广义*-Sylvester矩阵方程的重新表述

The Reformulation of a Generalized ∗-Sylvester Matrix Equation

摘要

本文主要考虑*-Sylvester矩阵方程AXB+CX^*D=E的重构问题。通过分离矩阵的实部和虚部，在一定条件下可将广义*-Sylvester矩阵方程重新表述为广义Sylvester矩阵方程，以便更好地构造数值算法。

Abstract

This paper considers the generalized ∗-Sylvester matrix equation \mathit{A}\mathit{X}\mathit{B}+\mathit{C}{\mathit{X}}^{\mathrm{*}}\mathit{D}=\mathit{E}. By separating the real and imaginary parts of the matrices, the generalized ∗-Sylvester matrix equation is reformulated into the generalized Sylvester matrix equation under a certain condition, which can better construct numerical algorithms

关键词

广义*-Sylvester矩阵方程 / 广义Sylvester矩阵方程 / 重新表述

Key words

generalized ∗-Sylvester matrix equation / generalized Sylvester matrix equation / reformulation

0 引言

设数域\mathbb{F}表示实数域\mathbb{R}或复数域\mathbb{C}。我们考虑广义∗-Sylvester矩阵方程

\mathit{A}\mathit{X}\mathit{B}+\mathit{C}{\mathit{X}}^{\mathrm{*}}\mathit{D}=\mathit{E}（1）

的重构问题，此处\mathit{A}\in {\mathbb{F}}^{m\times n}，\mathit{B},\mathit{C},\mathit{E}\in {\mathbb{F}}^{m\times m}，\mathit{D}\in {\mathbb{F}}^{n\times m}是给定的已知矩阵，\mathit{X}\in {\mathbb{F}}^{n\times m}是待求的未知矩阵。算子∗表示矩阵的转置或共轭转置运算。方程（1）在系统与控制论中具有广泛而重要的应用^［1-5］，例如：观测器设计^［6］，特征结构配置^［7］，有约束输入的系统控制^［8］，故障检测^［9］，等等。

方程（1）是∗-Sylvester方程\mathit{A}\mathit{X}+{\mathit{X}}^{\mathrm{*}}\mathit{D}=\mathit{E}的自然拓展。当∗表示共轭转置时，方程（1）称为广义∗-Sylvester矩阵方程。当∗表示转置时，方程（1）称为广义T-Sylvester矩阵方程

\mathit{A}\mathit{X}\mathit{B}+\mathit{C}{\mathit{X}}^{\mathrm{T}}\mathit{D}=\mathit{E}，（2）

它是T-Sylvester方程

\mathit{A}\mathit{X}+{\mathit{X}}^{\mathrm{T}}\mathit{D}=\mathit{E}（3）

的拓展。

最近，Oozawa等^［10］证明了方程（3）在一定条件下且当m=n时能够转换成Lyapunov矩阵方程。由于矩阵被假设为方阵(m=n)，因此在理论上仍有一定的局限性。在文献［11］，Satake等在矩阵\mathit{A}和\mathit{D}是长方阵的情形下将方程（3）等价转换为广义Sylvester矩阵方程。

本文旨在当矩阵\mathit{A}和\mathit{D}是长方阵的情形下将广义∗-Sylvester矩阵方程（1）进行重新表述。由于存在共轭运算，文献［11］中的相似变换不能应用于广义∗-Sylvester矩阵方程（1）。通过分离实部和虚部，我们可以将广义∗-Sylvester矩阵方程（1）等价转换为广义Sylvester 矩阵方程，这样能更方便地构造数值算法。这一结果可视为文献［10-11］中结果的推广。

本文组织如下：第1节回顾一些基本记号和预备结论；第2节提出并证明本文的主要结果；最后在第3节给出小结。整篇论文，用符号{(\cdot )}_{\mathrm{R}}和{(\cdot )}_{\mathrm{I}}表示矩阵或向量的实部和虚部。\mathrm{i}=\sqrt[]{-\mathrm{1}}，\lambda (\mathit{A})表示矩阵\mathit{A}的谱，即特征值的集合。

1 预备知识

对于矩阵\mathit{A}=(a_{\mathrm{1}},a_{\mathrm{2}},\cdots ,a_n)\in {\mathbb{F}}^{m\times n}，a_i表示矩阵\mathit{A}的第i列，算子\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}:{\mathbb{F}}^{m\times n}\to {\mathbb{F}}^{mn}定义为\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}(A)=(a_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}},a_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}},\cdots ,a_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}{)}^{\mathrm{T}}\in {\mathbb{F}}^{mn}，其逆算子\mathrm{v}\mathrm{e}{\mathrm{c}}^{-\mathrm{1}}:{\mathbb{F}}^{mn}\to {\mathbb{F}}^{m\times n}定义为\mathrm{v}\mathrm{e}{\mathrm{c}}^{-\mathrm{1}}(\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}(\mathit{A}))=\mathit{A}。

