}}_{\mathrm{2}} = \mathrm{1} - v_{\mathrm{2}}，将其代入系统（4）并省略掉“~”，可得到如下等价的合作系统，

\left\{\begin{array}{l}(u_{\mathrm{1}}{)}_t=(u_{\mathrm{1}}{)}_{xx}+u_{\mathrm{1}}(\mathrm{1}-a_{\mathrm{1}}-u_{\mathrm{1}}+a_{\mathrm{1}}{v}_{\mathrm{2}}),\\ (u_{\mathrm{2}}{)}_t=d (J\mathrm{*}{u}_{\mathrm{2}}-u_{\mathrm{2}})+r(\mathrm{1}-u_{\mathrm{2}})(a_{\mathrm{2}}{u}_{\mathrm{1}}-u_{\mathrm{2}}),\\ (v_{\mathrm{1}}{)}_t=(v_{\mathrm{1}}{)}_{xx}+\rho (u_{\mathrm{2}}-v_{\mathrm{1}}),\\ (v_{\mathrm{2}}{)}_t=(v_{\mathrm{2}}{)}_{xx}+\rho (v_{\mathrm{1}}-v_{\mathrm{2}})\mathrm{。}\end{array}\right. （5）

从而，系统（4）连接（0，1，1，1）和（1，0，0，0）的行波解等价于系统（5）连结（0，0，0，0）和（1，1，1，1）的行波解。系统（5）连结（0，0，0，0）和（1，1，1，1）的行波解是指满足如下条件的系统（5）的解

( u_{\mathrm{1}} , u_{\mathrm{2}} , v_{\mathrm{1}} , v_{\mathrm{2}} ) ( x , t ) = ( {\phi }_{\mathrm{1}} ( \xi ) , {\phi }_{\mathrm{2}} ( \xi ) , {\phi }_{\mathrm{3}} ( \xi ) , {\phi }_{\mathrm{4}} ( \xi ) )， \xi = x + c t，

\left\{\begin{array}{l}{\phi }_{\mathrm{1}}^{″}-c{\phi }_{\mathrm{1}}^{\text{'}}+{\phi }_{\mathrm{1}}(\mathrm{1}-a_{\mathrm{1}}-{\phi }_{\mathrm{1}}+a_{\mathrm{1}}{\phi }_{\mathrm{4}})=\mathrm{0},\\ d(J\mathrm{*}{\phi }_{\mathrm{2}}-{\phi }_{\mathrm{2}})-c{\phi }_{\mathrm{2}}^{\text{'}}+r(\mathrm{1}-{\phi }_{\mathrm{2}})(a_{\mathrm{2}}{\phi }_{\mathrm{1}}-{\phi }_{\mathrm{2}})=\mathrm{0},\\ {\phi }_{\mathrm{3}}^{″}-c{\phi }_{\mathrm{3}}^{\text{'}}+\rho ({\phi }_{\mathrm{2}}-{\phi }_{\mathrm{3}})=\mathrm{0},\\ {\phi }_{\mathrm{4}}^{″}-c{\phi }_{\mathrm{4}}^{\text{'}}+\rho ({\phi }_{\mathrm{3}}-{\phi }_{\mathrm{4}})=\mathrm{0},\end{array}\right. （6）

\underset{\xi \to -\mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}} ( {\phi }_{\mathrm{1}} , {\phi }_{\mathrm{2}} , {\phi }_{\mathrm{3}} , {\phi }_{\mathrm{4}} ) = ( \mathrm{0,0} , \mathrm{0,0} ) ≔ \mathrm{0}， \underset{\xi \to +\mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}} ( {\phi }_{\mathrm{1}} , {\phi }_{\mathrm{2}} , {\phi }_{\mathrm{3}} , {\phi }_{\mathrm{4}} ) = ( \mathrm{1,1} , \mathrm{1,1} ) ≔ \mathrm{1}。（7）

