二重积分及其应用

摘要

本文首先定义了矩形区域上的二重积分，并使用平行于x轴和y轴的直线网将矩形区域划分。对于相关性质，给出了详细、完整的证明，证明了在矩形区域上定义的有界函数可积的充要条件是该函数在矩形区域上的不连续点集是零测集。假设函数在矩形区域上黎曼可积，成功地解决了固定变量x后，作为y的函数在相应闭区间上的黎曼积分未必存在的问题。其次，建立了有界函数在有界集上的积分，并将有界集上的积分转化为矩形区域上的积分。再次，介绍了二重积分的应用，证明了在开集上定义的二元函数的2个混合偏导数如果连续，则必然相等。最后，还使用二重积分证明了级数求和公式■。

关键词

上积分 / 下积分 / 零测集