一类椭圆问题的全局Hölder估计

Global Hölder Estimates for a Class of Elliptic Problems

摘要

文章主要考虑一类椭圆方程Dirichlet边值问题的弱解的全局Hölder估计。文章首先证明了全局高阶可积性，再给出证明主要结论的几个引理，通过建立适合的比较估计，利用Young不等式、Hölder不等式等技巧，以及覆盖迭代讨论，获得了一类椭圆方程Dirichlet边值问题的弱解的全局Hölder估计。

Abstract

The global Hölder estimate of weak solutions for a class of Dirichlet boundary value problems of elliptic equations was considered. This article first proves the global higher order integrability, and then gives several lemmas that prove the main conclusions. By establishing suitable comparative estimates and using processing tools such as the Young inequality and the Hölder inequality, the global Hölder estimate of weak solutions for a class of Dirichlet boundary value problems of elliptic equations was obtained through covering iterative discussions.

关键词

边值问题 / 弱解 / Hölder估计

Key words

boundary value problem / weak solution / Hölder estimate

0 引言

具有非标准增长条件的偏微分方程和变分问题源自弹性力学、电流变流体动力学^［1-3］和图像处理^［4-5］，在近年来引起了许多专家学者的关注。Acerbi和Mingione^［1］研究了具有p\left(x\right)增长条件的积分泛函

\mathrm{ℱ}\left(u,\mathrm{\Omega }\right)≔{\int }_{\mathrm{\Omega }}f\left(x,\nabla u\right)\mathrm{d}x,{\left|z\right|}^{p\left(x\right)}\le f\left(x,z\right)\le L\left(\mathrm{1}+{\left|z\right|}^{p\left(x\right)}\right)

的极小化的C^{\mathrm{1},\alpha }正则性，其中p\left(x\right)满足Hölder连续的条件。它的一个特例就是Zhikov-Kozlov-Oleinik在研究均匀化问题^［6］时首次引入的一种积分泛函\mathrm{ℱ}\left(u,\mathrm{\Omega }\right)≔{\int }_{\mathrm{\Omega }}{\left({\mu }^{\mathrm{2}}+D{\left(u\right)}^{\mathrm{2}}\right)}^{p\left(x\right)/\mathrm{2}}\mathrm{d}x。它为各种数学物理问题提供变分模型。Rajagopal和Růžička^［2-3］详细阐述了一种电流变液的模型，其稳态情况下的模型为

-\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\mathit{S}\left(x,\epsilon \left(v\right)\right)=g\left(x,v,Dv\right),\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}v=\mathrm{0}，

其中v表示流体速度，\epsilon \left(v\right)是梯度Dv的对称部分，附加应力张量\mathit{S}满足具有p\left(x\right)增长的单调性条件。此外，对于粘度受温度影响的流体^［7］，也会出现这种类型的模型。热敏电阻问题的微分系统^［7-9］包含的方程-\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left(p\left(x\right){\left|Du\right|}^{p\left(x\right)-\mathrm{2}}Du\right)=\mathrm{0}的解在u=\mathrm{0}时对应于\mathrm{ℱ}的极小值。关于变指数Lebesgue空间和Sobolev空间的一般理论及其相关应用，可参考文献［10-13］。

设\mathrm{\Omega }为{\mathbf{R}}^n中具有C^{\mathrm{1},\gamma }边界的有界区域，\gamma \ge \mathrm{1},n\ge \mathrm{2}。本文考虑具有可变指数的p\left(x\right)-Laplace方程

\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}A\left(x,\nabla u\right)=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left({\left|\mathit{f}\right|}^{p\left(x\right)-\mathrm{2}}\mathit{f}\right),x\in \mathrm{\Omega }，（1）

其Dirichlet边界条件为

u=u_{\mathrm{0}},x\in \partial \mathrm{\Omega }，（2）

这里可变指数p\left(x\right)满足

，（3）

并在\overline{\mathrm{\Omega }}上Hölder连续，

p\left(x\right)\in C^{\mathrm{0},{\alpha }_{\mathrm{1}}}\left(\overline{\mathrm{\Omega }}\right)，（4）

也就是说，存在正常数L和指数{\alpha }_{\mathrm{1}}\in \left(\mathrm{0,1}\right)，使得\forall x_{\mathrm{1}},x_{\mathrm{2}}\in \overline{\mathrm{\Omega }}，有\left|p\left(x_{\mathrm{1}}\right)-p\left(x_{\mathrm{2}}\right)\right|\le L{\left|x_{\mathrm{1}}-x_{\mathrm{2}}\right|}^{{\alpha }_{\mathrm{1}}}。

\mathit{f}=\left(f^{\mathrm{1}},\cdots ,f^n\right)是给定的向量，满足

f^i\left(x\right)\in C^{\mathrm{0},{\alpha }_{\mathrm{2}}}\left(\overline{\mathrm{\Omega }}\right),\mathrm{1}\le i\le n，（5）

其中常数{\alpha }_{\mathrm{2}}\in \left(\mathrm{0,1}\right)。另外，算子A=A\left(x,\xi \right):\overline{\mathrm{\Omega }}\times {\mathbf{R}}^n\to {\mathbf{R}}^n，对所有\xi ,\eta \in {\mathbf{R}}^n，x,y\in \overline{\mathrm{\Omega }}，满足如下结构性条件：

（6）

\left|A\left(x,\xi \right)\right|\le C_{\mathrm{2}}{\left(\mathrm{1}+{\left|\xi \right|}^{\mathrm{2}}\right)}^{\frac{p\left(x\right)-\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}，（7）

A\left(x,\xi \right)\cdot \xi \ge C_{\mathrm{3}}{\left({\mu }^{\mathrm{2}}+\left|\xi \right|\right)}^{\frac{p(x)}{\mathrm{2}}}-C_{\mathrm{4}}，（8）

\left|A\left(x,\xi \right)-A\left(y,\xi \right)\right|\le C_{\mathrm{5}}{\left|x-y\right|}^{{\alpha }_{\mathrm{3}}}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\left({\mu }^{\mathrm{2}}+{\left|\xi \right|}^{\mathrm{2}}\right){\left({\mu }^{\mathrm{2}}+{\left|\xi \right|}^{\mathrm{2}}\right)}^{\frac{p(x)-\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}，（9）

其中\mu ,{\alpha }_{\mathrm{3}}为正常数，C_i\left(i=\mathrm{1,2},\mathrm{3,4},\mathrm{5}\right)为正常数。

注 特别地，当A\left(x,\xi \right)={\left|\xi \right|}^{p\left(x\right)-\mathrm{2}}\xi且\mathit{f}=\mathrm{0}，（1）即为p\left(x\right)-Laplace方程\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left({\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)-\mathrm{2}}\nabla u\right)=\mathrm{0}。

本文主要考虑具有可变指数的椭圆问题（1）—（2）的弱解的全局Hölder连续性。关于具有可变指数的椭圆问题的正则性已经有许多结论^［14-19］。在Hölder连续性方面，Zhang和Zhou^［20］获得了强p\left(x\right)-Laplace方程

\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left({\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)-\mathrm{2}}\nabla u\right)+{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)-\mathrm{2}}\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\left(\left|\nabla u\right|\right)\nabla u\cdot \nabla p=\mathrm{0}

弱解梯度的局部Hölder连续性；Yao^［21］获得了p\left(x\right)-Laplace方程

\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left({\left(A\nabla u\cdot \nabla u\right)}^{\frac{p\left(x\right)-\mathrm{2}}{\mathrm{2}}}A\nabla u\right)=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left({\left|\mathit{f}\right|}^{p\left(x\right)-\mathrm{2}}\mathit{f}\right)

弱解的局部Hölder正则性，并将其推广^［22］到方程

\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}A\left(x,\nabla u\right)=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left({\left|\mathit{f}\right|}^{p\left(x\right)-\mathrm{2}}\mathit{f}\right)；

近期^［23］又获得了带有对数函数的椭圆p\left(x\right)-Laplace方程

\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left({\left(A\nabla u\cdot \nabla u\right)}^{\frac{p\left(x\right)-\mathrm{2}}{\mathrm{2}}}\mathrm{l}\mathrm{n}\left(e+{\left(A\nabla u\cdot \nabla u\right)}^{\mathrm{1}/\mathrm{2}}\right)A\nabla u\right)=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left({\left|\mathit{f}\right|}^{p\left(x\right)-\mathrm{2}}\mathrm{l}\mathrm{n}\left(e+\left|\mathit{f}\right|\right)\mathit{f}\right)

弱解的局部Hölder连续性；佟玉霞等^［24］获得了变指数A-调和方程

\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}A\left(x,\nabla u\right)=B\left(x,\nabla u\right)

弱解的梯度的局部Hölder连续性。关于椭圆方程的更多研究具体参见文献［25-27］。本文主要考虑具有可变指数的椭圆方程的弱解u\in W^{\mathrm{1},p\left(x\right)}\left(\mathrm{\Omega }\right)的全局Hölder估计。先证明所给方程的全局高阶可积性，再与参考方程进行比较估计，最后应用覆盖迭代讨论证出全局Hölder估计。首先给出如下定义。

定义1 假设\mathit{f}\in L^{p\left(x\right)}\left(\mathrm{\Omega }\right)。函数u\in W^{\mathrm{1},p\left(x\right)}\left(\mathrm{\Omega }\right)称为Dirichlet边值问题（1）—（2）的弱解，若u-u_{\mathrm{0}}\in W_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1},p\left(x\right)}\left(\mathrm{\Omega }\right)，且对任给\phi \in W_{\mathrm{0}}^{\mathrm{1},p\left(x\right)}\left(\mathrm{\Omega }\right)，有

{\int }_{\mathrm{\Omega }}A\left(x,\nabla u\right)\cdot \nabla \phi \mathrm{d}x={\int }_{\mathrm{\Omega }}{\left|\mathit{f}\right|}^{p\left(x\right)-\mathrm{2}}\mathit{f}\cdot \nabla \phi \mathrm{d}x。（10）

下面是本文的主要结论。

定理1 设\mathrm{\Omega }为{\mathbf{R}}^n中具有C^{\mathrm{1},\gamma }边界的有界区域，\gamma \ge \mathrm{1}，n\ge \mathrm{2}。若u\in W^{\mathrm{1},p\left(x\right)}\left(\mathrm{\Omega }\right)为椭圆方程Dirichlet边值问题（1）—（2）的弱解，满足条件（3）—（9），u_{\mathrm{0}}\in C^{\mathrm{1},\gamma }\left(\partial \mathrm{\Omega }\right)，则存在常数\alpha \in \left(\mathrm{0,1}\right)，使得u\in C^{\mathrm{1},\alpha }\left(\overline{\mathrm{\Omega }}\right)，其中\alpha =\frac{\left(\beta -n\kappa -\lambda \right){\gamma }_{\mathrm{1}}}{\left(\mathrm{1}+\kappa \right){\gamma }_{\mathrm{2}}}，\beta =\frac{{\alpha }_{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}，\kappa =\frac{\beta }{n+{\alpha }_{\mathrm{4}}}，{\alpha }_{\mathrm{3}},{\alpha }_{\mathrm{4}}\in \left(\mathrm{0,1}\right)。

1 预备知识和引理

具有可变指数的Lebesgue-Sobolev空间，其上定义范数

{‖f‖}_{L^{p\left(x\right)}\left(\mathrm{\Omega }\right)}=\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}\left\{\lambda >\mathrm{0}:{\int }_{\mathrm{\Omega }}{\left|\frac{f}{\lambda }\right|}^{p\left(x\right)}\mathrm{d}x\le \mathrm{1}\right\}，

此时L^{p\left(x\right)}\left(\mathrm{\Omega }\right)为Banach空间。W^{\mathrm{1},p(x)}\left(\mathrm{\Omega }\right)空间定义为W^{\mathrm{1},p(x)}\left(\mathrm{\Omega }\right)=\left\{u\in L^{p(x)}\left(\mathrm{\Omega }\right):\nabla u\in L^{p(x)}\left(\mathrm{\Omega }\right)\right\}，其上定义范数{‖u‖}_{W^{\mathrm{1},p(x)}\left(\mathrm{\Omega }\right)}={‖u‖}_{L^{p(x)}\left(\mathrm{\Omega }\right)}+{‖\nabla u‖}_{L^{p(x)}\left(\mathrm{\Omega }\right)}，此时W^{\mathrm{1},p\left(x\right)}\left(\mathrm{\Omega }\right)为Banach空间。

