智能反射面辅助认知无人机网络的鲁棒安全通信方法

Robust Secure Communication Method for Intelligent Reflecting Surface-Assisted Cognitive UAV Network

摘要

针对认知无人机网络中，作为次用户发射机的无人机难以准确获取窃听信道的信道状态信息而使次级系统安全性能下降的难题，提出一种利用智能反射面（intelligent reflecting surface，IRS）辅助无人机认知通信增强次用户安全传输性能的鲁棒方法.在满足主用户干扰温度约束的条件下，建立确定性模型描述窃听信道的信道状态信息（channel state information，CSI）的不确定性，联合优化智能反射面的相移矩阵、无人机的飞行轨迹和发射功率，最大化次用户的最差平均保密速率.并针对该优化问题的非凸性，基于交替优化、连续凸近似、S-Procedure和半定松弛方法，提出了一个有效的三阶段迭代算法.实验结果表明，相比于非鲁棒方案，所提出的鲁棒方案可以显著提升次用户的安全传输性能.

Abstract

To address the problem that it is difficult for the secondary unmanned aerial vehicle （UAV） to acquire the accurate channel state information （CSI） of the eavesdropping channel in UAV cognitive radio systems， which reduces the security performance of the secondary system， this paper proposes a robust method to enhance the security transmit performance of the secondary user （SU） by using intelligent reflecting surface （IRS） to assist UAV cognitive communication. Under the constraints of the interference temperature of the primary user （PU）， a deterministic model is established to describe the uncertainty of the CSI of the eavesdropping channel， and the phase shift matrix of IRS， the flight trajectory and transmit power of the UAV are jointly optimized to maximize the average worst‑case secrecy rate of the SU. To tackle the non‑convexity of the formulated optimization problem， an effective three‑stage iterative algorithm is presented based on alternating optimization， successive convex approximation， S-Procedure， and semi‑definite relaxation methods. The simulation results show that compared to non‑robust scheme， the proposed robust scheme can significantly improve the secure performance of the SU.

Graphical abstract

关键词

认知无人机网络 / 安全通信 / 智能反射面 / 交替优化 / 连续凸近似

Key words

cognitive UAV network / secure communication / intelligent reflecting surface / alternating optimization / successive convex approximation

移动通信设备数量的快速增长以及无线通信的广泛应用导致频谱资源日益稀缺.为了提高频谱效率（spectrum efficiency，SE），认知无线电（cognitive radio，CR）技术应运而生，其允许次用户（secondary users，SU）和主用户（primary users，PU）共享频谱^［1］.在Underlay频谱共享模式下，PU定义为始终具有较高优先级访问频谱的已获得频谱许可的用户，而SU通常是未经许可的，但可以共享PU的频谱，只要确保SU对PU造成的干扰保持在干扰温度（interference temperature，IT）阈值以下，这在有限的频谱资源条件下极大地提高了频谱的利用效率^［2-4］.

近年来，由于无人机（unmanned aerial vehicle，UAV）具有低成本、高机动性、按需部署等突出优点，被广泛应用于民用和军事领域，如农业植保、电力巡检、森林防火以及应急通讯等^［5-6］.特别地，UAV可作为空中基站（base station，BS）为各种应用场景提供可靠且具有成本效益的无线通信解决方案^［7］.为提升UAV空地通信的频谱效率，一些学者将CR技术与UAV相结合，提出了认知无人机网络.与地面CR系统相比，认知无人机网络的空地信道以视距（line of sight，LoS）链路为主，可为地面用户提供更可靠的通信传输质量^［8-9］.

然而，由于高概率的空地LoS链路和无线信道自身的动态开放性，认知无人机网络很容易遭受潜在恶意用户的窃听，这给认知无人机网络带来了重大的安全挑战.为提高认知无人机网络的安全性，近年来涌现了不少的相关研究.文献［10］通过部署协同UAV发射人工噪声干扰有源窃听者，在PU满足服务质量要求下，研究了联合优化协同干扰机的飞行轨迹和发射功率实现系统保密率最大化的安全传输方法.文献［11］研究了由中继UAV将多个物联网设备的信息传递给SU的UAV辅助认知中继系统的物理层安全问题.在存在位置信息不完全已知的窃听者情况下，引入友好干扰UAV迷惑窃听者，并联合优化中继UAV和干扰UAV的飞行轨迹和功率，以最大化中继网络的平均最坏保密速率.上述协作干扰技术往往需要更多的部署成本，消耗额外的功率，还可能产生新的干扰噪声，从而制约了系统安全性能的改善.

