GeoGebra赋能数学实验可视化研究

摘要

以苏教版小学数学四年级下册“九宫格填数规律”为载体，探索GeoGebra赋能数学实验可视化的实践路径。借助GeoGebra的动态演示、交互操作与建模功能，一方面化解逻辑推理过程抽象、数量关系与位置约束难辨、模型建构缺乏系统性等教学难点，另一方面帮助学生突破抽象思维障碍，促进小学数学素养发展，从而为信息科技与数学教学的深度融合提供可借鉴的实践范例。

Graphical abstract

关键词

GeoGebra / 数学实验 / 实验可视化 / 九宫格填数 / 数学建模

九宫格是中华优秀传统文化与数理智慧的重要载体，最早可追溯至“洛书”的历史记载。其填数推演过程集中体现了数学抽象、逻辑推理与数学建模等核心素养的培育价值。数学实验是一种以探索现象、发现规律、验证结论和解决实际问题为目的的探究活动，能够将抽象的数学知识具体化、直观化，有助于培养学生的创新意识与探索精神，促进核心素养的发展^［1-2］。

《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确提出，数学教学应注重与信息科技的深度融合，合理利用现代技术手段丰富教学场景，增强学习的沉浸感、互动性与体验感，支持学生开展探究性学习，并将跨学科主题学习课时比例设定为不少于总课时的10%^［3］。然而，在实际教学中，仅依赖静态表格与传统图示，学生往往难以自主抽象出“幻和”“中间数”等核心概念及其内在规律；繁复的填数步骤进一步加重了学生的认知负荷^［4］，使其难以从具体操作顺利过渡到抽象的数学建模。GeoGebra凭借其强大的几何作图、动态演示与实时建模功能，为解决上述教学困境提供了可行的技术路径。笔者以“探究九宫格填数规律”为例，系统探索GeoGebra赋能数学实验可视化的实施路径，旨在丰富信息科技与数学教学融合的策略体系，并为一线教学提供可复制、可推广的实验教学范式。

1 教学背景与理论基础

1.1 教学内容分析

九宫格是苏教版小学数学四年级下册的教学内容，本质上属于三阶幻方结构。它既承接低年级的简单填数经验，又与对称变换、位值原理及数列规律等知识点纵向衔接。然而，传统教学受限于静态的教材呈现与单一的知识讲授，难以将抽象的数字变换规律、幻和性质等，转化为学生可直观感知、可具身操作的数学活动经验。这一教学瓶颈，为GeoGebra的深度介入提供了契机，其动态可视化与交互建模功能，能够有效破解上述教学难题。

1.2 学情特征分析

依据皮亚杰认知发展阶段理论^［5］，四年级学生正处于从具体运算阶段向形式运算阶段过渡的早期，抽象思维开始萌芽。此时，学生虽已掌握基本的四则运算技能，并初步接触了平移、旋转及轴对称等图形变换知识，但在理解九宫格的对称变换规律与数字排列逻辑时，仍面临较大的认知挑战。这在一定程度上反映了学生在数学抽象、逻辑推理及建模能力方面尚待进一步发展。基于上述认知特征，如何借助适宜的技术手段搭建“具体感知—抽象理解”的认知桥梁，成为我们亟待解决的核心问题。

1.3 GeoGebra的教育价值

基于认知负荷理论^［6］，GeoGebra凭借其动态可视化与多模态表征优势^［7］，引导学生在具身交互中直观感知对称变换规律，深度理解数字排列的逻辑关联。这一过程有效降低了由注意力分散和冗余解释引发的外在认知负荷，学生得以将有限的认知资源聚焦九宫格填数规律的本质探索，从而促进知识的深度迁移与数学模型建构。

2 基于核心素养的实验教学设计

2.1 核心素养导向的教学目标

基于数学核心素养框架中提出的“用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考现实世界、用数学的语言表达现实世界”三大维度，确立了具体教学目标（表1）。

2.2 教学过程的核心素养渗透

（1） 情境导入——神龟负书的数学传说。

以“神龟负书”的传说创设文化情境。相传大禹治水时，洛河浮现神龟，龟背刻有奇异的“洛书”纹路（图1）。古人将这一图案的规律总结为二十字口诀：“戴九履一，左三右七，四二为肩，八六为足，五居中央。”该口诀精准描述了1至9数字在三阶方阵中的位置分布，由此引出该节课的核心探究任务——九宫格填数规律。