对于给定的矩阵\mathit{A}=(a_{ij})\in {\mathbb{F}}^{m\times n}和\mathit{B}=(b_{ij})\in {\mathbb{F}}^{p\times q}，\mathit{A}\otimes \mathit{B}\in {\mathbb{F}}^{mp\times nq}表示它们的Kronecker积，其(i,j)-块为a_{ij}\mathit{B}。此外，Kronecker积具有如下基本性质：

（1） {(\mathit{A}\otimes \mathit{B})}^{\mathrm{T}}={\mathit{A}}^{\mathrm{T}}\otimes {\mathit{B}}^{\mathrm{T}}；

（2） (\mathit{A}\otimes \mathit{B})(\mathit{C}\otimes \mathit{D})=(\mathit{A}\mathit{C})\otimes (\mathit{B}\mathit{D}),\forall \mathit{C}\in {\mathbb{F}}^{n\times l},\mathit{C}\in {\mathbb{F}}^{q\times r}；

（3） \mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}(\mathit{A}\mathit{X}\mathit{B})=({\mathit{B}}^{\mathrm{T}}\otimes \mathit{A})\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}(\mathit{X}),\forall \mathit{X}\in {\mathbb{F}}^{n\times p}。

引理1^［12］ 设\mathit{A}\in {\mathbb{F}}^{m\times n},\mathit{B}\in {\mathbb{F}}^{p\times q}，{\mathit{P}}_{mn}为置换阵，定义为

{\mathit{P}}_{mn}≔{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^m}{\displaystyle \sum _{k=\mathrm{1}}^n}(e_{kn}\otimes e_{jm})(e_{jm}\otimes e_{kn}{)}^{\mathrm{T}}\in {\mathbb{F}}^{mn\times mn},

其中e_{jm}分别是m阶单位阵{\mathit{I}}_m的第j列，则下列性质成立：

（1） {\mathit{P}}_{mn}^{\mathrm{T}}={\mathit{P}}_{mn};

（2） {\mathit{P}}_{mn}^{\mathrm{T}}{\mathit{P}}_{mn}={\mathit{P}}_{mn}{\mathit{P}}_{mn}^{\mathrm{T}}={\mathit{I}}_{mn};

（3） \mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}(\mathit{A})={\mathit{P}}_{mn}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}({\mathit{A}}^{\mathrm{T}});

（4） {\mathit{P}}_{mp}(\mathit{A}\otimes \mathit{B}){\mathit{P}}_{nq}^{\mathrm{T}}=\mathit{B}\otimes \mathit{A}\mathrm{。}

将vec 算子应用于广义∗-Sylvester矩阵方程（1），可得

({\mathit{B}}^{\mathrm{T}}\otimes \mathit{A})\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}(\mathit{X})+{\mathit{P}}_{mn}(\mathit{C}\otimes {\mathit{D}}^{\mathrm{T}})\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}(\overline{\mathit{X}})=\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}(\mathit{E}),（4）

其中\overline{\mathit{X}}是\mathit{X}的共轭。分裂矩阵\mathit{A},\mathit{B},\mathit{C},\mathit{D},\mathit{E}和\mathit{X}的实部和虚部，得：

\begin{array}{l}\mathit{A}={\mathit{A}}_{\mathrm{R}}+\mathrm{i}{\mathit{A}}_{\mathrm{I}},\mathit{B}={\mathit{B}}_{\mathrm{R}}+\mathrm{i}{\mathit{B}}_{\mathrm{I}},\mathit{C}={\mathit{C}}_{\mathrm{R}}+\mathrm{i}{\mathit{C}}_{\mathrm{I}},\\ \mathit{D}={\mathit{D}}_{\mathrm{R}}+\mathrm{i}{\mathit{D}}_{\mathrm{I}},\mathit{E}={\mathit{E}}_{\mathrm{R}}+\mathrm{i}{\mathit{E}}_{\mathrm{I}},\mathit{X}={\mathit{X}}_{\mathrm{R}}+\mathrm{i}{\mathit{X}}_{\mathrm{I}},\end{array}

那么方程（4）变为

\mathit{A}x=\left(\begin{array}{cc}{A}_{\mathrm{11}}& A_{\mathrm{12}}\\ A_{\mathrm{21}}& A_{\mathrm{22}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{R}}\\ x_{\mathrm{I}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{e}_{\mathrm{R}}\\ e_{\mathrm{I}}\end{array}\right),（5）

此处，x_{\mathrm{R}}=\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}({\mathit{X}}_{\mathrm{R}}),x_{\mathrm{I}}=\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}({\mathit{X}}_{\mathrm{I}}),e_{\mathrm{R}}=\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}({\mathit{E}}_{\mathrm{R}}),e_{\mathrm{I}}=\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{c}({\mathit{E}}_{\mathrm{I}}),以及

A_{\mathrm{11}}=({+}_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}}\otimes {\mathit{A}}_{\mathrm{R}}-{\mathit{B}}_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}}\otimes {\mathit{A}}_{\mathrm{I}})+{\mathit{P}}_{mn}({\mathit{C}}_{\mathrm{R}}\otimes {\mathit{D}}_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}}-{\mathit{C}}_{\mathrm{I}}\otimes {\mathit{D}}_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}}),