对于任意给定的x_{\mathrm{0}}\in \overline{\mathrm{\Omega }}，常数R>\mathrm{0}，开球。\mathrm{\Omega }\left(x_{\mathrm{0}},R\right)=B\left(x_{\mathrm{0}},R\right)\bigcap \Omega。为方便记，常数C在下文中不一定相等，仅表示出与C有关的参数。

下面给出边值问题（1）—（2）的高阶可积性结论。

引理1 设\mathrm{\Omega }为{\mathbf{R}}^n中具有C^{\mathrm{1},\gamma }边界的有界区域，\gamma \ge \mathrm{1},n\ge \mathrm{2}。若u\in W^{\mathrm{1},p(x)}\left(\mathrm{\Omega }\right)为椭圆问题（1）—（2）的弱解，满足条件（3）—（9），u_{\mathrm{0}}\in W^{\mathrm{1},\mathrm{\infty }}\left(\mathrm{\Omega }\right)，{‖u_{\mathrm{0}}‖}_{W^{\mathrm{1},\mathrm{\infty }}\left(\mathrm{\Omega }\right)}\le G。则存在正常数，与n,{\gamma }_{\mathrm{1}},{\gamma }_{\mathrm{2}},L,{\alpha }_i\left(i=\mathrm{1,2},\cdots ,\mathrm{5}\right),C_i\left(i=\mathrm{1,2},\cdots ,\mathrm{5}\right)有关的常数C，使得\nabla u\in L^{p\left(x\right)\left(\mathrm{1}+{\sigma }_{\mathrm{0}}\right)}\left(\mathrm{\Omega }\right)。并且对所有x\in \overline{\mathrm{\Omega }}，R\in \left(\mathrm{0},R_{\mathrm{0}}\right)，\sigma \in \left.\left(\mathrm{0},{\sigma }_{\mathrm{0}}\right.\right]，有

{\sout{\int }}_{\mathrm{\Omega }(x,R)}{\left|\nabla u\right|}^{p(x)(\mathrm{1}+\sigma )}\mathrm{d}x\le C{\left({\sout{\int }}_{\mathrm{\Omega }(x,\mathrm{2}R)}{\left|\nabla u\right|}^{p(x)}\mathrm{d}x\right)}^{\mathrm{1}+\sigma }+C\left({\sout{\int }}_{\mathrm{\Omega }(x,\mathrm{2}R)}\left(\mathrm{1}+{{\left|\mathit{f}\right|}^{p(x)}}^{(\mathrm{1}+\sigma )}\right)\mathrm{d}x\right)。（11）

证明 首先延拓u_{\mathrm{0}}使得u_{\mathrm{0}}\in W^{\mathrm{1},\mathrm{\infty }}\left({\mathbf{R}}^n\right)，{‖u_{\mathrm{0}}‖}_{W^{\mathrm{1},\mathrm{\infty }}\left(\mathrm{\Omega }\right)}\le G。并且在{\mathbf{R}}^n\backslash \mathrm{\Omega }上增加定义u=u_{\mathrm{0}}。由于p\left(x\right)\in C^{\mathrm{0},{\alpha }_{\mathrm{1}}}\left(\overline{\mathrm{\Omega }}\right)，可延拓p\left(x\right)使得p\left(x\right)\in C^{\mathrm{0},{\alpha }_{\mathrm{1}}}\left({\mathbf{R}}^n\right)，且满足

。

令x_{\mathrm{0}}\in \partial \mathrm{\Omega }，考虑球B\left(x_{\mathrm{0}},\mathrm{2}{R}_{\mathrm{1}}\right)，这里假设R_{\mathrm{1}}充分小，使得

{\int }_{B\left(x_{\mathrm{0}},\mathrm{2}{R}_{\mathrm{1}}\right)}{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}\mathrm{d}x\le \mathrm{1}， {{\int }_{B\left(x_{\mathrm{0}},\mathrm{2}{R}_{\mathrm{1}}\right)}\left|\nabla u_{\mathrm{0}}\right|}^{p\left(x\right)}\mathrm{d}x\le \mathrm{1}。

下面证明存在正常数R_{\mathrm{0}}\le R_{\mathrm{1}}，\sigma \in \left.\left(\mathrm{0},{\sigma }_{\mathrm{0}}\right.\right]，{\sigma }_{\mathrm{0}}\in \left(\mathrm{0},\frac{\mathrm{1}}{n}\right)和C，使得对所有满足R\le R_{\mathrm{0}}的球B\left(x,R\right)≕B_R\subset B_{\mathrm{2}R}\subset B\left(x_{\mathrm{0}},\mathrm{2}{R}_{\mathrm{1}}\right)，有

{\sout{\int }}_{B_R}{\left|\nabla u-\nabla u_{\mathrm{0}}\right|}^{p(x)}\mathrm{d}x\le C{\left({\sout{\int }}_{B_{\mathrm{2}R}}{\left|\nabla u-\nabla u_{\mathrm{0}}\right|}^{\frac{p(x)}{\mathrm{1}+\sigma }}\mathrm{d}x\right)}^{(\mathrm{1}+\sigma )}+C{\sout{\int }}_{B_R}\left(\mathrm{1}+{\left|\mathit{f}\right|}^{p(x)}\right)\mathrm{d}x。（12）

为此需分别考虑下述三种情形：

（1）当B_{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}R}\subset B\left(x_{\mathrm{0}},\mathrm{2}{R}_{\mathrm{1}}\right)\cap \mathrm{\Omega }，此时由文献［14］中定理5的证明过程中的结论（见第128页的第11行—14行），有

\begin{array}{c}{\sout{\int }}_{B_R}{\left|\nabla u-\nabla u_{\mathrm{0}}\right|}^{p\left(x\right)}\mathrm{d}x\le C{\sout{\int }}_{B_R}{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}\mathrm{d}x+C{\sout{\int }}_{B_R}{\left|\nabla u_{\mathrm{0}}\right|}^{p\left(x\right)}\mathrm{d}x\le \\ C{\left({\sout{\int }}_{B_{\mathrm{2}R}}{\left|\nabla u\right|}^{\frac{p\left(x\right)}{\left(\mathrm{1}+\sigma \right)}}\mathrm{d}x\right)}^{\mathrm{1}+\sigma }+C{\sout{\int }}_{B_R}\left(\mathrm{1}+{\left|\mathit{f}\right|}^{p(x)}\right)\mathrm{d}x+C{\sout{\int }}_{B_R}{\left|\nabla u_{\mathrm{0}}\right|}^{p\left(x\right)}\mathrm{d}x\le \\ C{\left({\sout{\int }}_{B_{\mathrm{2}R}}{\left|\nabla u-\nabla u_{\mathrm{0}}\right|}^{\frac{p\left(x\right)}{\mathrm{1}+\sigma }}\mathrm{d}x\right)}^{\mathrm{1}+\sigma }+C{\sout{\int }}_{B_R}\left(\mathrm{1}+{\left|\mathit{f}\right|}^{p(x)}\right)\mathrm{d}x,\end{array}（13）

这就获得了（12）式。

（2）当B_{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}R}\subset B\left(x_{\mathrm{0}},\mathrm{2}{R}_{\mathrm{1}}\right)\backslash \mathrm{\Omega }，此时（12）式左侧等于零，于是（12）式显然成立。

（3）当B_{\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}R}\bigcap \partial \mathrm{\Omega }\ne \mathrm{\varnothing }，定义

p_{\mathrm{1}}=\underset{B_{\mathrm{2}R}}{\underline{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}}p\left(x\right)， p_{\mathrm{2}}=\underset{B_{\mathrm{2}R}}{\underline{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}}p\left(x\right)。

任给常数\sigma \in \left(\mathrm{0,1}\right)，取R_{\mathrm{0}}足够小，满足L{\left(\mathrm{4}{R}_{\mathrm{0}}\right)}^{{\alpha }_{\mathrm{1}}}\le \sigma。于是有

p_{\mathrm{2}}-p_{\mathrm{1}}\le L{\left(\mathrm{4}R\right)}^{{\alpha }_{\mathrm{1}}}\le L{\left(\mathrm{4}{R}_{\mathrm{0}}\right)}^{{\alpha }_{\mathrm{1}}}\le \sigma。

于是由\frac{p_{\mathrm{2}}-p_{\mathrm{1}}}{p_{\mathrm{1}}}\le \frac{\sigma }{p_{\mathrm{1}}}\le \sigma，可知\frac{p_{\mathrm{2}}}{p_{\mathrm{1}}}\le \mathrm{1}+\sigma。令截断函数\eta \in C_{\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}\left(B_{\mathrm{2}R}\right)，\mathrm{0}\le \eta \le \mathrm{1}，\left|\nabla \eta \right|\le C/R，在B_R上\eta \equiv \mathrm{1}。在定义1中取\phi =\eta {}_{}{}^{p_{\mathrm{2}}}\left(u-u_{\mathrm{0}}\right)，则

\nabla \phi =p_{\mathrm{2}}{\eta }^{p_{\mathrm{2}}-\mathrm{1}}\left(u-u_{\mathrm{0}}\right)\nabla \eta +{\eta }^{p_{\mathrm{2}}}\nabla \left(u-u_{\mathrm{0}}\right)。（14）

于是由定义1，有

\begin{array}{c}{\int }_{\mathrm{\Omega }}{p}_{\mathrm{2}}{\eta }^{p_{\mathrm{2}}-\mathrm{1}}\left(u-u_{\mathrm{0}}\right)A\left(x,\nabla u\right)\cdot \nabla \eta \mathrm{d}x+{\int }_{\mathrm{\Omega }}{\eta }^{p_{\mathrm{2}}}A\left(x,\nabla u\right)\cdot \nabla \left(u-u_{\mathrm{0}}\right)\mathrm{d}x=\\ {\int }_{\mathrm{\Omega }}{p}_{\mathrm{2}}{\eta }^{p_{\mathrm{2}}-\mathrm{1}}\left(u-u_{\mathrm{0}}\right){\left|\mathit{f}\right|}^{p(x)-\mathrm{2}}\mathit{f}\cdot \nabla \eta \mathrm{d}x+{\int }_{\mathrm{\Omega }}{\eta }^{p_{\mathrm{2}}}{\left|\mathit{f}\right|}^{p(x)-\mathrm{2}}\mathit{f}\cdot \nabla \left(u-u_{\mathrm{0}}\right)\mathrm{d}x,\end{array}（15）

从而

\begin{array}{c}{\int }_{B_{\mathrm{2}R}}{\eta }^{p_{\mathrm{2}}}A\left(x,\nabla u\right)\cdot \nabla u\mathrm{d}x\le p_{\mathrm{2}}{\int }_{B_{\mathrm{2}R}}{\eta }^{p_{\mathrm{2}}-\mathrm{1}}\left|u-u_{\mathrm{0}}\right|\left|A\left(x,\nabla u\right)\right|\left|\nabla \eta \right|\mathrm{d}x+{\int }_{B_{\mathrm{2}R}}{\eta }^{p_{\mathrm{2}}}A\left(x,\nabla u\right)\cdot \nabla u_{\mathrm{0}}\mathrm{d}x+\\ p_{\mathrm{2}}{\int }_{B_{\mathrm{2}R}}{\eta }^{p_{\mathrm{2}}-\mathrm{1}}\left|u-u_{\mathrm{0}}\right|{\left|\mathit{f}\right|}^{p(x)-\mathrm{1}}\left|\nabla \eta \right|\mathrm{d}x+{\int }_{B_{\mathrm{2}R}}{\eta }^{p_{\mathrm{2}}}{\left|\mathit{f}\right|}^{p(x)-\mathrm{2}}\mathit{f}\cdot \nabla \left(u-u_{\mathrm{0}}\right)\mathrm{d}x\mathrm{。}\end{array}（16）

下面分别估计上式两侧的积分。由条件（8），

\begin{array}{c}{\int }_{B_{\mathrm{2}R}}{\eta }^{p_{\mathrm{2}}}A\left(x,\nabla u\right)\cdot \nabla u\mathrm{d}x\ge C_{\mathrm{3}}{\int }_{B_{\mathrm{2}R}}{\eta }^{p_{\mathrm{2}}}{\left({\mu }^{\mathrm{2}}+{\left|\nabla u\right|}^{\mathrm{2}}\right)}^{\frac{p\left(x\right)}{\mathrm{2}}}\mathrm{d}x-C_{\mathrm{4}}{\int }_{B_{\mathrm{2}R}}{\eta }^{p_{\mathrm{2}}}\mathrm{d}x\ge \\ C_{\mathrm{3}}{\int }_{B_{\mathrm{2}R}}{\eta }^{p_{\mathrm{2}}}{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}\mathrm{d}x-C_{\mathrm{4}}{\int }_{B_{\mathrm{2}R}}{\eta }^{p_{\mathrm{2}}}\mathrm{d}x\mathrm{。}\end{array}（17）