在下文，不失一般性，系统（5）的行波解是指边值问题（6）—公式（7）的解。

在本文中，我们采用 R^n中标准序，即对于向量 \mathit{x} = ( x_{\mathrm{1}} , x_{\mathrm{2}} , \cdots , x_n )， \mathit{y} = ( y_{\mathrm{1}} , y_{\mathrm{2}} , \cdots , y_n ) \in R^n，如果 x_i \le y_i， i = \mathrm{1} , \mathrm{2} , \cdots , n，那么 \mathit{x} \le \mathit{y}；如果 \mathit{x} \le \mathit{y}，并且存在一个 i使得 ，那么 。

1 准备工作

在本节中，我们给出基本的定义与引理。为了定义和验证系统（6）的上下解，令

F ( {\phi }_{\mathrm{1}} , {\phi }_{\mathrm{2}} , {\phi }_{\mathrm{3}} , {\phi }_{\mathrm{4}} ) = \left(F_{\mathrm{1}}({\phi }_{\mathrm{1}},{\phi }_{\mathrm{2}},{\phi }_{\mathrm{3}},{\phi }_{\mathrm{4}}),F_{\mathrm{2}}({\phi }_{\mathrm{1}},{\phi }_{\mathrm{2}},{\phi }_{\mathrm{3}},{\phi }_{\mathrm{4}}),F_{\mathrm{3}}({\phi }_{\mathrm{1}},{\phi }_{\mathrm{2}},{\phi }_{\mathrm{3}},{\phi }_{\mathrm{4}}),F_{\mathrm{4}}({\phi }_{\mathrm{1}},{\phi }_{\mathrm{2}},{\phi }_{\mathrm{3}},{\phi }_{\mathrm{4}})\right) { }^{\mathrm{T}}，

其中

F_{\mathrm{1}} ( {\phi }_{\mathrm{1}} , {\phi }_{\mathrm{2}} , {\phi }_{\mathrm{3}} , {\phi }_{\mathrm{4}} ) = {\phi }_{\mathrm{1}}^{″} - c {\phi }_{\mathrm{1}}^{\text{'}} + {\phi }_{\mathrm{1}} ( \mathrm{1} - a_{\mathrm{1}} - {\phi }_{\mathrm{1}} + a_{\mathrm{1}} {\phi }_{\mathrm{4}} ) ,

F_{\mathrm{2}} ( {\phi }_{\mathrm{1}} , {\phi }_{\mathrm{2}} , {\phi }_{\mathrm{3}} , {\phi }_{\mathrm{4}} ) = d ( J \mathrm{*} {\phi }_{\mathrm{2}} - {\phi }_{\mathrm{2}} ) - c {\phi }_{\mathrm{2}}^{\text{'}} + r ( \mathrm{1} - {\phi }_{\mathrm{2}} ) ( a_{\mathrm{2}} {\phi }_{\mathrm{1}} - {\phi }_{\mathrm{2}} ) ,

F_{\mathrm{3}} ( {\phi }_{\mathrm{1}} , {\phi }_{\mathrm{2}} , {\phi }_{\mathrm{3}} , {\phi }_{\mathrm{4}} ) = {\phi }_{\mathrm{3}}^{″} - c {\phi }_{\mathrm{3}}^{\text{'}} + \rho ( {\phi }_{\mathrm{2}} - {\phi }_{\mathrm{3}} ) ,

F_{\mathrm{4}} ( {\phi }_{\mathrm{1}} , {\phi }_{\mathrm{2}} , {\phi }_{\mathrm{3}} , {\phi }_{\mathrm{4}} ) = {\phi }_{\mathrm{4}}^{″} - c {\phi }_{\mathrm{4}}^{\text{'}} + \rho ( {\phi }_{\mathrm{3}} - {\phi }_{\mathrm{4}} )。