得益于微机电系统（micro electro mechanical systems，MEMS）和超材料的进步，智能反射面（IRS）这一新技术应运而生，为解决上述安全通信问题提供了新方法^［12］. IRS是一个由大量低成本无源反射单元组成的平面，以软件定义的方式控制每个反射单元，能够独立地改变入射信号的相位^［13］.应用IRS能突破传统无线信道不可控特性，实现对无线传播环境的主动控制，从而在空间中实现信号传播方向调控，对信号进行增强、抑制或干扰.学者们尝试将IRS应用到认知无人机网络的安全传输，文献［14］面向存在地面窃听者的BS UAV与地面PU共享频谱场景，引入IRS提高系统安全性，研究了IRS相移、UAV轨迹和发射功率联合优化问题以最大化SU的保密速率.文献［15］研究了IRS辅助认知非正交多址接入系统的安全传输问题.通过联合优化BS的模拟波束形成和IRS的无源波束形成，在满足SU服务质量的约束下，最大化PU的保密速率.

上述研究均认为窃听者的信道状态信息（channel state information，CSI）是完美已知的.然而，由于窃听者通常会避免被合法发送端发现，隐藏自己以拦截合法通信传输，使得UAV难以获取窃听信道准确的CSI.而不准确的CSI会使安全通信方案中波束成形向量的设计产生误差，从而导致系统的保密性能下降.文献［16-17］研究了不完美CSI情况下，IRS辅助CR系统的安全通信问题，在满足PU的IT约束条件下，最大化SU的最差保密速率，证明了不完美CSI情况下，IRS可以大幅提升CR系统的安全通信性能.面向IRS赋能UAV安全通信，文献［18］研究了在窃听信道CSI为不完美已知的情况下，通过联合设计IRS相移矩阵，UAV飞行轨迹和功率控制以最大化SU在最坏情况下的平均保密速率，表明了IRS可以提升UAV通信的安全传输性能.但并未涉及不完美CSI情况IRS辅助认知无人机网络的安全传输问题.针对以上研究的不足，本文研究工作如下：

1） 研究了在窃听信道CSI不完美的情况下，IRS辅助认知无人机网络的安全通信问题.使用确定性模型描述窃听信道CSI的不确定性，在满足PU的IT约束条件下，通过联合优化IRS的相移矩阵、UAV飞行轨迹和发射功率，最大化SU在最坏情况下的平均保密速率.

2） 针对所提出的非凸优化问题，采用交替迭代优化算法求解.首先，将原优化问题进行次优化处理，分解成两个子优化问题.然后，针对每个子优化问题，利用连续凸近似方法、半定松弛等技术，将非凸目标函数和非凸约束转化为凸近似表达形式.最后，通过交替迭代的方式求得原优化问题的次优解.