A_{\mathrm{12}}=-({\mathit{B}}_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}}\otimes {\mathit{A}}_{\mathrm{I}}+{\mathit{B}}_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}}\otimes {\mathit{A}}_{\mathrm{R}})+{\mathit{P}}_{mn}({\mathit{C}}_{\mathrm{I}}\otimes {\mathit{D}}_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}}+{\mathit{C}}_{\mathrm{R}}\otimes {\mathit{D}}_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}}),

A_{\mathrm{12}}=({\mathit{B}}_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}}\otimes {\mathit{A}}_{\mathrm{I}}+{\mathit{B}}_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}}\otimes {\mathit{A}}_{\mathrm{R}})+{\mathit{P}}_{mn}({\mathit{C}}_{\mathrm{I}}\otimes {\mathit{D}}_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}}+{\mathit{C}}_{\mathrm{R}}\otimes {\mathit{D}}_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}}),

A_{\mathrm{22}}=({\mathit{B}}_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}}\otimes {\mathit{A}}_{\mathrm{R}}-{\mathit{B}}_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}}\otimes {\mathit{A}}_{\mathrm{I}})-{\mathit{P}}_{mn}({\mathit{C}}_{\mathrm{R}}\otimes {\mathit{D}}_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}}-{\mathit{C}}_{\mathrm{I}}\otimes {\mathit{D}}_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}})\mathrm{。}

下面给出∗-非互倒的定义。注意到在此定义下0和\mathrm{\infty }将会成为谱集\{{\lambda }_{\mathrm{1}},{\lambda }_{\mathrm{2}},\dots ,{\lambda }_n\}的可能元素。

定义1 称集合\{{\lambda }_{\mathrm{1}},{\lambda }_{\mathrm{2}},\dots ,{\lambda }_n\}\subset \mathit{ℂ}\bigcup \{\mathrm{\infty }\}是∗-非互倒的，若{\lambda }_i\ne \mathrm{1}/{\overline{\lambda }}_j,\forall \mathrm{1}\le i,j\le n。

注意到在该定义下，\lambda =\mathrm{0},\mathrm{\infty }这两个值与传统假设是相同的，即对于\lambda =\mathrm{0}，有{\lambda }^{-\mathrm{1}}={\overline{\lambda }}^{-\mathrm{1}}=\mathrm{\infty }；对于\lambda =\mathrm{\infty }有{\lambda }^{-\mathrm{1}}={\overline{\lambda }}^{-\mathrm{1}}=\mathrm{0}。

引理2 设\mathit{A},\mathit{B}\in {\mathbb{C}}^{n\times m}，则方程\mathit{A}\mathit{X}\mathit{B}+{\mathit{X}}^{\mathrm{*}}=\mathit{E}存在唯一解的充分必要条件是对任意的右端项\mathit{E}，谱集\lambda (\mathit{A}{\mathit{B}}^{\mathrm{*}})是∗-非互倒的。

2 主要结果

本节我们将广义∗-Sylvester矩阵方程（1）转换为广义Sylvester矩阵方程。考虑如下两种情形：（1） m\ge n，（2） m\le n。

定理1 （m\ge n情形）设m\ge n，\mathit{A}\in {\mathbb{C}}^{m\times n},\mathit{B},\mathit{C},\mathit{D},\mathit{E}\in {\mathbb{C}}^{m\times m}。如果存在矩阵\mathit{S}\in {\mathbb{C}}^{m\times m}使得{\mathit{B}}^{\mathrm{*}}\otimes (\mathit{S}\overline{\mathit{A}})=\mathit{C}\otimes {\mathit{D}}^{\mathrm{T}}且\lambda (\mathit{S})是∗-非互倒的，则广义∗-Sylvester方程（1）等价于如下广义Sylvester矩阵方程

\mathit{A}\mathit{X}\mathit{B}-{\mathit{D}}^{\mathrm{T}}\mathit{X}{\mathit{C}}^{\mathrm{T}}{\mathit{S}}^{\mathrm{*}}=\mathit{E}-{\mathit{E}}^{\mathrm{*}}{\mathit{S}}^{\mathrm{T}}\mathrm{。}（6）

证 令

\mathit{K}=\left(\begin{array}{cc}{\mathit{I}}_m\otimes {\mathit{I}}_m-{\mathit{P}}_{mm}({\mathit{I}}_m\otimes {\mathit{S}}_{\mathrm{R}})& -{\mathit{P}}_{mm}({\mathit{I}}_m\otimes {\mathit{S}}_I)\\ -{\mathit{P}}_{mm}({\mathit{I}}_m\otimes {\mathit{S}}_{\mathrm{I}})& {\mathit{I}}_m\otimes {\mathit{I}}_m+{\mathit{P}}_{mm}({\mathit{I}}_m\otimes {\mathit{S}}_R)\end{array}\right),

