基于Weibull分布和一阶可靠性修正的钛合金TA19疲劳寿命预测

Fatigue life prediction of titanium alloy TA19 based on Weibull distribution and first-order reliability correction

摘要

随着航空发动机性能的提升，离心叶轮等关键部件在高温、高应力和复杂载荷下运行，其几何不连续区域（如通气孔和倒圆角）成为疲劳失效的薄弱环节。本工作以TA19材料为研究对象，制备光滑试样和U型缺口试样，在高温条件下开展低循环疲劳实验。通过Weibull分布拟合疲劳寿命数据，并针对传统模型在应力集中区域精度不足的问题，提出了引入应力集中因子（K_t）和一阶可靠性理论修正的迭代疲劳寿命模型。研究表明，U型缺口试样因应力集中效应疲劳寿命分布更为集中，光滑试样寿命分散性较高。Kolmogorov-Smirnov检验验证了数据符合Weibull分布特性，修正后的模型显著提高了预测精度，大多数预测数据落入±1.5倍分散带内，并绘制了不同失效概率的P-S-N曲线，为复杂结构疲劳寿命预测提供了参考。

Abstract

With the improvement in aeroengine performance，critical components （such as centrifugal impellers） operate under high-temperature，high-stress，and complex load conditions. Geometric discontinuities （such as ventilation holes and fillet radii） have become weak points for fatigue failure. This study focused on TA19 material，preparing smooth and U-shaped notch specimens for low-cycle fatigue tests under high-temperature conditions. Fatigue life data have fitted using the Weibull distribution，and an improved iterative fatigue life model is proposed to address the limitations of traditional models in regions with stress concentration. The model incorporates the stress concentration factor （K_t） and first-order reliability theory for correction. The results indicate that due to stress concentration effects，U-shaped notch specimens exhibit more concentrated fatigue life distributions，whereas smooth specimens show greater variability. The Kolmogorov-Smirnov test verifies that the data conforms to the Weibull distribution characteristics. The revised model significantly improves the prediction accuracy，with most of the predicted data falling within±1.5 times the scatter band. Additionally，P-S-N curves for different failure probabilities are constructed，providing a valuable reference for the reliable fatigue life prediction of complex structures.

Graphical abstract

关键词

疲劳寿命预测 / Weibull分布 / P-S-N曲线 / 缺口 / 低循环疲劳

Key words

fatigue life prediction / Weibull distribution / P-S-N curve / notch / low cyclic fatigue

随着航空发动机技术的不断进步，其核心部件承受的负荷和环境复杂性也在逐步增加，尤其是在高温、高应力等极端工况下，机械部件的失效风险显著上升。作为航空发动机的关键转动部件，空心离心叶轮在设计中引入了通气孔和空腔外侧倒圆等几何不连续特征，这些区域通常被视为承载薄弱点^［1-2］。在高负载和高频气动载荷的作用下，这些薄弱区域会产生显著的应力集中效应，易引发裂纹、疲劳失效，甚至可能导致离心叶轮的整体破坏。一旦空心离心叶轮发生失效，将对发动机的正常运行产生严重影响，甚至可能引发灾难性事故^［3］。因此，针对航空发动机离心叶轮薄弱特征区域的疲劳寿命预测方法展开研究具有重要工程应用价值。

目前，围绕应力集中区域的疲劳寿命预测方法已形成较多理论体系。早期的局部应力应变法虽然为疲劳寿命预测提供了初步分析框架，但由于忽略了缺口效应，这些方法的预测结果通常趋于保守^［4-5］。为了更好地描述缺口根附近的复杂应力场对疲劳损伤的影响，提出了基于临界距离理论的临界距离理论^［6］。该方法通过特征区域的平均应力计算实现了理论上的突破，但其单一参数的表征方式无法准确反映应力梯度与尺寸效应的耦合作用。因此，Yao^［7］提出了应力场强度法，该方法通过加权控制参数定量分析了损伤区内各点对损伤系数的影响权重。基于此，Li等^［8］结合连续介质力学与不可逆热力学的分析框架，改进了应力场强度法，考虑了平均应力、加载路径以及应力梯度等因素，从而为疲劳的耐久性设计提供了新的思路。然而，现有方法多聚焦于应力超越材料疲劳极限的单一损伤机制，对几何特征敏感性、概率分布特性及高温环境耦合效应等工程关键要素的集成建模尚不完善。这种理论局限使得传统方法在航空发动机复杂工况下的预测精度与工程适用性面临严峻考验。

