具有时滞的Holling-Ⅲ型捕食系统的Hopf分支

Hopf Bifurcation in a Holling-III Predator System with Time Delay

摘要

本文主要研究了一类满足齐次Neumann边界条件的具有时滞Holling-Ⅲ型捕食-食饵系统。首先，以时滞参数作为分支参数，研究时滞效应对该系统正常数平衡点稳定性的影响，得到了产生Hopf分支的条件；其次，借助偏泛函微分方程的中心流形理论和标准型方法，得到了Hopf分支的方向和分支周期解的稳定性；最后，通过运用MATLAB软件的数值模拟功能，对文内所提出的理论结果进行了检验。

Abstract

In this paper, a Holling-III predator-prey system with time delay under the homogeneous Neumann boundary conditions is studied. Firstly, by choosing the time delay as the bifurcation parameter, we study the effect of time delay on the stability of the positive equilibrium point of the system, thereby the conditions for generating Hopf bifurcations are obtained. Secondly, with the aid of partial functional differential equations of center manifold theory and standard method, the direction of the Hopf bifurcations and stability of periodic solutions of a bifurcation are gained. Finally, by using the numerical simulation function of MATLAB software, the theoretical results proposed in the paper are tested.

Graphical abstract

关键词

时滞 / 存在性 / 稳定性 / 数值模拟

Key words

time delay / existence / stability / numerical simulation

0 引言

在生物数学中，捕食-食饵模型具有重要的现实意义。最初的捕食-食饵系统是著名的Lotka-Volterra系统，考虑到饱和因素对捕食者消化食饵的影响，学者们提出了功能反应函数的概念，功能反应函数又分为食饵依赖型功能反应函数和捕食者依赖型功能反应函数。其中，Holling于1965年建立的Holling型的功能反应函数是经典的食饵依赖型功能反应函数^［1］。

在现实世界中，种群系统考虑到繁殖期、成熟周期、资源再生时间等等，时滞都是必不可少的因素。由于加入了时滞，系统比原先呈现了更加精彩的动力学行为。例如，一个原本稳定的平衡点，在加入时滞参数后，可能变得不稳定，在某些临界点处，可能会引起分支，时滞微分方程由此产生。生物科学的许多文献中介绍了各种线性非线性的时滞微分方程和应用领域的背景，为时滞微分方程的深入研究提供了现实基础^［2-10］。分支问题是微分方程中的一个方向，分支现象一般分为两大类；动态分支和静态分支，我们主要研究比较重要的动态分支-Hopf分支，Hopf分支包括局部Hopf分支和全局Hopf分支，它主要是研究时滞微分方程周期轨的存在性和稳定性问题。

近来，王婷婷等^［11］对具有时滞的Holling-III型捕食模型进行了分析讨论，利用常微分方法，积分性质以及微分不等式理论分别证明了系统解的正性与有界性；其次通过Jacobian矩阵分析了在常微系统下平衡点的稳定性；讨论时滞的不同情况对内部平衡点的稳定性与Hopf分支的影响，最后推出判断Hopf分支的方向和分支周期解稳定性的显式公式，讨论了在临界值处分支周期解的方向、稳定性和周期。Xu等^［12］提出了一个具有Allee效应、时滞和反捕食行为的扩散捕食者-食饵模型，对系统平衡点进行了深入研究，分析讨论了其存在性和稳定性，同时获得了产生Hopf分支的条件，最后经过计算，得到了确定Hopf分支方向及其稳定性和周期的公式。Xie等^［13］提出了一类食饵具有强Allee效应和非局部竞争、捕食者具有恐惧效应和繁殖时滞的扩散捕食者-食饵模型。主要研究了共存平衡点的局部稳定性以及Hopf分支的存在性和性质。

Yan和Shi^［14］对Logistic单种群模型进行了研究，并分析讨论加入了两个时滞参数后的模型，同时研究发现由于Hopf分支的原因，模型的正平衡点稳定性会发生改变最终变为不稳定。文献［15］中，沈维认为Logistic单种群模型出现稳定性切换的主要原因是时滞项cu（t-\mathrm{2}\tau）的出现，进而研究了以下模型

\left\{\begin{array}{ll}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=u\left(\mathrm{1}-\frac{u(t-\tau )}{K}\right)-\frac{m{u}^{\mathrm{2}}v}{\mathrm{1}+u^{\mathrm{2}}},& t>\mathrm{0},\\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=-\theta v+\frac{m{u}^{\mathrm{2}}v}{\mathrm{1}+u^{\mathrm{2}}},& t>\mathrm{0},\\ u(\mathrm{0})\ge \mathrm{0},v(\mathrm{0})\ge \mathrm{0}\mathrm{。}& \end{array}\right.（1）

通常而言，在具有单时滞的捕食系统中，随着时滞的引入，由于Hopf分支的原因，模型的正平衡点稳定性会发生改变最终变为不稳定。针对这一问题，为了研究在单一时滞系统中，时滞的增加使得平衡点的稳定性发生了什么变化，最终是否能够稳定^［16-20］。本文考虑在没有时滞项cu\left(t-\mathrm{2}\tau \right)且不增加捕食者时滞的情况下，研究系统的稳定性变化和时滞效应对食饵种群的影响。并在系统（1）的基础上考虑模型

\left\{\begin{array}{ll}\frac{\partial u}{\partial t}-d_{\mathrm{1}}\mathrm{\Delta }u=u\left(\mathrm{1}-\frac{u}{K}\right)-\frac{m{u}^{\mathrm{2}}v(t-\tau )}{\mathrm{1}+u^{\mathrm{2}}},& t>\mathrm{0},\\ \frac{\partial v}{\partial t}-d_{\mathrm{2}}\mathrm{\Delta }v=-\theta v+\frac{m{u}^{\mathrm{2}}v}{\mathrm{1}+u^{\mathrm{2}}},& t>\mathrm{0},\\ {\partial }_{\mathit{\nu }}u={\partial }_{\mathit{\nu }}v=\mathrm{0},& t>\mathrm{0},\\ u(\mathrm{0})\ge \mathrm{0},v(\mathrm{0})\ge \mathrm{0},& \end{array}\right.（2）

其中\mathrm{\Delta }代表拉普拉斯算子；\partial \mathrm{\Omega }为光滑边界；\mathrm{\Omega }\subset R^{\mathrm{N}}\left(N\ge \mathrm{1}\right)为边界为\partial \mathrm{\Omega }的有界开集；\mathit{\nu }是\partial \mathrm{\Omega }上的单位外法向量；u表示捕食者的数量；v表示猎物的数量；d_{\mathrm{1}}表示捕食者的扩散系数；d_{\mathrm{2}}表示猎物的扩散系数；是猎物的承载能力；m是攻击系数；\theta >\mathrm{0}是捕食者的死亡率；τ>0代表时滞参数。

本研究是针对一类满足齐次Neumann边界条件的具有时滞Holling-III型捕食-食饵系统，深入探讨了该系统对应的常微分及偏微分系统，研究该系统中正常数平衡点的稳定性关于时滞参数的变化，并且对平衡点附近是否产生Hopf分支、如何产生Hopf分支做了计算工作，同时经过计算得到了分支周期解的稳定性和分支方向；最后得出，系统的稳定性会随着时滞参数的变化而变化，当时滞参数经过某特殊的临界值，此时系统由稳定变为不稳定，同时伴随着Hopf分支的出现。

本文结构安排如下：第1节主要针对具有时滞的Holling-III型捕食系统所对应的常微分和偏微分系统，对系统中产生Hopf分支的条件和系统在正常数平衡点附近是否处于稳态问题进行了讨论；第2节分析了Hopf分支的方向和分支周期解的稳定性；第3节进行数值模拟验证前面结论。

1 具有时滞的系统中Hopf分支的存在性和正常数平衡点的稳定性

1.1　具时滞的常微分方程

本节内容将对具有时滞参数的常微分方程系统进行探讨，

\left\{\begin{array}{ll}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=u\left(\mathrm{1}-\frac{u}{K}\right)-\frac{m{u}^{\mathrm{2}}v(t-\tau )}{\mathrm{1}+u^{\mathrm{2}}},& t>\mathrm{0},\\ \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-\theta v+\frac{m{u}^{\mathrm{2}}v}{\mathrm{1}+u^{\mathrm{2}}},& t>\mathrm{0},\\ u(t)=u_{\mathrm{0}}(t)\ge \mathrm{0},v(t)=v_{\mathrm{0}}(t)\ge \mathrm{0},& t\in [-\tau ,\mathrm{0}]\mathrm{。}\end{array}\right.（3）

经过计算得到，该系统的平衡点为E_{\mathrm{0}}(\mathrm{0,0}),E_k(K,\mathrm{0})，观察参数m,发现当m>\theta时，系统（3）存在正平衡点

E_{\mathrm{*}}=(u_{\mathrm{*}},v_{\mathrm{*}})=\left(\sqrt[]{\frac{\theta }{m-\theta }},\frac{K\sqrt[]{\theta (m-\theta )}-\theta }{K\theta (m-\theta )}\right)\mathrm{。}

