G-链连续点和G-极限跟踪性

冀占江 , 陈占和 , 刘海林

山西大学学报(自然科学版) ›› 2025, Vol. 48 ›› Issue (04) : 692 -699.

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山西大学学报(自然科学版) ›› 2025, Vol. 48 ›› Issue (04) : 692 -699. DOI: 10.13451/j.sxu.ns.2024053
基础数学与应用数学

G-链连续点和G-极限跟踪性

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G-chain Continuous Point and G-limit Shadowing Property

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摘要

在度量G-空间中介绍了G-链连续点和G-极限跟踪性的概念,利用等价映射和交换群的性质,研究了G-链连续点和G-极限跟踪性的动力学性质,得到如下结果:(1)在度量G-空间中给出X中每个点是G-链连续点等价条件:映射f是G-等度连续的并且f具有G-跟踪性;(2)G-扩张性和G-跟踪性蕴涵G-极限跟踪性。这些结果丰富了度量G-空间中G-链连续点和G-极限跟踪性的理论。

Abstract

We introduced the concepts of G-chain continuous poin and G-limit shadowing property in metric G-space. By using the properties of equivariant map and commutative group, we studied the dynamical properties of G-chain continuous poin and G-limit shadowing property, and obtained the following results. (1)The equivalent condition is given for every point to be G-chain continuous. That is, the map f is G-equicontinuous and has G-shadowing property in metric G-space; (2) G-expansivity and G-shadowing property imply G-limit shadowing property. These results enrich the theory of G-chain continuous point and G-limit shadowing property in metric G-space.

关键词

G-等度连续 / G-链连续点 / G-扩张性 / G-极限跟踪性 / G-跟踪性

Key words

G-equicontinuity / G-chain continuous point / G-expansivity / G-limit shadowing property / G-shadowing property

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冀占江,陈占和,刘海林. G-链连续点和G-极限跟踪性[J]. 山西大学学报(自然科学版), 2025, 48(04): 692-699 DOI:10.13451/j.sxu.ns.2024053

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0 引言

等度连续、扩张性和跟踪性是动力系统研究的重点和热点,在动力系统的发展中起着重要的作用,与系统的混沌和复杂性密切相关,很多学者在不同的空间对它们的动力学性质进行了研究,取得了有价值的研究结果1-14。例如,文献[1]研究了0̲-平均跟踪和链传递的关系;文献[2]在稠密的极小点集的条件下证明了平均跟踪性蕴涵syndetic传递的和弱混合;文献[3]讨论了平均等度连续与平均敏感之间的关系。

本文引入G-等度连续、G-扩张性和G-跟踪性的概念,然后在度量G-空间中对G-等度连续、G-扩张性和G-跟踪性的动力学性质进行了研究,得到如下结果:(1)f具有G-跟踪性且fG-等度连续的当且仅当X中的每一点都是G-链连续点;(2)若f具有G-跟踪性且fG-扩张映射,则f具有G-极限跟踪性。这些结果推广了度量空间中链连续点和极限跟踪性的结论,弥补了度量G-空间中G-链连续点和G-极限跟踪性理论的缺失,为其在生物数学、计算数学和计算机等方面的应用提供了理论基础和科学依据。

1 基本概念

定义14(X,d)是度量G-空间,f:XX连续。若ε>0δ>0,当d(x,y)<δ时,nN+gn,pnG,有d(fn(gnx),fn(pny))<ε,则称fG-等度连续。

定义24(X,d)是度量G-空间,f:XX连续,xX。若ε>0δ=δ(ε,x)>0,当d(x,y)<δ时,nN+gn,pnG,有d(fn(gnx),fn(pny))<ε,则称XG-等度连续点。

定义35(X,d)是度量G-空间,f:XX连续,C>0。若xyXn>0gn,pnG使得d(fn(gnx),fn(pny))>C,则称映射f具有G-扩张性,CG-扩张常数。

定义415(X,d)是度量G-空间,f:XX连续。若对任意的i0,存在tiG使limid(tif(xi),xi+1)=0,则称{xi}i=0fG-极限伪轨。

定义515(X,d)是度量G-空间,f:XX连续,δ>0。若对任意的i0,存在tiG使d(tif(xi),xi+1)<δ,则称{xi}i=0f(G,δ)-伪轨。

定义65(X,d)是度量G-空间,f:XX连续。若{xi}i=0fG-极限伪轨,都存在yX使得yG-极限跟踪{xi}i=0,则称f具有G-极限跟踪性。

定义716(X,d)是度量G-空间,f:XX连续。若ε>0δ>0,对f的任意(G,δ)-伪轨{xi}i=0yX使得y(G,ε)-跟踪{xi}i=0,则称f具有G-跟踪性。

定义816(X,d)是度量空间,G是拓扑群。若映射φ:G×XX满足

(1)对任意的xX,有φ(e,x)=x,其中eG的单位元;