则\mathit{K}是非奇异的。事实上，考虑下面的线性方程组

\mathit{K}y=\left(\begin{array}{cc}{\mathit{I}}_m\otimes {\mathit{I}}_m-{\mathit{P}}_{mm}({\mathit{I}}_m\otimes {\mathit{S}}_{\mathrm{R}})& -{\mathit{P}}_{mm}({\mathit{I}}_m\otimes {\mathit{S}}_{\mathrm{I}})\\ -{\mathit{P}}_{mm}({\mathit{I}}_m\otimes {\mathit{S}}_{\mathrm{I}})& {\mathit{I}}_m\otimes {\mathit{I}}_m+{\mathit{P}}_{mm}({\mathit{I}}_m\otimes {\mathit{S}}_{\mathrm{R}})\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{y}_{\mathrm{R}}\\ y_{\mathrm{I}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{f}_{\mathrm{R}}\\ f_{\mathrm{I}}\end{array}\right),

这一方程组等价于下面的∗-Stein矩阵方程

\mathit{Y}-{\mathit{Y}}^{\mathrm{*}}{\mathit{S}}^{\mathrm{T}}=\mathit{F},（7）

这里\mathit{Y}=\mathrm{v}\mathrm{e}{\mathrm{c}}^{-\mathrm{1}}(y_{\mathrm{R}})+\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}{\mathrm{c}}^{-\mathrm{1}}(y_{\mathrm{I}})\in {\mathbb{C}}^{m\times m}，F=\mathrm{v}\mathrm{e}{\mathrm{c}}^{-\mathrm{1}}(f_{\mathrm{R}})+\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}{\mathrm{c}}^{-\mathrm{1}}(f_{\mathrm{I}})\in {\mathbb{C}}^{m\times m}。因此，矩阵\mathit{K}非奇异当且仅当矩阵方程（7）对任意的右端项F有唯一解。根据引理2，易知∗-Stein矩阵方程（7）对任意的右端项F有唯一解当且仅当谱集\lambda (\mathit{S})是∗-非互倒的。因此根据定理的条件，矩阵\mathit{K}是非奇异的。

由B^{\mathrm{*}}\otimes (S\overline{A})=C\otimes D^{\mathrm{T}}，可得

B_R^{\mathrm{T}}\otimes (S_{\mathrm{R}}{A}_{\mathrm{R}}+S_{\mathrm{I}}{A}_{\mathrm{I}})+B_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}}\otimes (S_{\mathrm{I}}{A}_{\mathrm{R}}-S_{\mathrm{R}}{A}_{\mathrm{I}})=C_{\mathrm{R}}\otimes D_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}}-C_{\mathrm{I}}\otimes D_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}},（8）

-B_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}}\otimes (S_{\mathrm{R}}{A}_{\mathrm{R}}+S_{\mathrm{I}}{A}_{\mathrm{I}})+B_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}}\otimes (S_{\mathrm{I}}{A}_{\mathrm{R}}-S_{\mathrm{R}}{A}_{\mathrm{I}})=C_{\mathrm{I}}\otimes D_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}}+C_{\mathrm{R}}\otimes D_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}}\mathrm{。}（9）

用非奇异矩阵\mathit{K}乘以方程（5）的两边，得

\mathit{K}\mathit{A}x=\left(\begin{array}{cc}{K}_{\mathrm{11}}{A}_{\mathrm{11}}+K_{\mathrm{12}}{A}_{\mathrm{21}}& K_{\mathrm{11}}{A}_{\mathrm{12}}+K_{\mathrm{12}}{A}_{\mathrm{22}}\\ K_{\mathrm{21}}{A}_{\mathrm{11}}+K_{\mathrm{22}}{A}_{\mathrm{21}}& K_{\mathrm{21}}{A}_{\mathrm{12}}+K_{\mathrm{22}}{A}_{\mathrm{22}}\end{array}\right)x=\mathit{K}\left(\begin{array}{c}{e}_{\mathrm{R}}\\ e_{\mathrm{I}}\end{array}\right),（10）

这里K_{ij}(i,j=\mathrm{1,2})表示矩阵\mathit{K}的(i,j)-块。根据式（8）和式（9），可得

K_{\mathrm{11}}{A}_{\mathrm{11}}+K_{\mathrm{12}}{A}_{\mathrm{21}}=(B_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}}\otimes A_{\mathrm{R}}-B_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}}\otimes A_{\mathrm{I}})-[(S_{\mathrm{R}}{C}_{\mathrm{R}}+S_{\mathrm{I}}{C}_{\mathrm{I}})\otimes D_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}}-(S_{\mathrm{R}}{C}_{\mathrm{I}}-S_{\mathbf{I}}{C}_{\mathbf{R}})\otimes D_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}}],

K_{\mathrm{11}}{A}_{\mathrm{12}}+K_{\mathrm{12}}{A}_{\mathrm{22}}=-(B_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}}\otimes A_{\mathrm{I}}+B_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}}\otimes A_{\mathrm{R}})-[(S_{\mathrm{R}}{C}_{\mathrm{R}}+S_{\mathrm{I}}{C}_{\mathrm{I}})\otimes D_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}}-(S_{\mathrm{R}}{C}_{\mathrm{I}}-S_{\mathbf{I}}{C}_{\mathbf{R}})\otimes D_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}}],

