拟微分算子弱（1，1）估计的一个证明

A Proof of Weak (1, 1) Estimates for Pseudodifferential Operators

摘要

本拟微分算子是现代调和分析的核心研究对象之一，在偏微分方程的理论研究中有着重要的应用。本文探讨了象征属于Hörmander类的拟微分算子的弱型端点估计问题，通过运用经典的Calderón-Zygmund分解理论，得到了拟微分算子的弱（1，1）有界性成立的充分条件。具体而言，当象征函数的阶m\le -(n+\mathrm{1})(\mathrm{1}-\rho )时，这类算子是Lebesgue空间到弱Lebesue空间上有界的线性算子。该研究丰富了拟微分算子的有界性理论。

Abstract

Pseudodifferential operators are one of the core research objects in modern harmonic analysis and they have important applications in the theoretical study of partial differential equations. In this paper, we discuss the weak type endpoint estimates for pseudodifferential operators with symbols in Hörmander classes and get a sufficient condition such that these operators are of weak type (1,1) by employing the classical Calderón-Zygmund decomposition theory. Specifically, under the condition that the order of the symbol function m\le -(n+\mathrm{1})(\mathrm{1}-\rho ), these operators are bounded from Lebesgue spaces to weak Lebesgue spaces. This research enriches the boundedness theory of pseudodifferential operators.

关键词

拟微分算子 / 奇异积分算子 / 弱（1，1）有界性估计 / Calderón-Zygmund分解

Key words

pseudodifferential operators / singular integral operators / estimates of weak type (1,1) / Calerón-Zygmund decomposition

0 引言

拟微分算子在偏微分方程理论研究中有重要的应用，如二阶椭圆方程的解的存在性、线性偏微分方程Cauchy问题解的唯一性和局部可解性问题等^［1］。通常，人们把拟微分算子T定义为：

Tf(x)={\int }_{{\mathrm{R}}^n}a\left(x,\xi \right){\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\mathrm{\pi }\mathrm{i}x\xi }\widehat{f}\left(\xi \right)\mathrm{d}\xi ,f\in S({\mathbf{R}}^n)，

其中\widehat{f}是函数f的Fourier变换，算子T的象征a(x,\xi )属于Hörmander象征类S_{\rho ,\delta }^m({\mathbf{R}}^n)^［2］。称{\mathbf{R}}^n\times {\mathbf{R}}^n上的光滑函数a(x,\xi )\in S_{\rho ,\delta }^m({\mathbf{R}}^n)，如果对任意的多重指标\alpha ,\beta \in {\mathbf{N}}^n和实数m\in \mathbf{R}以及\rho ,\delta \in [\mathrm{0,1}]，成立不等式

\left|{\partial }_x^{\alpha }{\partial }_{\xi }^{\beta }a(x,\xi )\right|\le C_{\alpha ,\beta }{\left(\mathrm{1}+\left|\xi \right|\right)}^{m-\rho |\beta |+\delta |\alpha |}，（1）

其中C_{\alpha ,\beta }是与x和\xi无关的常数。记象征属于Hörmander类S_{\rho ,\delta }^m({\mathbf{R}}^n)的拟微分算子全体为{\mathrm{\wp }}_{\rho ,\delta }^m，由文献［3］可知，任意的T\in {\mathrm{\wp }}_{\rho ,\delta }^m可表示为：

Tf(x)={\int }_{{\mathrm{R}}^n}K(x,y)f(y)\mathrm{d}y。

记{\mathrm{R}}^n中的Schwartz函数空间为S({\mathbf{R}}^n)，S\mathrm{\text{'}}({\mathbf{R}}^n)是其对偶空间。易知，拟微分算子是S({\mathbf{R}}^n)到S\mathrm{\text{'}}({\mathbf{R}}^n)上的有界线性算子，从而分布核K(x,y)\in S\mathrm{\text{'}}({\mathbf{R}}^n\times {\mathbf{R}}^n)^［3］。