现在，我们给出系统（6）上下解的定义。

定义1 如果向量函数 \overline{\mathit{\phi }} ( \xi ) = \left({\overline{\phi }}_{\mathrm{1}}(\xi ),{\overline{\phi }}_{\mathrm{2}}(\xi ),{\overline{\phi }}_{\mathrm{3}}(\xi ),{\overline{\phi }}_{\mathrm{4}}(\xi )\right)在 R上连续，除有限点 {\xi }_i外， \mathrm{1} \le i \le k， 满足

F ( \overline{\mathit{\phi }} ) \le \mathrm{0}， \forall \xi \ne {\xi }_i， \mathrm{1} \le i \le k，

以及 {\overline{\phi }}_j^{\text{'}} ( {\xi }_i^{+} ) \le {\overline{\phi }}_j^{\text{'}} ( {\xi }_i^{-} )， \mathrm{1} \le i \le k， j = \mathrm{1} , \mathrm{2} , \mathrm{3} , \mathrm{4}，则称 \overline{\mathit{\phi }} ( \xi )为系统（6）的上解。改变不等号的方向，可以定义系统（6）的下解 \underline{\mathit{\phi }} ( \xi ) = \left({\underline{\phi }}_{\mathrm{1}}(\xi ),{\underline{\phi }}_{\mathrm{2}}(\xi ),{\underline{\phi }}_{\mathrm{3}}(\xi ),{\underline{\phi }}_{\mathrm{4}}(\xi )\right)。

将系统（6）在0处和1处分别线性化，对应的特征矩阵为

{\mathit{J}}_{\mathrm{0}} = \left(\begin{array}{cccc}{\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{01}}(\lambda )& \mathrm{0}& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ r{a}_{\mathrm{2}}& {\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{02}}(\lambda )& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \rho & {\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{03}}(\lambda )& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \rho & {\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{03}}(\lambda )\end{array}\right) ,

其中

{\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{01}} ( \lambda ) = {\lambda }^{\mathrm{2}} - c \lambda + \mathrm{1} - a_{\mathrm{1}}， {\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{02}} ( \lambda ) = d ( {\int }_R^{} J(y){\mathrm{e}}^{-\lambda y}\mathrm{d}y - \mathrm{1} ) - c \lambda - r， {\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{03}} ( \lambda ) = {\lambda }^{\mathrm{2}} - c \lambda - \rho

及

{\mathit{J}}_{\mathrm{1}} = \left(\begin{array}{cccc}{\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{11}}(\lambda )& \mathrm{0}& \mathrm{0}& a_{\mathrm{1}}\\ \mathrm{0}& {\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{12}}(\lambda )& \mathrm{0}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \rho & {\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{13}}(\lambda )& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& \mathrm{0}& \rho & {\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{13}}(\lambda )\end{array}\right) ,

其中

{\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{11}} ( \lambda ) = {\lambda }^{\mathrm{2}} - c \lambda - \mathrm{1}，{\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{12}} ( \lambda ) = d ( {\int }_R^{} J(y){\mathrm{e}}^{-\lambda y}\mathrm{d}y - \mathrm{1} ) - c \lambda + r ( \mathrm{1} - a_{\mathrm{2}} )，{\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{13}} ( \lambda ) = {\lambda }^{\mathrm{2}} - c \lambda - \rho，

直接计算可得， {\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{0}i} ( \lambda ) = \mathrm{0}和 {\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{1}i} ( \lambda ) = \mathrm{0}， i = \mathrm{1} , \mathrm{3} ,相应的特征根为

{\lambda }_{\mathrm{01}}^{\pm } = \frac{c\pm \sqrt[]{c^{\mathrm{2}}-\mathrm{4}(\mathrm{1}-a_{\mathrm{1}})}}{\mathrm{2}}， {\lambda }_{\mathrm{03}}^{\pm } = \frac{c\pm \sqrt[]{c^{\mathrm{2}}+\mathrm{4}\rho }}{\mathrm{2}}（二重），