接下来讨论系统（3）的正常数平衡点，发现当没有时滞参数(\tau =\mathrm{0})时，若满足条件，则可以观察到，正常数平衡点E_{\mathrm{*}}(u_{\mathrm{*}},v_{\mathrm{*}})此时具有局部渐近稳定性。不过，我们的研究重点在于考察时滞\tau (\tau \ne \mathrm{0})因素对系统（3）中正常数平衡点E_{\mathrm{*}}(u_{\mathrm{*}},v_{\mathrm{*}})稳定性呈现的作用及其影响，下面进行讨论。

令\widehat{u}=u-u_{\mathrm{*}}，\widehat{v}=v-v_{\mathrm{*}}，为了分析方便，我们把系统（3）转换为更为简易的形式

\left\{\begin{array}{ll}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=(u+u_{\mathrm{*}})\left(\mathrm{1}-\frac{u+u_{\mathrm{*}}}{K}\right)-\frac{m(u+u_{\mathrm{*}}{)}^{\mathrm{2}}(v_{\tau }+v_{\mathrm{*}})}{\mathrm{1}+(u+u_{\mathrm{*}}{)}^{\mathrm{2}}},& t>\mathrm{0},\\ \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-\theta (v+v_{\mathrm{*}})+\frac{m(u+u_{\mathrm{*}}{)}^{\mathrm{2}}v}{\mathrm{1}+(u+u_{\mathrm{*}}{)}^{\mathrm{2}}},& t>\mathrm{0},\\ u(t)=u_{\mathrm{0}}(t)\ge \mathrm{0},v(t)=v_{\mathrm{0}}(t)\ge \mathrm{0},& t\in [-\tau ,\mathrm{0}],\end{array}\right.（4）

其中u=u(t)，v=v(t)，v_{\tau }=v(t-\tau )。我们将系统（4）在（0，0）处进行展开，得到该系统的线性化系统为

\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=\left[\mathrm{1}-\frac{\mathrm{2}{u}_{\mathrm{*}}}{K}-\frac{\mathrm{2}m{u}_{\mathrm{*}}{v}_{\mathrm{*}}}{(\mathrm{1}+u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}}\right]u(t)-\theta v(t-\tau ),\\ \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{2}m{u}_{\mathrm{*}}{v}_{\mathrm{*}}}{(\mathrm{1}+u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}}u(t)\mathrm{。}\end{array}\right.

下面计算该系统的特征方程

{\lambda }^{\mathrm{2}}-A\lambda +B{\mathrm{e}}^{-\lambda \tau }=\mathrm{0},（5）

其中，

A=\mathrm{1}-\frac{\mathrm{2}{u}_{\mathrm{*}}}{K}-\frac{\mathrm{2}m{u}_{\mathrm{*}}{v}_{\mathrm{*}}}{(\mathrm{1}+u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}},B=\frac{\mathrm{2}m\theta u_{\mathrm{*}}{v}_{\mathrm{*}}}{(\mathrm{1}+u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}}\mathrm{。}

结合特征方程（5）的纯虚根\lambda =\mathrm{i}\omega (\omega >\mathrm{0})可得

\left\{\begin{array}{l}{\omega }^{\mathrm{2}}=B\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\omega \tau ,\\ -A\omega =B\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\omega \tau \mathrm{。}\end{array}\right.（6）

根据三角函数定理对式（6）变形，

{\omega }^{\mathrm{4}}+A^{\mathrm{2}}{\omega }^{\mathrm{2}}-B^{\mathrm{2}}=\mathrm{0},（7）

A^{\mathrm{2}}={\left(\mathrm{1}-\frac{\mathrm{2}{u}_{\mathrm{*}}}{K}-\frac{\mathrm{2}m{u}_{\mathrm{*}}{v}_{\mathrm{*}}}{(\mathrm{1}+u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}}\right)}^{\mathrm{2}},-B^{\mathrm{2}}=\frac{-\mathrm{4}{m}^{\mathrm{2}}{u_{\mathrm{*}}}^{\mathrm{2}}{v_{\mathrm{*}}}^{\mathrm{2}}}{(\mathrm{1}+u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{4}}},

显然，是一定存在的，这意味着方程（7）至少存在一个大于\mathrm{0}的根{\omega }_{\mathrm{0}}满足

{{\omega }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}=\frac{-A^{\mathrm{2}}+\sqrt[]{A^{\mathrm{4}}+\mathrm{4}{B}^{\mathrm{2}}}}{\mathrm{2}}\mathrm{。}

将{\omega }_{\mathrm{0}}代入式（6），可以解得

\tau ={\tau }_{\mathrm{0}}^j=\frac{\mathrm{1}}{{\omega }_{\mathrm{0}}}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{{{\omega }_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}}{B\theta }+\frac{\mathrm{2}j\mathrm{\pi }}{{\omega }_{\mathrm{0}}},j\in N\mathrm{。}

下面验证横截条件。令

\mathrm{\Gamma }(\omega )={\omega }^{\mathrm{4}}+A^{\mathrm{2}}{\omega }^{\mathrm{2}}-B^{\mathrm{2}},

对其求导得

\frac{\mathrm{d}\mathrm{\Gamma }}{\mathrm{d}\omega }=\mathrm{2}\omega (\mathrm{2}{\omega }^{\mathrm{2}}+A^{\mathrm{2}}),

有

\frac{\mathrm{d}\mathrm{\Gamma }}{\mathrm{d}\omega }\left|{}_{\omega ={\omega }_{\mathrm{0}}}\right.=\mathrm{2}{\omega }_{\mathrm{0}}\sqrt[]{A^{\mathrm{4}}+\mathrm{4}{B}^{\mathrm{2}}{\theta }^{\mathrm{2}}}>\mathrm{0}\mathrm{。}

故当\omega ={\omega }_{\mathrm{0}}时，满足横截条件，得到定理1。

定理1 若，有

（1）当时，系统（3）在正常数平衡点E_{\mathrm{*}}(u_{\mathrm{*}},v_{\mathrm{*}})处局部渐近稳定；

（2）当\tau >{\tau }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{0}}时，系统（3）在正常数平衡点E_{\mathrm{*}}(u_{\mathrm{*}},v_{\mathrm{*}})处不稳定；

（3）当\tau ={\tau }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{0}}时，系统（3）在正常数平衡点E_{\mathrm{*}}(u_{\mathrm{*}},v_{\mathrm{*}})处产生Hopf分支。

1.2　具时滞的偏微分方程

本节主要考虑偏微分方程，该系统定义在\mathrm{\Omega }=(\mathrm{0},l\mathrm{\pi })上，并且带有时滞

\left\{\begin{array}{ll}\frac{\partial u}{\partial t}-d_{\mathrm{1}}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}u}{\partial x^{\mathrm{2}}}=u\left(\mathrm{1}-\frac{u}{K}\right)-\frac{m{u}^{\mathrm{2}}v(t-\tau )}{\mathrm{1}+u^{\mathrm{2}}},& x\in (\mathrm{0},l\mathrm{\pi }),t>\mathrm{0},\\ \frac{\partial v}{\partial t}-d_{\mathrm{2}}\frac{{\partial }^{\mathrm{2}}v}{\partial x^{\mathrm{2}}}=-\theta v+\frac{m{u}^{\mathrm{2}}v}{\mathrm{1}+u^{\mathrm{2}}},& x\in (\mathrm{0},l\mathrm{\pi }),t>\mathrm{0},\\ \frac{\partial u(x,t)}{\partial x}=\frac{\partial v(x,t)}{\partial x}=\mathrm{0},& x=\mathrm{0},l\mathrm{\pi },t>\mathrm{0},\\ u(x,t)=u_{\mathrm{0}}(x,t)\ge \mathrm{0},v(x,t)=v_{\mathrm{0}}(x,t)\ge \mathrm{0},& x\in [\mathrm{0},l\mathrm{\pi }],t\in [-\tau ,\mathrm{0}],\end{array}\right.（8）

其中l\in {\mathbf{R}}^{+}。设\widehat{u}=u-u_{\mathrm{*}}，\widehat{v}=v-v_{\mathrm{*}}，为了分析方便，仍用u，v代替\widehat{u}，\widehat{v}，并把系统（8）转换为更为简易的形式

\left\{\begin{array}{ll}{u}_t-d_{\mathrm{1}}{u}_{xx}=(u+u_{\mathrm{*}})\left(\mathrm{1}-\frac{u+u_{\mathrm{*}}}{K}\right)-\frac{m(u+u_{\mathrm{*}}{)}^{\mathrm{2}}(v_{\tau }+v_{\mathrm{*}})}{\mathrm{1}+(u+u_{\mathrm{*}}{)}^{\mathrm{2}}},& x\in (\mathrm{0},l\mathrm{\pi }),t>\mathrm{0},\\ v_t-d_{\mathrm{2}}{v}_{xx}=-\theta (v+v_{\mathrm{*}})+\frac{m(u+u_{\mathrm{*}}{)}^{\mathrm{2}}(v+v_{\mathrm{*}})}{\mathrm{1}+(u+u_{\mathrm{*}}{)}^{\mathrm{2}}},& x\in (\mathrm{0},l\mathrm{\pi }),t>\mathrm{0},\\ \frac{\partial u(x,t)}{\partial x}=\frac{\partial v(x,t)}{\partial x}=\mathrm{0},& x=\mathrm{0},l\mathrm{\pi },t>\mathrm{0},\\ u(x,t)=u_{\mathrm{0}}(x,t)\ge \mathrm{0},v(x,t)=v_{\mathrm{0}}(x,t)\ge \mathrm{0},& x\in [\mathrm{0},l\mathrm{\pi }],t\in [-\tau ,\mathrm{0}],\end{array}\right.（9）

