G-链连续点和G-极限跟踪性

G-chain Continuous Point and G-limit Shadowing Property

摘要

在度量G-空间中介绍了G-链连续点和G-极限跟踪性的概念，利用等价映射和交换群的性质，研究了G-链连续点和G-极限跟踪性的动力学性质，得到如下结果：（1）在度量G-空间中给出X中每个点是G-链连续点等价条件：映射f是G-等度连续的并且f具有G-跟踪性；（2）G-扩张性和G-跟踪性蕴涵G-极限跟踪性。这些结果丰富了度量G-空间中G-链连续点和G-极限跟踪性的理论。

Abstract

We introduced the concepts of G-chain continuous poin and G-limit shadowing property in metric G-space. By using the properties of equivariant map and commutative group, we studied the dynamical properties of G-chain continuous poin and G-limit shadowing property, and obtained the following results. (1)The equivalent condition is given for every point to be G-chain continuous. That is, the map f is G-equicontinuous and has G-shadowing property in metric G-space; (2) G-expansivity and G-shadowing property imply G-limit shadowing property. These results enrich the theory of G-chain continuous point and G-limit shadowing property in metric G-space.

关键词

G-等度连续 / G-链连续点 / G-扩张性 / G-极限跟踪性 / G-跟踪性

Key words

G-equicontinuity / G-chain continuous point / G-expansivity / G-limit shadowing property / G-shadowing property

0 引言

等度连续、扩张性和跟踪性是动力系统研究的重点和热点，在动力系统的发展中起着重要的作用，与系统的混沌和复杂性密切相关，很多学者在不同的空间对它们的动力学性质进行了研究，取得了有价值的研究结果^［1-14］。例如，文献［1］研究了\underline{\mathrm{0}}-平均跟踪和链传递的关系；文献［2］在稠密的极小点集的条件下证明了平均跟踪性蕴涵syndetic传递的和弱混合；文献［3］讨论了平均等度连续与平均敏感之间的关系。

本文引入G-等度连续、G-扩张性和G-跟踪性的概念，然后在度量G-空间中对G-等度连续、G-扩张性和G-跟踪性的动力学性质进行了研究，得到如下结果：（1）f具有G-跟踪性且f是G-等度连续的当且仅当X中的每一点都是G-链连续点；（2）若f具有G-跟踪性且f是G-扩张映射，则f具有G-极限跟踪性。这些结果推广了度量空间中链连续点和极限跟踪性的结论，弥补了度量G-空间中G-链连续点和G-极限跟踪性理论的缺失，为其在生物数学、计算数学和计算机等方面的应用提供了理论基础和科学依据。

1 基本概念

定义1^［4］ 设(X,d)是度量G-空间，f:X\to X连续。若\forall \epsilon >\mathrm{0}，\exists \delta >\mathrm{0}，当时，\forall n\in N_{+}，\exists g_n,p_n\in G，有，则称f是G-等度连续。

定义2^［4］ 设(X,d)是度量G-空间，f:X\to X连续，x\in X。若\forall \epsilon >\mathrm{0}，\exists \delta =\delta (\epsilon ,x)>\mathrm{0}，当时，\forall n\in N_{+}，\exists g_n,p_n\in G，有，则称X是G-等度连续点。

定义3^［5］ 设(X,d)是度量G-空间，f:X\to X连续，C>\mathrm{0}。若\forall x\ne y\in X，\exists n>\mathrm{0}，\forall g_n,p_n\in G使得d(f^n(g_{n}x),f^n(p_{n}y))>C，则称映射f具有G-扩张性，C是G-扩张常数。

定义4^［15］ 设(X,d)是度量G-空间，f:X\to X连续。若对任意的i\ge \mathrm{0}，存在t_i\in G使\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}d(t_{i}f(x_i),x_{i+\mathrm{1}})=\mathrm{0}，则称\{x_i{\}}_{i=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}是f的G-极限伪轨。

定义5^［15］ 设(X,d)是度量G-空间，f:X\to X连续，\delta >\mathrm{0}。若对任意的i\ge \mathrm{0}，存在t_i\in G使，则称\{x_i{\}}_{i=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}是f的(G,\delta )-伪轨。

定义6^［5］ 设(X,d)是度量G-空间，f:X\to X连续。若\{x_i{\}}_{i=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}是f的G-极限伪轨，都存在y\in X使得yG-极限跟踪\{x_i{\}}_{i=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}，则称f具有G-极限跟踪性。