{\lambda }_{\mathrm{11}}^{\pm } = \frac{c\pm \sqrt[]{c^{\mathrm{2}}+\mathrm{4}}}{\mathrm{2}}， {\lambda }_{\mathrm{13}}^{\pm } = \frac{c\pm \sqrt[]{c^{\mathrm{2}}+\mathrm{4}\rho }}{\mathrm{2}}（二重）。

显然当 c > c^{\mathrm{*}} = \mathrm{2} \sqrt[]{\mathrm{1}-a_{\mathrm{1}}}时， ，不难验证， {\mathrm{\Gamma }}_{i\mathrm{2}} ( \lambda ) = \mathrm{0}， i = \mathrm{1} , \mathrm{2} ,均有两个实正根和实负根，分别记为

。

由文献［7-8］可得以下引理成立。

引理1 假设 ( {\mathrm{A}}_{\mathrm{1}} )和 ( {\mathrm{A}}_{\mathrm{2}} )成立， c > c^{\mathrm{*}}， ，对充分小的 \epsilon > \mathrm{0}，存在 x \in ( R^{+} {)}^{\mathrm{4}}使得

。

引理2 令 f ( s ) = p {\mathrm{e}}^{\alpha s} - q {\mathrm{e}}^{\beta s}，其中 （或 ）， p , q \in R^{+}，则

（1） f ( - \mathrm{\infty } ) = \mathrm{0} , f ( + \mathrm{\infty } ) = - \mathrm{\infty }（或 f ( + \mathrm{\infty } ) = \mathrm{0} , f ( - \mathrm{\infty } ) = - \mathrm{\infty }）；

（2） f ( s ) = \mathrm{0}，当且仅当 s = \frac{\mathrm{1}}{(\beta -\alpha )} \mathrm{l} \mathrm{n} \frac{p}{q}。

此外， f ( s )在 s^{\mathrm{*}} = \frac{\mathrm{1}}{(\beta -\alpha )} \mathrm{l} \mathrm{n} \frac{\alpha p}{\beta q}处取到唯一的最大值。

2 行波解的存在性

在本节中，我们将证明本文的主要定理。首先，令

\overline{\psi } ( \xi ) = {\left({\overline{\psi }}_{\mathrm{1}}(\xi ),{\overline{\psi }}_{\mathrm{2}}(\xi ),{\overline{\psi }}_{\mathrm{3}}(\xi ),{\overline{\psi }}_{\mathrm{4}}(\xi )\right)}^{\mathrm{T}} ≔ \left(\mathrm{1}-\overline{\sigma }(\overline{\gamma }{\mathrm{e}}^{\overline{\alpha }\xi }-\overline{\eta }{\mathrm{e}}^{\overline{\beta }\xi })\right)，

\underline{\psi } ( \xi ) = {\left({\underline{\psi }}_{\mathrm{1}}(\xi ),{\underline{\psi }}_{\mathrm{2}}(\xi ),{\underline{\psi }}_{\mathrm{3}}(\xi ),{\underline{\psi }}_{\mathrm{4}}(\xi )\right)}^{\mathrm{T}} ≔ \underline{\sigma } ( \underline{\gamma } {\mathrm{e}}^{\underline{\alpha }\xi } - \underline{\eta } {\mathrm{e}}^{\underline{\beta }\xi } )，

其中

\underline{\gamma } = ( {\underline{\gamma }}_{\mathrm{1}} , {\underline{\gamma }}_{\mathrm{2}} , {\underline{\gamma }}_{\mathrm{3}} , {\underline{\gamma }}_{\mathrm{4}} {)}^{\mathrm{T}}， \overline{\gamma } = ( \mathrm{0} , {\overline{\gamma }}_{\mathrm{2}} {,\mathrm{0,0})}^{\mathrm{T}}， \underline{\eta } = ( {\underline{\eta }}_{\mathrm{1}} , {\underline{\eta }}_{\mathrm{2}} , {\underline{\eta }}_{\mathrm{3}} , {\underline{\eta }}_{\mathrm{4}} {)}^{\mathrm{T}}， \overline{\eta } = ( \mathrm{0} , {\overline{\eta }}_{\mathrm{2}} {,\mathrm{0,0})}^{\mathrm{T}}，