K_{\mathrm{21}}{A}_{\mathrm{11}}+K_{\mathrm{22}}{A}_{\mathrm{21}}=(B_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}}\otimes A_{\mathrm{I}}+B_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}}\otimes A_{\mathrm{R}})+[(S_{\mathrm{R}}{C}_{\mathrm{R}}+S_{\mathrm{I}}{C}_{\mathrm{I}})\otimes D_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}}-(S_{\mathrm{R}}{C}_{\mathrm{I}}-S_{\mathbf{I}}{C}_{\mathbf{R}})\otimes D_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}}],

K_{\mathrm{21}}{A}_{\mathrm{12}}+K_{\mathrm{22}}{A}_{\mathrm{22}}=(B_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}}\otimes A_{\mathrm{R}}-B_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}}\otimes A_{\mathrm{I}})-[(S_{\mathrm{R}}{C}_{\mathrm{R}}+S_{\mathrm{I}}{C}_{\mathrm{I}})\otimes D_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}}-(S_{\mathrm{R}}{C}_{\mathrm{I}}-S_{\mathbf{I}}{C}_{\mathbf{R}})\otimes D_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}}],

以及

\mathit{K}\left(\begin{array}{c}{e}_{\mathrm{R}}\\ e_{\mathrm{I}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{e}_{\mathrm{R}}-P_{mm}(I_m\otimes S_{\mathrm{R}})e_{\mathrm{R}}-P_{mm}(I_m\otimes S_{\mathrm{I}})e_{\mathrm{I}}\\ e_{\mathrm{I}}-P_{mm}(I_m\otimes S_{\mathrm{I}})e_{\mathrm{R}}+P_{mm}(I_m\otimes S_{\mathrm{R}})e_{\mathrm{I}}\end{array}\right)\mathrm{。}

另一方面，将算子vec作用于广义Sylvester矩阵方程（6）并考虑分离矩阵的实部和虚部，我们可以把广义Sylvester方程（6）看作线性方程组（10）。这就完成了定理的证明。

定理2 （m\le n情形）设m\le n，\mathit{A}\in {\mathbb{C}}^{m\times n},B,C,D,E\in {\mathbb{C}}^{m\times m}。若存在矩阵\mathit{H}\in {\mathbb{C}}^{n\times m}和\mathit{G}\in {\mathbb{C}}^{m\times m}使得\mathit{C}=\mathit{A}\mathit{H},\mathit{D}=\mathit{G}\mathit{B}且\lambda ({\mathit{G}}^{\mathrm{T}}\overline{\mathit{H}})是∗-非互倒的，则广义∗-Sylvester方程（1）等价于如下广义Sylvester矩阵方程

\mathit{A}\tilde{X}\mathit{B}-(\overline{C}{\mathit{G}}^{\mathrm{T}})\tilde{X}({\mathit{H}}^{\mathrm{T}}\overline{\mathit{D}})=\mathit{E},（11）

其中\tilde{X}满足X=\tilde{X}-H{\tilde{X}}^{\mathrm{*}}G。

证明 设

Q=\left(\begin{array}{cc}{I}_m\otimes I_m-Q_{\mathrm{1}}& -Q_{\mathrm{2}}\\ -Q_{\mathrm{2}}& I_m\otimes I_m+Q_{\mathrm{1}}\end{array}\right),

这里Q_{\mathrm{1}}=P_{mm}(H_{\mathrm{R}}\otimes G_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}}-H_{\mathrm{I}}\otimes G_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}}),Q_{\mathrm{2}}=P_{mm}(H_{\mathrm{R}}\otimes G_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}}+H_{\mathrm{I}}\otimes G_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}})。那么Q是非奇异的。事实上，考虑下面的线性方程组

Qy=Q\left(\begin{array}{c}{y}_{\mathrm{R}}\\ y_{\mathrm{I}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{f}_{\mathrm{R}}\\ f_{\mathrm{I}}\end{array}\right)\mathrm{。}

此方程组等价于下面的∗-Stein矩阵方程

Y-H{Y}^{\mathrm{*}}G=F,（12）

这里Y=\mathrm{v}\mathrm{e}{\mathrm{c}}^{-\mathrm{1}}(y_R)+\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}{\mathrm{c}}^{-\mathrm{1}}(y_I)\in {\mathbb{C}}^{m\times m}，F=\mathrm{v}\mathrm{e}{\mathrm{c}}^{-\mathrm{1}}(f_R)+\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}{\mathrm{c}}^{-\mathrm{1}}(f_I)\in {\mathbb{C}}^{m\times m}。因此，矩阵Q非奇异当且仅当矩阵方程（12）对任意的右端项F有唯一解。根据引理2，易知∗-Stein矩阵方程（12）对任意的右端项F有唯一解当且仅当谱集\lambda (G^{\mathrm{T}}\overline{H})是∗-非互倒的。因此根据定理的条件，矩阵Q是非奇异的。