由条件（7）和Young不等式，并注意到\left|\nabla \eta \right|\le C/R，且p\left(x\right)\ge \frac{p_{\mathrm{2}}}{p_{\mathrm{2}}-\mathrm{1}}\left[p\left(x\right)-\mathrm{1}\right]，于是有

\begin{array}{c}{p}_{\mathrm{2}}{\int }_{B_{\mathrm{2}R}}{\eta }^{p_{\mathrm{2}}-\mathrm{1}}\left|u-u_{\mathrm{0}}\right|\left|A\left(x,\nabla u\right)\right|\left|\nabla \eta \right|\mathrm{d}x\le \\ C{p}_{\mathrm{2}}{\int }_{B_{\mathrm{2}R}}{\eta }^{p_{\mathrm{2}}-\mathrm{1}}\left(\mathrm{1}+{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)-\mathrm{1}}\right)\left|\frac{u-u_{\mathrm{0}}}{R}\right|\mathrm{d}x\le \\ C{p}_{\mathrm{2}}\tau {\int }_{B_{\mathrm{2}R}}{\eta }^{p_{\mathrm{2}}}{\left(\mathrm{1}+{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)-\mathrm{1}}\right)}^{\frac{p_{\mathrm{2}}}{p_{\mathrm{2}}-\mathrm{1}}}\mathrm{d}x+C\left(\tau \right)p_{\mathrm{2}}{\int }_{B_{\mathrm{2}R}}{\left|\frac{u-u_{\mathrm{0}}}{R}\right|}^{p_{\mathrm{2}}}\mathrm{d}x\le \\ C{p}_{\mathrm{2}}\tau {\int }_{B_{\mathrm{2}R}}{\eta }^{p_{\mathrm{2}}}\left({\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}+\mathrm{1}\right)\mathrm{d}x+C\left(\tau \right)p_{\mathrm{2}}{\int }_{B_{\mathrm{2}R}}{\left|\frac{u-u_{\mathrm{0}}}{R}\right|}^{p_{\mathrm{2}}}\mathrm{d}x\le \\ C{p}_{\mathrm{2}}\tau {\int }_{B_{\mathrm{2}R}}{\eta }^{p_{\mathrm{2}}}{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}\mathrm{d}x+C\left(\tau \right){\int }_{B_{\mathrm{2}R}}{\left|\frac{u-u_{\mathrm{0}}}{R}\right|}^{p_{\mathrm{2}}}\mathrm{d}x+C\left|B_R\right|\mathrm{。}\end{array}（18）

由条件（7）和Young不等式，

\begin{array}{c}{\int }_{B_{\mathrm{2}R}}{\eta }^{p_{\mathrm{2}}}A\left(x,\nabla u\right)\cdot \nabla u_{\mathrm{0}}\mathrm{d}x\le \\ C_{\mathrm{2}}{\int }_{B_{\mathrm{2}R}}{\eta }^{p_{\mathrm{2}}}\left(\mathrm{1}+{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)-\mathrm{1}}\right)\left|\nabla u_{\mathrm{0}}\right|\mathrm{d}x\le \\ C_{\mathrm{2}}{\int }_{B_{\mathrm{2}R}}{\eta }^{p_{\mathrm{2}}}\left|\nabla u_{\mathrm{0}}\right|\mathrm{d}x+C_{\mathrm{2}}\tau {\int }_{B_{\mathrm{2}R}}{\eta }^{p_{\mathrm{2}}}{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}\mathrm{d}x+C\left(\tau \right){\int }_{B_{\mathrm{2}R}}{\eta }^{p_{\mathrm{2}}}{\left|\nabla u_{\mathrm{0}}\right|}^{p\left(x\right)}\mathrm{d}x\le \\ C_{\mathrm{2}}\tau {\int }_{B_{\mathrm{2}R}}{\eta }^{p_{\mathrm{2}}}{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}\mathrm{d}x+C\left(\tau \right)\left|B_R\right|\mathrm{。}\end{array}（19）

由\left|\nabla \eta \right|\le C/R和Young不等式，有

\begin{array}{c}{p}_{\mathrm{2}}{\int }_{B_{\mathrm{2}R}}{\eta }^{p_{\mathrm{2}}-\mathrm{1}}\left|u-u_{\mathrm{0}}\right|{\left|\mathit{f}\right|}^{p\left(x\right)-\mathrm{1}}\left|\nabla \eta \right|\mathrm{d}x\le C{p}_{\mathrm{2}}{\int }_{B_{\mathrm{2}R}}{\eta }^{p_{\mathrm{2}}-\mathrm{1}}{\left|\mathit{f}\right|}^{p\left(x\right)-\mathrm{1}}\left|\frac{u-u_{\mathrm{0}}}{R}\right|\mathrm{d}x\le \\ C{p}_{\mathrm{2}}\tau {\int }_{B_{\mathrm{2}R}}{\eta }^{p_{\mathrm{2}}}{{\left|\mathit{f}\right|}^{\frac{p_{\mathrm{2}}}{p_{\mathrm{2}}-\mathrm{1}}}}^{\left[p\left(x\right)-\mathrm{1}\right]}\mathrm{d}x+C\left(\tau \right){\int }_{B_{\mathrm{2}R}}{\left|\frac{u-u_{\mathrm{0}}}{R}\right|}^{p_{\mathrm{2}}}\mathrm{d}x\le \\ C{p}_{\mathrm{2}}\tau {\int }_{B_{\mathrm{2}R}}{\eta }^{p_{\mathrm{2}}}\left({\left|\mathit{f}\right|}^{p\left(x\right)}+\mathrm{1}\right)\mathrm{d}x+C\left(\tau \right){\int }_{B_{\mathrm{2}R}}{\left|\frac{u-u_{\mathrm{0}}}{R}\right|}^{p_{\mathrm{2}}}\mathrm{d}x\le \\ C{p}_{\mathrm{2}}\tau {\int }_{B_{\mathrm{2}R}}{\left|\mathit{f}\right|}^{p\left(x\right)}\mathrm{d}x+C\left(\tau \right){\int }_{B_{\mathrm{2}R}}{\left|\frac{u-u_{\mathrm{0}}}{R}\right|}^{p_{\mathrm{2}}}\mathrm{d}x+C\left|B_R\right|\mathrm{。}\end{array}（20）

由Young不等式，有

\begin{array}{c}{\int }_{B_{\mathrm{2}R}}{\eta }^{p_{\mathrm{2}}}{\left|\mathit{f}\right|}^{p\left(x\right)-\mathrm{2}}\mathit{f}\cdot \nabla \left(u-u_{\mathrm{0}}\right)\mathrm{d}x\le {\int }_{B_{\mathrm{2}R}}{\eta }^{p_{\mathrm{2}}}{\left|\mathit{f}\right|}^{p\left(x\right)-\mathrm{1}}\left|\nabla u-\nabla u_{\mathrm{0}}\right|\mathrm{d}x\le \\ C\left(\tau \right){\int }_{B_{\mathrm{2}R}}{\eta }^{p_{\mathrm{2}}}{\left|\mathit{f}\right|}^{p\left(x\right)}\mathrm{d}x+\tau {\int }_{B_{\mathrm{2}R}}{\eta }^{p_{\mathrm{2}}}{\left|\nabla u-\nabla u_{\mathrm{0}}\right|}^{p\left(x\right)}\mathrm{d}x\le \\ C\left(\tau \right){\int }_{B_{\mathrm{2}R}}{\left|\mathit{f}\right|}^{p\left(x\right)}\mathrm{d}x+\tau {\int }_{B_{\mathrm{2}R}}{\eta }^{p_{\mathrm{2}}}{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}\mathrm{d}x+\tau {\int }_{B_{\mathrm{2}R}}{\eta }^{p_{\mathrm{2}}}{\left|\nabla u_{\mathrm{0}}\right|}^{p\left(x\right)}\mathrm{d}x\le \\ C\left(\tau \right){\int }_{B_{\mathrm{2}R}}{\left|\mathit{f}\right|}^{p\left(x\right)}\mathrm{d}x+\tau {\int }_{B_{\mathrm{2}R}}{\eta }^{p_{\mathrm{2}}}{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}\mathrm{d}x+C\left|B_R\right|\mathrm{。}\end{array}（21）

联立（16）式—（21）式，可得

\begin{array}{c}{C}_{\mathrm{3}}{\int }_{B_{\mathrm{2}R}}{\eta }^{p_{\mathrm{2}}}{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}\mathrm{d}x\le \left(C{p}_{\mathrm{2}}+C_{\mathrm{2}}+\mathrm{1}\right)\tau {\int }_{B_{\mathrm{2}R}}{\eta }^{p_{\mathrm{2}}}{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}\mathrm{d}x+\\ C\left(\tau \right){\int }_{B_{\mathrm{2}R}}{\left|\frac{u-u_{\mathrm{0}}}{R}\right|}^{p_{\mathrm{2}}}\mathrm{d}x+C\left(\tau \right){\int }_{B_{\mathrm{2}R}}{\left|\mathit{f}\right|}^{p\left(x\right)}\mathrm{d}x+C\left|B_R\right|\mathrm{。}\end{array}（22）

利用截断函数\eta的定义，并取\tau =\frac{C_{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}\left(C{p}_{\mathrm{2}}+C_{\mathrm{2}}+\mathrm{1}\right)}，即取\tau足够小，使得，从而有

{\int }_{B_R}{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}\mathrm{d}x\le C{\int }_{B_{\mathrm{2}R}}{\left|\frac{u-u_{\mathrm{0}}}{R}\right|}^{p_{\mathrm{2}}}\mathrm{d}x+C{\int }_{B_{\mathrm{2}R}}{\left|\mathit{f}\right|}^{p\left(x\right)}\mathrm{d}x+C\left|B_R\right|。（23）

注意到\partial \mathrm{\Omega }为C^{\mathrm{1},\gamma }边界，利用Sobolev-Poincaré不等式，将上式中含\left|u-u_{\mathrm{0}}\right|的积分用\left|\nabla \left(u-u_{\mathrm{0}}\right)\right|来估计，并注意到p_{\mathrm{2}}>p_{\mathrm{1}}>\frac{p_{\mathrm{1}}}{\mathrm{1}+\sigma }，于是有

\begin{array}{c}{\sout{\int }}_{B_R}{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}\mathrm{d}x\le C{\left({\sout{\int }}_{B_{\mathrm{2}R}}{\left|\nabla u-\nabla u_{\mathrm{0}}\right|}^{\frac{p_{\mathrm{1}}}{\mathrm{1}+\sigma }}\mathrm{d}x\right)}^{\frac{\left(\mathrm{1}+\sigma \right)p_{\mathrm{2}}}{p_{\mathrm{1}}}}+C{\sout{\int }}_{B_{\mathrm{2}R}}{\left|\mathit{f}\right|}^{p\left(x\right)}\mathrm{d}x+C\le \\ C{\left({\sout{\int }}_{B_{\mathrm{2}R}}{\left|\nabla u\right|}^{\frac{p_{\mathrm{1}}}{\mathrm{1}+\sigma }}\mathrm{d}x\right)}^{\frac{\left(\mathrm{1}+\sigma \right)p_{\mathrm{2}}}{p_{\mathrm{1}}}}+C{\sout{\int }}_{{B_{\mathrm{2}}}_R}{\left|\mathit{f}\right|}^{p\left(x\right)}\mathrm{d}x+C\mathrm{。}\end{array}（24）