{\overline{\gamma }}_{\mathrm{2}} , {\overline{\eta }}_{\mathrm{2}} \in R^{+}， {\underline{\gamma }}_i， {\underline{\eta }}_i \in R， i = \mathrm{1} , \mathrm{2} , \mathrm{3} , \mathrm{4}， 均为待定系数。进一步， 令

\overline{\mathit{\varphi }} ( \xi ) = \mathrm{m} \mathrm{i} \mathrm{n} \{ \overline{\psi } ( \xi ) , \mathrm{1} \} , \underline{\mathit{\varphi }} ( \xi ) = \mathrm{m} \mathrm{i} \mathrm{n} \{ \underline{\psi } ( \xi ) , \mathrm{0} \}。

引理3 假设 ( {\mathrm{A}}_{\mathrm{1}} )和 ( {\mathrm{A}}_{\mathrm{2}} )成立， c > c^{\mathrm{*}}， ，则 \overline{\mathit{\phi }}， \underline{\mathit{\phi }}是系统（6）的上下解。

证明 首先，证明 \overline{\mathit{\phi }}是系统（6）的上解。显然，当 \xi \le {\xi }_{\mathrm{1}} = \frac{\mathrm{1}}{\overline{\alpha }-\overline{\beta }} \mathrm{l} \mathrm{n} \frac{{\overline{\eta }}_{\mathrm{2}}}{{\overline{\gamma }}_{\mathrm{2}}}时， {\overline{\phi }}_i ( \xi ) = \mathrm{1}， i = \mathrm{1} , \mathrm{2} , \mathrm{3} , \mathrm{4}，易证 F_i ( {\overline{\phi }}_{\mathrm{1}} , {\overline{\phi }}_{\mathrm{2}} , {\overline{\phi }}_{\mathrm{3}} , {\overline{\phi }}_{\mathrm{4}} ) = \mathrm{0}， i = \mathrm{1} , \mathrm{3} , \mathrm{4}。由于在 R上， {\overline{\phi }}_{\mathrm{2}} ( \xi ) \le \mathrm{1}，因此， F_{\mathrm{2}} ( {\overline{\phi }}_{\mathrm{1}} , {\overline{\phi }}_{\mathrm{2}} , {\overline{\phi }}_{\mathrm{3}} , {\overline{\phi }}_{\mathrm{4}} ) \le \mathrm{0}。当 \xi \ge {\xi }_{\mathrm{1}} = \frac{\mathrm{1}}{\overline{\alpha }-\overline{\beta }} \mathrm{l} \mathrm{n} \frac{{\overline{\eta }}_{\mathrm{2}}}{{\overline{\gamma }}_{\mathrm{2}}}时， {\overline{\phi }}_i ( \xi ) = \mathrm{1}， i = \mathrm{1} , \mathrm{3} , \mathrm{4}， {\overline{\phi }}_{\mathrm{2}} ( \xi ) = {\overline{\psi }}_{\mathrm{2}} ( \xi )，易证

F_i ( {\overline{\phi }}_{\mathrm{1}} , {\overline{\phi }}_{\mathrm{2}} , {\overline{\phi }}_{\mathrm{3}} , {\overline{\phi }}_{\mathrm{4}} ) = \mathrm{0}，i = \mathrm{1} , \mathrm{4} , F_{\mathrm{3}} ( {\overline{\phi }}_{\mathrm{1}} , {\overline{\phi }}_{\mathrm{2}} , {\overline{\phi }}_{\mathrm{3}} , {\overline{\phi }}_{\mathrm{4}} ) = \rho ( {\overline{\psi }}_{\mathrm{2}} - \mathrm{1} ) \le \mathrm{0}。