定义7^［16］ 设(X,d)是度量G-空间，f:X\to X连续。若\forall \epsilon >\mathrm{0}，\exists \delta >\mathrm{0}，对f的任意(G,\delta )-伪轨\{x_i{\}}_{i=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}，\exists y\in X使得y(G,\epsilon )-跟踪\{x_i{\}}_{i=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}，则称f具有G-跟踪性。

定义8^［16］ 设(X,d)是度量空间，G是拓扑群。若映射\phi :G\times X\to X满足

（1）对任意的x\in X，有\phi (e,x)=x，其中e为G的单位元；

（2）对任意的x\in X以及g_{\mathrm{1}}，g_{\mathrm{2}}\in G，有\phi (g_{\mathrm{1}},\phi (g_{\mathrm{2}},x))=\phi (g_{\mathrm{1}}{g}_{\mathrm{2}},x)，则称(X,G,\phi )是度量G-空间，简称(X,d)是度量G-空间。

定义9^［16］ 设(X,d)是度量G-空间，f:X\to X连续。若\forall x\in X，\forall g\in G，有f(gx)=gf(x)，则称f是等价映射。

定义10^［16］ 设(X,d)是度量G-空间，f:X\to X连续。若\forall x\in X，\forall g\in G，\exists h\in G使得f(gx)=hf(x)，则称f是伪等价映射。

定义11^［17］ 设G是群，若\forall g,p\in G，有g\cdot p=p\cdot g，则称G是可交换群。

定义12 设(X,d)是度量G-空间，f:X\to X连续。若\forall \epsilon >\mathrm{0}，\exists \delta >\mathrm{0}使得当\{x_i{\}}_{i=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}(x_{\mathrm{0}}=x)是f的(G,\delta )-伪轨时，\exists y\in X，\exists g_i\in G使得，则称点X是G-POPT点。

定义13 设(X,d)是度量G-空间，f:X\to X连续。若\forall \epsilon >\mathrm{0}，\exists \delta >\mathrm{0}使得当且\{y_i{\}}_{i=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}(y_{\mathrm{0}}=y)是f的(G,\delta )-伪轨时，\exists z\in X，\exists g_i\in G使得，则称点X是G-链连续点。

2 若干引理

引理1^［18］ 设(X,d)是紧致度量G-空间，G是紧致的，则\forall \epsilon >\mathrm{0}，，\forall g\in G，若，则有。

引理2 设(X,d)是紧致度量空间，f:X\to X连续， 则以下两个条件是等价的：

（1）X中的每一个点都是G-等度连续点；

（2）f是G-等度连续的。

证明 （1）\Rightarrow（2）。反证法。若f不是G-等度连续的，则\exists {\epsilon }_{\mathrm{0}}>\mathrm{0}，\forall n\in N_{+}，存在满足的x_n和y_n，\exists k_n\ge \mathrm{0}，\forall g,k\in G使

d(f^{k_n}(g{x}_n),f^{k_n}(k{y}_n))\ge {\epsilon }_{\mathrm{0}}。（1）

根据X的紧致性知，存在正整数列\{n_i\}满足

x_{n_i}\to x，y_{n_i}\to y。

又，因此可得x=y。由题中条件知X是G-等度连续点，故对\frac{{\epsilon }_{\mathrm{0}}}{\mathrm{2}}>\mathrm{0}，，当时，\forall n\in N_{+}，\exists g_n,k_n\in G有

。（2）

取m>\mathrm{0}且满足

，，（3）

。

由（2）式和（3）式知，\forall n\in N_{+}有

，

。

故\forall n\in N_{+}有

d(f^n(g_n{x}_m),f^n(g_n{y}_m))\le。

这与（1）式矛盾，故f是G-等度连续的。

（2）\Rightarrow（1） 明显成立。

引理3 设(X,d)是紧致度量G-空间，G是紧致群，f:X\to X连续，则X中的每一点都是G-POPT点当且仅当f具有G-跟踪性。

证明 \Rightarrow反证法。若f不具有G-跟踪性，则\exists {\epsilon }_{\mathrm{0}}>\mathrm{0}，\forall k\in N_{+}，\forall (G,\frac{\mathrm{1}}{k})-伪轨\{x_i^k{\}}_{i=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}，\forall z\in X，z都不(G,{\epsilon }_{\mathrm{0}})-跟踪\{x_i^k{\}}_{i=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}。由于X是紧致的，取\{x_{\mathrm{0}}^k{\}}_{k=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}收敛于X，即，

x_{\mathrm{0}}^k\to x,k\to \mathrm{\infty }。

易知X是G-POPT点，故对\frac{{\epsilon }_{\mathrm{0}}}{\mathrm{2}}>\mathrm{0}，，使得对任意(G,{\epsilon }_{\mathrm{1}})-伪轨\{y_i{\}}_{i=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}(y_{\mathrm{0}}=x)，\exists y\in X，\exists g_i\in G使得