因C=AH和D=GB，即

C=C_{\mathrm{R}}+\mathrm{i}{C}_{\mathrm{I}}=(A_{\mathrm{R}}{H}_{\mathrm{R}}-A_{\mathrm{I}}{H}_{\mathrm{I}})+\mathrm{i}(A_{\mathrm{R}}{H}_{\mathrm{I}}-A_{\mathrm{I}}{H}_{\mathrm{R}}),（13）

D=D_{\mathrm{R}}+\mathrm{i}{D}_{\mathrm{I}}=(G_{\mathrm{R}}{B}_{\mathrm{R}}-G_{\mathrm{I}}{B}_{\mathrm{I}})+\mathrm{i}(G_{\mathrm{R}}{B}_{\mathrm{I}}-G_{\mathrm{I}}{B}_{\mathrm{R}})\mathrm{。}（14）

我们可推得

(B_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}}\otimes A_{\mathrm{R}}-B_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}}\otimes A_{\mathrm{I}})Q_{\mathrm{1}}-(B_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}}\otimes A_{\mathrm{I}}-B_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}}\otimes A_{\mathrm{R}})Q_{\mathrm{2}}=P_{mm}(C_{\mathrm{R}}\otimes D_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}}-C_{\mathrm{I}}\otimes D_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}}),（15）

(B_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}}\otimes A_{\mathrm{I}}+B_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}}\otimes A_{\mathrm{R}})Q_{\mathrm{1}}+(B_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}}\otimes A_{\mathrm{R}}-B_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}}\otimes A_{\mathrm{I}})Q_{\mathrm{2}}=P_{mm}(C_{\mathrm{I}}\otimes D_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}}-C_{\mathrm{R}}\otimes D_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}})\mathrm{。}（16）

事实上，由引理1、式（13）和式（14）可得

\begin{array}{c}{P}_{mm}[(B_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}}\otimes A_{\mathrm{R}}-B_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}}\otimes A_{\mathrm{I}})Q_{\mathrm{1}}-(B_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}}\otimes A_{\mathrm{I}}-B_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}}\otimes A_{\mathrm{R}})Q_{\mathrm{2}}]-P_{mm}[P_{mm}(C_{\mathrm{R}}\otimes D_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}}-C_{\mathrm{I}}\otimes D_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}})]=\\ (A_{\mathrm{R}}\otimes B_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}}-A_{\mathrm{I}}\otimes B_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}})(H_{\mathrm{R}}\otimes G_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}}-H_{\mathrm{I}}\otimes G_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}})-(A_I\otimes B_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}}+A_{\mathrm{R}}\otimes B_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}})(H_{\mathrm{R}}\otimes G_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}}+H_{\mathrm{I}}\otimes G_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}})-\\ (C_{\mathrm{R}}\otimes D_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}}-C_{\mathrm{I}}\otimes D_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}})=(A_{\mathrm{R}}{H}_{\mathrm{R}}-A_{\mathrm{I}}{H}_{\mathrm{I}})\otimes (G_{\mathrm{R}}{B}_{\mathrm{R}}-G_{\mathrm{I}}{B}_{\mathrm{I}}{)}^{\mathrm{T}}-\\ (A_{\mathrm{R}}{H}_{\mathrm{I}}+A_{\mathrm{I}}{H}_{\mathrm{R}})\otimes (G_{\mathrm{I}}{B}_{\mathrm{R}}-G_{\mathrm{R}}{B}_{\mathrm{I}}{)}^{\mathrm{T}}-(C_{\mathrm{R}}\otimes D_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}}-C_{\mathrm{I}}\otimes D_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}})=\mathrm{0},\end{array}

和

\begin{array}{c}{P}_{mm}[(B_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}}\otimes A_{\mathrm{I}}+B_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}}\otimes A_{\mathrm{R}})Q_{\mathrm{1}}+(B_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}}\otimes A_{\mathrm{R}}-B_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}}\otimes A_{\mathrm{I}})Q_{\mathrm{2}}]-P_{mm}[P_{mm}(C_{\mathrm{I}}\otimes D_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}}-C_{\mathrm{R}}\otimes D_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}})]=\\ (A_{\mathrm{I}}\otimes B_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}}+A_{\mathrm{R}}\otimes B_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}})(H_{\mathrm{R}}\otimes G_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}}-H_{\mathrm{I}}\otimes G_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}})+(A_{\mathrm{R}}\otimes B_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}}-A_{\mathrm{I}}\otimes B_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}})(H_{\mathrm{R}}\otimes G_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}}+H_{\mathrm{I}}\otimes G_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}})-\\ (C_{\mathrm{I}}\otimes D_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}}+C_{\mathrm{R}}\otimes D_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}})=(A_{\mathrm{R}}{H}_{\mathrm{I}}+A_{\mathrm{I}}{H}_{\mathrm{R}})\otimes (G_{\mathrm{R}}{B}_{\mathrm{R}}-G_{\mathrm{I}}{B}_{\mathrm{I}}{)}^{\mathrm{T}}+\\ (A_{\mathrm{R}}{H}_{\mathrm{R}}-A_{\mathrm{I}}{H}_{\mathrm{I}})\otimes (G_{\mathrm{I}}{B}_{\mathrm{R}}+G_{\mathrm{R}}{B}_{\mathrm{I}}{)}^{\mathrm{T}}-(C_{\mathrm{I}}\otimes D_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}}+C_{\mathrm{R}}\otimes D_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}})=\mathrm{0}\mathrm{。}\end{array}