引理1 （［4］命题3.1或［5］） 设拟微分算子T\in {\mathrm{\wp }}_{\rho ,\delta }^m，\rho \in (\mathrm{0,1}],\delta \in [\mathrm{0,1})，则算子T由

K(x,y)=\underset{\epsilon \to \mathrm{0}}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}{\int }_{{\mathbf{R}}^n}{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}\mathrm{\pi }\mathrm{i}x\xi }a(x,\xi )\psi (\epsilon \xi )\mathrm{d}\xi（2）

定义的分布核K(x,y)在对角线\{(x,x):x\in {\mathbf{R}}^n\}外光滑。其中，\psi (\xi )\in C_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}({\mathbf{R}}^n)且当|\xi |\le \mathrm{1}时，\psi (\xi )=\mathrm{1}。（2）式的极限与\psi的选取无关且按S\mathrm{\text{'}}({\mathbf{R}}^n)意义收敛。则

（i）对任意的多重指标\alpha ,\beta \in {\mathbf{N}}^n和自然数N>\mathrm{0}，有

\underset{|x-y|\ge \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{\left|x-y\right|}^N\left|D_x^{\alpha }{D}_y^{\beta }K(x,y)\right|\le C_{\alpha ,\beta ,N}。

（ii）设M\in {\mathrm{Z}}_{+}且M+m+n>\mathrm{0}。则存在常数C_M>\mathrm{0}，使得

\underset{|\alpha +\beta |=M}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}\left|D_x^{\alpha }{D}_y^{\beta }K(x,y)\right|\le C_M\frac{\mathrm{1}}{|x-y{|}^{\frac{M+m+n}{\rho }}},x\ne y。

随着偏微分方程理论基本问题的重大突破，拟微分算子逐步产生和发展。Kohn和Nirenberg^［6］以及Hörmander^［2］等对拟微分算子进行了开创性研究。随后，人们广泛研究了拟微分算子的L^p有界性^{［3，7-9］}和加权L^p有界性^［10-11］。

本文主要探讨拟微分算子T\in {\mathrm{\wp }}_{\rho ,\delta }^m的弱型端点估计问题。在文献［12］中，Álvarez，Hounie和Pérez指出，m=-\frac{n}{\mathrm{2}}(\mathrm{1}-\rho )是考察拟微分算子弱型估计的最大阶。事实上，当时，他们发现拟微分算子T\in {\mathrm{\wp }}_{\rho ,\delta }^m可以被分数阶奇异积分算子I_{n-\frac{m+n}{\rho }}逐点控制。这意味着，由分数阶奇异积分算子可以得到拟微分算子的一个弱型估计。

定理A （文献［12］推论5.2） 设拟微分算子T\in {\mathrm{\wp }}_{\rho ,\delta }^m，其中且。则T为弱\left(\mathrm{1},\frac{n\rho }{m+n}\right)型。

令\lambda =\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{\mathrm{0},\frac{\delta -\rho }{\mathrm{2}}\right\}。Alvarez和Hounie在文献［5］中得到了拟微分算子T\in {\mathrm{\wp }}_{\rho ,\delta }^m的一个弱(\mathrm{1,1})型估计，即

定理B （文献［5］定理3.2） 设拟微分算子T\in {\mathrm{\wp }}_{\rho ,\delta }^m，其中且。则T为弱(\mathrm{1,1})型。

由引理1以及文献［13］的定理4.1易知，定理B成立。文献［5］关于定理B的证明主要基于泛函分析和算子理论。本文将采用经典调和分析Calderón-Zygmund分解的方法来给出拟微分算子的弱(\mathrm{1,1})型估计。我们的主要结论如下。