系统（9）中u=u(t)，v=v(t)，v_{\tau }=v(t-\tau )。我们规定X=C([\mathrm{0},l\mathrm{\pi }],{\mathbf{R}}^{\mathrm{2}})并表明系统（9）在抽象空间C([-\tau ,\mathrm{0}],X)中可以等效改写为抽象微分方程形式，形式如下

\frac{\mathrm{d}U(t)}{\mathrm{d}t}=d\mathrm{\Delta }U(t)+L(U_t)+F(U_t),（10）

其中d\mathrm{\Delta }=(d_{\mathrm{1}}\mathrm{\Delta },d_{\mathrm{2}}{\mathrm{\Delta })}^{\mathrm{T}}，\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(d\mathrm{\Delta })=\{{(u,v)}^{\mathrm{T}}:u,v\in C^{\mathrm{2}}([\mathrm{0},l\mathrm{\pi }],\mathbf{R}),u_x,v_x=\mathrm{0},x=\mathrm{0},l\mathrm{\pi }\}\mathrm{。}

因为L:C([-\tau ,\mathrm{0}],X)\to X,F:C([-\tau ,\mathrm{0}],X)\to X,对\varphi =({\varphi }_{\mathrm{1}},{\varphi }_{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{T}}\in C([-\tau ,\mathrm{0}],X)，存在

L(\varphi )=\left(\begin{array}{l}\left(\mathrm{1}-\frac{\mathrm{2}{u}_{\mathrm{*}}}{K}-\frac{\mathrm{2}m{u}_{\mathrm{*}}{v}_{\mathrm{*}}}{\mathrm{1}+(u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}}\right){\varphi }_{\mathrm{1}}(\mathrm{0})-\theta {\varphi }_{\mathrm{2}}(-\tau )\\ \frac{\mathrm{2}m{u}_{\mathrm{*}}{v}_{\mathrm{*}}}{\mathrm{1}+(u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}}{\varphi }_{\mathrm{1}}(\mathrm{0})\end{array}\right),F(\varphi )=\left(\begin{array}{c}{F}_{\mathrm{1}}(\varphi )\\ F_{\mathrm{2}}(\varphi )\end{array}\right),

其中

\begin{array}{c}{F}_{\mathrm{1}}(\varphi )=({\varphi }_{\mathrm{1}}(\mathrm{0})+u_{\mathrm{*}})\left(\mathrm{1}-\frac{{\varphi }_{\mathrm{1}}(\mathrm{0})+u_{\mathrm{*}}}{K}\right)-\frac{m({\varphi }_{\mathrm{1}}(\mathrm{0})+u_{\mathrm{*}}{)}^{\mathrm{2}}({\varphi }_{\mathrm{2}}(-\tau )+v_{\mathrm{*}})}{\mathrm{1}+({\varphi }_{\mathrm{1}}(\mathrm{0})+u_{\mathrm{*}}{)}^{\mathrm{2}}}-\\ \left(\mathrm{1}-\frac{\mathrm{2}{u}_{\mathrm{*}}}{K}-\frac{\mathrm{2}m{u}_{\mathrm{*}}{v}_{\mathrm{*}}}{\mathrm{1}+(u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}}\right){\varphi }_{\mathrm{1}}(\mathrm{0})+\theta {\varphi }_{\mathrm{2}}(-\tau ),\end{array}

F_{\mathrm{2}}(\varphi )=-\theta ({\varphi }_{\mathrm{2}}(\mathrm{0})+v_{\mathrm{*}})+\frac{m({\varphi }_{\mathrm{1}}(\mathrm{0})+u_{\mathrm{*}}{)}^{\mathrm{2}}({\varphi }_{\mathrm{2}}(\mathrm{0})+v_{\mathrm{*}})}{\mathrm{1}+({\varphi }_{\mathrm{1}}(\mathrm{0})+u_{\mathrm{*}}{)}^{\mathrm{2}}}-\frac{\mathrm{2}m{u}_{\mathrm{*}}{v}_{\mathrm{*}}}{\mathrm{1}+(u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}}{\varphi }_{\mathrm{1}}(\mathrm{0}),

于是我们得到系统（9）在（0，0）处附近的线性化系统，即为

\frac{\mathrm{d}U(t)}{\mathrm{d}t}=d\mathrm{\Delta }U(t)+L(U_t)\mathrm{。}（11）

该系统的特征方程可以等价转化为

\lambda y-d\mathrm{\Delta }y-L({\mathrm{e}}^{{\lambda }_{\mathrm{*}}}y)=\mathrm{0},y\in \mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{m}(d\mathrm{\Delta }),y\ne \mathrm{0}\mathrm{。}（12）

由以下问题

-{\psi }^{″}=\mu \psi ,x\in (\mathrm{0},l\mathrm{\pi }),{\psi }^{\text{'}}(\mathrm{0})={\psi }^{\text{'}}(l\mathrm{\pi })=\mathrm{0},

我们可以求得上述式子中的特征值为{\mu }_n=\frac{n^{\mathrm{2}}}{l^{\mathrm{2}}}(n\in N)及特征值对应的特征函数为{\psi }_n(x)=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{n}{l}x。将y={\displaystyle \sum _{n=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{n}{l}x\left(\begin{array}{c}{y}_{\mathrm{1}n}\\ y_{\mathrm{2}n}\end{array}\right)代入系统（11）特征方程的等价转化方程，即特征方程（12），得到

\left(\begin{array}{ll}\mathrm{1}-\frac{\mathrm{2}{u}_{\mathrm{*}}}{K}-\frac{\mathrm{2}m{u}_{\mathrm{*}}{v}_{\mathrm{*}}}{\mathrm{1}+(u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}}-\frac{d_{\mathrm{1}}{n}^{\mathrm{2}}}{l^{\mathrm{2}}}& -\theta {\mathrm{e}}^{-\lambda \tau }\\ \frac{\mathrm{2}m{u}_{\mathrm{*}}{v}_{\mathrm{*}}}{\mathrm{1}+(u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}}& -\frac{d_{\mathrm{2}}{n}^{\mathrm{2}}}{l^{\mathrm{2}}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{y}_{\mathrm{1}n}\\ y_{\mathrm{2}n}\end{array}\right)=\lambda \left(\begin{array}{c}{y}_{\mathrm{1}n}\\ y_{\mathrm{2}n}\end{array}\right),n\in N\mathrm{。}

同时可以求得特征方程（12）的所有特征根，并且我们确定这些特征根满足下述特征方程关系式

{\lambda }^{\mathrm{2}}+A_n\lambda +B{\mathrm{e}}^{-\lambda \tau }+C_n=\mathrm{0},n\in N,（13）

其中A_n=(d_{\mathrm{1}}+d_{\mathrm{2}})\frac{n^{\mathrm{2}}}{l^{\mathrm{2}}}-\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}{u}_{\mathrm{*}}}{K}+\frac{\mathrm{2}m{u}_{\mathrm{*}}{v}_{\mathrm{*}}}{\mathrm{1}+(u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}},B=\frac{\mathrm{2}m\theta u_{\mathrm{*}}{v}_{\mathrm{*}}}{(\mathrm{1}+u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}},C_n=\frac{-d_{\mathrm{2}}{n}^{\mathrm{2}}}{l^{\mathrm{2}}}\left(\mathrm{1}-\frac{\mathrm{2}{u}_{\mathrm{*}}}{K}-\frac{\mathrm{2}m{u}_{\mathrm{*}}{v}_{\mathrm{*}}}{\mathrm{1}+(u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}}-\frac{d_{\mathrm{1}}{n}^{\mathrm{2}}}{l^{\mathrm{2}}}\right)\mathrm{。}

设特征方程（13）存在一对纯虚根，为\lambda =\pm \mathrm{i}\omega (\omega >\mathrm{0})，则有

\left\{\begin{array}{l}{\omega }^{\mathrm{2}}-C_n=B\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\omega \tau ,\\ \omega A_n=B\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\omega \tau ,\end{array}\right.n\in N\mathrm{。}（14）

我们经过一系列化简可以求得

{\omega }^{\mathrm{4}}+({A_n}^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}{C}_n){\omega }^{\mathrm{2}}+C_n^{\mathrm{2}}-B^{\mathrm{2}}=\mathrm{0},n\in N,（15）

A_n^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}{C}_n={\left[(d_{\mathrm{1}}+d_{\mathrm{2}})\frac{n^{\mathrm{2}}}{l^{\mathrm{2}}}-\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}{u}_{\mathrm{*}}}{K}+\frac{\mathrm{2}m{u}_{\mathrm{*}}{v}_{\mathrm{*}}}{\mathrm{1}+(u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}}\right]}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}\frac{d_{\mathrm{2}}{n}^{\mathrm{2}}}{l^{\mathrm{2}}}\left(\mathrm{1}-\frac{\mathrm{2}{u}_{\mathrm{*}}}{K}-\frac{\mathrm{2}m{u}_{\mathrm{*}}{v}_{\mathrm{*}}}{\mathrm{1}+(u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}}-\frac{d_{\mathrm{1}}{n}^{\mathrm{2}}}{l^{\mathrm{2}}}\right),（16）