(2)对任意的xX以及g1g2G,有φ(g1,φ(g2,x))=φ(g1g2,x),则称(X,G,φ)是度量G-空间,简称(X,d)是度量G-空间。

定义916(X,d)是度量G-空间,f:XX连续。若xXgG,有f(gx)=gf(x),则称f是等价映射。

定义1016(X,d)是度量G-空间,f:XX连续。若xXgGhG使得f(gx)=hf(x),则称f是伪等价映射。

定义1117G是群,若g,pG,有gp=pg,则称G是可交换群。

定义12(X,d)是度量G-空间,f:XX连续。若ε>0δ>0使得当{xi}i=0(x0=x)f(G,δ)-伪轨时,yXgiG使得d(fi(y),gixi)<ε,则称点XG-POPT点。

定义13(X,d)是度量G-空间,f:XX连续。若ε>0δ>0使得当d(x,y)<δ{yi}i=0(y0=y)f(G,δ)-伪轨时,zXgiG使得d(fi(z),giyi)<ε,则称点XG-链连续点。

2 若干引理

引理118(X,d)是紧致度量G-空间,G是紧致的,则ε>00<δ<εgG,若d(u,v)<δ,则有d(gu,gv)<ε

引理2(X,d)是紧致度量空间,f:XX连续, 则以下两个条件是等价的:

(1)X中的每一个点都是G-等度连续点;

(2)fG-等度连续的。

证明 (1)(2)。反证法。若f不是G-等度连续的,则ε0>0nN+,存在满足d(xn,yn)<1nxnynkn0g,kG使

d(fkn(gxn),fkn(kyn))ε0

根据X的紧致性知,存在正整数列{ni}满足

xnixyniy

d(xni,yni)<1ni,因此可得x=y。由题中条件知XG-等度连续点,故对ε02>00<δ<ε02,当d(x,z)<δ时,nN+gn,knG

d(fn(gnz),fn(knx))<ε02

m>0且满足

d(xm,x)<δd(ym,x)<δ
d(xm,ym)<1m

由(2)式和(3)式知,nN+

d(fn(gnxm),fn(knx))<ε02
d(fn(gnym),fn(knx))<ε02

nN+

d(fn(gnxm),fn(gnym))d(fn(gnxm),fn(knx))+d(fn(knx),fn(gnym))<ε0

这与(1)式矛盾,故fG-等度连续的。

(2)(1) 明显成立。

引理3(X,d)是紧致度量G-空间,G是紧致群,f:XX连续,则X中的每一点都是G-POPT点当且仅当f具有G-跟踪性。

证明 反证法。若f不具有G-跟踪性,则ε0>0kN+(G,1k)-伪轨{xik}i=0zXz都不(G,ε0)-跟踪{xik}i=0。由于X是紧致的,取{x0k}k=1收敛于X,即,

x0kx,k

易知XG-POPT点,故对ε02>00<ε1<ε0,使得对任意(G,ε1)-伪轨{yi}i=0(y0=x)yXgiG使得

d(fi(y),gixi)<ε02

由引理1知,对ε12>00<ε2<ε1,当d(z1,z2)<ε2时,sG,有

d(sz1,sz2)<ε12

f是一致连续的,对ε22>00<ε3<ε2,当d(z1,z2)<ε3时,有

d(f(z1),f(z2))<ε22

k0>0满足

1k0<ε32

x0kx,k,因此m>k0使得

d(x0m,x)<1k0<ε3

由(6)式和(7)式知:

d(f(x0m),f(x))<ε22

由于{xim}i=0f(G,1m)-伪轨,因此g0G使得

d(g0f(x0m),x1m)<1m<ε12

因此可得

d(g0f(x),x1m)<d(g0f(x),g0f(x0m))+d(g0f(x0m),x1m)<ε1

x,x1m,x2m,f(G,ε1)-伪轨。由(4)知,yXtiG使得

d(fi(y),tixim)<ε02i1d(y,t0x)<ε02

由(5)式和(7)式知:

d(t0x0m,t0x)<ε12

因此有

d(y,t0x0m)<d(y,t0x)+d(t0x,t0x0m)<ε0

因此y(G,ε0)-跟踪{xim}i=0,这与假设矛盾,故f具有G-跟踪性。

明显成立。

引理4(X,d)是紧致度量G-空间,f:XX伪等价。若XG-链连续点,则XG-等度续点,也是G-POPT点。

证明XG-链连续点,由定义易知XG-POPT点。下证XG-等度续点。由XG-链连续点知:ε>00<δ<ε,当d(x,y)<δ{xi}i=0(x0=y)f(G,δ)-伪轨时,zXgiG使得

d(fi(z),gixi)<ε

d(x,y)<δ,则{fi(y)}i=0f(G,δ)-伪轨,由(8)式知,n0zXgnG使得

d(fn(z),gnfn(y))<ε

f伪等价知,pnG使得

d(fn(x),fn(pny))<ε

tn=e,则有

d(fn(tnx),fn(pny))<ε

因此XG-等度续点。

3 主要定理

定理1(X,d)是紧致度量G-空间,G是可交换的紧致群,f是从XX伪等价映射,则以下两个条件是等价的:

(1)f具有G-跟踪性且fG-等度连续的;

(2)X中所有点是G-链连续点。

证明 (1)(2)。设f具有G-跟踪性且fG-等度连续的。由引理1知,对ε>00<ε0<ε,当d(z1,z2)<ε0时,gG,有

d(gz1,gz2)<ε2

由于fG-等度连续的,因此对ε02>00<ε1<ε0,当d(z1,z2)<ε1时,n0gn,knG使得

d(fn(gnz1),fn(knz2))<ε02

再由引理1知,对ε12>00<ε2<ε1,当d(z1,z2)<ε2时,gG,有

d(gz1,gz2)<ε12

f具有G-跟踪性知,对ε22>00<ε3<ε2,使得当{xi}i=0f(G,ε3)-伪轨时,zXgiG使得

d(fi(z),gixi)<ε22

xX。设d(y,x)<ε32{yi}i=0(y0=y)f(G,ε3)-伪轨。由(12)式知,zXtiG使得

d(fi(z),tiyi)<ε22

特别地,

d(z,t0y0)<ε22

由(11)式和d(x,y0)<ε32知:

d(t0x,t0y0)<ε12

因此有

d(t0x,z)<d(t0x,t0y0)+d(t0y0,z)<ε1

由(10)式知,i0,有

d(fi(giz),fi(kit0x))<ε02

f是伪等价映射知:gi',ki'G满足

d(gi'fi(z),ki'fi(x))<ε02

由(11)式和(13)式知:

d(gi'fi(z),gi'tiyi)<ε12

因此有

d(ki'fi(x),gi'tiyi)<d(ki'fi(x),gi'fi(z))+d(gi'fi(z),gi'tiyi)<ε0

由(9)式知:

d(fi(x),(ki')-1gi'tiyi)<ε

XG-链连续点。因此X中的每一点都是G-链连续点。

(2)(1)由引理2、引理3、引理4立刻可以得到。

定理2(X,d)是紧致度量G-空间,G是可交换的紧致群,f:XX同胚等价。如果f具有G-跟踪性,并且fG-扩张映射,那么f具有G-极限跟踪性。

证明C>0fG-扩张常数。由引理1知,0<ε<C0<ε0<ε,当d(x,y)<ε0时,gG,有

d(gx,gy)<ε2

f具有G-跟踪性知,对ε02>00<δ1<ε0,使得当{xi}i=0f(G,δ1)-伪轨时,zXtiG使得

d(fi(z),tixi)<ε02

{xi}i=0f的极限伪轨,则giG使得

limnd(gif(xi),xi+1)=0

因此k1N+,当ik1时,有

d(gif(xi),xi+1)<δ1

{xi}i=k1f(G,δ1)-伪轨,因此y1X{hi1}i=k1G,当ik1时,有

d(fi-k1(y1),hi1xi)<ε02

再由f具有G-跟踪性知,对ε022>00<δ2<ε0,使得当{xi}i=0f(G,δ2)-伪轨时,zXtiG满足

d(fi(z),tixi)<ε022

由(15)式知,k2>k1,当ik2时,有

d(gif(xi),xi+1)<δ2

因此{xi}i=k2f(G,δ2)-伪轨,故y2X{hi2}i=k2G,当ik2时,有

d(fi-k2(y2),hi2xi)<ε022

如此继续下去,存在严格递增的正整数列{kn}n=1{yn}n=1X{hin}i=knG,当ikn时,有

d(fi-kn(yn),hinxi)<ε02n

因此有

d(fi-kn+1fkn+1-kn(yn),hinxi)<ε02n
d(fi-kn+1(yn+1),hin+1xi)<ε02n+1

由(14)式知:

d(hin+1fi-kn+1fkn+1-kn(yn),hin+1hinxi)<ε2
d(hinfi-kn+1(yn+1),hinhin+1xi)<ε2

由于G是可交换的,因此当ikn时,有

d(hin+1fi-kn+1fkn+1-kn(yn),hinfi-kn+1(yn+1))<
d(hin+1fi-kn+1fkn+1-kn(yn),hin+1hinxi)+d(hin+1hinxi,hinfi-kn+1(yn+1))=
d(hin+1fi-kn+1fkn+1-kn(yn),hin+1hinxi)+d(hinhin+1xi,hinfi-kn+1(yn+1))<ε<C

f是等价映射知:

d(fi-kn+1(hin+1fkn+1-kn(yn)),fi-kn+1(hinyn+1))<C

由于f是扩张常数为C>0G-扩张映射,因此n1,有

fkn+1-kn(yn)=yn+1

f满射,故yX使得fk1(y)=y1,再结合(16)式可得,n1,有

fkn(y)=yn

对于上述ε>0,存在m>0满足ε02m<ε。当ikm时,有

d(fi(y),himxi)=d(fi-km(ym),himxi)<ε02m<ε

limid(fi(y),himxi)=0

因此f具有G-极限跟踪性。

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基金资助

国家自然科学基金(12126415)

广西自然科学基金(2020JJA110021)

梧州市科技计划项目(2024C03015)

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