定理1 设拟微分算子T\in {\mathrm{\wp }}_{\rho ,\delta }^m，其中且

。

则T为弱(\mathrm{1,1})型。特别地，参数m的容许范围可拓宽到m\le -(n+\mathrm{1})(\mathrm{1}-\rho )。

注意到-(n+\mathrm{1})(\mathrm{1}-\rho )小于m=-n\left[\frac{\mathrm{1}-\rho }{\mathrm{2}}+\lambda \right]的下确界-\frac{n}{\mathrm{2}}(\mathrm{1}-\rho )，显然，定理1的结论蕴含在定理B中。尽管如此，本文关于定理1的证明与文献［5］不同。同时，我们抛砖引玉，期望探讨用Calderón-Zygmund分解来完成参数m在-(n+\mathrm{1})(\mathrm{1}-\rho )和-\frac{n}{\mathrm{2}}(\mathrm{1}-\rho )之间关于拟微分算子弱(\mathrm{1,1})型估计的证明。

1 相关引理和符号说明

我们约定，C是一个与主要参量无关的常数。若存在常数C>\mathrm{0}使得，则记作a\prec b。a~b当且仅当a\prec b且b\prec a。设A是Lebesegue可测集，|A|和{\chi }_A分别表示集合A的Lebesgue测度和特征函数。中心在点x，半边长为r的方体Q记为Q=Q(x,r)。当t>\mathrm{0}时，tQ=Q(x,tr)。设，则L^p空间表示使

（3）

成立的{\mathbf{R}}^n上的可测函数f(x)全体构成的空间，记为L^p({\mathbf{R}}^n)。弱L^p空间，记为W{L}^p({\mathbf{R}}^n)，由满足

（4）

的可测函数f(x)全体构成。拟微分算子T\in {\mathrm{\wp }}_{\rho ,\delta }^m有如下的L^p有界性。

引理2 设拟微分算子T\in {\mathrm{\wp }}_{\rho ,\delta }^m，其中且

m\le -n(\mathrm{1}-\rho )\left|\frac{\mathrm{1}}{p}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right|+\lambda。

则当时，T是L^p({\mathbf{R}}^n)空间上的有界算子。即存在常数C>\mathrm{0}，使

{‖Tf‖}_{L^p({\mathbf{R}}^n)}\le C{‖f‖}_{L^p({\mathbf{R}}^n)}。

引理2改进了Fefferman^［8］的结论，把参数\delta的范围从推广到。文献［3］指出，m\le -n(\mathrm{1}-\rho )\left|\frac{\mathrm{1}}{p}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right|是Sharp的，这个结论为Hardy-Littlewood-Hirschman-Wainger不等式。

2 定理1的Calderón-Zygmund分解证明

本节，我们用经典的Calderón-Zygmund分解理论来证明拟微分算子T\in {\mathrm{\wp }}_{\rho ,\delta }^m是从L^{\mathrm{1}}({\mathbf{R}}^n)空间到W{L}^{\mathrm{1}}({\mathbf{R}}^n)空间上的有界算子。

证明 不妨设f\in L^{\mathrm{1}}({\mathbf{R}}^n)，则对任意的\lambda >\mathrm{0}，由Calderón-Zygmund分解可知，存在互不相交的方体列\{Q_k{\}}_{k=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}和函数g,b，使得

\left|f(x)\right|\le \lambda a.e. 于\mathrm{\Omega }=\underset{k}{\cup }{Q}_k;（5）

；（6）

\left|\mathrm{\Omega }\right|\le \sum _k\left|Q_k\right|\le \frac{\mathrm{1}}{\lambda }{‖f‖}_{L^{\mathrm{1}}({\mathbf{R}}^n)};（7）

f=g+b。（8）

其中，

g(x)=\left\{\begin{array}{ll}f(x),& x\notin \mathrm{\Omega },\\ \frac{\mathrm{1}}{|Q_k|}{\int }_{Q_k}f,& x\in Q_k,\end{array}\right.

b(x)=\sum _k{b}_{Q_k}(x)，且b_{Q_k}(x)=\left(f(x)-\frac{\mathrm{1}}{\left|Q_k\right|}{\int }_{Q_k}f\right){\chi }_{Q_k}(x)。

