低温下不同本构对隔震支座用橡胶材料的适用性及温度相关性

Applicability and temperature dependence of different constitutive models for rubber materials used in seismic isolation bearings at low temperatures

摘要

为了探究低温条件下几种常用本构模型对我国隔震支座用橡胶材料的适用性及温度相关性问题，针对4种不同配方的隔震支座用橡胶材料开展了23~-60 ℃温度范围内的单轴拉伸实验。用最小二乘法拟合得到了7种本构模型的材料参数，分析了不同本构在低温下的适用性。利用ABAQUS软件，对4种橡胶材料进行不同温度下的单轴拉伸模拟，验证了各本构模型参数的正确性及模型的稳定性。结果表明，在23~-40 ℃温度范围内，与其他几种本构相比，Yeoh模型的稳定性好且计算精度高。在-60 ℃时，橡胶材料完全固化，考察的7种本构模型均不能精确反映橡胶材料的力学特征。通过对Yeoh模型温度相关性的研究，提出了一个考虑温度相关性的Yeoh修正模型，据此可对不同温度下相近剪切模量的橡胶材料力学性能进行预测。

Abstract

To investigate the applicability and temperature dependence of several commonly used constitutive models of rubber materials for seismic isolation bearings in our country at low temperatures， uniaxial tensile tests are conducted on four different formulations of rubber materials used in seismic isolation bearings. These tests are performed at temperatures ranging from 23 ℃ to -60 ℃. The material parameters of seven constitutive models are determined using the least squares fitting method， and their suitability at low temperatures is analyzed. Additionally， ABAQUS software is employed to conduct uniaxial tensile simulations of the four rubber materials at various temperatures， aiming to verify parameter accuracy and assess model convergence for each constitutive model. The results demonstrate that the Yeoh model exhibits superior stability and computational accuracy compared to other constitutive models at temperatures ranging from 23 ℃ to -40 ℃. However， at -60 ℃， the rubber material undergoes complete solidification， and none of the seven constitutive models considered in this study accurately capture its mechanical characteristics. Consequently， by investigating the temperature dependency of the Yeoh model， this study proposes a functional expression incorporating temperature effects. This expression enables the predicting of mechanical properties for rubber materials with similar shear modulus at different temperatures.

Graphical abstract

关键词

低温 / 橡胶材料 / 本构模型 / 适用性 / 温度相关性

Key words

low temperature / rubber material / constitutive model / applicability / temperature dependence

近年来，有限元分析方法被广泛应用于隔震支座的力学性能分析。然而，数值模拟结果的准确性取决于所使用橡胶材料本构模型的正确性^［1］。从20世纪40年代至今，国内外学者建立和发展了众多的橡胶超弹性本构模型。常见的有Mooney-Rivlin模型、Neo-Hooke模型、Yeoh模型和Ogden模型等。关于常温下各本构模型的适用性问题，业内已基本达成共识。Mooney-Rivlin模型可用于近似预测100%以内的小变形^［2］；Neo-Hooke模型可用于近似预测30%~40%的单轴拉伸和80%~90%的纯剪切橡胶力学行为。但这两种模型都不能用于较精确地描述炭黑填充类橡胶的力学行为^［3］。Yeoh模型是目前描述炭黑填充类橡胶力学行为最准确的一种本构模型^［4-5］，Ogden模型能够反映炭黑填充类橡胶材料的“S”形特征，是目前大型有限元分析软件中进行炭黑填充类橡胶数值模拟时常用的本构模型^［6］。

前人研究发现，低温下橡胶隔震支座的力学性能具有温度相关性^［7-12］。针对天然橡胶材料本构模型的温度相关性，前人已经做了一些研究工作。严永明^［13］对比分析了Mooney-Rivlin模型和Yeoh模型对低温环境下受高速冲击荷载的橡胶减震组件的低温适用性。Fu等^［14-15］对比分析了几种本构模型在283~383 K温度范围内对两种炭黑填充类橡胶材料的适用性；方庆红等^［16］对一种天然硫化橡胶开展了30~60 ℃及120~160 ℃温度范围内的Mooney-Rivlin模型参数的温度相关性研究。Yao等^［17］对炭黑填充类橡胶材料在283~393 K温度范围内开展了基于不同本构模型的温度相关性研究。Li等^［18］研究了温度对炭黑填充类橡胶超弹性力学性能的影响，并用一个考虑温度相关性的修正八链模型对材料力学行为进行了表征。Chen等^［19-20］研究了高阻尼橡胶隔震支座用高阻尼橡胶材料在竖向拉伸循环过程中的超黏弹性特性，提出了一种结合应变能密度函数的Maxwell流变模型。然而，这些研究基本都是针对高温段进行的，关于低温下我国隔震支座用橡胶材料的本构模型适用性研究，目前还鲜有相关的报道。随着我国经济和城市化进程的快速发展，隔震技术在重大、超长、复杂的生命线工程中被广泛应用，在冬季寒冷时节被迫停工时，隔震支座往往必须在严寒环境中工作。因此，低温下橡胶隔震支座的力学性能成为地震工程界极度关注的问题。