C_n^{\mathrm{2}}-B^{\mathrm{2}}=\frac{{d_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}{n}^{\mathrm{4}}}{l^{\mathrm{4}}}{\left(\mathrm{1}-\frac{\mathrm{2}{u}_{\mathrm{*}}}{K}-\frac{\mathrm{2}m{u}_{\mathrm{*}}{v}_{\mathrm{*}}}{\mathrm{1}+(u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}}-\frac{d_{\mathrm{1}}{n}^{\mathrm{2}}}{l^{\mathrm{2}}}\right)}^{\mathrm{2}}-\frac{\mathrm{4}{m}^{\mathrm{2}}{\theta }^{\mathrm{2}}{u}_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{v}_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}}{(\mathrm{1}+u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{4}}}\mathrm{。}（17）

由于当n=0时满足，因为\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}(C_n^{\mathrm{2}}-B^{\mathrm{2}})=\mathrm{\infty }，那么一定会有一个最小的N_{\mathrm{0}}\ge \mathrm{0}，存在一个n,使得当n>N_{\mathrm{0}}时，方程（15）的正根不存在，当\mathrm{0}\le n\le N_{\mathrm{0}}时，方程（15）至多存在一个正根。对于\mathrm{0}\le n\le N_{\mathrm{0}}，方程（15）存在一个特定的正根{\omega }_n使得

{\omega }_n^{\mathrm{2}}=\frac{-(A_n^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}{C}_n)+\sqrt[]{(A_n^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}{C}_n{)}^{\mathrm{2}}-\mathrm{4}(C_n^{\mathrm{2}}-B^{\mathrm{2}})}}{\mathrm{2}}\mathrm{。}（18）

从而，能够对时滞参数\tau的表达式进行明确定义，形式如下

\tau ={\tau }_n^j={\tau }_n^{\mathrm{0}}+\frac{\mathrm{2}j\mathrm{\pi }}{{\omega }_n},j\in N,（19）

其中

（20）

此时，方程（13）有一对纯虚特征根\pm \mathrm{i}{\omega }_n。

引理1 我们设方程（13）的根是{\lambda }_n(\tau )={\alpha }_n(\tau )+\mathrm{i}{\omega }_n(\tau )，并且时滞参数当\tau逼近{\tau }_n^j时，使得{\alpha }_n({\tau }_n^j)=\mathrm{0}和{\omega }_n({\tau }_n^j)={\omega }_n成立，此时满足横截条件，即当\mathrm{0}\le n\le N_{\mathrm{0}}和j\in N成立时，可以推得有{\frac{\mathrm{d}{\alpha }_n}{\mathrm{d}\tau }}_{\tau ={\tau }_n^j}>\mathrm{0}成立。

证明 对方程（13）两边同时关于\tau求导，得到

\frac{\mathrm{d}{\lambda }_n}{\mathrm{d}\tau }=\frac{B{\lambda }_n{\mathrm{e}}^{-{\lambda }_n\tau }}{\mathrm{2}{\lambda }_n-B\tau {\mathrm{e}}^{-{\lambda }_n\tau }+A_n},（21）

并将\tau ={\tau }_n^j代入上式中得

\frac{\mathrm{d}{\lambda }_n}{\mathrm{d}\tau }\left|{}_{\tau ={\tau }_n^j}\right.=\frac{B\mathrm{i}{\omega }_n{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\omega }_n{\tau }_n^j}}{\mathrm{2}\mathrm{i}{\omega }_n-B{\tau }_n^j{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\omega }_n{\tau }_{}^j}+A_n},（22）

又

\frac{\mathrm{d}{\alpha }_n}{\mathrm{d}\tau }\left|{}_{\tau ={\tau }_n^j}\right.=\mathrm{R}\mathrm{e}\left(\frac{\mathrm{d}{\lambda }_n}{\mathrm{d}\tau }\left|{}_{\tau ={\tau }_n^j}\right.\right),

结合式（22）有

\mathrm{R}\mathrm{e}{\left(\frac{\mathrm{d}{\lambda }_n}{\mathrm{d}\tau }\left|{}_{\tau ={\tau }_n^j}\right.\right)}^{-\mathrm{1}}=\frac{\sqrt[]{(A_n^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}{C}_n^{\mathrm{2}})-\mathrm{4}(C_n^{\mathrm{2}}-B^{\mathrm{2}})}}{B^{\mathrm{2}}}>\mathrm{0},

横截条件成立，证毕。

根据式（19）易得{\tau }_n^{j+\mathrm{1}}>{\tau }_n^j。接下来给出{\tau }_n^j关于n的单调性。

引理2 设则当\mathrm{0}\le n\le N_{\mathrm{0}},j\in N时有{\tau }_{n+\mathrm{1}}^j>{\tau }_n^j成立。

证明 对式（18）进行变形，有

{\omega }_n^{\mathrm{2}}=\frac{-(A_n^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}{C}_n)+\sqrt[]{(A_n^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}{C}_n{)}^{\mathrm{2}}-\mathrm{4}(C_n^{\mathrm{2}}-B^{\mathrm{2}})}}{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{2}}{\sqrt[]{\frac{(A_n^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}{C}_n{)}^{\mathrm{2}}}{(B^{\mathrm{2}}-C_n^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{4}}{B^{\mathrm{2}}-C_n^{\mathrm{2}}}}+\frac{A_n^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}{C}_n}{B^{\mathrm{2}}-C_n^{\mathrm{2}}}},

由式（16）和式（17）可以求得A_n^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}{C}_n和C_n^{\mathrm{2}}-B^{\mathrm{2}}。通过计算我们得到，因此当\mathrm{0}\le n\le N_{\mathrm{0}}，j\in N时，A_n^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}{C}_n关于n是严格递增的，C_n^{\mathrm{2}}-B^{\mathrm{2}}关于n是严格递减的。由此可知，同时存在A_n>\mathrm{0}，故由式（20）得{\tau }_n^{\mathrm{0}}=\frac{\mathrm{1}}{{\omega }_n}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\frac{{\omega }_n^{\mathrm{2}}-C_n}{B}，则当\mathrm{0}\le n\le N_{\mathrm{0}}，j\in N时有{\tau }_{n+\mathrm{1}}^{\mathrm{0}}>{\tau }_n^{\mathrm{0}}，又因为，则由\tau的表达式可知{\tau }_{n+\mathrm{1}}^j>{\tau }_n^j，其中，\mathrm{0}\le n\le N_{\mathrm{0}}，j\in N。证毕。

选取参数K=\mathrm{5}，m=\mathrm{0.7}，\theta =\mathrm{0.4}，d_{\mathrm{1}}=\mathrm{0.07}，d_{\mathrm{2}}=\mathrm{0.05}，给出引理2中的{\tau }_n^j关于n的单调性具体分析，如图1。

因此经过上述分析，可以得到定理 2。

定理2 设，则可得

（1）当\tau \in [\mathrm{0},{\tau }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{0}})，此时系统（8）在正常数平衡点E_{\mathrm{*}}(u_{\mathrm{*}},v_{\mathrm{*}})处处于局部渐近稳定状态；

（2）当\tau \in ({\tau }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{0}},\mathrm{\infty })，此时系统（8）在正常数平衡点E_{\mathrm{*}}(u_{\mathrm{*}},v_{\mathrm{*}})处处于不稳定状态；

（3）当\tau ={\tau }_n^j(\mathrm{0}\le n\le N_{\mathrm{0}},j\in N)，此时系统（8）在正常数平衡点E_{\mathrm{*}}(u_{\mathrm{*}},v_{\mathrm{*}})处产生Hopf分支。

2 Hopf分支方向和稳定性

本节对时滞参数\tau ={\tau }_{\mathrm{0}}\equiv {\tau }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{0}}时的Hopf分支方向和分支周期解的稳定性进行了分析讨论。令\tau ={\tau }_{\mathrm{0}}+\mu，并将t=\tau \tilde{t}代入抽象微分方程（10），为方程形式简明，将\tilde{t}记为t，得到如下方程

\frac{\mathrm{d}U(t)}{\mathrm{d}t}={\tau }_{\mathrm{0}}d\mathrm{\Delta }U(t)+{\tau }_{\mathrm{0}}{L}_{\mathrm{0}}(U_t)+G(U_t,\mu ),（23）

其中对于\varphi \in C([-\mathrm{1,0}],X)有

L_{\mathrm{0}}(\varphi )=\left(\begin{array}{l}\left(\mathrm{1}-\frac{\mathrm{2}{u}_{\mathrm{*}}}{K}-\frac{\mathrm{2}m{u}_{\mathrm{*}}{v}_{\mathrm{*}}}{\mathrm{1}+(u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}}\right){\varphi }_{\mathrm{1}}(\mathrm{0})-\theta {\varphi }_{\mathrm{2}}(-\mathrm{1})\\ \frac{\mathrm{2}m{u}_{\mathrm{*}}{v}_{\mathrm{*}}}{\mathrm{1}+(u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}}{\varphi }_{\mathrm{1}}(\mathrm{0})\end{array}\right),

G(\varphi ,\mu )=\mu d\mathrm{\Delta }\varphi (\mathrm{0})+\mu L_{\mathrm{0}}(\varphi )+(\mu +{\tau }_{\mathrm{0}})F_{\mathrm{0}}(\varphi ),