于是，\left|g(x)\right|\le {\mathrm{2}}^n\lambda在{\mathbf{R}}^n上几乎处处成立，b_{Q_k}支撑在Q_k上且{\int }_{Q_k}{b}_{Q_k}(x)\mathrm{d}x=\mathrm{0}。由于Tf(x)=Tg(x)+Tb(x)，我们有

\left|\left\{x\in {\mathbf{R}}^n:\left|Tf\right|>\lambda \right\}\right|\le \left|\left\{x\in {\mathbf{R}}^n:\left|Tg\right|>\frac{\lambda }{\mathrm{2}}\right\}\right|+\left|\left\{x\in {\mathbf{R}}^n:\left|Tb\right|>\frac{\lambda }{\mathrm{2}}\right\}\right|=I+J。

对于I，由Chebyshev不等式和引理2（取p=\mathrm{2}），可得

\begin{array}{c}I=\left|\left\{x\in {\mathbf{R}}^n:\left|Tg(x)\right|>\frac{\lambda }{\mathrm{2}}\right\}\right|\le \frac{C}{{\lambda }^{\mathrm{2}}}{\int }_{\{x\in {\mathbf{R}}^n:|Tg(x)|>\frac{\lambda }{\mathrm{2}}\}}{\left|Tg(x)\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x\le \frac{C}{{\lambda }^{\mathrm{2}}}{\int }_{{\mathbf{R}}^n}{\left|Tg(x)\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x=\\ \frac{C}{{\lambda }^{\mathrm{2}}}{‖Tg‖}_{L^{\mathrm{2}}({\mathbf{R}}^n)}^{\mathrm{2}}\le \frac{C}{{\lambda }^{\mathrm{2}}}{‖g‖}_{L^{\mathrm{2}}({\mathbf{R}}^n)}^{\mathrm{2}}=\frac{C}{{\lambda }^{\mathrm{2}}}{\int }_{{\mathbf{R}}^n}{\left|g(x)\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x\le \frac{C}{\lambda }{\int }_{{\mathbf{R}}^n}\left|g(x)\right|\mathrm{d}x\le \frac{C}{\lambda }{\int }_{{\mathbf{R}}^n}\left|f(x)\right|\mathrm{d}x=\frac{C}{\lambda }{‖f‖}_{L^{\mathrm{1}}({\mathbf{R}}^n)}\mathrm{。}\end{array}（9）

接下来估计J。设Q_k^{\mathrm{*}}=\mathrm{2}\sqrt[]{n}{Q}_k,{\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{*}}={\cup }_k{Q}_k^{\mathrm{*}}。可得

\left|{\mathrm{\Omega }}^{*}\right|=\left|{\cup }_k{Q}_k^{\mathrm{*}}\right|\le \sum _k\left|Q_k^{*}\right|\le {\left(\mathrm{2}\sqrt[]{n}\right)}^n\sum _k\left|Q_k\right|\le \frac{C}{\lambda }{‖f‖}_{L^{\mathrm{1}}({\mathbf{R}}^n)}（10）

和

\left|\left\{x\in {\mathbf{R}}^n:\left|Tb(x)\right|>\frac{\lambda }{\mathrm{2}}\right\}\right|\le |{\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{*}}|+\left|\left\{x\in {\mathbf{R}}^n\backslash {\mathrm{\Omega }}^{*}:\left|Tb(x)\right|>\frac{\lambda }{\mathrm{2}}\right\}\right|\le \left[\frac{C}{\lambda }{‖f‖}_{L^{\mathrm{1}}({\mathbf{R}}^n)}+\frac{C}{\lambda }{\int }_{{\mathbf{R}}^{\mathrm{n}}\backslash \mathrm{\Omega }\mathrm{*}}Tb(x)\mathrm{d}x\right]。