又因为p_{\mathrm{2}}-p_{\mathrm{1}}\le L{\left(\mathrm{4}R\right)}^{{\alpha }_{\mathrm{1}}}，从而\frac{\left(\mathrm{1}+\sigma \right)p_{\mathrm{2}}}{p_{\mathrm{1}}}\le \frac{\left(\mathrm{1}+\sigma \right)L{\left(\mathrm{4}R\right)}^{{\alpha }_{\mathrm{1}}}}{p_{\mathrm{1}}}+\left(\mathrm{1}+\sigma \right)，并利用\frac{p_{\mathrm{1}}}{\mathrm{1}+\sigma }\le \frac{p\left(x\right)}{\mathrm{1}+\sigma }和\frac{p_{\mathrm{2}}}{p_{\mathrm{1}}}\le \mathrm{1}+\sigma，由上式可得

\begin{array}{c}{\sout{\int }}_{B_R}{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}\mathrm{d}x\le \\ C{\left({\sout{\int }}_{B_{\mathrm{2}R}}{\left|\nabla u\right|}^{\frac{p\left(x\right)}{\mathrm{1}+\sigma }}\mathrm{d}x\right)}^{\frac{\left(\mathrm{1}+\sigma \right)p_{\mathrm{2}}}{p_{\mathrm{1}}}}+C{\sout{\int }}_{B_{\mathrm{2}R}}{\left|\mathit{f}\right|}^{p\left(x\right)}\mathrm{d}x+C\le \\ C\left({\left({\sout{\int }}_{B_{\mathrm{2}R}}{\left|\nabla u\right|}^{\frac{p\left(x\right)}{\mathrm{1}+\sigma }}\mathrm{d}x\right)}^{\frac{\left(\mathrm{1}+\sigma \right)L{\left(\mathrm{4}R\right)}^{{\alpha }_{{}_{\mathrm{1}}}}}{p_{\mathrm{1}}}}+\mathrm{1}\right){\left({\sout{\int }}_{B_{\mathrm{2}R}}{\left|\nabla u\right|}^{\frac{p\left(x\right)}{\mathrm{1}+\sigma }}\mathrm{d}x\right)}^{\mathrm{1}+\sigma }+C{\sout{\int }}_{B_{\mathrm{2}R}}{\left|\mathit{f}\right|}^{p\left(x\right)}\mathrm{d}x+C=\\ C\left({\left(\mathrm{2}R\right)}^{\frac{-n\left(\mathrm{1}+\sigma \right)L{\left(\mathrm{4}R\right)}^{{\alpha }_{{}_{\mathrm{1}}}}}{p_{\mathrm{1}}}}{\left({\int }_{B_{\mathrm{2}R}}{\left|\nabla u\right|}^{\frac{p\left(x\right)}{\mathrm{1}+\sigma }}\mathrm{d}x\right)}^{\frac{\left(\mathrm{1}+\sigma \right)L{\left(\mathrm{4}R\right)}^{{\alpha }_{{}_{\mathrm{1}}}}}{p_{\mathrm{1}}}}+\mathrm{1}\right){\left({\sout{\int }}_{B_{\mathrm{2}R}}{\left|\nabla u\right|}^{\frac{p\left(x\right)}{\mathrm{1}+\sigma }}\mathrm{d}x\right)}^{\mathrm{1}+\sigma }+C{\sout{\int }}_{B_{\mathrm{2}R}}{\left|\mathit{f}\right|}^{p\left(x\right)}\mathrm{d}x+C\le \\ C\left({\left({\left(\mathrm{2}R\right)}^{-{\left(\mathrm{4}R\right)}^{{\alpha }_{{}_{\mathrm{1}}}}}\right)}^{\frac{n\left(\mathrm{1}+\sigma \right)L}{{\gamma }_{\mathrm{1}}}}{\left({\int }_{B_{\mathrm{2}R}}\left(\mathrm{1}+{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}\right)\mathrm{d}x\right)}^{\frac{\left(\mathrm{1}+\sigma \right)\mathrm{4}L{\left(R_{\mathrm{0}}\right)}^{{\alpha }_{{}_{\mathrm{1}}}}}{{\gamma }_{\mathrm{1}}}}+\mathrm{1}\right){\left({\sout{\int }}_{B_{\mathrm{2}R}}{\left|\nabla u\right|}^{\frac{p\left(x\right)}{\mathrm{1}+\sigma }}\mathrm{d}x\right)}^{\mathrm{1}+\sigma }+\\ C{\sout{\int }}_{B_{\mathrm{2}R}}{\left|\mathit{f}\right|}^{p\left(x\right)}\mathrm{d}x+C\le C{\left({\sout{\int }}_{B_{\mathrm{2}R}}{\left|\nabla u\right|}^{\frac{p\left(x\right)}{\mathrm{1}+\sigma }}\mathrm{d}x\right)}^{\mathrm{1}+\sigma }+C{\sout{\int }}_{B_{\mathrm{2}R}}{\left|\mathit{f}\right|}^{p\left(x\right)}\mathrm{d}x+C,\end{array}（25）

这里使用了{\int }_{B\left(x_{\mathrm{0}},\mathrm{2}{R}_{\mathrm{1}}\right)}{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}dx\le \mathrm{1}，并利用了当时{\left(\mathrm{2}R\right)}^{-{\left(\mathrm{4}R\right)}^{{\alpha }_{\mathrm{1}}}}\le C。于是有

\begin{array}{c}{\sout{\int }}_{B_R}{\left|\nabla u-\nabla u_{\mathrm{0}}\right|}^{p\left(x\right)}\mathrm{d}x\le C{\sout{\int }}_{B_R}{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}\mathrm{d}x+C{\sout{\int }}_{B_R}{\left|\nabla u_{\mathrm{0}}\right|}^{p\left(x\right)}\mathrm{d}x\le \\ {\left({\sout{\int }}_{B_{\mathrm{2}R}}{\left|\nabla u\right|}^{\frac{p\left(x\right)}{\mathrm{1}+\sigma }}\mathrm{d}x\right)}^{\mathrm{1}+\sigma }+C{\sout{\int }}_{B_{\mathrm{2}R}}{\left|\mathit{f}\right|}^{p\left(x\right)}\mathrm{d}x+C\le \\ C{\left({\sout{\int }}_{B_{\mathrm{2}R}}{\left|\nabla u-\nabla u_{\mathrm{0}}\right|}^{\frac{p\left(x\right)}{\mathrm{1}+\sigma }}\mathrm{d}x\right)}^{\mathrm{1}+\sigma }+C{\sout{\int }}_{B_{\mathrm{2}R}}{\left|\mathit{f}\right|}^{p\left(x\right)}\mathrm{d}x+C,\end{array}（26）

这就获得了（12）式。

由Gehring引理，（12）式暗示了存在{\sigma }_{\mathrm{0}}>\mathrm{0}使得\left|\nabla u-\nabla u_{\mathrm{0}}\right|\in L_{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{c}}^{p\left(x\right)\left(\mathrm{1}+{\sigma }_{\mathrm{0}}\right)}\left(B\left(x_{\mathrm{0}},\mathrm{2}{R}_{\mathrm{1}}\right)\right)，且有

{\left({\sout{\int }}_{B_R}{\left|\nabla u-\nabla u_{\mathrm{0}}\right|}^{p\left(x\right)\left(\mathrm{1}+\sigma \right)}\mathrm{d}x\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\sigma }}\le C{\sout{\int }}_{B_{\mathrm{2}R}}{\left|\nabla u-\nabla u_{\mathrm{0}}\right|}^{p\left(x\right)}\mathrm{d}x+C{\left({\sout{\int }}_{B_{\mathrm{2}R}}{\left|\mathit{f}\right|}^{p\left(x\right)\left(\mathrm{1}+\sigma \right)}\mathrm{d}x\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\sigma }}+C，（27）

这里正常数R_{\mathrm{0}}\le R_{\mathrm{1}}，\sigma \in \left.\left(\mathrm{0},{\sigma }_{\mathrm{0}}\right.\right]，{\sigma }_{\mathrm{0}}\in \left(\mathrm{0},\frac{\mathrm{1}}{n}\right)，B\left(x,R\right)≕B_R\subset B_{\mathrm{2}R}\subset B\left(x_{\mathrm{0}},\mathrm{2}{R}_{\mathrm{1}}\right)。

令x\in B\left(x_{\mathrm{0}},R_{\mathrm{1}}\right)\bigcap \overline{\mathrm{\Omega }}，R\le R_{\mathrm{0}}，B\left(x,\mathrm{2}R\right)\subset B\left(x_{\mathrm{0}},\mathrm{2}{R}_{\mathrm{1}}\right)。于是，注意到对常数\epsilon \in \left(\mathrm{0,1}\right)，\epsilon \left|B\left(x,R\right)\right|\le \left|\mathrm{\Omega }\left(x,R\right)\right|\le \left|B\left(x,R\right)\right|且u_{\mathrm{0}}\in W^{\mathrm{1},\mathrm{\infty }}\left(\mathrm{\Omega }\right)，由（27）式可得（12）式。由\overline{\mathrm{\Omega }}的紧性，可知引理1的结论是正确的。

注1 由引理1的证明易知，条件u_{\mathrm{0}}\in W^{\mathrm{1},\mathrm{\infty }}\left(\mathrm{\Omega }\right)可以减弱为

u_{\mathrm{0}}\in W^{\mathrm{1},p\left(x\right)\left(\mathrm{1}+{\sigma }_{\mathrm{1}}\right)}\left(\mathrm{\Omega }\right)\bigcap C^{\mathrm{0},\gamma }\left(\partial \mathrm{\Omega }\right)。

令{\mathrm{\Omega }}_R=\mathrm{\Omega }\left(x,R\right)=B\left(x,R\right)\cap \mathrm{\Omega }，{\overline{\mathrm{\Omega }}}_R=\overline{\mathrm{\Omega }}\left(x,R\right)=B\left(x,R\right)\bigcap \overline{\mathrm{\Omega }}。令x_{\mathrm{0}}\in \partial \mathrm{\Omega }。令R_{\mathrm{1}}足够小，使得{\int }_{\mathrm{\Omega }\left(x_{\mathrm{0}},\mathrm{2}{R}_{\mathrm{1}}\right)}{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}\mathrm{d}x\le \mathrm{1}，且对任给x,y\in \mathrm{\Omega }\left(x_{\mathrm{0}},\mathrm{2}{R}_{\mathrm{1}}\right)，有

\left|p\left(x\right)-p\left(y\right)\right|\le C_{\mathrm{1}}{\left|x-y\right|}^{{\alpha }_{\mathrm{1}}}\le C_{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{4}{R}_{\mathrm{1}}\right)}^{{\alpha }_{\mathrm{1}}}\le \frac{{\sigma }_{\mathrm{0}}{\gamma }_{\mathrm{1}}}{{\sigma }_{\mathrm{0}}+\mathrm{2}}，（28）

其中{\sigma }_{\mathrm{0}}为引理1中的正常数。

令x_c\in \overline{\mathrm{\Omega }}\left(x_{\mathrm{0}},\mathrm{2}{R}_{\mathrm{1}}\right)，\mathrm{\Omega }\left(x_c,R\right)={\mathrm{\Omega }}_R\subset {\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{2}R}\subset \mathrm{\Omega }\left(x_{\mathrm{0}},\mathrm{2}{R}_{\mathrm{1}}\right)。

定义p^{\mathrm{*}}\left(R\right)=\mathrm{s}\mathrm{u}{\mathrm{p}}_{{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{2}R}}p\left(x\right)，令x^{\mathrm{*}}\in \overline{{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{2}R}}满足p\left(x^{\mathrm{*}}\right)=p^{\mathrm{*}}\left(R\right)=p^{\mathrm{*}}。定义\overline{A}\left(\eta \right)=A\left(x^{\mathrm{*}},\eta \right)，考虑边值问题

\left\{\begin{array}{ll}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\overline{A}\left(\nabla v\right)=\mathrm{0},& x\in {\mathrm{\Omega }}_R,\\ v=u,& x\in \partial {\mathrm{\Omega }}_R\mathrm{。}\end{array}\right.（29）

由于\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left({\left|\mathit{f}\left(x^{\mathrm{*}}\right)\right|}^{p^{\mathrm{*}}-\mathrm{2}}\mathit{f}\left(x^{\mathrm{*}}\right)\right)=\mathrm{0}，故不妨将边值问题（29）写作

\left\{\begin{array}{ll}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\overline{A}\left(\nabla v\right)=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left({\left|\mathit{f}\left(x^{\mathrm{*}}\right)\right|}^{p^{\mathrm{*}}-\mathrm{2}}\mathit{f}\left(x^{\mathrm{*}}\right)\right),& x\in {\mathrm{\Omega }}_R,\\ v=u,& x\in \partial {\mathrm{\Omega }}_R\mathrm{。}\end{array}\right.（30）

下面的结论取自文献［28］，是证明定理1的基础。

引理2^{［16，28］} 设\mathrm{\Omega }为{\mathbf{R}}^n中具有C^{\mathrm{1},\gamma }边界的有界区域，u\in C^{\mathrm{1},\gamma }\left(\partial \mathrm{\Omega }\right)。椭圆问题（30）存在唯一解v，满足v\in C^{\mathrm{1},{\alpha }_{\mathrm{4}}}\left({\overline{\mathrm{\Omega }}}_{R/\mathrm{2}}\right)，且有

\underset{{\mathrm{\Omega }}_{R/\mathrm{2}}}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{\left|\nabla v\right|}^{p^{\mathrm{*}}}\le c_{\mathrm{1}}\left(R^{-n}{\int }_{{\mathrm{\Omega }}_R}{\left|\nabla v\right|}^{p^{\mathrm{*}}}\mathrm{d}x+G^{p^{\mathrm{*}}}\right)，（31）