在实验数据支撑体系方面，P-S-N曲线是传统疲劳寿命预测的核心工具。Zhang等^［9］基于可靠性理论构建了20CrMoH渗碳齿轮的P-S-N曲线，Oh等^［10］遵循JSME-S002标准建立了齿轮箱齿杆焊接接头的统计测试方法，Wang等^［11］则通过20Cr2Ni4A齿轮钢实验揭示了夹杂物对疲劳断裂的影响机制。需要注意，Weibull分布凭借其参数可调性强、适应性广的特点，正逐步成为疲劳寿命概率建模的重要工具^［12-14］。Cai等^［15］证实三参数Weibull分布可显著提升P-S-N曲线拟合精度，Aslam等^［16］创新性地将多依赖状态抽样应用于加速寿命测试控制图设计，Zhu等^［17］更将Weibull分布与临界面理论融合，构建了新型缺口效应寿命预测模型。这些进展为复杂工况下的疲劳分析提供了新的方法论启示。

针对上述问题，本工作以航空发动机空心离心叶轮为背景，聚焦其典型薄弱特征区域（如通气孔和倒圆处），引入U型缺口试样，通过高温实验条件模拟几何不连续区域的应力集中效应和疲劳行为。结合Weibull分布与一阶可靠性理论，构建了一种改进的疲劳寿命预测模型。通过实验验证，该模型显著提高了疲劳寿命的预测精度，并为航空发动机关键部件的疲劳寿命评估及可靠性设计提供了可靠的理论依据和技术支持。

1 实验材料与方法

空心离心叶轮特征结构（如空腔通气孔、中心孔出气口倒圆及空腔出气口端外侧）因几何不连续性效应，在高温工作环境下易发生局部应力集中，成为疲劳失效的薄弱环节（如图1所示）。为精确模拟这些区域的应力集中现象及其对疲劳行为的影响，本工作选用U型缺口试样开展实验研究。U型缺口的几何特性（如曲率半径）能够有效再现叶轮特征结构处的应力集中效应，并在高温条件下表现出类似的疲劳行为。尤其在高温环境下，U型缺口试样的应力分布与叶轮特征区域的实际工况高度一致，能够真实反映叶轮在高温疲劳条件下的性能表现。

本工作以TA19材料为研究对象，其显微组织如图2所示，包括等轴α相和片层状α+β共析体。实验所用试件包括光滑棒状试件和U型缺口棒状试件。依据GB/T 15248—2008《金属材料轴向等幅低循环疲劳试验方法》制备U型缺口低循环疲劳圆棒试样，缺口宽度和深度均为0.3±0.02 mm，具体设计尺寸如图3所示。光滑试样的尺寸、应力集中因子（K_t）及实验数量列于表1中。应力集中因子K_t定义为缺口试样最大轴向应力与试样净截面名义应力之比，其数值通过三维有限元分析计算获得。实验在300 ℃的环境下进行，采用电热炉加热，温度控制精度为±2 ℃。疲劳测试在MTS 370电液伺服疲劳试验机上完成，加载波形为正弦波，频率为10 Hz，应力比R=0.1，加载速率为300 N/s。光滑试样分别在640、620、580、550 MPa应力水平下进行低循环疲劳实验；缺口试样则在660、580、525、490 MPa应力水平下进行，每个应力水平重复实验5次，以确保结果的可靠性和可重复性。

2 疲劳寿命规律及预测方法

2.1 疲劳寿命规律及机理分析

表2和表3分别展示了U型试样和光滑试样在不同应力水平下的低周疲劳寿命数据。从数据对比中可以看出，如图4所示，光滑试样的失效寿命较长，且疲劳寿命随着名义应力的增加逐渐下降；而U型缺口试样的疲劳寿命较短。由此可见，应力集中效应显著降低了材料的疲劳寿命，光滑试样的耐疲劳性能明显优于缺口试样。为分析各应力水平下疲劳寿命数据的离散程度，本工作计算了变异系数（C_V），其作为衡量数据波动相对于均值的标准化量度，计算公式为：C_{\mathrm{V}}=\sigma /\mu，其中，σ为标准差，μ为均值。结果如表4所示。通过对缺口试样和光滑试样在不同应力水平下C_V的分析，可以发现光滑试样的寿命分散性整体上大于缺口试样。缺口试样的C_V范围为0.0103~0.0293；光滑试样的C_V范围为0.0110~0.0371。