。（4）

由引理1知，对\frac{{\epsilon }_{\mathrm{1}}}{\mathrm{2}}>\mathrm{0}，，当时，\forall s\in G，有

。（5）

又f是一致连续的，对\frac{{\epsilon }_{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}>\mathrm{0}，，当时，有

。（6）

取k_{\mathrm{0}}>\mathrm{0}满足

。

又x_{\mathrm{0}}^k\to x,k\to \mathrm{\infty }，因此\exists m>k_{\mathrm{0}}使得

。（7）

由（6）式和（7）式知：

。

由于\{x_i^m{\}}_{i=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}是f的(G,\frac{\mathrm{1}}{m})-伪轨，因此\exists g_{\mathrm{0}}\in G使得

。

因此可得

。

故\left\{x,x_{\mathrm{1}}^m,x_{\mathrm{2}}^m,\dots \right\}是f的(G,{\epsilon }_{\mathrm{1}})-伪轨。由（4）知，\exists y\in X，\exists t_i\in G使得

，i\ge \mathrm{1}， 。

由（5）式和（7）式知：

。

因此有

。

因此y(G,{\epsilon }_{\mathrm{0}})-跟踪\{x_i^m{\}}_{i=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}，这与假设矛盾，故f具有G-跟踪性。

\Leftarrow明显成立。

引理4 设(X,d)是紧致度量G-空间，f:X\to X伪等价。若X是G-链连续点，则X是G-等度续点，也是G-POPT点。

证明 设X是G-链连续点，由定义易知X是G-POPT点。下证X是G-等度续点。由X是G-链连续点知：\forall \epsilon >\mathrm{0}，，当且\{x_i{\}}_{i=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}(x_{\mathrm{0}}=y)是f的(G,\delta )-伪轨时，\exists z\in X，\exists g_i\in G使得

。（8）

设，则\{f^i{(y)\}}_{i=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}是f的(G,\delta )-伪轨，由（8）式知，\forall n\ge \mathrm{0}，\exists z\in X，\exists g_{\mathrm{n}}\in G使得

。

由f伪等价知，\exists p_n\in G使得

。

取t_n=e，则有

。

因此X是G-等度续点。

3 主要定理

定理1 设(X,d)是紧致度量G-空间，G是可交换的紧致群，f是从X到X伪等价映射，则以下两个条件是等价的：

（1）f具有G-跟踪性且f是G-等度连续的；

（2）X中所有点是G-链连续点。

证明 （1）\Rightarrow（2）。设f具有G-跟踪性且f是G-等度连续的。由引理1知，对\forall \epsilon >\mathrm{0}，，当时，\forall g\in G，有

。（9）

由于f是G-等度连续的，因此对\frac{{\epsilon }_{\mathrm{0}}}{\mathrm{2}}>\mathrm{0}，，当时，\forall n\ge \mathrm{0}，\exists g_n,k_n\in G使得

。（10）

再由引理1知，对\frac{{\epsilon }_{\mathrm{1}}}{\mathrm{2}}>\mathrm{0}，，当时，\forall g\in G，有

。（11）

由f具有G-跟踪性知，对\frac{{\epsilon }_{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}>\mathrm{0}，，使得当\{x_i{\}}_{i=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}是f的(G,{\epsilon }_{\mathrm{3}})-伪轨时，\exists z\in X，\exists g_i\in G使得

。（12）

取x\in X。设且\{y_i{\}}_{i=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}(y_{\mathrm{0}}=\mathrm{y})是f的(G,{\epsilon }_{\mathrm{3}})-伪轨。由（12）式知，\exists z\in X，\exists t_i\in G使得