1 系统模型及优化问题阐述

1.1 系统模型

考虑窃听信道不完美情况下的IRS辅助认知无人机网络的安全通信场景.该系统包括一个单天线PU，一个和PU共享频谱的次用户源UAV，一个具有M个反射单元的无源IRS，一个目的用户SU以及窃听者Eve.采用三维笛卡尔坐标系，SU，PU和Eve位于地面，其位置分别用({\mathit{w}}_{\mathrm{S}},\mathrm{0})，({\mathit{w}}_{\mathrm{P}},\mathrm{0})，({\mathit{w}}_{\mathrm{E}},\mathrm{0})表示，其中{\mathit{w}}_{\mathrm{S}}=(x_{\mathrm{S}},y_{\mathrm{S}})，{\mathit{w}}_{\mathrm{P}}=(x_{\mathrm{P}},y_{\mathrm{P}})，{\mathit{w}}_{\mathrm{E}}=(x_{\mathrm{E}},y_{\mathrm{E}}).在给定的服务时间T内UAV以恒定的高度H飞行.为简化起见，将飞行时间T均分为N个时隙，即T=N{\delta }_{\mathrm{t}}，{\delta }_{\mathrm{t}}为时隙长度，因此第n个时隙，n\in \mathit{𝒩}=\left\{\mathrm{1,2},\dots ,N\right\}，UAV的三维坐标用(\mathit{q}[n],H)表示，其中\mathit{q}[n]=(x[n],y[n])表示UAV的水平位置.同时考虑到UAV充电等需求，UAV的起飞点设为{\mathit{q}}_{\mathrm{0}}，降落点设为{\mathit{q}}_{\mathrm{F}}，最大飞行速度为V_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}，则UAV在每个时隙内最大飞行距离为V_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}{\delta }_{\mathrm{t}}，即UAV的移动性约束满足：

\mathit{q}[\mathrm{0}]={\mathit{q}}_{\mathrm{0}},\mathrm{ }\mathrm{ }\mathit{q}[N]={\mathit{q}}_{\mathrm{F}},（1）

‖\mathit{q}[n+\mathrm{1}]-\mathit{q}[n]‖\le V_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}{\delta }_{\mathrm{t}},\mathrm{ }\forall n.（2）

在第n个时隙，UAV的发射功率用P[n]表示，且满足平均功率约束，即

\frac{\mathrm{1}}{N}{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^N}P[n]\le \overline{P}.（3）

其中\overline{P}表示平均功率.假设IRS被放在离地面垂直高度为h的建筑物表面，且位置固定为({\mathit{w}}_{\mathrm{R}},h)，其中{\mathit{w}}_{\mathrm{R}}=(x_{\mathrm{R}},y_{\mathrm{R}})，则第n个时隙IRS的相移矩阵可表示为\mathit{\Phi }[n]=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\theta }_{\mathrm{1}}[n]},{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\theta }_{\mathrm{2}}[n]},\dots ,{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\theta }_M[n]}\right)\in {\mathbb{C}}^{M\times M}，其中{\theta }_m[n]\in [\mathrm{0,2}\mathrm{\pi })，m\in \mathrm{ℳ}=\left\{\mathrm{1,2},\dots ,M\right\}是第m个反射单元在第n个时隙的相移.假设所有信道均为莱斯衰落，定义第n个时隙UAV到IRS的小尺度衰落分量为{\mathit{h}}_{\mathrm{U}\mathrm{R}}[n]\in {\mathbb{C}}^{M\times \mathrm{1}}，即

{\mathit{h}}_{\mathrm{U}\mathrm{R}}[n]=\sqrt[]{\frac{{\beta }_{\mathrm{U}\mathrm{R}}}{\mathrm{1}+{\beta }_{\mathrm{U}\mathrm{R}}}}{\mathit{h}}_{\mathrm{U}\mathrm{R}}^{\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{S}}[n]+\sqrt[]{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{\beta }_{\mathrm{U}\mathrm{R}}}}{\mathit{h}}_{\mathrm{U}\mathrm{R}}^{\mathrm{N}\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{S}} .（4）

其中：{\beta }_{\mathrm{U}\mathrm{R}}为莱斯因子；{\mathit{h}}_{\mathrm{U}\mathrm{R}}^{\mathrm{N}\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{S}}为NLoS分量，服从均值为零、单位方差的循环对称复高斯分布. {\mathit{h}}_{\mathrm{U}\mathrm{R}}^{\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{S}}[n]为确定性LoS分量，与第n个时隙的UAV位置有关^［19］，可表示为

{\mathit{h}}_{\mathrm{U}\mathrm{R}}^{\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{S}}[n]={\mathit{a}}_y[n]\otimes {\mathit{a}}_x[n]（5）