光滑和缺口试样在不同应力水平下的疲劳寿命分散性表现出显著差异，并呈现一定的应力相关性。光滑试样的C_V随着应力水平的降低而增大，尤其在低应力水平（如490 MPa）下，由于裂纹萌生多源性和微观缺陷的随机性，其寿命分散性显著增强^［17］。相较之下，缺口试样的疲劳寿命分布较为集中，C_V值在高应力水平（如640 MPa和620 MPa）时较低，而在低应力水平（如580 MPa和550 MPa）时显著增加，这可能与缺口根部的裂纹萌生和扩展机制复杂性有关。同一应力水平下，光滑试样的C_V值通常高于缺口试样，表明应力集中效应对缺口试样寿命分布具有一定的稳定化作用。此外，高应力水平下疲劳寿命主要受主应力场控制，寿命分布更加集中；而低应力水平下，微观组织和应力集中效应对疲劳寿命的分散性影响更为显著。因此，光滑试样寿命的分散性更大，而缺口结构在一定程度上具有稳定疲劳寿命的作用。图5为不同倍率下光滑试样和U型缺口试样的低周疲劳断口形貌，二者在裂纹萌生与扩展机制上存在显著差异。光滑试样由于应力分布均匀，应力集中效应较低，裂纹通常从试样边缘多个微小缺陷同时萌生，并沿稳定路径逐步向内部扩展（图5（b））。裂纹在传播路径交汇处会引起局部应力集中，形成剪切脊结构。此外，断口上可见清晰的疲劳条纹和二次裂纹（图5（c）），表明裂纹扩展速率较慢，从而具有较高的疲劳寿命。与之相比，U型缺口试样因几何形状引发显著的应力集中效应，裂纹集中于缺口根部单点萌生，并沿最大主应力方向快速扩展（图5（d），（e））。裂纹扩展过程中易导致局部材料失稳，出现掉块现象，同时断口中可观察到更严重的次生裂纹和孔洞图5（c），表明裂纹扩展过程中局部应力波动剧烈，微观组织破坏程度更高，疲劳损伤显著重于光滑试样。整体来看，光滑试样表现出多源起裂特性，裂纹扩展路径复杂，但扩展速率较慢，导致疲劳寿命分散程度较高；而缺口试样表现为单点起裂，裂纹扩展集中且快速，断口损伤更加剧烈。这与表2和表3中的观察结果一致，表明光滑试样寿命的分散性高于缺口试样。

2.2 疲劳数据Weibull分布判定及分布参数确定

为进一步研究数据的分布特性，采用Weibull分布对疲劳寿命数据进行了拟合。Weibull分布的概率密度函数（PDF）为：f(x)=\beta /[\eta {(x/\eta )}^{\beta -\mathrm{1}}]\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}[-{(x/\eta )}^{\beta }]，其中，β为形状参数，η为尺度参数。具体拟合与验证过程如下：将数据按从小到大的顺序排列，并计算每个数据点的经验分布函数（EDF）：F_n^{*}(x_i)=i/n，其中，n是样本总数，i是数据点的排序编号。Weibull分布的累积分布函数（CDF）为：F_{\mathrm{0}}(x)=\mathrm{1}-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}(-{(x/\eta )}^{\beta })，对于每个排序数据点x_i，根据给定的形状参数β和尺度参数η，计算对应的理论CDF值F₀（x_i）。计算最大差异度D_n，即经验分布函数和理论CDF之间的最大绝对差值：D_n=\underset{i}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}|F_n^{*}(x_i)-F_{\mathrm{0}}(x_i)|，为验证数据是否符合Weibull分布，采用Kolmogorov-Smirnov（K-S）检验。该检验的原假设是数据来自某一理论分布（在本工作中为Weibull分布）。K-S检验的判定标准是计算得到的最大差异度D_n 与临界值进行比较。K-S检验的临界值D（n，α=0.05）为0.294（根据样本容量n=10和显著性水平α=0.05查表得到）。如果D_n 小于临界值0.294，则接受原假设，即数据符合Weibull分布；如果D_n 大于临界值，则拒绝原假设，认为数据不符合Weibull分布。表5给出了U型缺口试样与光滑试样在不同应力水平下的最大差异度D_n 值。由表中可见，大部分D_n 值均小于0.294，说明绝大多数疲劳寿命数据在统计上可认为服从Weibull分布，验证了分布拟合的合理性。