为此，本研究针对我国4家企业用于生产隔震支座的橡胶材料进行低温下的单轴拉伸实验，并分析了Mooney-Rivlin、Neo-Hooke、1阶Ogden、2阶Ogden、3阶Ogden、2阶Polynomial和Yeoh模型在低温下的适用性及温度相关性。本工作的研究成果可以为低温下橡胶隔震支座的有限元分析提供参考和依据。

1 实验

1.1 实验材料及样品制备

实验用橡胶材料分别由我国生产橡胶隔震支座的4家典型企业提供，其配方、组分和硫化工艺等均与成品橡胶隔震支座用橡胶材料完全相同，这4种材料均为炭黑填充类天然硫化橡胶。为了便于表述，分别将这4种橡胶材料编号为NR1，NR2，NR3和NR4。考虑实验拉伸设备量程范围的限制，实验全部采用标准哑铃型2型试样。

1.2 实验设备

实验在青岛科技大学国家大学科技园青岛中化新材料实验室进行。采用AI-7000-MGD1高低温伺服拉力试验机进行拉伸实验，该设备所能提供的温度范围是：-60~250 ℃。在实验过程中，4种不同配方的试样采用相同的实验设备和实验条件进行测试。夹具和试样可以被包含在一个密闭的高低温环境箱中，并通过温度控制面板进行温度设定和调节，以确保橡胶试样能够在设定温度条件下进行性能测试。同时，实验设备的拉伸装置和高低温环境箱可拆卸开来，因此能够在同一台设备上进行常温和低温不同温度工况下的单轴拉伸实验。实验设备如图1所示。

1.3 实验过程

实验依据GB/T 528—2009《硫化橡胶或热塑性橡胶拉伸应力应变性能的测定》相关要求进行。采用标准哑铃型2型试样，在室温（23 ℃）及0，-20，-30，-40 ℃和-60 ℃ 6种不同温度工况下进行实验。为消除实验过程中偶然因素的影响，确保实验结果的正确性，每个温度工况下针对4种不同配方的试样，进行至少3组平行实验。采用计算机记录拉伸过程中的力-位移曲线，实验结果取其中位值。进行低温下拉伸实验时，先夹持好试样，然后按照设定的目标温度开始降温，等降到目标温度后开始计时，保温10 min。保温阶段结束后，启动试验机拉伸设备，以500 mm/min的速度进行拉伸，并记录和监测整个实验过程中试样长度和力的变化。

1.4 实验结果与分析

图2为在不同温度条件下测试得到的4种橡胶材料的应力-应变关系曲线。从图2可以看出，在低温下进行拉伸时，4种橡胶材料的应力-应变关系与常温下有显著差异。从23 ℃降低到-60 ℃的过程中，橡胶材料的拉伸强度逐渐增大。-60 ℃时，4种材料的弹性模量都趋于无穷大，这意味着它们已经完全固化，失去了弹性，丧失了工程实用价值。对比相同应变下的应力值可以发现，从23 ℃降低到-60 ℃的过程中，在相同的应变下，NR1，NR2，NR3和NR4都表现出了应力先增大后减小，然后再增大的特点，并且在大应变下这种现象更加明显。对NR1材料而言，在温度从23 ℃降低到-20 ℃的过程中，相同应变下，橡胶材料的应力逐渐增大；但当温度从-20 ℃降低到-30 ℃时，其相同应变下的应力值却有所降低；当温度进一步降低到-40 ℃时，在应变小于2.5的范围内，应力值依然有所降低；但当应变大于2.5时，出现了明显的应力硬化现象。当温度从-40 ℃降低到-60 ℃时，橡胶材料已经完全硬化，表现出玻璃化特性，其定伸应力值明显增大。与NR1相类似，其他3种材料在不同的温度范围内也表现出了这种定伸应力先增大后减小，然后再增大的特点。材料NR2在-30 ℃的定伸应力比-20 ℃时略有下降，之后随着温度降低，定伸应力值逐渐增大；而NR3和NR4两种材料在-30 ℃时定伸应力较-20 ℃时均有明显下降；当温度进一步降低到-40 ℃时，两种材料的定伸应力较-30 ℃时有所增大。分析这种下降原因，可能与低温下橡胶发生结晶，内部分子链重排有关。通过以上分析，可以得出结论：在低温条件下，橡胶材料的力学性能与常温下有很大区别，因此，开展低温下不同本构模型的适用性研究显得非常必要。