其中：{\mathit{a}}_x[n]={\left[\mathrm{1},\dots ,{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }(M_x-\mathrm{1})d\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\varphi }_{\mathrm{U}\mathrm{R}}[n]\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\phi }_{\mathrm{U}\mathrm{R}}[n]}\right]}^{\mathrm{T}}；{\mathit{a}}_y[n]={\left[\mathrm{1},\dots ,{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{\lambda }(M_z-\mathrm{1})d\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\varphi }_{\mathrm{U}\mathrm{R}}[n]\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\phi }_{\mathrm{U}\mathrm{R}}[n]}\right]}^{\mathrm{T}},\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\varphi }_{\mathrm{U}\mathrm{R}}[n]\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\phi }_{\mathrm{U}\mathrm{R}}[n]=

\left(x_{\mathrm{R}}-x[n]\right)/d_{\mathrm{U}\mathrm{R}}[n]，\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\varphi }_{\mathrm{U}\mathrm{R}}[n]\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\phi }_{\mathrm{U}\mathrm{R}}[n]=\left(H-h\right)/d_{\mathrm{U}\mathrm{R}}[n].

{\varphi }_{\mathrm{U}\mathrm{R}}[n]和{\phi }_{\mathrm{U}\mathrm{R}}[n]分别表示第n个时隙LoS分量的方位角和仰角；d_{\mathrm{U}\mathrm{R}}[n]=\sqrt[]{{(H-h)}^{\mathrm{2}}+{‖\mathit{q}[n]-{\mathit{w}}_{\mathrm{R}}‖}^{\mathrm{2}}}表示第n个时隙UAV与IRS中心之间的距离；d是IRS反射单元的间距；\lambda为载波波长.类似地，根据式（5），定义IRS到SU/PU/Eve和UAV到SU/PU/Eve的小尺度衰落分量分别为{\mathit{h}}_{\mathrm{R}j}^{\mathrm{H}}\in {\mathbb{C}}^{\mathrm{1}\times M}和

h_{\mathrm{U}j}\in \mathbb{C},j\in \{\mathrm{S},\mathrm{P},\mathrm{E}\}.

对于反射链路的大尺度衰落分量，使用距离路径损耗模型进行建模，可写为

L_{\mathrm{U}\mathrm{R}j}[n]=\sqrt[]{\rho (d_{\mathrm{U}\mathrm{R}}[n]d_{\mathrm{R}j}{)}^{-\alpha }},j\in \{\mathrm{S},\mathrm{P},\mathrm{E}\},n\in \mathit{𝒩}.（6）

其中：d_{\mathrm{R}j}表示IRS到SU，PU及Eve的距离；\rho是参考距离d_{\mathrm{0}}=\mathrm{1} m时的路径损耗；\alpha是经过IRS反射链路的路径损耗指数.类似地，对于UAV到SU/PU/Eve的直连链路，其路径损耗模型为

L_{\mathrm{U}j}[n]=\sqrt[]{\rho {\left(H^{\mathrm{2}}+{‖\mathit{q}[n]-{\mathit{w}}_j‖}^{\mathrm{2}}\right)}^{-\frac{\kappa }{\mathrm{2}}}},j\in \{\mathrm{S},\mathrm{P},\mathrm{E}\},n\in \mathit{𝒩}.（7）

其中\kappa是直连链路的路径损耗指数.根据式（4）~（7），SU和Eve在第n个时隙的可达传输速率（单位为bps/Hz）分别为

R_{\mathrm{U}\mathrm{S}}[n]=\mathrm{l}\mathrm{b}\left(\mathrm{1}+{\gamma }_{\mathrm{U}\mathrm{S}}[n]\right),（8）

R_{\mathrm{U}\mathrm{E}}[n]=\mathrm{l}\mathrm{b}\left(\mathrm{1}+{\gamma }_{\mathrm{U}\mathrm{E}}[n]\right).（9）

其中：

{\gamma }_{\mathrm{U}\mathrm{S}}[n]=\frac{P[n]{\left|L_{\mathrm{U}\mathrm{S}}[n]h_{\mathrm{U}\mathrm{S}}+L_{\mathrm{U}\mathrm{R}\mathrm{S}}[n]{\mathit{h}}_{\mathrm{R}\mathrm{S}}^{\mathrm{H}}\mathit{\Phi }[n]{\mathit{h}}_{\mathrm{U}\mathrm{R}}[n]\right|}^{\mathrm{2}}}{{\sigma }^{\mathrm{2}}},