由于Q_k是互不相交的方体，因此\left|Tb(x)\right|\le \sum _k\left|T{b}_{Q_k}(x)\right|几乎处处成立。显然，我们只要证明

\sum _k{\int }_{{\mathbf{R}}^n\backslash {\mathrm{\Omega }}^{\mathrm{*}}}\left|Tb(x)\right|\mathrm{d}x\le C{‖f‖}_{L^{\mathrm{1}}({\mathbf{R}}^n)}。

记Q_k=Q_k(c_k,r_k)，则

{\int }_{{\mathbf{R}}^n\backslash Q_k^{\mathrm{*}}}\left|T{b}_{Q_k}(x)\right|\mathrm{d}x={\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}}{\int }_{{\mathrm{2}}^{j+\mathrm{1}}{Q}_k^{\mathrm{*}}\backslash {\mathrm{2}}^j{Q}_k^{\mathrm{*}}}\left|T{b}_{Q_k}(x)\right|\mathrm{d}x=\left({\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^{j_{\mathrm{0}}}}+{\displaystyle \sum _{j=j_{\mathrm{0}}+\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}\right){\int }_{{\mathrm{2}}^{j+\mathrm{1}}{Q}_k^{\mathrm{*}}\backslash {\mathrm{2}}^j{Q}_k^{\mathrm{*}}}\left|T{b}_{Q_k}(x)\right|\mathrm{d}x=(J_{\mathrm{1}}+J_{\mathrm{2}})，

其中j_{\mathrm{0}}=\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\left\{j\in \mathbf{N}:{\mathrm{2}}^j\mathrm{2}\sqrt[]{n}{r}_k\le \mathrm{1}\right\}。我们首先证明，对任意的y\in Q_k(c_k,r_k)和每一个x\in {\mathbf{R}}^n\backslash Q_k^{\mathrm{*}}，有|x-c_k|~|x-y|。事实上，由|y-c_k|\le \sqrt[]{n}{r}_k和|x-c_k|\ge \mathrm{2}\sqrt[]{n}{r}_k，易知

|x-y|\le |x-c_k|+|y-c_k|\le \frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}|x-c_k|，（11）

|x-y|\ge |x-c_k|-|y-c_k|\ge \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}|x-c_k|。（12）

其次，当x\in {\mathrm{2}}^{j+\mathrm{1}}{Q}_k^{\mathrm{*}}\backslash {\mathrm{2}}^j{Q}_k^{\mathrm{*}}时，我们有|x-c_k|~{\mathrm{2}}^j\mathrm{2}\sqrt[]{n}{r}_k。这是因为

{\mathrm{2}}^j\mathrm{2}\sqrt[]{n}{r}_k\le |x-c_k|\le \mathrm{2}\sqrt[]{n}{\mathrm{2}}^j\mathrm{2}\sqrt[]{n}{r}_k\Rightarrow |x-c_k|~{\mathrm{2}}^j\mathrm{2}\sqrt[]{n}{r}_k。（13）

进一步，我们还有

|{\mathrm{2}}^{j+\mathrm{1}}{Q}_k^{\mathrm{*}}\backslash {\mathrm{2}}^j{Q}_k^{\mathrm{*}}|={\mathrm{2}}^n({\mathrm{2}}^n-\mathrm{1})({\mathrm{2}}^j\mathrm{2}\sqrt[]{n}{r}_k{)}^n~C({\mathrm{2}}^j\mathrm{2}\sqrt[]{n}{r}_k{)}^n。（14）