F_{\mathrm{0}}(\varphi )=\left(\begin{array}{c}({\varphi }_{\mathrm{1}}(\mathrm{0})+u_{\mathrm{*}})\left(\mathrm{1}-\frac{{\varphi }_{\mathrm{1}}(\mathrm{0})+u_{\mathrm{*}}}{K}\right)-\frac{m({\varphi }_{\mathrm{1}}(\mathrm{0})+u_{\mathrm{*}}{)}^{\mathrm{2}}({\varphi }_{\mathrm{2}}(-\tau )+v_{\mathrm{*}})}{\mathrm{1}+({\varphi }_{\mathrm{1}}(\mathrm{0})+u_{\mathrm{*}}{)}^{\mathrm{2}}}+\left(\mathrm{1}-\frac{\mathrm{2}{u}_{\mathrm{*}}}{K}-\frac{\mathrm{2}m{u}_{\mathrm{*}}{v}_{\mathrm{*}}}{(\mathrm{1}+u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}}\right){\varphi }_{\mathrm{1}}(\mathrm{0})+\theta {\varphi }_{\mathrm{2}}(-\tau )\\ -\theta ({\varphi }_{\mathrm{2}}(\mathrm{0})+v_{\mathrm{*}})+\frac{m({\varphi }_{\mathrm{1}}(\mathrm{0})+u_{\mathrm{*}}{)}^{\mathrm{2}}({\varphi }_{\mathrm{2}}(\mathrm{0})+v_{\mathrm{*}})}{\mathrm{1}+({\varphi }_{\mathrm{1}}(\mathrm{0})+u_{\mathrm{*}}{)}^{\mathrm{2}}}-\frac{\mathrm{2}m{u}_{\mathrm{*}}{v}_{\mathrm{*}}}{(\mathrm{1}+u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}}{\varphi }_{\mathrm{1}}(\mathrm{0})\end{array}\right)\mathrm{。}

同时在（0，0）处对系统（9）进行线性化处理，得到相应的线性化系统为

\frac{\mathrm{d}U(t)}{\mathrm{d}t}={\tau }_{\mathrm{0}}d\mathrm{\Delta }U(t)+{\tau }_{\mathrm{0}}{L}_{\mathrm{0}}(U_t)\mathrm{。}（24）

根据先前节所述，可以确认线性化系统（24）存在特征值\pm \mathrm{i}{\omega }_{\mathrm{0}}{\tau }_{\mathrm{0}}。根据里斯表示定理，存在2×2的有界变差函数矩阵\mathit{\eta }(\theta ,\mu )(\theta \in [-\mathrm{1,0}])使得

({\tau }_{\mathrm{0}}+\mu )L_{\mathrm{0}}(\varphi )={\int }_{-\mathrm{1}}^{\mathrm{0}}d\mathit{\eta }(\theta ,\mu )\varphi (\theta ),\varphi (\theta )\in C([-\mathrm{1,0}],{\mathbf{R}}^{\mathrm{2}}),

其中

\mathit{\eta }(\theta ,\mu )=({\tau }_{\mathrm{0}}+\mu )\left(\begin{array}{ll}\mathrm{1}-\frac{\mathrm{2}{u}_{\mathrm{*}}}{K}-\frac{\mathrm{2}m{u}_{\mathrm{*}}{v}_{\mathrm{*}}}{\mathrm{1}+(u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}}& \mathrm{0}\\ \frac{\mathrm{2}m{u}_{\mathrm{*}}{v}_{\mathrm{*}}}{\mathrm{1}+(u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}}& \mathrm{0}\end{array}\right)\delta (\theta )-({\tau }_{\mathrm{0}}+\mu )\left(\begin{array}{cc}\mathrm{0}& -\theta \\ \mathrm{0}& \mathrm{0}\end{array}\right)\delta (\theta +\mathrm{1}),

同时对\delta (\theta ):[-\mathrm{1,0}]\to (X,X)，(X,X)表示双线性型的定义域，有

\delta (\theta )=\left\{\begin{array}{ll}\mathrm{0},& \theta \in [-\mathrm{1,0}),\\ -\mathrm{1},& \theta =\mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}\right.

下面定义算子A(\mathrm{0})，若满足条件\varphi (\theta )\in C^{\mathrm{1}}([-\mathrm{1,0}],{\mathbf{R}}^{\mathrm{2}})，则规定A(\mathrm{0})为

A(\mathrm{0})(\varphi (\theta ))=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\mathrm{d}\varphi (\theta )}{\mathrm{d}\theta },& \theta \in [-\mathrm{1,0}),\\ {\int }_{-\mathrm{1}}^{\mathrm{0}}\mathrm{d}\eta (\theta ,\mathrm{0})\varphi (\theta ),& \theta =\mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}\right.

定义算子A^{\mathrm{*}}，若满足条件\psi (s)\in C^{\mathrm{1}}([-\mathrm{1,0}],({\mathbf{R}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{*}})，则规定A^{\mathrm{*}}为

A^{\mathrm{*}}(\psi (s))=\left\{\begin{array}{ll}-\frac{\mathrm{d}\psi (s)}{\mathrm{d}s},& s\in (\mathrm{0,1}],\\ {\int }_{-\mathrm{1}}^{\mathrm{0}}\psi (-s)\mathrm{d}\eta (\theta ,\mathrm{0}),& s=\mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}\right.

对于u=(u_{\mathrm{1}},u_{\mathrm{2}})，v=(v_{\mathrm{1}},v_{\mathrm{2}})\in X=C([\mathrm{0},l\mathrm{\pi }],{\mathbf{R}}^{\mathrm{2}})，我们规定其内积如下

另外，对于\varphi (\theta )\in C^{\mathrm{1}}([-\mathrm{1,0}],{\mathbf{R}}^{\mathrm{2}})和\psi (s)\in C^{\mathrm{1}}([-\mathrm{1,0}],({\mathbf{R}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{*}})引入如下双线性型的情形

我们得到A(\mathrm{0})和A^{\mathrm{*}}的定义为一对双线性形式下的伴随算子。通过计算，求得算子A(\mathrm{0})和A^{\mathrm{*}}的特征值为\pm \mathrm{i}{\omega }_{\mathrm{0}}{\tau }_{\mathrm{0}}，令A(\mathrm{0})的特征值\mathrm{i}{\omega }_{\mathrm{0}}{\tau }_{\mathrm{0}}的特征向量为\mathit{q}(\theta )，令A^{\mathrm{*}}的特征值-\mathrm{i}{\omega }_{\mathrm{0}}{\tau }_{\mathrm{0}}的特征向量为{\mathit{q}}^{\mathrm{*}}(s)，同时使得

A(\mathrm{0})\mathit{q}(\theta )=\mathrm{i}{\omega }_{\mathrm{0}}{\tau }_{\mathrm{0}}q(\theta ),A^{\mathrm{*}}{\mathit{q}}^{\mathrm{*}}(s)=-\mathrm{i}{\omega }_{\mathrm{0}}{\tau }_{\mathrm{0}}{q}^{\mathrm{*}}(s),

然后得到\mathit{q}(\theta )和{\mathit{q}}^{\mathrm{*}}(s)的表达式如下

\mathit{q}(\theta )=(q_{\mathrm{1}},q_{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{T}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\omega }_{\mathrm{0}}{\tau }_{\mathrm{0}}\theta }\left(\theta \in [-\mathrm{1,0}]\right),{\mathit{q}}^{\mathrm{*}}(s)=\frac{\mathrm{1}}{\overline{D}}({q_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{*}},{q_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{*}}){\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\omega }_{\mathrm{0}}{\tau }_{\mathrm{0}}s}(s\in [-\mathrm{1,0}])\mathrm{。}

根据A(\mathrm{0})和A^{\mathrm{*}}的定义计算可得

(q_{\mathrm{1}},q_{\mathrm{2}})=\left(\mathrm{1},\frac{\mathrm{i}{\omega }_{\mathrm{0}}-\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}{u}_{\mathrm{*}}}{K}+\frac{\mathrm{2}m{u}_{\mathrm{*}}{v}_{\mathrm{*}}}{\mathrm{1}+(u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}}}{\theta {\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\omega }_{\mathrm{0}}{\tau }_{\mathrm{0}}}}\right),

({q_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{*}},{q_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{*}})=\left(\mathrm{1},-\frac{\mathrm{i}\theta }{{\omega }_{\mathrm{0}}}\right)\mathrm{。}

对于\mathit{q}(\theta )和{\mathit{q}}^{\mathrm{*}}(s)，当，时，则有

D=\mathrm{1}+\frac{-{\omega }_{\mathrm{0}}-\mathrm{i}+\frac{\mathrm{2}\mathrm{i}{u}_{\mathrm{*}}}{K}+\frac{\mathrm{2}\mathrm{i}m{u}_{\mathrm{*}}{v}_{\mathrm{*}}}{\mathrm{1}+(u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}}}{{\omega }_{\mathrm{0}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}{\omega }_{\mathrm{0}}{\tau }_{\mathrm{0}}}}-\mathrm{i}{\tau }_{\mathrm{0}}{\omega }_{\mathrm{0}}+{\tau }_{\mathrm{0}}-\frac{\mathrm{2}{u}_{\mathrm{*}}{\tau }_{\mathrm{0}}}{K}-\frac{\mathrm{2}m{u}_{\mathrm{*}}{v}_{\mathrm{*}}{\tau }_{\mathrm{0}}}{\mathrm{1}+(u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}}\mathrm{。}