{\gamma }_{\mathrm{U}\mathrm{E}}[n]=\frac{P[n]{\left|L_{\mathrm{U}\mathrm{E}}[n]h_{\mathrm{U}\mathrm{E}}+L_{\mathrm{U}\mathrm{R}\mathrm{E}}[n]{\mathit{h}}_{\mathrm{R}\mathrm{E}}^{\mathrm{H}}\mathit{\Phi }[n]{\mathit{h}}_{\mathrm{U}\mathrm{R}}[n]\right|}^{\mathrm{2}}}{{\sigma }^{\mathrm{2}}}.

然而，由于窃听者通常会隐藏自己的存在，导致难以估计出准确的窃听信道CSI.为了更好地处理窃听信道CSI的不确定性，先将{\gamma }_{\mathrm{U}\mathrm{E}}[n]重写为

{\gamma }_{\mathrm{U}\mathrm{E}}[n]=\frac{P[n]}{{\sigma }^{\mathrm{2}}}{\left|{\mathit{h}}_{\mathrm{E}}^{\mathrm{H}}{\mathit{H}}_{\mathrm{E}}[n]\mathit{v}[n]\right|}^{\mathrm{2}}.（10）

其中：{\mathit{h}}_{\mathrm{E}}={\left[{\mathit{h}}_{\mathrm{R}\mathrm{E}}^{\mathrm{H}},h_{\mathrm{U}\mathrm{E}}\right]}^{\mathrm{H}}；\mathit{v}[n]={\left[v_{\mathrm{1}}[n],v_{\mathrm{2}}[n],\dots ,v_M[n],\mathrm{1}\right]}^{\mathrm{T}}

(v_i[n]={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\theta }_i[n]},\forall n,i)；{\mathit{H}}_{\mathrm{E}}[n]=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left(\left[\begin{array}{c}{L}_{\mathrm{U}\mathrm{R}\mathrm{E}}[n]{\mathit{h}}_{\mathrm{U}\mathrm{R}}[n]\\ L_{\mathrm{U}\mathrm{E}}[n]\end{array}\right]\right).

对于窃听者相关的链路{\mathit{h}}_{\mathrm{E}}，类似文献［20］，使用确定性模型表征窃听信道CSI的不确定性，则窃听信道CSI的不确定性建模为

\begin{array}{l}{\mathit{h}}_{\mathrm{E}}[n]={\overline{\mathit{h}}}_{\mathrm{E}}+\mathrm{\Delta }{\mathit{h}}_{\mathrm{E}}[n],\\ \Omega \triangleq \left\{\mathrm{\Delta }{\mathit{h}}_{\mathrm{E}}[n]\in {\mathbb{C}}^{(M+\mathrm{1})\times \mathrm{1}}:‖\mathrm{\Delta }{\mathit{h}}_{\mathrm{E}}[n]‖\le ϵ,\forall n\right\}.\end{array}（11）

其中：{\overline{\mathit{h}}}_{\mathrm{E}}={\left[{\overline{\mathit{h}}}_{\mathrm{R}\mathrm{E}}^{\mathrm{H}},{\overline{h}}_{\mathrm{U}\mathrm{E}}\right]}^{\mathrm{H}}为估计的窃听信道CSI；\mathrm{\Delta }{\mathit{h}}_{\mathrm{E}}[n]代表估计误差；ϵ为误差的欧几里得范数约束.集合\Omega包含了所有可能的CSI不确定性.此外，在underlay模式的认知无人机网络中，SU可以同时与PU共享频谱资源，但要求次用户UAV对地通信时对PU的干扰不能超过给定的IT阈值\mathrm{{\rm I}}\mathrm{\Gamma }，即