【第一步（模仿）】同学们，我们先试着用“戴九履一”的洛书口诀，把1到9填入九宫格。

【第二步（变式）】如果老师换一组数，比如是2、4、6……这些不是1到9的数，刚才的口诀还能用吗？

【第三步（揭秘）】（引导学生发现）我们可以把这些数从小到大排队，让最小的对应1，第二小的对应2……就像给它们找座位一样，再按口诀填进去，一样能成功！

【第四步（拓展）】除了口诀，还有没有更快的“绝招”呢？今天咱们再来学习两种厉害的方法——“对称交换旋转法”和“杨辉斜排法”，看看谁学得最快！

（2） 规律探究——信息赋能的演绎推理。

打开GeoGebra软件，介绍基本界面，演示基础功能，引导学生利用GeoGebra创建对称变换模型（图2），指导学生利用GeoGebra颜色自定义和动态拖拽功能探究对称交换旋转法填数的方法。

①对角线数字交换旋转法（图2）。

【第一步】将所有数按从小到大的顺序依次填入对应的圆点位置上。

【第二步】交换对角线上1和9的位置、3和7的位置。

【第三步】拖拽各数字所对应的圆点，将中宫以外的所有数沿顺时针方向旋转奇数步，可完成九宫格填数。

②十字位数字交换旋转法（图3）。

【第一步】将所有数按从小到大的顺序依次填入对应的圆点位置上。

【第二步】交换十字位上2和8的位置、4和6的位置。

【第三步】拖拽各数字所对应的圆点，将中宫以外的所有数沿顺时针方向旋转奇数步，可完成九宫格填数。

③以拓展实践促进模型建构。

【拓展实践1】刚才我们是沿着顺时针方向，旋转奇数步（比如1步、3步）来完成填数的。现在，请同学们动手试试：沿逆时针方向旋转奇数步，行不行呢？

学生动手操作后，引导学生总结得出：沿逆时针方向旋转奇数步，同样能完成九宫格填数。

【拓展实践2】初始阶段，引导学生按从小到大的顺序、逐行（或逐列）完成九宫格布数。随即抛出挑战：是否存在其他排列方式？教师组织学生开展深度探究，巡视并给予针对性指导。通过实践与思辨，师生共同归纳提炼出如下填数策略。

（a）按从小到大、从右到左顺序依次排列数字后，再进行交换旋转，可以完成九宫格填数（图4）。

（b）按从大到小、从左到右顺序依次排列数字后，再进行交换旋转，可以完成九宫格填数（图5）。

（c）按从大到小、从右到左顺序依次排列数字后，再进行交换旋转，也可以完成九宫格填数（图6）。

【拓展实践3】教师进一步设疑：若待填九数不再局限于1～9，对称交换旋转法是否随之失效？据此引导学生通过交流讨论，深度探究数集变换规律。学生发现，只需将原数组从小到大排序并与1～9建立一一映射，按对应位置填入后，再行对称交换与旋转操作，该方法依然适用，从而验证了策略的普适性。

（3） 文化传承——杨辉斜排法的古典智慧。

早在南宋时期，著名数学家杨辉便在《续古摘奇算法》中系统研究了幻方，并提出了构造三阶幻方的“斜排法”（图7）。该方法被凝练为十六字口诀：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出。”具体而言：九子斜排指将数字按斜线顺序排列；上下对易与左右相更分别指数列的首尾行、列互换；四维挺出则是将边位数字（2、4、6、8）移至四角。教学中，借助GeoGebra动态演示该过程，引导学生精准捕捉每一步骤的结构变换特征。

【思维拓展】在使用杨辉斜排法时，需严格遵循“九子斜排”的初始规则（即按从小到大、自上而下的顺序斜向排列）。教师设疑：初始排列顺序是否可以改变？经学生探究与实践验证后发现：杨辉斜排法的初始排列具有唯一性，不像对称交换旋转法那样具备多种灵活的预处理方式，因而其策略灵活性相对受限。

（4） 探寻规律——数学思维与核心素养进阶。

观察以下九宫格（图8），小组交流讨论，分析总结他们之间有什么规律？

①把一个九宫格顺时针或逆时针转一转（转90°、180°、270°），会得到几种看起来不一样、但实际是同一种填法的九宫格。

②九宫格里，横着、竖着、斜着的3个数加起来的和都一样，这个和叫“幻和”；幻和除以3正好等于中间的那个数，像这样特殊的九宫格，数学上叫作“三阶幻方”。

（5） 总结拓展——知识巩固与分层作业。

引导学生梳理学习收获，清晰表述洛书口诀法、对称交换旋转法及杨辉斜排法的关键步骤与解题逻辑，深化对九宫格数理结构的理解。基于最近发展区理论，设计分层作业以满足不同层次学生的需求。