接下来考虑系统（24）的中心子空间，设为Y=\{(z\mathit{q}(\theta )+\overline{z}\overline{q}(\theta )):z\in C\}，在系统（23）中令\mu =\mathrm{0}，我们得以确立一个相应的中心流形存在，为

W(z,\overline{z})=W_{\mathrm{20}}(\theta )\frac{z^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}+W_{\mathrm{11}}(\theta )z\overline{z}+W_{\mathrm{02}}\frac{{\overline{z}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}+O(\mathrm{3}),

其中O(\mathrm{3})=O({‖(z,\overline{z})‖}^{\mathrm{3}})。

令\varphi =(\mathit{q}(\theta ),\overline{q}(\theta ))，\psi =({\mathit{q}}^{\mathrm{*}}(s),{\overline{q}}^{\mathrm{*}}{(s))}^{\mathrm{T}}，同时系统（23）在中心流形中的流可表述为以下形式\begin{array}{c}{u}_t=\varphi (z(t),\overline{z}{(t))}^T+W(z(t),\overline{z}(t))=\\ z\mathit{q}(\theta )+\overline{z}\overline{q}(\theta )+W_{\mathrm{20}}(\theta )\frac{z^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}+W_{\mathrm{11}}(\theta )z\overline{z}+W_{\mathrm{02}}\frac{{\overline{z}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}+O(\mathrm{3})\mathrm{。}\end{array}

由内积公式得，其中

\varphi \in C([-\mathrm{1,0}],X),f_{\mathrm{0}}=({f_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{1}},{f_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{T}},{f_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{1}}=\left(\begin{array}{c}\mathrm{1}\\ \mathrm{0}\end{array}\right),{f_{\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}=\left(\begin{array}{c}\mathrm{0}\\ \mathrm{1}\end{array}\right)\mathrm{。}

因此，当\mu =\mathrm{0}有

其中

（25）

式中O(\mathrm{4})=O({‖(z,\overline{z})‖}^{\mathrm{4}})。根据G(\varphi ,\mu )的表达式可知G(\varphi ,\mathrm{0})={\tau }_{\mathrm{0}}{F}_{\mathrm{0}}(\varphi )={\tau }_{\mathrm{0}}(G_{\mathrm{1}},G_{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{T}}，其中

\begin{array}{c}{G}_{\mathrm{1}}=\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}-\frac{\mathrm{1}}{K}+\frac{m{v}_{\mathrm{*}}(\mathrm{3}{u}_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{1})}{(\mathrm{1}+u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{3}}}\right){{\varphi }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}(\mathrm{0})-\frac{\mathrm{2}m{u}_{\mathrm{*}}}{(\mathrm{1}+u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}}{\varphi }_{\mathrm{1}}(\mathrm{0}){\varphi }_{\mathrm{2}}(-\mathrm{1})+\\ \frac{\mathrm{4}m{u}_{\mathrm{*}}{v}_{\mathrm{*}}(\mathrm{1}-u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}})}{(\mathrm{1}+u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{4}}}{{\varphi }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{3}}(\mathrm{0})+\frac{m(\mathrm{3}{u}_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{1})}{(\mathrm{1}+u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{3}}}{{\varphi }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}(\mathrm{0}){\varphi }_{\mathrm{2}}(-\mathrm{1})+O(\mathrm{4}),\end{array}（26）

\begin{array}{c}{G}_{\mathrm{2}}=-\frac{m(\mathrm{3}{u}_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{1})}{(\mathrm{1}+u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{3}}}{{\varphi }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}(\mathrm{0})+\frac{\mathrm{2}m{u}_{\mathrm{*}}}{(\mathrm{1}+u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}}{\varphi }_{\mathrm{1}}(\mathrm{0}){\varphi }_{\mathrm{2}}(\mathrm{0})+\\ \frac{\mathrm{4}m{u}_{\mathrm{*}}{v}_{\mathrm{*}}(u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{1})}{(\mathrm{1}+u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{4}}}{{\varphi }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{3}}(\mathrm{0})+\frac{m(\mathrm{3}{u}_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{1})}{(\mathrm{1}+u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{3}}}{{\varphi }_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}(\mathrm{0}){\varphi }_{\mathrm{2}}(\mathrm{0})+O(\mathrm{4}),\end{array}（27）

式中O(\mathrm{4})=O({‖(u,v)‖}^{\mathrm{4}})。

由式（25）—式（27）可得

\begin{array}{c}{g}_{\mathrm{20}}=\frac{\mathrm{2}{{\overline{q}}_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{*}}{\tau }_{\mathrm{0}}}{D}\left[\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}-\frac{\mathrm{1}}{K}+\frac{m{v}_{\mathrm{*}}(\mathrm{3}{u}_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{1})}{(\mathrm{1}+u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{3}}}\right){q_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}-\frac{\mathrm{2}m{u}_{\mathrm{*}}}{(\mathrm{1}+u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}}{q}_{\mathrm{1}}{q}_{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{-i{\omega }_{\mathrm{0}}{\tau }_{\mathrm{0}}}\right]+\\ \frac{\mathrm{2}{{\overline{q}}_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{*}}{\tau }_{\mathrm{0}}}{D}\left[-\frac{m{v}_{\mathrm{*}}(\mathrm{3}{u}_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{1})}{(\mathrm{1}+u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{3}}}{q_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{2}m{u}_{\mathrm{*}}}{(\mathrm{1}+u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}}{q}_{\mathrm{1}}{q}_{\mathrm{2}}\right],\end{array}

g_{\mathrm{11}}=\frac{{{\overline{q}}_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{*}}{\tau }_{\mathrm{0}}}{D}\left[\left(\mathrm{1}-\frac{\mathrm{2}}{K}+\frac{\mathrm{2}m{v}_{\mathrm{*}}(\mathrm{3}{u}_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{1})}{(\mathrm{1}+u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{3}}}\right)q_{\mathrm{1}}{\overline{q}}_{\mathrm{1}}-\frac{\mathrm{2}m{u}_{\mathrm{*}}}{(\mathrm{1}+u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}}(q_{\mathrm{1}}{\overline{q}}_{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{i{\omega }_{\mathrm{0}}{\tau }_{\mathrm{0}}}+{\overline{q}}_{\mathrm{1}}{q}_{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{-i{\omega }_{\mathrm{0}}{\tau }_{\mathrm{0}}})\right]+

\frac{{{\overline{q}}_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{*}}{\tau }_{\mathrm{0}}}{D}\left[-\mathrm{2}\frac{m{v}_{\mathrm{*}}(\mathrm{3}{u}_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{1})}{(\mathrm{1}+u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{3}}}{q}_{\mathrm{1}}{\overline{q}}_{\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{2}m{u}_{\mathrm{*}}}{(\mathrm{1}+u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}}(q_{\mathrm{1}}{\overline{q}}_{\mathrm{2}}+{\overline{q}}_{\mathrm{1}}{q}_{\mathrm{2}})\right],

g_{\mathrm{02}}=\frac{\mathrm{2}{{\overline{q}}_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{*}}{\tau }_{\mathrm{0}}}{D}\left[\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}-\frac{\mathrm{1}}{K}+\frac{m{v}_{\mathrm{*}}(\mathrm{3}{u}_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{1})}{(\mathrm{1}+u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{3}}}\right){{\overline{q}}_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}-\frac{\mathrm{2}m{u}_{\mathrm{*}}}{(\mathrm{1}+u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}}{\overline{q}}_{\mathrm{1}}{\overline{q}}_{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{i{\omega }_{\mathrm{0}}{\tau }_{\mathrm{0}}}\right]+

\frac{\mathrm{2}{{\overline{q}}_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{*}}{\tau }_{\mathrm{0}}}{D}\left[-\frac{m{v}_{\mathrm{*}}(\mathrm{3}{u}_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{1})}{(\mathrm{1}+u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{3}}}{{\overline{q}}_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{2}m{u}_{\mathrm{*}}}{(\mathrm{1}+u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}}{\overline{q}}_{\mathrm{1}}{\overline{q}}_{\mathrm{2}}\right],

\begin{array}{c}{g}_{\mathrm{21}}=\frac{\mathrm{2}{{\overline{q}}_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{*}}{\tau }_{\mathrm{0}}}{D}\left\{\left[\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}-\frac{\mathrm{1}}{K}+\frac{m{v}_{\mathrm{*}}(\mathrm{3}{u}_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{1})}{(\mathrm{1}+u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{3}}}\right)(\mathrm{2}{q}_{\mathrm{1}}{W}_{\mathrm{11}}^{\mathrm{1}}(\mathrm{0})+{\overline{q}}_{\mathrm{1}}{W}_{\mathrm{20}}^{\mathrm{1}}(\mathrm{0}))\right]\right.-\\ \left[\frac{\mathrm{2}m{u}_{\mathrm{*}}}{(\mathrm{1}+u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}}(\mathrm{2}{q}_{\mathrm{1}}{W}_{\mathrm{11}}^{\mathrm{2}}(-\mathrm{1})+{\overline{q}}_{\mathrm{1}}{W}_{\mathrm{20}}^{\mathrm{2}}(-\mathrm{1})+{\overline{q}}_{\mathrm{2}}{W}_{\mathrm{20}}^{\mathrm{1}}(\mathrm{0}){\mathrm{e}}^{-i{\omega }_{\mathrm{0}}{\tau }_{\mathrm{0}}}+\mathrm{2}{q}_{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{i{\omega }_{\mathrm{0}}{\tau }_{\mathrm{0}}}{W}_{\mathrm{11}}^{\mathrm{1}}(\mathrm{0}))\right]+\end{array}