因为P_{mm}是非奇异的，关系式（15）和（16）成立。

将线性方程组（5）重写为

AQ\left(\begin{array}{c}{\tilde{x}}_{\mathrm{R}}\\ {\tilde{x}}_{\mathrm{I}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{A}_{\mathrm{11}}{Q}_{\mathrm{11}}+A_{\mathrm{12}}{Q}_{\mathrm{21}}& A_{\mathrm{11}}{Q}_{\mathrm{12}}+A_{\mathrm{12}}{Q}_{\mathrm{22}}\\ A_{\mathrm{21}}{Q}_{\mathrm{11}}+A_{\mathrm{22}}{Q}_{\mathrm{21}}& A_{\mathrm{21}}{Q}_{\mathrm{11}}+A_{\mathrm{22}}{Q}_{\mathrm{22}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\tilde{x}}_{\mathrm{R}}\\ {\tilde{x}}_{\mathrm{I}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{e}_{\mathrm{R}}\\ e_{\mathrm{I}}\end{array}\right),（17）

其中Q_{ij}(i,j=\mathrm{1,2})是矩阵\mathit{Q}的(i,j)-块，且

\left(\begin{array}{c}{\tilde{x}}_{\mathrm{R}}\\ {\tilde{x}}_{\mathrm{I}}\end{array}\right)=Q^{-\mathrm{1}}\left(\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{R}}\\ x_{\mathrm{I}}\end{array}\right)\mathrm{。}（18）

根据式（15）和式（16），我们有

\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{11}}{Q}_{\mathrm{11}}+A_{\mathrm{12}}{Q}_{\mathrm{21}}=(B_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}}\otimes A_{\mathrm{R}}-B_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}}\otimes A_{\mathrm{I}})-[(H_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}}{D}_{\mathrm{R}}+H_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}}{D}_{\mathrm{I}}{)}^{\mathrm{T}}\otimes (C_{\mathrm{R}}{G}_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}}+C_{\mathrm{I}}{G}_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}})-\\ (H_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}}{D}_{\mathrm{R}}-H_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}}{D}_{\mathrm{I}}{)}^{\mathrm{T}}\otimes (C_{\mathrm{R}}{G}_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}}-C_{\mathrm{I}}{G}_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}})],\end{array}

\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{11}}{Q}_{\mathrm{12}}+A_{\mathrm{12}}{Q}_{\mathrm{22}}=-(B_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}}\otimes A_{\mathrm{I}}+B_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}}\otimes A_{\mathrm{R}})-[(H_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}}{D}_{\mathrm{R}}+H_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}}{D}_I{)}^{\mathrm{T}}\otimes (C_{\mathrm{R}}{G}_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}}-C_{\mathrm{I}}{G}_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}})+\\ (H_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}}{D}_{\mathrm{R}}-H_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}}{D}_{\mathrm{I}}{)}^{\mathrm{T}}\otimes (C_{\mathrm{R}}{G}_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}}-C_{\mathrm{I}}{G}_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}})],\end{array}

\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{21}}{Q}_{\mathrm{11}}+A_{\mathrm{22}}{Q}_{\mathrm{21}}=(B_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}}\otimes A_{\mathrm{I}}+B_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}}\otimes A_{\mathrm{R}})+[(H_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}}{D}_{\mathrm{R}}+H_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}}{D}_{\mathrm{I}}{)}^{\mathrm{T}}\otimes (C_{\mathrm{R}}{G}_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}}-C_{\mathrm{I}}{G}_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}})+\\ (H_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}}{D}_{\mathrm{R}}-H_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}}{D}_{\mathrm{I}}{)}^{\mathrm{T}}\otimes (C_{\mathrm{R}}{G}_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}}+C_{\mathrm{I}}{G}_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}})],\end{array}

\begin{array}{c}{A}_{\mathrm{21}}{Q}_{\mathrm{11}}+A_{\mathrm{22}}{Q}_{\mathrm{22}}=(B_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}}\otimes A_{\mathrm{R}}-B_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}}\otimes A_{\mathrm{I}})-[(H_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}}{D}_{\mathrm{R}}+H_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}}{D}_{\mathrm{I}}{)}^{\mathrm{T}}\otimes (C_{\mathrm{R}}{G}_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}}+C_{\mathrm{I}}{G}_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}})-\\ (H_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}}{D}_{\mathrm{R}}-H_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}}{D}_{\mathrm{I}}{)}^{\mathrm{T}}\otimes (C_{\mathrm{R}}{G}_{\mathrm{I}}^{\mathrm{T}}-C_{\mathrm{I}}{G}_{\mathrm{R}}^{\mathrm{T}})]\mathrm{。}\end{array}