①基础巩固层：利用GeoGebra完成给定数组的九宫格填数任务，夯实基本操作技能。

②能力提升层：自主设计幻和非15的九宫格结构，探究幻和变化与数字排列的内在规律。

③综合拓展层：结合九宫格的文化内涵或对称美学，构思一项跨学科实践作品（如文创设计、编程验证等），并阐明其背后的数学原理。

3 总结与展望

以“探究九宫格填数规律”为载体，引导学生经历洛书口诀法、对称交换旋转法及杨辉斜排法等多种策略的探究过程，显著提升了课堂教学实效。研究证实，GeoGebra赋能的数学实验可视化，有效突破了传统教学中抽象思维过程不可视、空间观念难内化的困境，有力促进了学生对数学模型的深度理解与建构。通过动态演示与多重表征，将静态算法转化为交互式探究，显著降低了学生的认知负荷，为信息科技支撑下的数学核心素养培育提供了可复制的实践范式。展望未来，笔者的后续研究将进一步深化GeoGebra与数学实验的融合路径，持续优化信息化教学设计，助推优质教学资源的共建共享。

笔者作为技术与工程教师，深知要积极融入跨学科合作的时代教育浪潮中。不仅能辅助其他学科提高教学实效，也能提高技术与工程的学科价值。这也是非高考科目在新高考背景下彰显学科价值的有效路径。在与其他学科教师的积极研讨中，拓展了教具改进创新思路；在教具设计制作过程中，积累了解决问题与工程实践经验；在看到学生积极投入到课堂探索后，深刻感受到了跨学科合作的意义。今后将以自制教具为媒介，组建跨学科合作团队，推进与其他学科的融合教学，提升教学实效，促进学生综合素养全面发展。

参考文献

[1] 康杰，黄炜.开展数学实验　培养创造才能：《初中数学、普通高中数学实验教学基本目录》解读［J］.教育与装备研究，2024，40（03）：12-17.

[2] 邵光华，卞忠运.数学实验的理论研究与实践［J］.课程·教材·教法，2007（03）：5.

[3] 中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2022年版） ［S］.北京：北京师范大学出版社，2022.

[4] 陈巧芬.认知负荷理论及其发展［J］.现代教育技术，2007（09）：16-19，15.

[5] 刘长城，张向东.皮亚杰儿童认知发展理论及对当代教育的启示［J］.当代教育科学，2003（01）：45-46.

[6] 庞维国.认知负荷理论及其教学涵义［J］.当代教育科学，2011（12）：23-28.

[7] 马利芳.多模态话语框架下教学模式研究［J］.教育理论与实践，2016，36（01）：57-60. （上接第109页）

[8] 4.2　教具拓展价值

[9] 正二十面体截角推演教具虽制作简单，但模具制作方法可以拓展制作多种正多面体及多面体之间的变化。两款教具的操作简单，但设计都融入了趣味化元素。捏黏土、“砸金蛋”等操作能唤起学生学习兴趣，有效提高学生的学习动力，教具的趣味化操作设计理念具有推广价值。

[10] 4.3　跨学科合作价值

[11] 本次合作探索了学科融合新途径，以化学教学为主体，以技术与工程为幕后技术支持的合作方式。由化学教师提出教学构想，技术与工程教师负责实践转化，把专业的事交给专业的人，既发挥技术与工程的动手操作优势，又贴合化学学科的核心素养培养要求。

[12] 结语

基金资助

2024年毕节市教育科学规划一般课题“学科融合背景下的实验教学‘成果化’实践研究”(2024B057)

2024年贵州省教育数字化专项课题“数智技术支持下的‘六环五策四路径’学科融合实验教学体系构建研究”(B00025)

2025年毕节市教育科学规划重点课题“数智赋能‘教研赛创’四维联动跨学科实验教学体系构建研究”(2025A026)

2026年毕节市教育科学规划一般课题“数智赋能视域下中小学跨学科实验教学的实践路径研究”(2026B034)

湖南省教育科学“十四五”规划立项青年资助课题“运用通用技术开发高中生物学和化学自制教具的实践研究”的研究成果(XJK22QJC004)