\left.\left[\frac{\mathrm{4}m{u}_{\mathrm{*}}{v}_{\mathrm{*}}(\mathrm{1}-u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}})}{(\mathrm{1}+u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{4}}}(\mathrm{6}{q}_{\mathrm{1}}{W}_{\mathrm{11}}^{\mathrm{1}}(\mathrm{0})+\mathrm{3}{q_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{\overline{q}}_{\mathrm{1}}+{\overline{q}}_{\mathrm{1}}{W}_{\mathrm{20}}^{\mathrm{1}}(\mathrm{0}))\right]+\left[\frac{m(\mathrm{3}{u}_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{1})}{(\mathrm{1}+u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{3}}}({q_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{\overline{q}}_{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{i{\omega }_{\mathrm{0}}{\tau }_{\mathrm{0}}}+\mathrm{2}{q}_{\mathrm{1}}{q}_{\mathrm{2}}{\overline{q}}_{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{-i{\omega }_{\mathrm{0}}{\tau }_{\mathrm{0}}})\right]\right\}+

\frac{\mathrm{2}{{\overline{q}}_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{*}}{\tau }_{\mathrm{0}}}{D}\left\{\left[-\frac{m{v}_{\mathrm{*}}(\mathrm{3}{u}_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{1})}{(\mathrm{1}+u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{3}}}(\mathrm{2}{q}_{\mathrm{1}}{W}_{\mathrm{11}}^{\mathrm{1}}(\mathrm{0})+{\overline{q}}_{\mathrm{1}}{W}_{\mathrm{20}}^{\mathrm{1}}(\mathrm{0}))\right]+\right.

\left[\frac{\mathrm{2}m{u}_{\mathrm{*}}}{(\mathrm{1}+u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}}(\mathrm{2}{q}_{\mathrm{1}}{W}_{\mathrm{11}}^{\mathrm{2}}(\mathrm{0})+{\overline{q}}_{\mathrm{1}}{W}_{\mathrm{20}}^{\mathrm{2}}(\mathrm{0})+{\overline{q}}_{\mathrm{2}}{W}_{\mathrm{20}}^{\mathrm{1}}(\mathrm{0})+\mathrm{2}{q}_{\mathrm{2}}{W}_{\mathrm{11}}^{\mathrm{1}}(\mathrm{0}))\right]+

\left.\left[\frac{\mathrm{4}m{u}_{\mathrm{*}}{v}_{\mathrm{*}}(\mathrm{1}-u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}})}{(\mathrm{1}+u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{4}}}(\mathrm{6}{q}_{\mathrm{1}}{W}_{\mathrm{11}}^{\mathrm{1}}(\mathrm{0})+\mathrm{3}{q_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{\overline{q}}_{\mathrm{1}}+{\overline{q}}_{\mathrm{1}}{W}_{\mathrm{20}}^{\mathrm{1}}(\mathrm{0}))\right]+\left[\frac{m(\mathrm{3}{u}_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{1})}{(\mathrm{1}+u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{3}}}({q_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}{\overline{q}}_{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{q}_{\mathrm{1}}{q}_{\mathrm{2}}{\overline{q}}_{\mathrm{1}})\right]\right\}\mathrm{。}

为了得到g_{\mathrm{21}}的值，需计算W_{\mathrm{20}}(\theta )和W_{\mathrm{11}}(\theta )。由于W(z(t),\overline{z}(t))满足

（28）

式中O(\mathrm{3})=O({‖(z,\overline{z})‖}^{\mathrm{3}})，X_{\mathrm{0}}=\left\{\begin{array}{l}O,\theta \in [-\mathrm{1,0})\\ \mathit{I},\theta =\mathrm{0},\end{array}\right.，\mathit{I}为单位矩阵，通过链式法则

\frac{\partial W}{\partial t}=\frac{\partial W(z,\overline{z})}{\partial z}·\frac{\partial z}{\partial t}+\frac{\partial W(z,\overline{z})}{\partial \overline{z}}·\frac{\partial \overline{z}}{\partial t},

可得

H_{\mathrm{20}}=[\mathrm{2}\mathrm{i}{\omega }_{\mathrm{0}}{\tau }_{\mathrm{0}}-A(\mathrm{0})]W_{\mathrm{20}},H_{\mathrm{11}}=-A(\mathrm{0})W_{\mathrm{11}},H_{\mathrm{02}}=[-\mathrm{2}\mathrm{i}{\omega }_{\mathrm{0}}{\tau }_{\mathrm{0}}-A(\mathrm{0})]W_{\mathrm{02}}\mathrm{。}（29）

当\theta \in [-\mathrm{1,0})时，由式（28）可得

其中O(\mathrm{3})=O({‖(z,\overline{z})‖}^{\mathrm{3}})，则当\theta \in [-\mathrm{1,0})时，有

H_{\mathrm{20}}(\theta )=-g_{\mathrm{20}}q(\theta )-{\overline{g}}_{\mathrm{02}}\overline{q}(\theta ),H_{\mathrm{11}}(\theta )=-g_{\mathrm{11}}q(\theta )-{\overline{g}}_{\mathrm{11}}\overline{q}(\theta )\mathrm{。}（30）

结合式（29）和式（30）得到微分方程

\frac{\mathrm{d}{W}_{\mathrm{20}}(\theta )}{\mathrm{d}\theta }=\mathrm{2}\mathrm{i}{\omega }_{\mathrm{0}}{\tau }_{\mathrm{0}}{W}_{\mathrm{20}}(\theta )+g_{\mathrm{20}}q(\theta )-{\overline{g}}_{\mathrm{02}}\overline{q}(\theta )，\frac{\mathrm{d}{W}_{\mathrm{11}}(\theta )}{\mathrm{d}\theta }=g_{\mathrm{11}}q(\theta )+{\overline{g}}_{\mathrm{11}}\overline{q}(\theta )\mathrm{。}（31）

由此可得微分方程（31）的解为

W_{\mathrm{20}}(\theta )=\frac{\mathrm{i}{g}_{\mathrm{20}}}{{\omega }_{\mathrm{0}}{\tau }_{\mathrm{0}}}q(\theta )+\frac{\mathrm{i}{\overline{g}}_{\mathrm{02}}}{\mathrm{3}{\omega }_{\mathrm{0}}{\tau }_{\mathrm{0}}}\overline{q}(\theta )+K_{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\mathrm{i}{\omega }_{\mathrm{0}}{\tau }_{\mathrm{0}}\theta }，W_{\mathrm{11}}(\theta )=\frac{\mathrm{i}{g}_{\mathrm{11}}}{{\omega }_{\mathrm{0}}{\tau }_{\mathrm{0}}}q(\theta )+\frac{\mathrm{i}{\overline{g}}_{\mathrm{11}}}{{\omega }_{\mathrm{0}}{\tau }_{\mathrm{0}}}\overline{q}(\theta )+K_{\mathrm{2}}。

当\theta =\mathrm{0}时，由式（29）和

H_{\mathrm{20}}(\theta )=-g_{\mathrm{20}}q(\mathrm{0})-{\overline{g}}_{\mathrm{02}}\overline{q}(\mathrm{0})+{\tau }_{\mathrm{0}}{\mathit{K}}_{\mathrm{1}}^{(\mathrm{2})}，H_{\mathrm{11}}(\mathrm{0})=-g_{\mathrm{11}}q(\mathrm{0})-{\overline{g}}_{\mathrm{11}}\overline{q}(\mathrm{0})+{\tau }_{\mathrm{0}}{\mathit{K}}_{\mathrm{2}}^{(\mathrm{2})}，

可得K_{\mathrm{1}}={\mathit{K}}_{\mathrm{1}}^{(\mathrm{1})}·{\mathit{K}}_{\mathrm{1}}^{(\mathrm{2})},K_{\mathrm{2}}={\mathit{K}}_{\mathrm{2}}^{(\mathrm{1})}·{\mathit{K}}_{\mathrm{2}}^{(\mathrm{2})},其中

{\mathit{K}}_{\mathrm{1}}^{(\mathrm{1})}={\left(\begin{array}{ll}\mathrm{2}\mathrm{i}{\omega }_{\mathrm{0}}-\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}{u}_{\mathrm{*}}}{K}+\frac{\mathrm{2}m{u}_{\mathrm{*}}{v}_{\mathrm{*}}}{(\mathrm{1}+u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}}& -\theta {\mathrm{e}}^{-\mathrm{2}\mathrm{i}{\omega }_{\mathrm{0}}{\tau }_{\mathrm{0}}}\\ \frac{\mathrm{2}m{u}_{\mathrm{*}}{v}_{\mathrm{*}}}{(\mathrm{1}+u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}}& \mathrm{2}\mathrm{i}{\omega }_{\mathrm{0}}\end{array}\right)}^{-\mathrm{1}},