。（13）

特别地，

。

由（11）式和知：

。

因此有

。

由（10）式知，\forall i\ge \mathrm{0}，有

。

由f是伪等价映射知：\exists g_i^{\text{'}},k_i^{\text{'}}\in G满足

。

由（11）式和（13）式知：

。

因此有

。

由（9）式知：

。

则X是G-链连续点。因此X中的每一点都是G-链连续点。

（2）\Rightarrow（1）由引理2、引理3、引理4立刻可以得到。

定理2 设(X,d)是紧致度量G-空间，G是可交换的紧致群，f:X\to X同胚等价。如果f具有G-跟踪性，并且f是G-扩张映射，那么f具有G-极限跟踪性。

证明 设C>\mathrm{0}是f的G-扩张常数。由引理1知，，，当时，\forall g\in G，有

。（14）

由f具有G-跟踪性知，对\frac{{\epsilon }_{\mathrm{0}}}{\mathrm{2}}>\mathrm{0}，，使得当\{x_i{\}}_{i=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}是f的(G,{\delta }_{\mathrm{1}})-伪轨时，\exists z\in X，\exists t_i\in G使得

。

设\{x_i{\}}_{i=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}是f的极限伪轨，则\exists g_i\in G使得

\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}d(g_{i}f(x_i),x_{i+\mathrm{1}})=\mathrm{0}。（15）

因此\exists k_{\mathrm{1}}\in N_{+}，当i\ge k_{\mathrm{1}}时，有

。

故\{x_i{\}}_{i=k_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{\infty }}是f的(G,{\delta }_{\mathrm{1}})-伪轨，因此\exists y_{\mathrm{1}}\in X，\exists \{h_i^{\mathrm{1}}{\}}_{i=k_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{\infty }}\subset G，当i\ge k_{\mathrm{1}}时，有

。

再由f具有G-跟踪性知，对\frac{{\epsilon }_{\mathrm{0}}}{{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}>\mathrm{0}，，使得当\{x_i{\}}_{i=\mathrm{0}}^{\mathrm{\infty }}是f的(G,{\delta }_{\mathrm{2}})-伪轨时，\exists z\in X，\exists t_i\in G满足

。

由（15）式知，\exists k_{\mathrm{2}}>k_{\mathrm{1}}，当i\ge k_{\mathrm{2}}时，有

。

因此\{x_i{\}}_{i=k_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{\infty }}是f的(G,{\delta }_{\mathrm{2}})-伪轨，故\exists y_{\mathrm{2}}\in X，\exists \{h_i^{\mathrm{2}}{\}}_{i=k_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{\infty }}\subset G，当i\ge k_{\mathrm{2}}时，有

。

如此继续下去，存在严格递增的正整数列\{k_n{\}}_{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}，\exists \{y_n{\}}_{n=\mathrm{1}}^{\mathrm{\infty }}\subset X，\exists \{h_i^n{\}}_{i=k_n}^{\mathrm{\infty }}\subset G，当i\ge k_n时，有

。

因此有

，

。

由（14）式知：

，

。

由于G是可交换的，因此当i\ge k_n时，有

d(h_i^{n+\mathrm{1}}{f}^{i-k_{n+\mathrm{1}}}\circ f^{k_{n+\mathrm{1}}-k_n}(y_n),h_i^{n+\mathrm{1}}{h}_i^n{x}_i)+d(h_i^{n+\mathrm{1}}{h}_i^n{x}_i,h_i^n{f}^{i-k_{n+\mathrm{1}}}(y_{n+\mathrm{1}}))=

。

由f是等价映射知：

。

由于f是扩张常数为C>\mathrm{0}的G-扩张映射，因此\forall n\ge \mathrm{1}，有

f^{k_{n+\mathrm{1}}-k_n}(y_n)=y_{n+\mathrm{1}}。（16）

又f满射，故\exists y\in X使得f^{k_{\mathrm{1}}}(y)=y_{\mathrm{1}}，再结合（16）式可得，\forall n\ge \mathrm{1}，有

f^{k_n}(y)=y_n。

对于上述\epsilon >\mathrm{0}，存在m>\mathrm{0}满足。当i\ge k_m时，有

。

故

\underset{i\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{m}}d(f^i(y),h_i^m{x}_i)=\mathrm{0}。

因此f具有G-极限跟踪性。

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基金资助

国家自然科学基金(12126415)

广西自然科学基金(2020JJA110021)

梧州市科技计划项目(2024C03015)