\frac{\mathrm{1}}{N}{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^N}{\left|L_{\mathrm{U}\mathrm{P}}[n]h_{\mathrm{U}\mathrm{P}}+L_{\mathrm{U}\mathrm{R}\mathrm{P}}[n]{\mathit{h}}_{\mathrm{R}\mathrm{P}}^{\mathrm{H}}\mathit{\Phi }[n]{\mathit{h}}_{\mathrm{U}\mathrm{R}}[n]\right|}^{\mathrm{2}}P[n]\le \mathrm{{\rm I}}\mathrm{\Gamma }.（12）

1.2 优化问题

根据式（8）和（9），第n时隙SU在最坏情况下的保密速率为

R_{\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}}[n]={\left[R_{\mathrm{U}\mathrm{S}}[n]-\underset{\mathrm{\Delta }{\mathit{h}}_{\mathrm{E}}[n]\in \Omega }{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}{R}_{\mathrm{U}\mathrm{E}}[n]\right]}^{+}.（13）

其中{[x]}^{+}\triangleq \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}(x,\mathrm{0}).目标是在满足PU的IT约束条件下，联合设计IRS相移矩阵 Φ，UAV的飞行轨迹 Q 和发射功率 P，最大化IRS辅助认知无人机网络安全通信中SU在最坏情况下的平均保密速率.因此，该优化问题可写为

（14）

根据文献［21］的引理1可知，发射功率控制可以保证R_{\mathrm{U}\mathrm{S}}[n]-\underset{\mathrm{\Delta }{\mathit{h}}_{\mathrm{E}}[n]\in \Omega }{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}{R}_{\mathrm{U}\mathrm{E}}[n]\ge \mathrm{0}.这是因为UAV的发射功率优化总能保证SU在每个时隙中获得非负的保密速率，一旦窃听信道的通信质量优于合法信道，可令UAV的发射功率为0，因此（P4.1）目标函数中的{[]}^{+}可以去掉.去掉{[]}^{+}后，（P4.1）目标函数是平滑的，但其仍是非凸的，难以用一般的凸优化算法求解.为解决该非凸优化问题，基于交替优化算法和连续凸近似技术，提出了一种有效的迭代算法求得（P4.1）的次优解.

2 算法设计

将（P4.1）分解为UAV发射功率\mathit{P}=\{P[n],n\in \mathit{𝒩}\}优化、IRS相移矩阵\mathit{\Phi }优化和UAV飞行轨迹优化3个子问题. 3个子问题迭代求解，直至收敛.

2.1 无人机发射功率优化

给定\mathit{Q}和\mathit{\Phi }，令G[n]={\left|L_{\mathrm{U}\mathrm{P}}[n]h_{\mathrm{U}\mathrm{P}}+L_{\mathrm{U}\mathrm{R}\mathrm{P}}[n]{\mathit{h}}_{\mathrm{R}\mathrm{P}}^{\mathrm{H}}\mathit{\Phi }[n]{\mathit{h}}_{\mathrm{U}\mathrm{R}}[n]\right|}^{\mathrm{2}}，{\mathit{h}}_{\mathrm{S}}^{\mathrm{H}}{\mathit{H}}_{\mathrm{S}}[n]\mathit{v}[n]=L_{\mathrm{U}\mathrm{S}}[n]h_{\mathrm{U}\mathrm{S}}+

L_{\mathrm{U}\mathrm{R}\mathrm{S}}[n]{\mathit{h}}_{\mathrm{R}\mathrm{S}}^{\mathrm{H}}\mathit{\Phi }[n]{\mathit{h}}_{\mathrm{U}\mathrm{R}}[n]，