下证 F_{\mathrm{2}} ( {\overline{\phi }}_{\mathrm{1}} , {\overline{\phi }}_{\mathrm{2}} , {\overline{\phi }}_{\mathrm{3}} , {\overline{\phi }}_{\mathrm{4}} ) \le \mathrm{0}。取 ，则不难验证 。从而由引理2可知，当 \xi \ge \frac{\mathrm{1}}{\overline{\alpha }-\overline{\beta }} \mathrm{l} \mathrm{n} \frac{{\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{02}}(\overline{\beta }){\overline{\eta }}_{\mathrm{2}}}{{\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{02}}(\overline{\alpha }){\overline{\gamma }}_{\mathrm{2}}}时，

{\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{02}} ( \overline{\alpha } ) {\overline{\gamma }}_{\mathrm{2}} {\mathrm{e}}^{\overline{\alpha }\xi } - {\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{02}} ( \overline{\beta } ) {\overline{\eta }}_{\mathrm{2}} {\mathrm{e}}^{\overline{\beta }\xi } > \mathrm{0}。（8）

直接计算可得

。

因此，当 \xi \ge {\xi }_{\mathrm{1}}时，（8）式成立。由于在 R上， {\overline{\phi }}_{\mathrm{2}} ( \xi ) \le {\overline{\psi }}_{\mathrm{2}} ( \xi )，所以，当 \xi \ge {\xi }_{\mathrm{1}}时，对充分小的 \overline{\sigma } > \mathrm{0}，

F_{\mathrm{2}} ( {\overline{\psi }}_{\mathrm{1}} , {\overline{\psi }}_{\mathrm{2}} , {\overline{\psi }}_{\mathrm{3}} , {\overline{\psi }}_{\mathrm{4}} ) \le - \overline{\sigma } ( {\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{12}} ( \overline{\alpha } ) {\overline{\gamma }}_{\mathrm{2}} {\mathrm{e}}^{\overline{\alpha }\xi } - {\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{12}} ( \overline{\beta } ) {\overline{\eta }}_{\mathrm{2}} {\mathrm{e}}^{\overline{\beta }\xi } ) + r {\sigma }^{\mathrm{2}} ( {\overline{\gamma }}_{\mathrm{2}} {\mathrm{e}}^{\alpha \xi } - {\overline{\eta }}_{\mathrm{2}} {\mathrm{e}}^{\beta \xi } {)}_{}^{\mathrm{2}} \le \mathrm{0}。

因此，当 \xi \ge {\xi }_{\mathrm{1}}时，对充分小的 \overline{\sigma } > \mathrm{0}使得

F ( \overline{\mathit{\phi }} ) \le \mathrm{0}。

综上所述，对充分小的 \overline{\sigma } > \mathrm{0}， \overline{\mathit{\phi }}是系统（6）的上解。

令 {\xi }_{\mathrm{2}} = \underset{i=\mathrm{1,2},\mathrm{3,4}}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}} \left\{\frac{\mathrm{1}}{\epsilon }\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{{\underline{\gamma }}_i}{{\underline{\eta }}_i}\right\}，当 \xi \le {\xi }_{\mathrm{2}}时， \underline{\mathit{\phi }} ( \xi ) = \underline{\psi } ( \xi )，并且在 R上， \underline{\mathit{\phi }} ( \xi ) \ge \underline{\psi } ( \xi )。因此，当 \xi \le {\xi }_{\mathrm{2}}时，