于是，对于J_{\mathrm{1}}，依次利用b_{Q_k}的消失矩条件、中值定理以及引理1的（ii）（取M=\mathrm{1}），并注意到\mathrm{1}+m+n>\mathrm{0}，可得

\begin{array}{c}{J}_{\mathrm{1}}={\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^{j_{\mathrm{0}}}}{\int }_{{\mathrm{2}}^{j+\mathrm{1}}{Q}_k^{\mathrm{*}}\backslash {\mathrm{2}}^j{Q}_k^{\mathrm{*}}}\left|{\int }_{Q_k}K(x,y)b_{Q_k}(y)\mathrm{d}y\right|\mathrm{d}x={\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^{j_{\mathrm{0}}}}{\int }_{{\mathrm{2}}^{j+\mathrm{1}}{Q}_k^{\mathrm{*}}\backslash {\mathrm{2}}^j{Q}_k^{\mathrm{*}}}\left|{\int }_{Q_k}(K(x,y)-K(x,c_k))b_{Q_k}(y)\mathrm{d}y\right|\mathrm{d}x\le \\ {\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^{j_{\mathrm{0}}}}{\int }_{{\mathrm{2}}^{j+\mathrm{1}}{Q}_k^{\mathrm{*}}\backslash {\mathrm{2}}^j{Q}_k^{\mathrm{*}}}{\int }_{Q_k}\left|K(x,y)-K(x,c_k)||b_{Q_k}(y)\right|\mathrm{d}y\mathrm{d}x\le {\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^{j_{\mathrm{0}}}}{\int }_{{\mathrm{2}}^{j+\mathrm{1}}{Q}_k^{\mathrm{*}}\backslash {\mathrm{2}}^j{Q}_k^{\mathrm{*}}}{\int }_{Q_k}\frac{|y-c_k|}{|x-c_k{|}^{\frac{\mathrm{1}+m+n}{\rho }}}\left|b_{Q_k}(y)\right|\mathrm{d}y\mathrm{d}x\le \\ {\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^{j_{\mathrm{0}}}}{\int }_{{\mathrm{2}}^{j+\mathrm{1}}{Q}_k^{\mathrm{*}}\backslash {\mathrm{2}}^j{Q}_k^{\mathrm{*}}}\frac{\sqrt[]{n}{r}_k}{|x-c_k{|}^{\frac{\mathrm{1}+m+n}{\rho }}}\mathrm{d}x{\int }_{Q_k}\left|b_{Q_k}(y)\right|\mathrm{d}y\le {\displaystyle \sum _{j=\mathrm{0}}^{j_{\mathrm{0}}}}{\int }_{{\mathrm{2}}^{j+\mathrm{1}}{Q}_k^{\mathrm{*}}\backslash {\mathrm{2}}^j{Q}_k^{\mathrm{*}}}\frac{\sqrt[]{n}{r}_k}{|x-c_k{|}^{\frac{\mathrm{1}+m+n}{\rho }}}\mathrm{d}x{‖b‖}_{L^{\mathrm{1}}(Q_k)}\mathrm{。}\end{array}（15）

由（13）式和（14）式可知

{\int }_{{\mathrm{2}}^{j+\mathrm{1}}{Q}_k^{\mathrm{*}}\backslash {\mathrm{2}}^j{Q}_k^{\mathrm{*}}}\frac{\sqrt[]{n}{r}_k}{|x-c_k{|}^{\frac{\mathrm{1}+m+n}{\rho }}}\mathrm{d}x\le C\frac{({\mathrm{2}}^j\mathrm{2}\sqrt[]{n}{r}_k{)}^n\sqrt[]{n}{r}_k}{({\mathrm{2}}^j\mathrm{2}\sqrt[]{n}{r}_k{)}^{\frac{\mathrm{1}+m+n}{\rho }}}。（16）

显然，当\frac{\mathrm{1}+m+n}{\rho }\le n+\mathrm{1}时，（16）式的右边小于等于\frac{C}{{\mathrm{2}}^{j+\mathrm{1}}}。因此，当m\le -(n+\mathrm{1})(\mathrm{1}-\rho )时，我们有