，（32）

{\int }_{{\mathrm{\Omega }}_R}{\left|\nabla v\right|}^{p^{\mathrm{*}}}\mathrm{d}x\le c_{\mathrm{3}}{\int }_{{\mathrm{\Omega }}_R}\left(\mathrm{1}+{\left|\nabla u\right|}^{p^{\mathrm{*}}}\right)\mathrm{d}x，（33）

\underset{{\mathrm{\Omega }}_R}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}\left|u-v\right|\le \underset{{\mathrm{\Omega }}_R}{\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{c}}u。（34）

这里{\alpha }_{\mathrm{4}}\in \left(\mathrm{0,1}\right)，c_{\mathrm{1}},c_{\mathrm{2}},c_{\mathrm{3}}为正常数，仅与p^{\mathrm{*}},n,C_i\left(i=\mathrm{1,2},\cdots ,\mathrm{4}\right),\gamma有关。

引理3 若u为椭圆问题（1）—（2）满足条件（3）—（9）的弱解，v是（30）的弱解，则存在仅依赖于n,{\gamma }_{\mathrm{1}},{\gamma }_{\mathrm{2}},{\alpha }_{\mathrm{1}},{\alpha }_{\mathrm{2}},{\alpha }_{\mathrm{3}},{\sigma }_{\mathrm{0}}的正常数\beta，使得

\underset{{\mathrm{\Omega }}_R}{\sout{\int }}{\left|\nabla u-\nabla v\right|}^{p^{\mathrm{*}}}\mathrm{d}x\le C{R}^{\beta }\underset{{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{2}R}}{\sout{\int }}\left({\left|\nabla u\right|}^{p^{\mathrm{*}}}+\mathrm{1}\right)\mathrm{d}x，（35）

其中C与n,{\gamma }_{\mathrm{1}},{\gamma }_{\mathrm{2}},{\alpha }_{\mathrm{1}},{\alpha }_{\mathrm{2}},{\alpha }_{\mathrm{3}},C_i\left(i=\mathrm{1,2},\cdots ,\mathrm{5}\right)有关。

证明 若u为椭圆问题（1）—（2）满足条件（3）—（9）的弱解，v是（30）的弱解，在弱解的定义中取试验函数\phi =u-v，有

{\int }_{{\mathrm{\Omega }}_R}A\left(x,\nabla u\right)\cdot \nabla \left(u-v\right)\mathrm{d}x={\int }_{{\mathrm{\Omega }}_R}{\left|\mathit{f}\left(x\right)\right|}^{p\left(x\right)-\mathrm{2}}\mathit{f}\left(x\right)\cdot \nabla \left(u-v\right)\mathrm{d}x，（36）

{\int }_{{\mathrm{\Omega }}_R}\overline{A}\left(\nabla v\right)\cdot \nabla \left(u-v\right)\mathrm{d}x={\int }_{{\mathrm{\Omega }}_R}{\left|\mathit{f}\left(x^{\mathrm{*}}\right)\right|}^{p^{\mathrm{*}}-\mathrm{2}}\mathit{f}\left(x^{\mathrm{*}}\right)\cdot \nabla \left(u-v\right)\mathrm{d}x，（37）

于是有

\begin{array}{c}{\int }_{{\mathrm{\Omega }}_R}\left[\overline{A}\left(\nabla u\right)-\overline{A}\left(\nabla v\right)\right]\cdot \nabla \left(u-v\right)\mathrm{d}x=\\ {\int }_{{\mathrm{\Omega }}_R}\overline{A}\left(\nabla u\right)\cdot \nabla \left(u-v\right)\mathrm{d}x-{\int }_{{\mathrm{\Omega }}_R}{\left|\mathit{f}\left(x^{\mathrm{*}}\right)\right|}^{p^{\mathrm{*}}-\mathrm{2}}\mathit{f}\left(x^{\mathrm{*}}\right)\cdot \nabla \left(u-v\right)\mathrm{d}x=\\ {\int }_{{\mathrm{\Omega }}_R}\left[\overline{A}\left(\nabla u\right)-A\left(x,\nabla u\right)\right]\cdot \nabla \left(u-v\right)\mathrm{d}x+{\int }_{{\mathrm{\Omega }}_R}\left({\left|\mathit{f}\left(x\right)\right|}^{p\left(x\right)-\mathrm{2}}\mathit{f}\left(x\right)-{\left|\mathit{f}\left(x^{\mathrm{*}}\right)\right|}^{p\left(x\right)-\mathrm{2}}\mathit{f}\left(x^{\mathrm{*}}\right)\right)\cdot \nabla \left(u-v\right)\mathrm{d}x+\\ {\int }_{{\mathrm{\Omega }}_R}\left({\left|\mathit{f}\left(x^{\mathrm{*}}\right)\right|}^{p\left(x\right)-\mathrm{2}}\mathit{f}\left(x^{\mathrm{*}}\right)-{\left|\mathit{f}\left(x^{\mathrm{*}}\right)\right|}^{p^{\mathrm{*}}-\mathrm{2}}\mathit{f}\left(x^{\mathrm{*}}\right)\right)\cdot \nabla \left(u-v\right)\mathrm{d}x\mathrm{。}\end{array}（38）

记上式为

I=I_{\mathrm{1}}+I_{\mathrm{2}}+I_{\mathrm{3}}。

估计I_{\mathrm{1}}：由（9）式，结合使用带\tau的Young不等式和（33）式，对\forall \delta >\mathrm{0}，有

\begin{array}{c}{I}_{\mathrm{1}}={\int }_{{\mathrm{\Omega }}_R}\left[\overline{A}\left(\nabla u\right)-A\left(x,\nabla u\right)\right]\cdot \nabla \left(u-v\right)\mathrm{d}x\le \\ C_{\mathrm{5}}{\int }_{{\mathrm{\Omega }}_R}{\left|x-x^{\mathrm{*}}\right|}^{{\alpha }_{\mathrm{3}}}\left|\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{g}\left({\mu }^{\mathrm{2}}+{\left|\nabla u\right|}^{\mathrm{2}}\right)\right|{\left({\mu }^{\mathrm{2}}+{\left|\nabla u\right|}^{\mathrm{2}}\right)}^{\frac{p\left(x\right)-\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\left|\nabla \left(u-v\right)\right|\mathrm{d}x\le \\ C{R}^{{\alpha }_{\mathrm{3}}}{\int }_{{\mathrm{\Omega }}_R}\left(\mathrm{1}+{\left|\nabla u\right|}^{p^{\mathrm{*}}-\mathrm{1}+\delta }\right)\left|\nabla \left(u-v\right)\right|\mathrm{d}x\le \\ C\left(\tau \right)R^{{\alpha }_{\mathrm{3}}}{\int }_{{\mathrm{\Omega }}_R}\left({\left|\nabla u-\nabla v\right|}^{p^{\mathrm{*}}}\right)\mathrm{d}x+C{R}^{{\alpha }_{\mathrm{3}}}\tau {\int }_{{\mathrm{\Omega }}_R}\left(\mathrm{1}+{\left|\nabla u\right|}^{\frac{\left(p^{\mathrm{*}}-\mathrm{1}+\delta \right)p^{\mathrm{*}}}{p^{\mathrm{*}}-\mathrm{1}}}\right)\mathrm{d}x\le \\ C\left(\tau \right)R^{{\alpha }_{\mathrm{3}}}{\int }_{{\mathrm{\Omega }}_R}\left(\mathrm{1}+{\left|\nabla u\right|}^{p^{\mathrm{*}}}\right)\mathrm{d}x+C{R}^{{\alpha }_{\mathrm{3}}}\tau {\int }_{{\mathrm{\Omega }}_R}\left(\mathrm{1}+{\left|\nabla u\right|}^{\frac{\left(p^{\mathrm{*}}-\mathrm{1}+\delta \right)p^{\mathrm{*}}}{p^{\mathrm{*}}-\mathrm{1}}}\right)\mathrm{d}x\mathrm{。}\end{array}（39）

因p_{\mathrm{*}}≔\underset{{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{2}R}}{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{f}}p\left(x\right)\ge {\gamma }_{\mathrm{1}}>\mathrm{1}，由（28）式有

p^{\mathrm{*}}=p_{\mathrm{*}}+\left(p^{\mathrm{*}}-p_{\mathrm{*}}\right)\le p_{\mathrm{*}}+\frac{{\sigma }_{\mathrm{0}}{\gamma }_{\mathrm{1}}}{{\sigma }_{\mathrm{0}}+\mathrm{2}}，（40）

于是有

p^{\mathrm{*}}\le p^{\mathrm{*}}\left(\mathrm{1}+\frac{{\sigma }_{\mathrm{0}}}{\mathrm{2}}\right)\le \left(p_{\mathrm{*}}+\frac{{\sigma }_{\mathrm{0}}{\gamma }_{\mathrm{1}}}{{\sigma }_{\mathrm{0}}+\mathrm{2}}\right)\left(\mathrm{1}+\frac{{\sigma }_{\mathrm{0}}}{\mathrm{2}}\right)\le p_{\mathrm{*}}\left(\mathrm{1}+{\sigma }_{\mathrm{0}}\right)\le p\left(x\right)\left(\mathrm{1}+{\sigma }_{\mathrm{0}}\right)\mathrm{。}（41）

令\delta满足，于是有

\frac{\left(p^{\mathrm{*}}-\mathrm{1}+\delta \right)p^{\mathrm{*}}}{p^{\mathrm{*}}-\mathrm{1}}=p^{\mathrm{*}}\left(\mathrm{1}+\frac{\delta }{p^{\mathrm{*}}-\mathrm{1}}\right)\le p^{\mathrm{*}}\left(\mathrm{1}+\frac{\delta }{{\gamma }_{\mathrm{1}}-\mathrm{1}}\right)\le p^{\mathrm{*}}\left(\mathrm{1}+\frac{{\sigma }_{\mathrm{0}}}{\mathrm{2}}\right)\le p\left(x\right)\left(\mathrm{1}+{\sigma }_{\mathrm{0}}\right)\mathrm{。}（42）

由式（39）和式（42），可得

I_{\mathrm{1}}\le C\left(\tau \right)R^{{\alpha }_{\mathrm{3}}}{\int }_{{\Omega }_R}\left(\mathrm{1}+{\left|\nabla u\right|}^{p^{\mathrm{*}}}\right)dx+C{R}^{{\alpha }_{\mathrm{3}}}\tau {\int }_{{\mathrm{\Omega }}_R}\left(\mathrm{1}+{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)\left(\mathrm{1}+{\sigma }_{\mathrm{0}}\right)}\right)\mathrm{d}x。（43）

由引理1，并注意到\left\{f^i\right\}\subset C^{\mathrm{0},{\alpha }_{\mathrm{2}}}\left(\overline{\mathrm{\Omega }}\right)，于是有

{\sout{\int }}_{{\mathrm{\Omega }}_R}{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)\left(\mathrm{1}+{\sigma }_{\mathrm{0}}\right)}\mathrm{d}x\le C{\left({\sout{\int }}_{{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{2}R}}{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}\mathrm{d}x\right)}^{\mathrm{1}+{\sigma }_{\mathrm{0}}}+C。（44）

注意到\partial \mathrm{\Omega }为C^{\mathrm{1},\gamma }边界，且R_{\mathrm{1}}的选取足够小，使得{{\int }_{\mathrm{\Omega }\left(x_{\mathrm{0}},\mathrm{2}{R}_{\mathrm{1}}\right)}\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}\mathrm{d}x\le \mathrm{1}，于是有

\begin{array}{c}{\sout{\int }}_{{\mathrm{\Omega }}_R}{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)\left(\mathrm{1}+{\sigma }_{\mathrm{0}}\right)}\mathrm{d}x\le C{\left({\sout{\int }}_{{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{2}R}}{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}\mathrm{d}x\right)}^{\mathrm{1}+{\sigma }_{\mathrm{0}}}+C=\\ C{\left({\sout{\int }}_{{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{2}R}}{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}\mathrm{d}x\right)}^{{\sigma }_{\mathrm{0}}}\left({\sout{\int }}_{{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{2}R}}{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}\mathrm{d}x\right)+C=\\ \frac{C}{{\left|{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{2}R}\right|}^{{\sigma }_{\mathrm{0}}}}{\left({\int }_{{\mathrm{\Omega }}_R}{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}\mathrm{d}x\right)}^{{\sigma }_{\mathrm{0}}}\left({\sout{\int }}_{{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{2}R}}{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}\mathrm{d}x\right)+C\le \\ \frac{C}{{\left|{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{2}R}\right|}^{{\sigma }_{\mathrm{0}}}}{\sout{\int }}_{{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{2}R}}{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}\mathrm{d}x+C\le \\ C{R}^{-n{\sigma }_{\mathrm{0}}}{\sout{\int }}_{{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{2}R}}{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)}\mathrm{d}x+C\le \\ C{R}^{-n{\sigma }_{\mathrm{0}}}{\sout{\int }}_{{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{2}R}}\left(\mathrm{1}+{\left|\nabla u\right|}^{p^{\mathrm{*}}}\right)\mathrm{d}x+C\mathrm{。}\end{array}（45）