2 本构模型拟合与稳定性分析

2.1 模型拟合结果及低温下不同本构模型的适用性分析

采用最小二乘法对实验测试结果进行Mooney-Rivlin、Neo-Hooke、1阶Ogden、2阶Ogden、3阶Ogden、2阶Polynomial和Yeoh等7种模型参数的拟合，拟合结果如图3~6所示。图中黑色实线代表实验测试结果，其他颜色的虚线代表采用最小二乘法得到的不同本构模型的拟合曲线。对比分析各图中的拟合值和实验测试值可以发现，对于4种橡胶材料而言，在23，0，-20，-30 ℃和-40 ℃各温度工况下，Mooney-Rivlin模型和Neo-Hooke模型的拟合结果与实验测试结果差距较大，不能准确拟合橡胶材料的应力-应变曲线。Yeoh模型、2阶Polynomial和3阶Ogden模型拟合效果最好。1阶Ogden模型的拟合效果根据橡胶材料的不同而不同。对于NR1材料而言，其在23，0，-20，-30 ℃和-40 ℃各温度工况下的拟合效果均较好；对于NR2材料，常温下，当应变小于4时，以及0，-20，-30 ℃和-40 ℃各温度工况下，该本构均能很好地反映材料的应力-应变关系。而NR3和NR4两种材料在前述各温度工况下，当应变分别大于3和4时，其拟合效果变差。2阶Ogden模型的拟合效果也与橡胶材料本身的性质有关，对于NR1材料，在23，0，-20，-30 ℃和-40 ℃各温度工况下，该本构的拟合效果均较好。而其他3种橡胶材料在拟合过程中，该模型都不能成功拟合。通过对比分析NR1材料的1阶、2阶和3阶Ogden模型拟合效果可以发现，随着阶数的增加，Ogden模型的拟合精度在逐渐提高。

在-60 ℃工况下，实验结果表明，此时4种橡胶材料的弹性段都和竖轴重合，弹性模量趋于无限大，说明橡胶材料已经完全硬化，进入玻璃化阶段，弹性丧失。在此温度工况下，本工作考查的几种本构模型都无法准确表达橡胶材料弹性模量趋于无穷大的特性，各本构模型拟合效果都不佳。

2.2 模型稳定性分析

在有限元分析过程中，模型的稳定性直接关系到计算结果的精度和可靠性。为了评估7种常用本构模型的稳定性，对拟合过程中不同温度条件下各模型的稳定性信息进行了统计，结果见表1。

对比分析图3~6和表1的统计结果可以发现，在23，0，-20，-30 ℃和-40 ℃各温度工况下，Mooney-Rivlin模型的拟合效果较差且不稳定；Neo-Hooke模型稳定性好，但拟合效果较差。与常温下相似，由于这两种模型是常剪切模型^［3］，在低温条件下，也不能较精确地拟合炭黑填充类天然硫化橡胶的力学特征。虽然1阶Ogden模型的拟合精度依据橡胶材料及温度条件而有所不同，但其稳定性良好。在对NR1材料进行拟合的过程中，2阶Ogden模型的拟合效果好且稳定；而在其他3个材料的拟合过程中，2阶Ogden模型常不收敛，难以得到拟合结果。3阶Ogden和2阶Polynomial模型拟合效果较好，但是稳定性较差。Yeoh模型的拟合效果和稳定性都较好。基于以上分析，在后续的分析中，本工作将不再考虑Mooney-Rivlin和Neo-Hooke两种模型拟合参数的准确性，而只分析其他几种本构拟合参数的准确性和本构模型的收敛性。同时，对比分析图3~6和表1的结果可以发现，-60 ℃时，虽然各本构的稳定性都较好，但是几种本构模型均不能精确反映4种橡胶材料在此温度工况下的应力-应变关系。