J_{\mathrm{1}}\le C{‖b‖}_{L^{\mathrm{1}}(Q_k)}。（17）

对于J_{\mathrm{2}}，根据j_{\mathrm{0}}的选取，注意到对每一个x\in {\mathrm{2}}^{j+\mathrm{1}}{Q}_k^{\mathrm{*}}\backslash {\mathrm{2}}^j{Q}_k^{\mathrm{*}}和任意的y\in Q_k，都有

|x-y|\ge |x-c_k|-|y-c_k|\ge {\mathrm{2}}^j\mathrm{2}\sqrt[]{n}{r}_k-\sqrt[]{n}{r}_k\ge ({\mathrm{2}}^j-\mathrm{1})\mathrm{2}\sqrt[]{n}{r}_k\ge \mathrm{1}。

于是，依次利用引理1的（i）、（13）式以及（14）式，可得

\begin{array}{c}{J}_{\mathrm{2}}={\displaystyle \sum _{j=j_{\mathrm{0}}+\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{\int }_{{\mathrm{2}}^{j+\mathrm{1}}{Q}_k^{\mathrm{*}}\backslash {\mathrm{2}}^j{Q}_k^{\mathrm{*}}}\left|{\int }_{Q_k}K(x,y)b_{Q_k}(y)\mathrm{d}y\right|\mathrm{d}x\le {\displaystyle \sum _{j=j_{\mathrm{0}}+\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}{\int }_{{\mathrm{2}}^{j+\mathrm{1}}{Q}_k^{\mathrm{*}}\backslash {\mathrm{2}}^j{Q}_k^{\mathrm{*}}}\frac{\mathrm{1}}{|x-c_k{|}^{n+\mathrm{1}}}\mathrm{d}x{\int }_{Q_k}\left|b_{Q_k}(y)\right|\mathrm{d}y\le \\ C{\displaystyle \sum _{j=j_{\mathrm{0}}+\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}}\frac{\mathrm{1}}{({\mathrm{2}}^j\mathrm{2}\sqrt[]{n}{r}_k)}{‖b‖}_{L^{\mathrm{1}}(Q_k)}\le C{‖b‖}_{L^{\mathrm{1}}(Q_k)}\mathrm{。}\end{array}（18）

综合（17）式和（18）式，有

{\int }_{{\mathbf{R}}^n\backslash Q_k^{\mathrm{*}}}\left|T{b}_{Q_k}(x)\right|\mathrm{d}x\le C{‖b‖}_{L^{\mathrm{1}}(Q_k)}。

这说明

\sum _k{\int }_{{\mathbf{R}}^n\backslash Q_k^{\mathrm{*}}}\left|T{b}_{Q_k}(x)\right|\mathrm{d}x\le C\sum _k{‖b‖}_{L^{\mathrm{1}}(Q_k)}\le C{‖f‖}_{L^{\mathrm{1}}({\mathbf{R}}^n)}。（19）

最后，我们按文献［14］的方法说明m的容许范围可延拓到整个m\le -(n+\mathrm{1})(\mathrm{1}-\rho )。事实上，对于S_{\rho ,\delta }^m({\mathbf{R}}^n)来说，如果m_{\mathrm{1}}\le m_{\mathrm{2}}\le \mathrm{0}，则

S_{\rho ,\delta }^{m_{\mathrm{1}}}({\mathbf{R}}^n)\subset S_{\rho ,\delta }^{m_{\mathrm{2}}}({\mathbf{R}}^n)。

令m_c=-(n+\mathrm{1})(\mathrm{1}-\rho )，对任意的a(x,\xi )\in S_{\rho ,\delta }^m({\mathbf{R}}^n)，注意到，显然

a(x,\xi )\in S_{\rho ,\delta }^m({\mathbf{R}}^n)\subset S_{\rho ,\delta }^{m_c}({\mathbf{R}}^n)。

从而，m的容许范围可延拓到整个m\le -(n+\mathrm{1})(\mathrm{1}-\rho )。综上，定理1得证。

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基金资助

湖南省教育厅重点科研项目(21A0617)