此外，x_R和x_I满足

\left(\begin{array}{c}{x}_{\mathrm{R}}\\ x_{\mathrm{I}}\end{array}\right)=Q\left(\begin{array}{c}{\tilde{x}}_{\mathrm{R}}\\ {\tilde{x}}_{\mathrm{I}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}(I_m\otimes I_m-Q_{\mathrm{1}}){\tilde{x}}_{\mathrm{R}}-Q_{\mathrm{2}}{\tilde{x}}_{\mathrm{I}}\\ -Q_{\mathrm{2}}{\tilde{x}}_{\mathrm{R}}+(I_m\otimes I_m+Q_{\mathrm{1}}){\tilde{x}}_{\mathrm{I}}\end{array}\right)\mathrm{。}

记X=\mathrm{v}\mathrm{e}{\mathrm{c}}^{-\mathrm{1}}(x_{\mathrm{R}})+\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}{\mathrm{c}}^{-\mathrm{1}}(x_{\mathrm{I}})，\tilde{X}=\mathrm{v}\mathrm{e}{\mathrm{c}}^{-\mathrm{1}}({\tilde{x}}_{\mathrm{R}})+\mathrm{i}\mathrm{v}\mathrm{e}{\mathrm{c}}^{-\mathrm{1}}({\tilde{x}}_{\mathrm{I}})，那么有X=\tilde{X}-H{\tilde{X}}^{\mathrm{*}}G。

另一方面，将算子vec作用于广义Sylvester方程（11）并考虑分离矩阵的实部和虚部，我们可以把广义Sylvester方程（11）看成线性方程组（17）。证毕。

3 小结

本文证明了在一定条件下，广义∗-Sylvester矩阵方程可以转化为广义Sylvester矩阵方程。我们注意到，定理1和定理2分别是文献［11］中的定理6和定理8的拓展。

本文的主要结果表明，广义∗-Sylvester矩阵方程可以等价转换为相应的广义Sylvester矩阵方程，而求解广义Sylvester矩阵方程已存在大量有效的数值算法。

参考文献

[1] FUJIOKA H, HARA S. State Covariance Assignment Problem with Measurement Noise: A Unified Approach Based on a Symmetric Matrix Equation[J]. Linear Algebra Appl, 1994, 203/204: 579-605. DOI: 10.1016/0024-3795(94)90215-1 .

[2] YASUDA K, SKELTON R E. Assigning Controllability and Observability Gramians in Feedback Control[J]. J Guid Contr Dyn, 1991, 14(5): 878-885. DOI: 10.2514/3.20727 .

[3] MA C F, YAN T X. A Finite Iterative Algorithm for the General Discrete-Time Periodic Sylvester Matrix Equations [J] J Frankl Inst, 2022, 359(9): 4410-4432. DOI: 10.1016/j.jfranklin.2022.03.047 .

[4] LI S H, MA C F. Factor Gradient Iterative Algorithm for Solving a Class of Discrete Periodic Sylvester Matrix Equations[J]. J Frankl Inst, 2022, 359(17): 9952-9970. DOI: 10.1016/j.jfranklin.2022.09.041 .

[5] LI S H, MA C F. An Improved Gradient Neural Network for Solving Periodic Sylvester Matrix Equations[J]. J Frankl Inst, 2023, 360(6): 4056-4070. DOI: 10.1016/j.jfranklin.2023.02.019 .

[6] DAI L. Singular Control Systems[M]. Berlin: Springer-Verlag, 1989.

[7] DUAN G R, PATTON R J. Eigenstructure Assignment in Descriptor Systems via Proportional Plus Derivative State Feedback[J]. Int J Contr, 1997, 68(5): 1147-1162. DOI: 10.1080/002071797223253 .

[8] DUAN G R. The Solution to the Matrix equation AV + BW = EVJ + R[J]. Appl Math Lett, 2004, 17(10): 1197-1202. DOI: 10.1016/j.aml.2003.05.012 .

[9] FRANK P M. Fault Diagnosis in Dynamic Systems Using Analytical and Knowledge-based Redundancy—A Survey and some New Results[J]. Autom J IFAC, 1990, 26(3): 459-474. DOI: 10.1016/0005-1098(90)90018-D .

[10] OOZAWA M, SOGABE T, MIYATAKE Y, et al. On a Relationship Between the T-congruence Sylvester Equation and the Lyapunov Equation[J]. J Comput Appl Math, 2018, 329: 51-56. DOI: 10.1016/j.cam.2017.05.044 .

[11] SATAKE Y, OOZAWA M, SOGABE T, et al. Relation between the T-congruence Sylvester Equation and the Generalized Sylvester Equation[J]. Appl Math Lett, 2019, 96: 7-13. DOI: 10.1016/j.aml.2019.04.007 .

[12] ZHANG H M, DING F. On the Kronecker Products and Their Applications[J]. J Appl Math, 2013, 2013: 296185. DOI: 10.1155/2013/296185 .

基金资助

国家自然科学基金(12371378)

福建省自然科学基金(2024J01980)

福建省自然科学基金(2023J01955)