3 有限元模拟

为了评估拟合效果较好的Ogden（1阶、2阶、3阶）模型、2阶Polynomial模型和Yeoh模型各参数的准确性和预测能力，采用ABAQUS软件建立了2型标准哑铃型试样的三维有限元实体模型，并使用拟合得到的各模型本构参数模拟了试样在不同温度下的单轴拉伸实验。将数值模拟结果和实验测试结果进行对比，验证了拟合得到的各本构模型参数的正确性。

3.1 模型的建立

橡胶采用8节点C3D8H实体杂交单元进行模拟，经过网格划分后总计有20080个单元。模拟时，在橡胶中间部位标定20 mm的实验长度，将三维实体模型拉伸150 mm。采用ABAQUS软件建立的三维实体模型，如图7所示。

3.2 数值模拟结果分析

图8分别为4种橡胶材料在23，-20 ℃和-40 ℃ 3种温度条件下的数值模拟结果和实验测试结果对比图。图中黑色实线为不同温度条件下的实验结果，其他颜色虚线分别代表采用不同本构参数得到的数值模拟结果。对比数值模拟结果和实验测试结果可以发现，对4种材料在不同温度工况下进行数值模拟时，使用1阶Ogden模型和Yeoh模型能够得到稳定且收敛的计算结果。而相较于1阶Ogden模型，Yeoh模型的计算结果更为精确。对于NR1材料而言，1阶Ogden模型在各温度下的数值模拟结果和实验测试结果吻合效果较好；而NR2，NR3和NR4 3种材料在23 ℃下的数值模拟结果和实验测试结果之间相差较大，不能准确反映橡胶材料的应力-应变关系。当采用Yeoh模型对NR1，NR2，NR3和NR44种材料进行数值模拟时，所得计算结果与实验数据之间吻合较好，计算精度较高。虽然2阶Ogden模型、3阶Ogden模型以及2阶Polynomial模型在各温度工况下拟合效果较好，但其计算结果往往不稳定且难以收敛。各图中未绘出的本构关系曲线，均是由于在采用所考察的本构模型参数进行数值模拟时，没有得到收敛的计算结果。从NR1材料的数值模拟结果可以看出，Ogden模型（1，2，3阶）的阶数越高，其拟合效果越好，但随着阶数的增加，模型的不稳定性也随之增加，计算过程中容易出现不收敛的情况。通过比较不同材料采用不同本构模型在不同温度下的计算结果，可以发现我国生产隔震支座的4家厂家所提供的橡胶材料均可以用Yeoh模型表达其应力-应变关系。Yeoh模型具有较高的计算精度和良好的稳定性。因此，后续的研究将重点考察23~-60 ℃温度范围内橡胶材料的Yeoh模型的温度相关性。

4 低温下Yeoh模型的温度相关性研究

4.1 低温下考虑温度相关性的Yeoh模型表达式

图9为4种橡胶材料考虑温度相关性的Yeoh模型各参数拟合结果。从图中可以看出，当考虑温度影响时，4种橡胶材料的Yeoh本构参数均可表示为温度T的三次函数，并且4种材料的3个参数C₁₀，C₂₀和C₃₀随着温度变化的趋势相同。这表明，尽管这些橡胶在配方、组分和硫化工艺等方面有所差异，但它们都具有明显的温度相关性。

考虑温度相关性的3参数Yeoh本构模型可写为变量T的函数，其表达式如下：

W=C_{\mathrm{10}}(T)(I_{\mathrm{1}}-\mathrm{3})+C_{\mathrm{20}}(T){\left(I_{\mathrm{1}}-\mathrm{3}\right)}^{\mathrm{2}}+C_{\mathrm{30}}(T){\left(I_{\mathrm{1}}-\mathrm{3}\right)}^{\mathrm{3}}（1）

C₁₀（T），C₂₀（T）和C₃₀（T）可由以下表达式进行计算：

\left\{\begin{array}{c}{C}_{\mathrm{10}}(T)=A_{\mathrm{0}}+A_{\mathrm{1}}T+A_{\mathrm{2}}{T}^{\mathrm{2}}+A_{\mathrm{3}}{T}^{\mathrm{3}}\\ C_{\mathrm{20}}(T)=B_{\mathrm{0}}+B_{\mathrm{1}}T+B_{\mathrm{2}}{T}^{\mathrm{2}}+B_{\mathrm{3}}{T}^{\mathrm{3}}\\ C_{\mathrm{30}}(T)=C_{\mathrm{0}}+C_{\mathrm{1}}T+C_{\mathrm{2}}{T}^{\mathrm{2}}+C_{\mathrm{3}}{T}^{\mathrm{3}}\end{array}\right.（2）