即

{\int }_{{\mathrm{\Omega }}_R}{\left|\nabla u\right|}^{p\left(x\right)\left(\mathrm{1}+{\sigma }_{\mathrm{0}}\right)}\mathrm{d}x\le C{R}^{-n{\sigma }_{\mathrm{0}}}{\int }_{{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{2}R}}\left(\mathrm{1}+{\left|\nabla u\right|}^{p^{\mathrm{*}}}\right)\mathrm{d}x+C{R}^n。（46）

于是将上式代入（43）式，可得

I_{\mathrm{1}}\le C\left(\tau \right)R^{{\alpha }_{\mathrm{3}}}{\int }_{{{\Omega }_{\mathrm{2}}}_R}\left(\mathrm{1}+{\left|\nabla u\right|}^{p^{\mathrm{*}}}\right)dx+C{R}^{{\alpha }_{\mathrm{3}}-n{\sigma }_{\mathrm{0}}}\tau {\int }_{{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{2}R}}\left(\mathrm{1}+{\left|\nabla u\right|}^{p^{\mathrm{*}}}\right)\mathrm{d}x+C{R}^{n+{\alpha }_{\mathrm{3}}}\tau。（47）

估计I_{\mathrm{2}}：分两种情况。当p\left(x\right)\ge \mathrm{2}，使用基本不等式

\left|{\left|\xi \right|}^{p-\mathrm{2}}\xi -{\left|\eta \right|}^{p-\mathrm{2}}\eta \right|\le C{\left(\left|\xi \right|+\left|\eta \right|\right)}^{p-\mathrm{2}}\left|\xi -\eta \right|,\forall p\ge \mathrm{2},\xi ,\eta \in {\mathbf{R}}^n,C=C\left(p\right)，

和Young不等式，以及（33）式，并注意到\left\{f^i\right\}\subset C^{\mathrm{0},{\alpha }_{\mathrm{2}}}\left(\overline{\mathrm{\Omega }}\right)，于是有

\begin{array}{c}{I}_{\mathrm{2}}={\int }_{{\mathrm{\Omega }}_R}\left({\left|\mathit{f}\left(x\right)\right|}^{p\left(x\right)-\mathrm{2}}\mathit{f}\left(x\right)-{\left|\mathit{f}\left(x^{\mathrm{*}}\right)\right|}^{p\left(x\right)-\mathrm{2}}\mathit{f}\left(x^{\mathrm{*}}\right)\right)\cdot \nabla \left(u-v\right)\mathrm{d}x\le \\ {\int }_{{\mathrm{\Omega }}_R}\left|{\left|\mathit{f}\left(x\right)\right|}^{p\left(x\right)-\mathrm{2}}\mathit{f}\left(x\right)-{\left|\mathit{f}\left(x^{\mathrm{*}}\right)\right|}^{p\left(x\right)-\mathrm{2}}\mathit{f}\left(x^{\mathrm{*}}\right)\right|\left|\nabla \left(u-v\right)\right|\mathrm{d}x\le \\ C{\int }_{{\mathrm{\Omega }}_R}{\left(\left|\mathit{f}\left(x\right)\right|+\left|\mathit{f}\left(x^{\mathrm{*}}\right)\right|\right)}^{p\left(x\right)-\mathrm{2}}\left|\mathit{f}\left(x\right)-\mathit{f}\left(x^{\mathrm{*}}\right)\right|\left|\nabla \left(u-v\right)\right|\mathrm{d}x\le \\ C{R}^{{\alpha }_{\mathrm{2}}}{\int }_{{\mathrm{\Omega }}_R}\left|\nabla u-\nabla v\right|\mathrm{d}x\le \\ C{R}^{{\alpha }_{\mathrm{2}}}\tau {\int }_{{\mathrm{\Omega }}_R}{\left|\nabla u-\nabla v\right|}^{p^{\mathrm{*}}}\mathrm{d}x+C\left(\tau \right)R^{{\alpha }_{\mathrm{2}}}{\int }_{{\mathrm{\Omega }}_R}\mathrm{1}\mathrm{d}x\le \\ C{R}^{{\alpha }_{\mathrm{2}}}\tau {\int }_{{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{2}R}}\left(\mathrm{1}+{\left|\nabla u\right|}^{p^{\mathrm{*}}}\right)\mathrm{d}x+C\left(\tau \right)R^{n+{\alpha }_{\mathrm{2}}}\mathrm{。}\end{array}（48）

当，使用基本不等式

\left|{\left|\xi \right|}^{p-\mathrm{2}}\xi -{\left|\eta \right|}^{p-\mathrm{2}}\eta \right|\le C{\left|\xi -\eta \right|}^{p-\mathrm{1}},\forall p\in \left(\mathrm{1,2}\right),\xi ,\eta \in {\mathbf{R}}^n,C=C\left(p\right)，

和Young不等式，以及（33）式，并注意到\left\{f^i\right\}\subset C^{\mathrm{0},{\alpha }_{\mathrm{2}}}\left(\overline{\mathrm{\Omega }}\right)，于是有

\begin{array}{c}{I}_{\mathrm{2}}={\int }_{{\mathrm{\Omega }}_R}\left({\left|\mathit{f}\left(x\right)\right|}^{p\left(x\right)-\mathrm{2}}\mathit{f}\left(x\right)-{\left|\mathit{f}\left(x^{\mathrm{*}}\right)\right|}^{p\left(x\right)-\mathrm{2}}\mathit{f}\left(x^{\mathrm{*}}\right)\right)\cdot \nabla \left(u-v\right)\mathrm{d}x\le \\ C{\int }_{{\mathrm{\Omega }}_R}{\left|\left|\mathit{f}\left(x\right)\right|-\mathit{f}\left(x^{\mathrm{*}}\right)\right|}^{p\left(x\right)-\mathrm{1}}\left|\nabla \left(u-v\right)\right|\mathrm{d}x\le \\ C{\int }_{{\mathrm{\Omega }}_R}{R}^{{\alpha }_{\mathrm{2}}\left(p\left(x\right)-\mathrm{1}\right)}\left|\nabla u-\nabla v\right|\mathrm{d}x\le \\ C{R}^{{\alpha }_{\mathrm{2}}\left({\gamma }_{\mathrm{1}}-\mathrm{1}\right)}{\int }_{{\mathrm{\Omega }}_R}\left|\nabla u-\nabla v\right|\mathrm{d}x\le \\ C{R}^{{\alpha }_{\mathrm{2}}\left({\gamma }_{\mathrm{1}}-\mathrm{1}\right)}\tau {\int }_{{\mathrm{\Omega }}_R}{\left|\nabla u-\nabla v\right|}^{p^{\mathrm{*}}}\mathrm{d}x+C\left(\tau \right)R^{{\alpha }_{\mathrm{2}}\left({\gamma }_{\mathrm{1}}-\mathrm{1}\right)}{\int }_{{\mathrm{\Omega }}_R}\mathrm{1}\mathrm{d}x\le \\ C{R}^{{\alpha }_{\mathrm{2}}\left({\gamma }_{\mathrm{1}}-\mathrm{1}\right)}\tau {\int }_{{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{2}R}}\left(\mathrm{1}+{\left|\nabla u\right|}^{p^{\mathrm{*}}}\right)\mathrm{d}x+C\left(\tau \right)R^{n+{\alpha }_{\mathrm{2}}\left({\gamma }_{\mathrm{1}}-\mathrm{1}\right)}\mathrm{。}\end{array}（49）

估计I_{\mathrm{3}}：使用中值定理，Young不等式，以及（33）式，并注意到p\left(x\right)\in C^{\mathrm{0},{\alpha }_{\mathrm{1}}}\left(\overline{\mathrm{\Omega }}\right)和\left\{f^i\right\}\subset C^{\mathrm{0},{\alpha }_{\mathrm{2}}}\left(\overline{\mathrm{\Omega }}\right)，有

\begin{array}{c}{I}_{\mathrm{3}}={\int }_{{\mathrm{\Omega }}_R}\left({\left|\mathit{f}\left(x^{\mathrm{*}}\right)\right|}^{p\left(x\right)-\mathrm{2}}\mathit{f}\left(x^{\mathrm{*}}\right)-{\left|\mathit{f}\left(x^{\mathrm{*}}\right)\right|}^{p^{\mathrm{*}}-\mathrm{2}}\mathit{f}\left(x^{\mathrm{*}}\right)\right)\cdot \nabla \left(u-v\right)\mathrm{d}x\le \\ {\int }_{{\mathrm{\Omega }}_R}\left|{\left|\mathit{f}\left(x^{\mathrm{*}}\right)\right|}^{p\left(x\right)-\mathrm{2}}-{\left|\mathit{f}\left(x^{\mathrm{*}}\right)\right|}^{p^{\mathrm{*}}-\mathrm{2}}\right|\left|\mathit{f}\left(x^{\mathrm{*}}\right)\right|\left|\nabla \left(u-v\right)\right|\mathrm{d}x\le \\ C{\int }_{{\mathrm{\Omega }}_R}\left|p\left(x\right)-p^{\mathrm{*}}\right|\left(\mathrm{1}+{\left|\mathit{f}\left(x^{\mathrm{*}}\right)\right|}^{p^{\mathrm{*}}-\mathrm{1}}\right)\left|\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\left|\mathit{f}\left(x^{\mathrm{*}}\right)\right|\right)\right|\left|\nabla u-\nabla v\right|\mathrm{d}x\le \\ C{R}^{{\alpha }_{\mathrm{1}}}{\int }_{{\mathrm{\Omega }}_R}\left|\nabla u-\nabla v\right|\mathrm{d}x\le \\ C{R}^{{\alpha }_{\mathrm{1}}}\tau {\int }_{{\mathrm{\Omega }}_R}{\left|\nabla u-\nabla v\right|}^{p^{\mathrm{*}}}\mathrm{d}x+C\left(\tau \right)R^{{\alpha }_{\mathrm{1}}}{\int }_{{\mathrm{\Omega }}_R}\mathrm{1}\mathrm{d}x\le \\ C{R}^{{\alpha }_{\mathrm{1}}}\tau {\int }_{{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{2}R}}\left(\mathrm{1}+{\left|\nabla u\right|}^{p^{\mathrm{*}}}\right)\mathrm{d}x+C\left(\tau \right)R^{n+{\alpha }_{\mathrm{1}}}\mathrm{。}\end{array}（50）

联立式（47）—式（50），可得

\begin{array}{c}I\le C\left(R^{{\alpha }_{\mathrm{3}}}+R^{{\alpha }_{\mathrm{3}}-n{\sigma }_{\mathrm{0}}}\tau +R^{{\alpha }_{\mathrm{2}}}\tau +R^{{\alpha }_{\mathrm{2}}\left({\gamma }_{\mathrm{1}}-\mathrm{1}\right)}\tau +R^{{\alpha }_{\mathrm{1}}}\tau \right){\int }_{{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{2}R}}\left(\mathrm{1}+{\left|\nabla u\right|}^{p^{\mathrm{*}}}\right)\mathrm{d}x+\\ C\left(R^{n+{\alpha }_{\mathrm{3}}}\tau +R^{n+{\alpha }_{\mathrm{2}}}+R^{n+{\alpha }_{\mathrm{2}}\left({\gamma }_{\mathrm{1}}-\mathrm{1}\right)}+R^{n+{\alpha }_{\mathrm{1}}}\right)\mathrm{。}\end{array}（51）

令，注意到，故{\alpha }_{\mathrm{3}}-n{\sigma }_{\mathrm{0}}+\mathrm{1}>{\alpha }_{\mathrm{3}}，从而。取\tilde{\beta }≔\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left\{{\alpha }_{\mathrm{3}},{\alpha }_{\mathrm{2}}+\mathrm{1},{\alpha }_{\mathrm{2}}\left({\gamma }_{\mathrm{1}}-\mathrm{1}\right)+\mathrm{1},{\alpha }_{\mathrm{1}}+\mathrm{1}\right\}，则上式即为

I\le C{R}^{\tilde{\beta }}{\int }_{{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{2}R}}\left(\mathrm{1}+{\left|\nabla u\right|}^{p^{\mathrm{*}}}\right)\mathrm{d}x。（52）