\begin{array}{c}F(\underline{\phi })\ge \underline{\sigma }\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{01}}(\underline{\alpha }){\underline{\gamma }}_{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{\underline{\alpha }\xi }\\ {\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{02}}(\underline{\alpha }){\underline{\gamma }}_{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{\underline{\alpha }\xi }\\ {\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{03}}(\underline{\alpha }){\underline{\gamma }}_{\mathrm{3}}{\mathrm{e}}^{\underline{\alpha }\xi }\\ {\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{03}}(\underline{\alpha }){\underline{\gamma }}_{\mathrm{4}}{\mathrm{e}}^{\underline{\alpha }\xi }\end{array}\right)-\underline{\sigma }\left(\begin{array}{c}{\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{01}}(\underline{\beta }){\underline{\gamma }}_{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{\underline{\beta }\xi }\\ {\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{02}}(\underline{\beta }){\underline{\gamma }}_{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{\underline{\beta }\xi }\\ {\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{03}}(\underline{\beta }){\underline{\gamma }}_{\mathrm{3}}{\mathrm{e}}^{\underline{\beta }\xi }\\ {\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{03}}(\underline{\beta }){\underline{\gamma }}_{\mathrm{4}}{\mathrm{e}}^{\underline{\beta }\xi }\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}\mathrm{0}\\ r{a}_{\mathrm{2}}{\underline{\psi }}_{\mathrm{1}}\\ \rho {\underline{\psi }}_{\mathrm{2}}\\ \rho {\underline{\psi }}_{\mathrm{3}}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-{\underline{\psi }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+a_{\mathrm{1}}{\underline{\psi }}_{\mathrm{1}}{\underline{\psi }}_{\mathrm{4}}\\ -r{a}_{\mathrm{2}}{\underline{\psi }}_{\mathrm{1}}{\underline{\psi }}_{\mathrm{2}}+r{\underline{\psi }}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\\ \mathrm{0}\\ \mathrm{0}\end{array}\right)=\\ \underline{\sigma }\left({\mathit{J}}_{\mathrm{0}}(\alpha )\underline{\gamma }{\mathrm{e}}^{\underline{\alpha }\xi }-{\mathit{J}}_{\mathrm{0}}(\underline{\beta })\underline{\eta }{\mathrm{e}}^{\underline{\eta }\xi }\right)+\left(\begin{array}{c}-{\underline{\psi }}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+a_{\mathrm{1}}{\underline{\psi }}_{\mathrm{1}}{\underline{\psi }}_{\mathrm{4}}\\ -r{a}_{\mathrm{2}}{\underline{\psi }}_{\mathrm{1}}{\underline{\psi }}_{\mathrm{2}}+r{\underline{\psi }}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}\\ \mathrm{0}\\ \mathrm{0}\end{array}\right)\mathrm{。}\end{array}

由于 c > c^{\mathrm{*}}且 ，取 \underline{\alpha } = {\lambda }_{\mathrm{01}}^{-}， \underline{\beta } = {\lambda }_{\mathrm{01}} + \epsilon其中 \epsilon充分小，使得

。

取 {\underline{\gamma }}_{\mathrm{1}} = \mathrm{1} , {\underline{\gamma }}_{\mathrm{2}} = \frac{r{a}_{\mathrm{2}}}{-{\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{02}}(\underline{\alpha })} , {\underline{\gamma }}_{\mathrm{3}} = \frac{r{a}_{\mathrm{2}}\rho }{{\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{02}}(\underline{\alpha }){\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{03}}(\underline{\alpha })} , {\underline{\gamma }}_{\mathrm{4}} = \frac{r{a}_{\mathrm{2}}{\rho }^{\mathrm{2}}}{-{\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{02}}(\underline{\alpha }){\mathrm{\Gamma }}_{\mathrm{03}}^{\mathrm{2}}(\underline{\alpha })}，不难验证

{\mathit{J}}_{\mathrm{0}} ( \underline{\alpha } ) \underline{\gamma } = \mathrm{0}。

进一步，由引理1，存在 \underline{\eta } \in ( R^{+} {)}^{\mathrm{4}}使得

。

不难验证，

\underset{\xi \to -\mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}} \underline{\sigma } \left({\underline{\gamma }}_i{\mathrm{e}}^{\underline{\alpha }\xi }-{\underline{\eta }}_i{\mathrm{e}}^{\underline{\beta }\xi }\right) {\mathrm{e}}^{(\underline{\alpha }-\underline{\beta })\xi } = \mathrm{0}， \underset{\xi \to -\mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}} \underline{\sigma } \left({\underline{\gamma }}_i{\mathrm{e}}^{\underline{\alpha }\xi }-{\underline{\eta }}_i{\mathrm{e}}^{\underline{\beta }\xi }\right) {\mathrm{e}}^{-\underline{\alpha }\xi } = \underline{\sigma } {\underline{\gamma }}_i， i = \mathrm{1} , \mathrm{2} , \mathrm{3} , \mathrm{4}。