式中：A₀，A₁，A₂，A₃，B₀，B₁，B₂，B₃和C₀，C₁，C₂，C₃为Yeoh模型各参数的温度相关系数，各温度相关系数的取值见表2~4。

由于在Yeoh模型中，参数C₁₀等于1/2的初始剪切模量\mu。可以根据此关系计算得到不同温度下Yeoh模型对应的参数C₁₀，从而，利用以上考虑温度相关性的Yeoh本构模型表达式，可以预测不同温度下相近剪切模量的橡胶材料的力学性能。

4.2 考虑温度相关性的Yeoh模型正确性验证

为验证4.1节中提出的考虑温度相关性的Yeoh模型各参数表达式的正确性，并检验该模型拟合结果的准确性。以NR2材料为例，利用3.1节中建立的有限元模型，分别在23，0，-20，-30，-40 ℃和-60 ℃几种不同温度条件下进行单轴拉伸数值模拟。在不同温度工况下，将采用考虑温度相关性的Yeoh模型数值模拟所得结果和实验测试结果，以及由实验测试结果直接拟合得到的Yeoh本构参数进行数值模拟所得结果进行对比，结果如图10所示。图10中，黑色实线为实验测试结果，灰色虚线表示采用由实验测试结果直接拟合得到的Yeoh本构参数进行数值模拟的结果，红色虚线表示采用考虑温度相关性的Yeoh本构模型进行数值模拟所得结果。从图中可以看出，考虑温度相关性的Yeoh本构模型计算结果，在23~-40 ℃温度范围内可以很好地反映橡胶材料的力学性能。在-60 ℃时，橡胶材料已经完全固化，丧失弹性，失去工程实用价值。采用Yeoh本构模型无法精确反映橡胶材料完全固化的特征，从图10（f）可以看出，采用本工作提出的考虑温度相关性的Yeoh本构模型得到的数值模拟结果，与采用实验结果直接拟合所得本构参数进行数值模拟的计算结果吻合度高，但都难以反映橡胶材料完全固化的特性。因此，本工作提出的考虑温度相关性的Yeoh本构模型难以准确反映橡胶材料完全固化的特征。可以利用本工作提出的考虑温度相关性的Yeoh本构模型较精确地预测相近剪切模量的橡胶材料在23~-40 ℃温度范围内不同温度下的力学性能，从而可以用来预测该温度区间内隔震支座的力学性能。

5 结论

（1）我国生产橡胶隔震支座的不同厂家所使用的天然硫化橡胶，虽然其配方和组分不同，但都表现出了明显的温度敏感性。从23 ℃降低到-60 ℃的过程中，在相同的应变下，NR1，NR2，NR3和NR4都表现出了定伸应力先增大后减小，然后再增大的特点，并且在大应变下这种现象更加明显。

（2）对我国隔震支座用橡胶材料而言，在23~ -40 ℃温度范围内，Mooney-Rivlin模型拟合效果不好且稳定性差；Neo-Hooke模型稳定性较好，但拟合效果较差。与常温下类似，在低温条件下，这两种模型都不能反映隔震支座用橡胶材料的“S”形特征。2阶Polynomial模型拟合效果较好，但稳定性较差，难以获得收敛的计算结果。1阶Ogden模型和Yeoh模型稳定性较好，均能得到收敛的计算结果；但相较于1阶Ogden模型，Yeoh模型的计算结果精确性更高。2阶和3阶Ogden模型虽在各温度工况下拟合效果较好，但计算结果常不收敛，稳定性较差。随着阶数的增加，Ogden模型的拟合能力逐渐增强，但稳定性逐渐变差。

（3）在-60 ℃时，橡胶材料进入玻璃化状态，橡胶完全固化。本工作考察的Mooney-Rivlin模型、Neo-Hooke模型、1阶Ogden、2阶Ogden、3阶Ogden、2阶Polynomial模型以及Yeoh模型均不能精确反映该状态下橡胶材料的应力-应变特征。

（4）当考虑温度影响时，4种橡胶材料的Yeoh本构参数均可表示为温度T的三次函数，并且4种材料的3个参数C₁₀，C₂₀和C₃₀随温度变化的趋势相同。根据参数C₁₀与初始剪切模量\mu的关系，可以利用本工作给出的4种考虑温度相关性的Yeoh本构模型表达式，对23~-40 ℃温度范围内不同温度下相近剪切模量的橡胶材料的力学性能进行预测。

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基金资助

国家自然科学基金项目(52178291)