当p^{\mathrm{*}}\ge \mathrm{2}时，由（6）式可知

I={\int }_{{\mathrm{\Omega }}_R}\left[\overline{A}\left(\nabla u\right)-\overline{A}\left(\nabla v\right)\right]\cdot \nabla \left(u-v\right)\mathrm{d}x\ge C_{\mathrm{1}}{\int }_{{\mathrm{\Omega }}_R}{\left|\nabla u-\nabla v\right|}^{p^{\mathrm{*}}}\mathrm{d}x。（53）

于是由（52）式和（53）式，可得引理3的结论。当时，由（6）式可知

I={\int }_{{\mathrm{\Omega }}_R}\left[\overline{A}\left(\nabla u\right)-\overline{A}\left(\nabla v\right)\right]\cdot \nabla \left(u-v\right)\mathrm{d}x\ge C_{\mathrm{1}}{\int }_{{\mathrm{\Omega }}_R}{\left({\left|\nabla u\right|}^{\mathrm{2}}+{\left|\nabla v\right|}^{\mathrm{2}}\right)}^{\frac{p^{\mathrm{*}}-\mathrm{2}}{\mathrm{2}}}{\left|\nabla u-\nabla v\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x。（54）

于是结合上式和Hölder不等式，并利用（33）式，可得

\begin{array}{c}{\int }_{{\mathrm{\Omega }}_R}{\left|\nabla u-\nabla v\right|}^{p^{\mathrm{*}}}\mathrm{d}x=\\ {\int }_{{\mathrm{\Omega }}_R}{\left({\left|\nabla u\right|}^{\mathrm{2}}+{\left|\nabla v\right|}^{\mathrm{2}}\right)}^{\frac{p^{\mathrm{*}}-\mathrm{2}}{\mathrm{4}}}\left|\nabla u-\nabla v\right|{\left({\left|\nabla u\right|}^{\mathrm{2}}+{\left|\nabla v\right|}^{\mathrm{2}}\right)}^{\frac{\mathrm{2}-p^{\mathrm{*}}}{\mathrm{4}}}{\left|\nabla u-\nabla v\right|}^{p^{\mathrm{*}}-\mathrm{1}}\mathrm{d}x\le \\ {\left({\int }_{{\mathrm{\Omega }}_R}{\left({\left|\nabla u\right|}^{\mathrm{2}}+{\left|\nabla v\right|}^{\mathrm{2}}\right)}^{\frac{p^{\mathrm{*}}-\mathrm{2}}{\mathrm{2}}}{\left|\nabla u-\nabla v\right|}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}x\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}{\left({\int }_{{\mathrm{\Omega }}_R}{\left({\left|\nabla u\right|}^{\mathrm{2}}+{\left|\nabla v\right|}^{\mathrm{2}}\right)}^{\frac{\mathrm{2}-p^{\mathrm{*}}}{\mathrm{2}}}{\left|\nabla u-\nabla v\right|}^{\mathrm{2}{p}^{\mathrm{*}}-\mathrm{2}}\mathrm{d}x\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\le \\ {\left(\frac{I}{C_{\mathrm{1}}}\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}{\left({\int }_{{\mathrm{\Omega }}_R}{\left({\left|\nabla u\right|}^{\mathrm{2}}+{\left|\nabla v\right|}^{\mathrm{2}}\right)}^{\frac{p^{\mathrm{*}}}{\mathrm{2}}}\mathrm{d}x\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\le C{I}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}{\left({\int }_{{\mathrm{\Omega }}_R}\left(\mathrm{1}+{\left|\nabla u\right|}^{p^{\mathrm{*}}}\right)\mathrm{d}x\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\mathrm{。}\end{array}（55）

上式代入（52）式，可得

{\int }_{{\mathrm{\Omega }}_R}{\left|\nabla u-\nabla v\right|}^{p^{\mathrm{*}}}\mathrm{d}x\le C{\left(R^{\tilde{\beta }}{\int }_{{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{2}R}}\left(\mathrm{1}+{\left|\nabla u\right|}^{p^{\mathrm{*}}}\right)\mathrm{d}x\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}{\left({\int }_{{\mathrm{\Omega }}_R}\left(\mathrm{1}+{\left|\nabla u\right|}^{p^{\mathrm{*}}}\right)\mathrm{d}x\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}\le C{R}^{\tilde{\beta }/\mathrm{2}}{\int }_{{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{2}R}}\left(\mathrm{1}+{\left|\nabla u\right|}^{p^{\mathrm{*}}}\right)\mathrm{d}x\mathrm{。}（56）

令\beta =\tilde{\beta }/\mathrm{2}即可。引理3证毕。

引理4 令B\left(x_{\mathrm{0}},\mathrm{2}{R}_{\mathrm{1}}\right)如上定义。若u为（1）—（2）满足条件（3）—（9）的弱解，则对任给\lambda \in \left(\mathrm{0},n\right)，存在正常数和仅与n,{\gamma }_{\mathrm{1}},{\gamma }_{\mathrm{2}},{\alpha }_{\mathrm{1}},{\alpha }_{\mathrm{2}},{\alpha }_{\mathrm{3}},\lambda有关的正常数C，使得\forall x_c\in \overline{\mathrm{\Omega }}\left(x_{\mathrm{0}},R_{\mathrm{1}}/\mathrm{2}\right)，，有

{\sout{\int }}_{\mathrm{\Omega }\left(x_c,\rho \right)}{\left|\nabla u\right|}^{p^{\mathrm{*}}\left(\rho \right)}\mathrm{d}x\le C{\rho }^{-\lambda }，（57）

其中p^{\mathrm{*}}\left(\rho \right)=\underset{\mathrm{\Omega }\left(x_c,\rho \right)}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}p\left(x\right)。

证明 令x_c\in \overline{\mathrm{\Omega }}\left(x_{\mathrm{0}},R_{\mathrm{1}}/\mathrm{2}\right)和，令R>\mathrm{0}满足\mathrm{\Omega }\left(x_c,\rho \right)={\mathrm{\Omega }}_{\rho }\subset {\mathrm{\Omega }}_{R/\mathrm{2}}\subset {\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{8}R}\subset \mathrm{\Omega }\left(x_{\mathrm{0}},\mathrm{2}{R}_{\mathrm{1}}\right)。若v为式（30）的弱解，则由式（31）和式（33），有

\begin{array}{c}{\int }_{{\Omega }_{\rho }}{\left|\nabla u\right|}^{p^{*}\left(\rho \right)}dx\le C{\int }_{{\mathrm{\Omega }}_{\rho }}{\left|\nabla u-\nabla v\right|}^{p^{\mathrm{*}}\left(\rho \right)}\mathrm{d}x+C{\int }_{{\mathrm{\Omega }}_{\rho }}{\left|\nabla v\right|}^{p^{\mathrm{*}}\left(\rho \right)}\mathrm{d}x\le \\ C{\int }_{{\mathrm{\Omega }}_R}\left(\mathrm{1}+{\left|\nabla u-\nabla v\right|}^{p^{\mathrm{*}}\left(R\right)}\right)\mathrm{d}x+C{\int }_{{\mathrm{\Omega }}_{\rho }}\left(\mathrm{1}+{\left|\nabla v\right|}^{p^{\mathrm{*}}\left(R\right)}\right)\mathrm{d}x\le \\ C{R}^n+C{R}^{\beta }{\int }_{{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{2}R}}\left({\left|\nabla u\right|}^{p^{\mathrm{*}}}+\mathrm{1}\right)\mathrm{d}x+C{\rho }^n+C\left|{\mathrm{\Omega }}_{\rho }\right|\left(c_{\mathrm{1}}{R}^{-n}{\int }_{{\mathrm{\Omega }}_R}{\left|\nabla v\right|}^{p^{\mathrm{*}}}\mathrm{d}x+G^{p^{\mathrm{*}}}\right)\le \\ C{R}^n+C{R}^{\beta }{\int }_{{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{2}R}}\left({\left|\nabla u\right|}^{p^{\mathrm{*}}}+\mathrm{1}\right)\mathrm{d}x+C{\rho }^n+C{\left(\frac{\rho }{R}\right)}^n{\int }_{{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{2}R}}\left({\left|\nabla u\right|}^{p^{\mathrm{*}}}+\mathrm{1}\right)\mathrm{d}x\le \\ C\left(R^{\beta }+{\left(\frac{\rho }{R}\right)}^n\right){\int }_{{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{2}R}}\left({\left|\nabla u\right|}^{p^{\mathrm{*}}}+\mathrm{1}\right)\mathrm{d}x+C{R}^n\mathrm{。}\end{array}（58）

于是由覆盖迭代讨论（见文献［1］引理3.2）和类似（46）式的估计，对每个\lambda \in \left(\mathrm{0},n\right)，存在正常数和C>\mathrm{0}，有

{\sout{\int }}_{{\mathrm{\Omega }}_{\rho }}{\left|\nabla u\right|}^{p^{\mathrm{*}}\left(\rho \right)}\mathrm{d}x\le C{\rho }^{-\lambda }。（59）

2 主要结论的证明

定理1的证明 令，且\mathrm{\Omega }\left(x_c,\rho \right)={\mathrm{\Omega }}_{\rho }\subset {\mathrm{\Omega }}_{R/\mathrm{2}}\subset {\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{32}R}\subset \mathrm{\Omega }\left(x_{\mathrm{0}},\mathrm{2}{R}_{\mathrm{1}}\right)。令v是问题（30）的唯一解，由式（31）—式（33）可得

\begin{array}{c}{\sout{\int }}_{{\mathrm{\Omega }}_{\rho }}{\left|\nabla v-{\left(\nabla v\right)}_{{\mathrm{\Omega }}_{\rho }}\right|}^{p^{\mathrm{*}}}\mathrm{d}x\le C{\left(\frac{\rho }{R}\right)}^{{\alpha }_{\mathrm{4}}}{\sout{\int }}_{{\mathrm{\Omega }}_{\rho }}\left(\underset{{\mathrm{\Omega }}_{R/\mathrm{2}}}{\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}}{\left|\nabla v\right|}^{p^{\mathrm{*}}}+G^{p^{\mathrm{*}}}{R}^{\gamma p^{\mathrm{*}}}\right)\mathrm{d}x\le \\ C{\left(\frac{\rho }{R}\right)}^{{\alpha }_{\mathrm{4}}}{R}^{-n}{\int }_{{\mathrm{\Omega }}_R}\left({\left|\nabla v\right|}^{p^{\mathrm{*}}}+G^{p^{\mathrm{*}}}\right)\mathrm{d}x\le \\ C{\left(\frac{\rho }{R}\right)}^{{\alpha }_{\mathrm{4}}}{\sout{\int }}_{{\mathrm{\Omega }}_R}\left(\mathrm{1}+{\left|\nabla v\right|}^{p^{\mathrm{*}}}\right)\mathrm{d}x\le \\ C{\left(\frac{\rho }{R}\right)}^{{\alpha }_{\mathrm{4}}}{\sout{\int }}_{{\mathrm{\Omega }}_R}\left(\mathrm{1}+{\left|\nabla u\right|}^{p^{\mathrm{*}}}\right)\mathrm{d}x\mathrm{。}\end{array}（60）

根据引理3，式（60）和引理4可得

\begin{array}{c}{\int }_{{\mathrm{\Omega }}_{\rho }}{\left|\nabla u-{\left(\nabla u\right)}_{{\mathrm{\Omega }}_{\rho }}\right|}^{p^{\mathrm{*}}}\mathrm{d}x\le C{\int }_{{\mathrm{\Omega }}_{\rho }}{\left|\nabla u-{\left(\nabla v\right)}_{{\mathrm{\Omega }}_{\rho }}\right|}^{p^{\mathrm{*}}}\mathrm{d}x\le \\ C{\int }_{{\mathrm{\Omega }}_{\rho }}{\left|\nabla u-\nabla v\right|}^{p^{\mathrm{*}}}\mathrm{d}x+C{\int }_{{\mathrm{\Omega }}_{\rho }}{\left|\nabla v-{\left(\nabla v\right)}_{{\mathrm{\Omega }}_{\rho }}\right|}^{p^{\mathrm{*}}}\mathrm{d}x\le \\ C{R}^{\beta }{\int }_{{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{2}R}}\left({\left|\nabla u\right|}^{p^{\mathrm{*}}}+\mathrm{1}\right)\mathrm{d}x+C{\left(\frac{\rho }{R}\right)}^{{\alpha }_{\mathrm{4}}}{\rho }^n{\sout{\int }}_{{\mathrm{\Omega }}_R}\left(\mathrm{1}+{\left|\nabla u\right|}^{p^{\mathrm{*}}}\right)\mathrm{d}x\le \\ C{R}^{n+\beta }{\sout{\int }}_{{\mathrm{\Omega }}_{\mathrm{2}R}}{\left|\nabla u\right|}^{p^{\mathrm{*}}}\mathrm{d}x+C{R}^{n+\beta }+C{\left(\frac{\rho }{R}\right)}^{{\alpha }_{\mathrm{4}}}{\rho }^n{R}^{-\lambda }+C{\left(\frac{\rho }{R}\right)}^{{\alpha }_{\mathrm{4}}}{\rho }^n\le \\ C{R}^{n+\beta -\lambda }+C{R}^{n+\beta }+C{\left(\frac{\rho }{R}\right)}^{{\alpha }_{\mathrm{4}}}{\rho }^n{R}^{-\lambda }+C{\left(\frac{\rho }{R}\right)}^{{\alpha }_{\mathrm{4}}}{\rho }^n\mathrm{。}\end{array}（61）