故在 ( - \mathrm{\infty } , {\xi }_{\mathrm{2}} ]上， \underline{\sigma } \left({\underline{\gamma }}_i{\mathrm{e}}^{\underline{\alpha }\xi }-{\underline{\eta }}_i{\mathrm{e}}^{\underline{\beta }\xi }\right) {\mathrm{e}}^{(\underline{\alpha }-\underline{\beta })\xi }和 \underline{\sigma } \left({\underline{\gamma }}_i{\mathrm{e}}^{\underline{\alpha }\xi }-{\underline{\eta }}_i{\mathrm{e}}^{\underline{\beta }\xi }\right) {\mathrm{e}}^{-\underline{\alpha }\xi }有界。

因此，当 \xi \le {\xi }_{\mathrm{2}}时，对充分小的 \underline{\sigma } > \mathrm{0}，

\begin{array}{c}F(\underline{\phi })\ge \underline{\sigma }{\mathrm{e}}^{\underline{\beta }\xi }\left(-{\mathit{J}}_{\mathrm{0}}(\underline{\beta })\underline{\eta }\right)+{\underline{\sigma }}^{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{\underline{\beta }\xi }\left(\begin{array}{c}-{\mathrm{e}}^{(\underline{\alpha }-\underline{\beta })\xi }{\underline{\psi }}_{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{-\underline{\alpha }}{\underline{\psi }}_{\mathrm{1}}+a_{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{(\underline{\alpha }-\underline{\beta })\xi }{\underline{\psi }}_{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{-\underline{\alpha }\xi }{\underline{\psi }}_{\mathrm{4}}\\ a_{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{(\underline{\alpha }-\underline{\beta })\xi }{\underline{\psi }}_{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{-\underline{\alpha }\xi }{\underline{\psi }}_{\mathrm{2}}-a_{\mathrm{2}}\gamma {\mathrm{e}}^{(\underline{\alpha }-\underline{\beta })\xi }{\underline{\psi }}_{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{-\underline{\alpha }\xi }{\underline{\psi }}_{\mathrm{2}}\\ \mathrm{0}\\ \mathrm{0}\end{array}\right)=\\ \underline{\sigma }{\mathrm{e}}^{\underline{\beta }\xi }\left[\left(-{\mathit{J}}_{\mathrm{0}}(\underline{\beta })\underline{\eta }\right)+O(\underline{\sigma })\right]\ge \mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}

不难验证，当 \xi \ge {\xi }_{\mathrm{2}}时， F ( \underline{\mathit{\phi }} ) \ge \mathrm{0}。综上所述，对充分小的 \underline{\sigma } > \mathrm{0}， \underline{\mathit{\phi }}是系统（6）的下解。

取 。从而 {\xi }_{\mathrm{1}} > \mathrm{0} > {\xi }_{\mathrm{2}}，因此，由引理3，不难验证， \overline{\mathit{\phi }} \ge \underline{\mathit{\phi }}。最后，利用上下解和不动点定理并结合文献［7-10］的证明过程可得本文的主要结论。

定理1 假设 ( {\mathrm{A}}_{\mathrm{1}} )和 ( {\mathrm{A}}_{\mathrm{2}} )成立， c > c^{\mathrm{*}}， ，边值问题（6）—公式（7）的解存在，即系统（5）存在连结0和1的行波解。

注1 本文采用文献［7］中的思想，利用核函数的性质，将系统（1）转化为四个方程耦合而成的系统（4），再转化成对应的合作系统（5），最后构造上下解得到结论，将文献［8］中的结果推广到强核上。

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基金资助

山西省回国留学人员科研资助项目(2021-001)