根据K-S检验的结果，所有数据的最大差异度D_n 均小于临界值0.294，因此可以接受原假设，认为这些数据符合Weibull分布。因此，本工作采用Weibull分布模型来预测材料的疲劳寿命。虽然三参数Weibull分布提供了更高的灵活性，但位置参数仅影响曲线的起点而不改变其形状。为降低计算复杂度，实际应用中通常使用双参数Weibull分布，其表达式如下^［18］：P_{\mathrm{f}}=\mathrm{1}-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}[-(N_{\mathrm{f}}/N^{*}{)}^k]，其中，P_{\mathrm{f}}为失效概率，N^{*}为特征疲劳寿命，N_{\mathrm{f}}为实验寿命，k为寿命分布指数。

在确定疲劳寿命Weibull分布参数之前，需要对样本数据进行一定的处理以获得样本中每个子样的失效概率。首先将同一载荷下的n个寿命子样从小到大排列，由于本工作所选用的材料在同一载荷下的寿命子样数量均小于等于10，因此采用样本容量较小时的失效概率预估方法，其表达式如下^［19］：P_{\mathrm{f}}=(i-\mathrm{0.3})/(n+\mathrm{0.4})，式中，i为第i个子样序号。公式（1）移相后，两边取2次对数可得：\mathrm{l}\mathrm{n}[-\mathrm{l}\mathrm{n}(\mathrm{1}-P_{\mathrm{f}})]=k(\mathrm{l}\mathrm{n}{N}_{\mathrm{f}}-\mathrm{l}\mathrm{n}{N}^{*})，令y=\mathrm{l}\mathrm{n}[-\mathrm{l}\mathrm{n}(\mathrm{1}-P_{\mathrm{f}})]，x=\mathrm{l}\mathrm{n}{N}_{\mathrm{f}},a^{\text{'}}=\mathrm{l}\mathrm{n}{N}^{*}将公式转化为如下的线性回归形式：y=k(x-a^{\text{'}})，通过对此公式进行线性拟合，得到方程斜率即为形状参数k值、特征寿命由N^{*}={\mathrm{e}}^{a^{\text{'}}}确定，拟合结果如图6所示。通过拟合的结果可以获得TA19缺口试样的特征寿命以及等效应力（{\sigma }_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}})，如表6和表7所示。

为进一步研究特征寿命N*与等效应力间的关系，通过以下经验公式进行拟合：{\sigma }_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}=a(N^{*}{)}^b，可得缺口试件特征寿命与等效应力的拟合关系如图7所示，等效应力与特征寿命之间存在明显的负相关关系，且随着特征寿命的增加等效应力下降，因此可以通过不同的等效应力值求出对应的特征寿命，通过拟合可得缺口试样的参数a₁=4405，b₁=-0.16507；光滑试样的参数a₂=1242，b₂=-0.0973。

2.3 虑及应力集中影响的一阶可靠性迭代寿命预测模型及应用

在传统疲劳寿命预测方法中，Weibull分布与Osgood-Ramberg方程的迭代模型常被用于对称循环载荷下的应力-应变关系建模。然而，实际工程中广泛存在的非对称循环载荷和应力集中效应显著影响预测精度：非对称载荷导致材料正反向应力-应变行为不对称，而应力集中区域会加速裂纹萌生与扩展。针对这些局限性，本工作提出一种融合应力集中因子K_t与一阶可靠性理论的改进模型，通过等效应力转换与局部失效行为量化，实现复杂工况下的高精度寿命预测。