令\rho =\frac{R^{\mathrm{1}+\kappa }}{\mathrm{2}}，其中\kappa =\frac{\beta }{n+{\alpha }_{\mathrm{4}}}>\mathrm{0}，{\alpha }_{\mathrm{4}}\in \left(\mathrm{0,1}\right)是引理2中的常数，于是有。注意到，则上述不等式右侧的R有相同的指数n+\beta -\lambda，

{\int }_{{\mathrm{\Omega }}_{\rho }}{\left|\nabla u-{\left(\nabla u\right)}_{{\mathrm{\Omega }}_{\rho }}\right|}^{p^{\mathrm{*}}}\mathrm{d}x\le C{R}^{n+\beta -\lambda }+C{R}^{n+\beta }+C{R}^{n+\beta -\lambda }+C{R}^{n+\beta }\le C{R}^{n+\beta -\lambda }\le C{\rho }^{\frac{n+\beta -\lambda }{\mathrm{1}+\kappa }}=C{\rho }^{n+\frac{\beta -n\mu -\lambda }{\mathrm{1}+\kappa }}\mathrm{。}（62）

令\lambda =\frac{\beta {\alpha }_{\mathrm{4}}}{\mathrm{2}\left(n+{\alpha }_{\mathrm{4}}\right)}>\mathrm{0}，则有\beta -n\mu -\lambda >\mathrm{0}。上式即为

{\sout{\int }}_{{\mathrm{\Omega }}_{\rho }}{\left|\nabla u-{\left(\nabla u\right)}_{{\mathrm{\Omega }}_{\rho }}\right|}^{p^{\mathrm{*}}}\mathrm{d}x\le C{\rho }^{\frac{\beta -n\mu -\lambda }{\mathrm{1}+\kappa }}。（63）

最后，由Hölder不等式可得

{\left({\sout{\int }}_{{\mathrm{\Omega }}_{\rho }}{\left|\nabla u-{\left(\nabla u\right)}_{{\mathrm{\Omega }}_{\rho }}\right|}^{{\gamma }_{\mathrm{1}}}\mathrm{d}x\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{{\gamma }_{\mathrm{1}}}}\le {\left({\sout{\int }}_{{\mathrm{\Omega }}_{\rho }}{\left|\nabla u-{\left(\nabla u\right)}_{{\mathrm{\Omega }}_{\rho }}\right|}^{p^{\mathrm{*}}}\mathrm{d}x\right)}^{\frac{\mathrm{1}}{p^{\mathrm{*}}}}{\left({\sout{\int }}_{{\mathrm{\Omega }}_{\rho }}\mathrm{1}\mathrm{d}x\right)}^{\frac{p^{\mathrm{*}}-{\gamma }_{\mathrm{1}}}{p^{\mathrm{*}}{\gamma }_{\mathrm{1}}}}\le C{\rho }^{\frac{\beta -n\kappa -\lambda }{\left(\mathrm{1}+\kappa \right)p_{\mathrm{2}}}}，（64）

即

{\sout{\int }}_{{\mathrm{\Omega }}_{\rho }}{\left|\nabla u-{\left(\nabla u\right)}_{{\mathrm{\Omega }}_{\rho }}\right|}^{{\gamma }_{\mathrm{1}}}\mathrm{d}x\le C{\rho }^{\frac{\left(\beta -n\kappa -\lambda \right){\gamma }_{\mathrm{1}}}{\left(\mathrm{1}+\kappa \right){\gamma }_{\mathrm{2}}}}=C{\rho }^{\alpha }，（65）

其中\alpha =\frac{\left(\beta -n\kappa -\lambda \right){\gamma }_{\mathrm{1}}}{\left(\mathrm{1}+\kappa \right){\gamma }_{\mathrm{2}}}\in \left(\mathrm{0,1}\right)。定理1证毕。

3 结论

本文主要将Yao在文献［22］中建立的局部Hölder连续性，使用Acerbi和Mingione在文献［14］中建立逆Hölder不等式的方法，并利用比较估计和迭代法等技巧，获得了变指数p\left(x\right)-Laplace方程

\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}A\left(x,\nabla u\right)=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\left({\left|\mathit{f}\right|}^{p\left(x\right)-\mathrm{2}}\mathit{f}\right),x\in \mathrm{\Omega }，

在Dirichlet边界条件

u=u_{\mathrm{0}},x\in \partial \mathrm{\Omega }

下，弱解的全局Hölder估计，其中算子A=A\left(x,\xi \right)满足文章要求的结构性条件。

参考文献

[1] ACERBI E, MINGIONE G. Regularity Results for a Class of Functionals with Non-standard Growth[J]. Arch Ration Mech Anal, 2001, 156(2): 121-140. DOI: 10.1007/s002050100117 .

[2] RAJAGOPAL K R, RŮŽIČKA M. Mathematical Modeling of Electrorheological Materials[J]. Continuum Mech Thermodyn, 2001, 13(1): 59-78. DOI: 10.1007/s001610100034 .

[3] RŮŽIČKA M. Electrorheological Fluids: Modeling and Mathematical Theory[M]. New York: Springer, 2000.

[4] CHEN Y M, LEVINE S, RAO M. Variable Exponent, Linear Growth Functionals in Image Restoration[J]. SIAM J Appl Math, 2006, 66(4): 1383-1406. DOI: 10.1137/050624522 .

[5] LI F, LI Z B, PI L. Variable Exponent Functionals in Image Restoration[J]. Appl Math Comput, 2010, 216(3): 870-882. DOI: 10.1016/j.amc.2010.01.094 .

[6] JIKOV V V, KOZLOV S M, OLEINIK O A. Homogenization of Differential Operators and Integral Functionals[M]. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 1994. DOI: 10.1007/978-3-642-84659-5 .

[7] ZHIKOV V V. Meyers Type Estimates for the Solution of a Nonlinear Stokes System [in Russian]. Differ Uravn, 1997, 33(1): 107-114.

[8] ZHIKOV V V. On Lavrentiev's Phenomenon[J]. Russ J Math Phys, 1995, 3: 249-269.

[9] ZHIKOV V V. On some Variational Problems[J]. Russ J Math Phys, 1997, 5: 105-116.

[10] DIENING L, HÄSTÖ P, NEKVINDA A. Open Problems in Variable Exponent Lebesgue and Sobolev Spaces[C]//FSDONA04 Proceedings. Prague: Academy of Sciences of the Czech Republic, 2004, 66: 38-58.

[11] HARJULEHTO P, HÄSTÖ P, LÊ Ú V, et al. Overview of Differential Equations with Non-standard Growth[J]. Nonlinear Anal Theory Meth Appl, 2010, 72(12): 4551-4574. DOI: 10.1016/j.na.2010.02.033

[12] SAMKO S. On a Progress in the Theory of Lebesgue Spaces with Variable Exponent: Maximal and Singular Operators[J]. Integr Transforms Spec Funct, 2005, 16(5/6): 461-482. DOI: 10.1080/10652460412331320322 .

[13] DIENING L. Lebesgue and Sobolev Spaces with Variable Exponents[M]. Berlin: Springer, 2011.

[14] ACERBI E, MINGIONE G. Gradient Estimates for The p(x)-Laplacean System[J]. J Für Die Reine Und Angew Math Crelles J, 2005, 2005(584): 117-148. DOI: 10.1515/crll.2005.2005.584.117 .

[15] COSCIA A, MINGIONE G. Hölder Continuity of the Gradient of p(x)-Harmonic Mappings[J]. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math, 1999, 328(4): 363-368.

[16] FAN X L. Global C ^{1, α Regularity for Variable Exponent Elliptic Equations in Divergence form[J]. J Differ Equ, 2007, 235(2): 397-417. DOI: 10.1016/j.jde.2007.01.008 .}

[17] YAO F. Weighted Gradient Estimates for the General Elliptic p(x)-Laplacian Equations[J]. J Math Anal Appl, 2014, 415(2): 644-660. DOI: 10.1016/J.JMAA.2014.01.082 .

[18] BYUN S S, LEE H S. Calderón-Zygmund Estimates for Elliptic Double Phase Problems with Variable Exponents[J]. J Math Anal Appl, 2021, 501(1): 124015. DOI: 10.1016/j.jmaa.2020.124015

[19] LI Y, YAO F P. Besov Regularity Estimates for the Elliptic p(x)-Laplacian Equation with the Logarithmic Growth[J]. J Math Anal Appl, 2021, 498(2): 124974. DOI: 10.1016/j.jmaa.2021.124974 .

[20] ZHANG C, ZHOU S L. Hölder Regularity for the Gradients of Solutions of the Strong p(x)-Laplacian[J]. J Math Anal Appl, 2012, 389(2): 1066-1077. DOI: 10.1016/j.jmaa.2011.12.047 .

[21] YAO F P. Local Hölder Regularity of the Gradients for the Elliptic-Laplacian Equation[J]. Nonlinear Anal, 2013, 78: 79-85. DOI: 10.1016/j.na.2012.09.017 .

[22] YAO F P. Local Hölder Estimates for General Elliptic p(x)-Laplacian Equations[J]. J Math Inequal, 2014(2): 239-250. DOI: 10.7153/jmi-08-16 .

[23] YAO F P. Hölder Estimates for the Elliptic p(x)-Laplacian Equation with the Logarithmic Function[J]. Appl Anal, 2022, 101(8): 3048-3064. DOI: 10.1080/00036811.2020.1836348 .

[24] 佟玉霞, 郑神州, 于海燕. 变指数A-调和方程弱解的梯度的局部H(o)lder连续性[J]. 数学物理学报, 2015, 35(4): 656-667. DOI: 10.3969/j.issn.1003-3998.2015.04.003 .

[25] TONG Y X, ZHENG S Z, YU H Y. Local H(o)Lder Continuity of the Gradients of Weak Solutions to A-harmonic Equation with Variable Exponents[J]. Acta Math Sci, 2015, 35(4): 656-667. DOI: 10.3969/j.issn.1003-3998.2015.04.003 .

[26] 佟玉霞, 郭艳敏, 谷建涛. 一类椭圆障碍问题弱解梯度的全局BMO估计[J]. 数学物理学报, 2023, 43(1): 159-168. DOI: 10.3969/j.issn.1003-3998.2023.01.014 .

[27] TONG Y X, GUO Y M, GU J T. Global BMO Estimate for the Gradient of Weak Solutions to a Class of Elliptic Obstacle Problems[J]. Acta Math Sci, 2023, 43(1): 159-168. DOI:10.3969/j.issn.1003-3998.2023.01.014 .

[28] YAO F P. Local Hölder Regularity for the General Non-homogeneous Parabolic Equations[J]. J Math Anal Appl, 2023, 519(1): 126746. DOI: 10.1016/j.jmaa.2022.126746 .

[29] 张雅楠, 闫硕, 佟玉霞. 自然增长条件下的非齐次A-调和方程弱解的梯度估计[J]. 数学物理学报, 2020, 40(2): 379-394. DOI: 10.3969/j.issn.1003-3998.2020.02.010 .

[30] ZHANG Y N, YAN S, TONG Y X. Gradient Estimates for Weak Solutions to Non-homogeneous A-harmonic Equations under Natural Growth[J]. Acta Math Sci, 2020, 40(2): 379-394. DOI: 10.3969/j.issn.1003-3998.2020.02.010 .

[31] LIEBERMAN G M. Boundary Regularity for Solutions of Degenerate Elliptic Equations[J]. Nonlinear Anal, 1988, 12(11): 1203-1219. DOI: 10.1016/0362-546X(88)90053-3 .

基金资助

河北省教育厅重点项目(ZD2022070)