{\mathit{K}}_{\mathrm{1}}^{(\mathrm{2})}=\left(\begin{array}{l}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}-\frac{\mathrm{1}}{K}+\frac{m{v}_{\mathrm{*}}(\mathrm{3}{u}_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{1})}{(\mathrm{1}+u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{3}}}\right){q_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{2}m{u}_{\mathrm{*}}{v}_{\mathrm{*}}}{(\mathrm{1}+u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}}{q}_{\mathrm{1}}{q}_{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{-i{\omega }_{\mathrm{0}}{\tau }_{\mathrm{0}}}\\ -\frac{m{v}_{\mathrm{*}}(\mathrm{3}{u}_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{1})}{(\mathrm{1}+u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{3}}}{q_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{2}m{u}_{\mathrm{*}}{v}_{\mathrm{*}}}{(\mathrm{1}+u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}}{q}_{\mathrm{1}}{q}_{\mathrm{2}}\end{array}\right),

{\mathit{K}}_{\mathrm{2}}^{(\mathrm{1})}={\left(\begin{array}{ll}-\mathrm{1}+\frac{\mathrm{2}{u}_{\mathrm{*}}}{K}+\frac{\mathrm{2}m{u}_{\mathrm{*}}{v}_{\mathrm{*}}}{(\mathrm{1}+u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}}& -\theta \\ \frac{\mathrm{2}m{u}_{\mathrm{*}}{v}_{\mathrm{*}}}{(\mathrm{1}+u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}}& \mathrm{0}\end{array}\right)}^{-\mathrm{1}},

{\mathit{K}}_{\mathrm{2}}^{(\mathrm{2})}=\left(\begin{array}{l}\left(\mathrm{1}-\frac{\mathrm{2}}{K}+\frac{\mathrm{2}m{v}_{\mathrm{*}}(\mathrm{3}{u}_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{1})}{(\mathrm{1}+u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{3}}}\right)q_{\mathrm{1}}{\overline{q}}_{\mathrm{1}}-\frac{\mathrm{2}m{u}_{\mathrm{*}}}{(\mathrm{1}+u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}}(q_{\mathrm{1}}{\overline{q}}_{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{i{\omega }_{\mathrm{0}}{\tau }_{\mathrm{0}}}+{\overline{q}}_{\mathrm{1}}{q}_{\mathrm{2}}{\mathrm{e}}^{-i{\omega }_{\mathrm{0}}{\tau }_{\mathrm{0}}})\\ -\mathrm{2}\frac{m{v}_{\mathrm{*}}(\mathrm{3}{u}_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{1})}{(\mathrm{1}+u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{3}}}{q}_{\mathrm{1}}{\overline{q}}_{\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{2}m{u}_{\mathrm{*}}}{(\mathrm{1}+u_{\mathrm{*}}^{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}}(q_{\mathrm{1}}{\overline{q}}_{\mathrm{2}}+{\overline{q}}_{\mathrm{1}}{q}_{\mathrm{2}})\end{array}\right),

最后得到了g_{\mathrm{21}}的表达式。在综合前述理论分析之后，我们得以推导出一系列用以确定Hopf分支方向及其周期解稳定性参数的数值。

C_{\mathrm{1}}(\mathrm{0})=\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{2}{\omega }_{\mathrm{0}}{\tau }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{0}}}\left(g_{\mathrm{11}}{g}_{\mathrm{20}}-\mathrm{2}{\left|g_{\mathrm{11}}\right|}^{\mathrm{2}}-\frac{{\left|g_{\mathrm{02}}\right|}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{3}}\right)+\frac{g_{\mathrm{21}}}{\mathrm{2}}，{\mu }_{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{R}\mathrm{e}(C_{\mathrm{1}}(\mathrm{0}))}{\mathrm{R}\mathrm{e}(({\lambda }^{\text{'}}({\tau }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{0}}))}，

{\beta }_{\mathrm{2}}=\mathrm{2}\mathrm{R}\mathrm{e}(C_{\mathrm{1}}(\mathrm{0}))，T_{\mathrm{2}}=-\frac{\mathrm{I}\mathrm{m}(C_{\mathrm{1}}(\mathrm{0}))+{\mu }_{\mathrm{2}}\mathrm{I}\mathrm{m}({\lambda }^{\text{'}}({\tau }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{0}}))}{{\omega }_{\mathrm{0}}{\tau }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{0}}}。

因此，我们得出了定理3。

定理3 针对模型（8），有

（1）Hopf分支方向由{\mu }_{\mathrm{2}}决定，当时，分支方向超临界的（次临界的）；

（2）分支周期解的稳定性由{\beta }_{\mathrm{2}}决定，当时，分支周期解渐近稳定，当{\beta }_{\mathrm{2}}>\mathrm{0}时，分支周期解不稳定；

（3）分支周期解的周期由T_{\mathrm{2}}决定，当T_{\mathrm{2}}>\mathrm{0}时，周期增大，当时，周期减少。

3 数值模拟

本节通过运用MATLAB软件对先前推导的理论成果进行了进一步的检验。

对于系统（2）进行参数分析时，本研究选定参数K，m，\theta分别赋值为K=\mathrm{3}，m=\mathrm{3}，\theta =\mathrm{2}，在此参数条件下，通过精确计算，得到了正常数平衡点为E_{\mathrm{*}}(u_{\mathrm{*}},v_{\mathrm{*}})=(\mathrm{1.414,0.374})，同时满足条件，且获得{\tau }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{0}}的取值，{\tau }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{0}}=\mathrm{1.304}\mathrm{6}，取，因此由定理1可以归纳判断，在给定的参数条件下，系统（2）中所推导出的正常数平衡点E_{\mathrm{*}}(u_{\mathrm{*}},v_{\mathrm{*}})确实表现出局部渐近稳定的性质，图2分别给出t取不同值时的情形。

对参数K，m，\theta分别赋值为K=\mathrm{3}，m=\mathrm{3}，\theta =\mathrm{2}，在此参数条件下，正常数平衡点为E_{\mathrm{*}}(u_{\mathrm{*}},v_{\mathrm{*}})=(\mathrm{1.414,0.374})，取\tau =\mathrm{1.4}>{\tau }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{0}}，由定理1知，正常数平衡点E_{\mathrm{*}}(u_{\mathrm{*}},v_{\mathrm{*}})失去稳定性，此时系统（2）在(u_{\mathrm{*}},v_{\mathrm{*}})处产生Hopf分支，图3分别给出t取不同值时的情形。

针对系统（8），参数K，m，\theta，d_{\mathrm{1}}，d_{\mathrm{2}}取K=\mathrm{5}，m=\mathrm{0.7}，\theta =\mathrm{0.4}，d_{\mathrm{1}}=\mathrm{1}，d_{\mathrm{2}}=\mathrm{0.5}， 经计算可知正常数平衡点为E_{\mathrm{*}}(u_{\mathrm{*}},v_{\mathrm{*}})=(\mathrm{1.155,2.217})，且满足条件，此时有{\tau }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{0}}=\mathrm{1.106}，根据定理2和定理3可知，当\tau经过{\tau }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{0}}=\mathrm{1.106}时，正常数平衡点E_{\mathrm{*}}(u_{\mathrm{*}},v_{\mathrm{*}})会失去它的稳定性并产生Hopf分支，见图3—图5。根据定理3和第2节的公式推导可得，T_{\mathrm{2}}=\mathrm{0.020}\mathrm{7}>\mathrm{0}，由此可知当\tau经过{\tau }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{0}}=\mathrm{1.106}时，产生的Hopf分支方向为超临界，并且分支周期解是稳定的，周期增加。取和初值u(x,t)=u_{\mathrm{*}}+\mathrm{0.01}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{3}x),v(x,t)=v_{\mathrm{*}}+\mathrm{0.01}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{3}x)，因此系统（8）在正常数平衡点E_{\mathrm{*}}(u_{\mathrm{*}},v_{\mathrm{*}})处局部渐近稳定，图4分别给出t取不同值时的情形。参数K，m，\theta，d_{\mathrm{1}}，d_{\mathrm{2}}取K=\mathrm{5}，m=\mathrm{0.7}，\theta =\mathrm{0.4}，d_{\mathrm{1}}=\mathrm{1}，d_{\mathrm{2}}=\mathrm{0.5}，经计算可知正常数平衡点为E_{\mathrm{*}}(u_{\mathrm{*}},v_{\mathrm{*}})=(\mathrm{1.155,2.217})，取\tau =\mathrm{15}>{\tau }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{0}}，由定理2和定理3可知系统（8）在正常数平衡点E_{\mathrm{*}}(u_{\mathrm{*}},v_{\mathrm{*}})处产生Hopf分支，当初值取u(x,t)=u_{\mathrm{*}}+\mathrm{0.01}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\mathrm{1.5}x)，v(x,t)=v_{\mathrm{*}}+\mathrm{0.01}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\mathrm{3}x)时，图5分别给出t取不同值时的情形。

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基金资助

国家自然科学基金(11901370)

陕西省自然科学基础研究计划(2019JQ-516)

陕西省教育厅专项科研计划(19JK0142)

陕西省科协人才托举项目(20200508)

国家博士后基金(2019M653578)