{\mathit{H}}_{\mathrm{S}}[n]=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left(\begin{array}{c}{L}_{\mathrm{U}\mathrm{R}\mathrm{S}}[n]{\mathit{h}}_{\mathrm{U}\mathrm{R}}[n]\\ L_{\mathrm{U}\mathrm{S}}[n]\end{array}\right)，{\mathit{h}}_{\mathrm{S}}={\left[{\mathit{h}}_{\mathrm{R}\mathrm{S}}^{\mathrm{H}},h_{\mathrm{U}\mathrm{S}}\right]}^{\mathrm{H}}，则UAV发射功率\mathit{P}的优化问题写为

\begin{array}{l}(\mathrm{P}\mathrm{4.2}):\underset{\mathit{P}}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\frac{\mathrm{1}}{N}{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^N}{R}^{power}[n].\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.\mathrm{C}\mathrm{5},\mathrm{C}\mathrm{6},\\ \mathrm{C}\mathrm{7}:\frac{\mathrm{1}}{N}{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^N}G[n]P[n]\le \mathrm{{\rm I}}\mathrm{\Gamma }.\end{array}（15）

其中，R^{\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{e}\mathrm{r}}[n]=\mathrm{l}\mathrm{b}\left(\mathrm{1}+\frac{P[n]}{{\sigma }^{\mathrm{2}}}{\left|{\mathit{h}}_{\mathrm{S}}^{\mathrm{H}}{\mathit{H}}_{\mathrm{S}}[n]\mathit{v}[n]\right|}^{\mathrm{2}}\right)-

\mathrm{l}\mathrm{b}\left(\mathrm{1}+\underset{\mathrm{\Delta }{\mathit{h}}_{\mathrm{E}}[n]\in \Omega }{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\frac{P[n]}{{\sigma }^{\mathrm{2}}}{\left|{\mathit{h}}_{\mathrm{E}}^{\mathrm{H}}[n]{\mathit{H}}_{\mathrm{E}}[n]\mathit{v}[n]\right|}^{\mathrm{2}}\right).

\Omega中窃听信道CSI不确定性使得（P4.2）难以求解，但可利用\left|{\mathit{h}}_{\mathrm{E}}^{\mathrm{H}}[n]{\mathit{H}}_{\mathrm{E}}[n]\mathit{v}[n]\right|的特性解决CSI的不确定性，且有

\left|{\mathit{h}}_{\mathrm{E}}^{\mathrm{H}}[n]{\mathit{H}}_{\mathrm{E}}[n]\mathit{v}[n]\right|\le \left|{\overline{\mathit{h}}}_{\mathrm{E}}^{\mathrm{H}}{\mathit{H}}_{\mathrm{E}}[n]\mathit{v}[n]\right|+\left|\mathrm{\Delta }{\mathit{h}}_{\mathrm{E}}^{\mathrm{H}}[n]{\mathit{H}}_{\mathrm{E}}[n]\mathit{v}[n]\right|.（16）

由不等式性质可得，当且仅当\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\left({\overline{\mathit{h}}}_{\mathrm{E}}^{\mathrm{H}}{\mathit{H}}_{\mathrm{E}}[n]\mathit{v}[n]\right)=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\left(\mathrm{\Delta }{\mathit{h}}_{\mathrm{E}}^{\mathrm{H}}[n]{\mathit{H}}_{\mathrm{E}}[n]\mathit{v}[n]\right)时，等号成立^［22］.因此\underset{\mathrm{\Delta }{\mathit{h}}_{\mathrm{E}}[n]\in \Omega }{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\frac{P[n]}{{\sigma }^{\mathrm{2}}}{\left|{\mathit{h}}_{\mathrm{E}}^{\mathrm{H}}[n]{\mathit{H}}_{\mathrm{E}}[n]\mathit{v}[n]\right|}^{\mathrm{2}}可表示为

\begin{array}{l}\underset{\mathrm{\Delta }{\mathit{h}}_{\mathrm{E}}[n]}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}{\left|\mathrm{\Delta }{\mathit{h}}_{\mathrm{E}}^{\mathrm{H}}[n]{\mathit{H}}_{\mathrm{E}}[n]\mathit{v}[n]\right|}^{\mathrm{2}}.\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.‖\mathrm{\Delta }{\mathit{h}}_{\mathrm{E}}[n]‖\le ò,\forall n.\\ \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\left({\overline{\mathit{h}}}_{\mathrm{E}}^{\mathrm{H}}{\mathit{H}}_{\mathrm{E}}[n]\mathit{v}[n]\right)=\\ \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\left(\mathrm{\Delta }{\mathit{h}}_{\mathrm{E}}^{\mathrm{H}}[n]{\mathit{H}}_{\mathrm{E}}[n]\mathit{v}[n]\right),\forall n.\end{array}（17）