首先，通过等效应力方法将非对称循环载荷等效为对称形式，并基于修正的Ramberg-Osgood方程描述应力-应变行为：\epsilon =\left\{\begin{array}{l}{\sigma }_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}/E\\ \sigma /E+({\sigma }_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}/K^{\text{'}}{)}^{\mathrm{1}/n^{\text{'}}}\end{array}\right.，其中K′为循环强度系数，n′为循环应变硬化指数。此方法消除了非对称载荷对模型的干扰，使Osgood方程在复杂载荷下保持适用性。为进一步量化应力集中效应，引入一阶可靠性理论。基于一阶二矩法，构建近似极限状态函数：\tilde{g}(X)\approx g({\mu }_X)+\nabla g({\mu }_X{)}^T(X_i-\mu x_i)，其均值与方差分别为：{\mu }_{\tilde{g}}\approx E[g({\mu }_X)]=g({\mu }_X)，\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}\left[\tilde{g}\left(X\right)\right]=\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}\left[g\left({\mu }_X\right)\right]+\mathrm{v}\mathrm{a}\mathrm{r}[\nabla g({\mu }_X{)}^T(X-{\mu }_X)]，可靠性指数β定义为\beta ={\mu }_j/{\sigma }_j。结合Weibull分布构建性能函数：\tilde{g}(x)=\mathrm{1}-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}[-{(\frac{x}{N^{*}})}^k]；{\mu }_{\tilde{g}}=\tilde{g}({\overline{N}}_{\mathrm{f}})=\mathrm{1}-\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}[-{(\frac{N_{\mathrm{f}}}{N^{*}})}^k]；{\sigma }_{ij}=\sqrt[]{{(\frac{\mathrm{d}\overline{g}\left({\overline{N}}_{\mathrm{f}}\right)}{\mathrm{d}{\overline{N}}_{\mathrm{f}}}\sigma )}^{\mathrm{2}}}=\frac{\mathrm{d}\overline{g}\left({\overline{N}}_{\mathrm{f}}\right)}{\mathrm{d}{\overline{N}}_{\mathrm{f}}}=\frac{k}{N^{*}}\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{p}[-{[\frac{N_{\mathrm{f}}}{N^{*}}]}^k]{(\frac{x}{N^{*}})}^{k-\mathrm{1}}，通过表8中缺口与光滑试样的{\mu }_{\tilde{g}}、{\sigma }_{ij}及β值对比可见。

修正后的流程图如图8所示。

以TA19试样为例，采用改进模型对疲劳寿命进行预测。结果如图9所示，图中展示了模型在不同修正条件下的预测效果。图9（a）为未考虑一阶可靠性修正时的预测结果，可见预测寿命与实验寿命相关性较大，但仍存在一定偏差，部分结果偏离±1.5倍寿命带。图9（b）在此基础上引入一阶可靠性因子与应力集中因子修正后，预测结果与实验数据的吻合度明显提升，大多数数据落在±1.5倍寿命带范围内，表明模型精度显著提高。该方法可有效提升疲劳寿命预测的准确性和可靠性。

2.4 基于Weibull分布和一阶可靠性因子的P-S-N曲线拟合

基于前文中的疲劳寿命预测，采用Weibull分布和一阶可靠性因子对P-S-N曲线进行了拟合分析。计算Weibull分布的形状参数和特征寿命，并结合应力集中因子修正疲劳寿命估算，进一步考虑失效概率的影响，预测不同失效概率（如5%、50%、95%）下的疲劳寿命。最终，将疲劳寿命与应力水平进行拟合，绘制了P-S-N曲线。如图10所示，P-S-N曲线随着失效概率的增加逐渐下降，且在P_f=50%时，拟合结果与实验数据高度吻合，展现出疲劳寿命的规律性。尽管其他失效概率下的实验数据较为有限，但该方法在失效概率范围5%~95%内对疲劳寿命的预测具有良好的参考价值，验证了基于Weibull分布寿命预测方法的准确性和工程应用潜力。

3 结论

（1）对光滑试样和U型缺口试样的疲劳行为和寿命分布进行深入研究，发现两者在疲劳性能上存在显著差异，并提出了结合应力集中因子K_t和一阶可靠性修正的疲劳寿命预测模型。光滑试样的寿命分散性整体高于缺口试样，变异系数（C_V）范围分别为0.0110~0.0371和0.0103~0.0293，尤其在低应力水平（如490 MPa和550 MPa）下更为显著。

（2）光滑试样应力分布均匀，裂纹萌生受微观组织和随机因素影响较大，容易从试样表面的多个微小缺陷多源萌生，表现出更高的寿命波动性；而缺口试样裂纹集中于缺口根部单点萌生，裂纹扩展路径明确，表现出更高的疲劳损伤程度和更低的寿命分散性。

（3）引入应力集中因子K_t和一阶可靠性修正后，疲劳寿命预测模型的精度显著提高。与传统模型相比，修正后的模型能够更准确地描述缺口试样的疲劳行为，大多数预测数据分布在±1.5倍分散带内，与实验结果高度吻合。

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