为推导简便起见，将\mathrm{\Delta }{\mathit{h}}_{\mathrm{E}}[n]写为

\mathrm{\Delta }{\mathit{h}}_{\mathrm{E}}[n]=\left[\left|\mathrm{\Delta }{h}_{\mathrm{E},\mathrm{1}}[n]\right|{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\tau }_{\mathrm{1}}[n]},\dots ,\left|\mathrm{\Delta }{h}_{\mathrm{E},M+\mathrm{1}}[n]\right|{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\tau }_{M+\mathrm{1}}[n]}\right] .（18）

其中|\mathrm{\Delta }{h}_{\mathrm{E},l}[n]|和{\tau }_l[n]分别为第n时隙\mathrm{\Delta }{\mathit{h}}_{\mathrm{E}}[n]的第l个元素的模和相位角，l\in \mathit{ℒ}=\left\{\mathrm{1,2},\dots ,M+\mathrm{1}\right\}.定义\mathit{c}[n]={\mathit{H}}_{\mathrm{E}}[n]\mathit{v}[n]，类似地\mathit{c}[n]可表示为

\mathit{c}[n]=\left[\left|c_{\mathrm{1}}[n]\right|{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\psi }_{\mathrm{1}}[n]},\dots ,\left|c_{M+\mathrm{1}}[n]\right|{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\psi }_{M+\mathrm{1}}[n]}\right].（19）

其中：|c_l[n]|和{\psi }_l[n]分别为第n个时隙\mathit{c}[n]第l个元素的模和相位角.因此，\mathrm{\Delta }{\mathit{h}}_{\mathrm{E}}^{\mathrm{H}}[n]{\mathit{H}}_{\mathrm{E}}[n]\mathit{v}[n]可写为

\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }{\mathit{h}}_{\mathrm{E}}^{\mathrm{H}}[n]{\mathit{H}}_{\mathrm{E}}[n]\mathit{v}[n]=\mathrm{\Delta }{\mathit{h}}_{\mathrm{E}}^{\mathrm{H}}[n]\mathit{c}[n]=\\ \left|\mathrm{\Delta }{h}_{\mathrm{E},\mathrm{1}}[n]\right|\left|c_{\mathrm{1}}[n]\right|{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\left({\psi }_{\mathrm{1}}[n]-{\tau }_{\mathrm{1}}[n]\right)}+\dots +\end{array}

\left|\mathrm{\Delta }{h}_{\mathrm{E},M+\mathrm{1}}[n]\right|\left|c_{M+\mathrm{1}}[n]\right|{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\left({\psi }_{M+\mathrm{1}}[n]-{\tau }_{M+\mathrm{1}}[n]\right)}.（20）

显然，\mathrm{\Delta }{\mathit{h}}_{\mathrm{E}}^{\mathrm{H}}[n]{\mathit{H}}_{\mathrm{E}}[n]\mathit{v}[n]的最大值在式（20）最后一步中所有项相干累加时取得.因此，有{\psi }_{\mathrm{1}}[n]-{\tau }_{\mathrm{1}}[n]=\dots ={\psi }_{M+\mathrm{1}}[n]-{\tau }_{M+\mathrm{1}}[n].根据式（17）中的约束条件，可得最优{\tau }_l[n]（标记为{\tau }_l^{\mathrm{o}\mathrm{p}}[n]）的值为

{\tau }_l^{\mathrm{o}\mathrm{p}}[n]={\psi }_l[n]-\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{g}\left({\overline{\mathit{h}}}_{\mathrm{E}}^{\mathrm{H}}{\mathit{H}}_{\mathrm{E}}[n]\mathit{v}[n]\right).（21）

因此，式（17）可写为

\begin{array}{l}\underset{{\mathit{m}}_{\mathrm{1}}[n]}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}{\left|{\mathit{m}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{T}}[n]{\mathit{m}}_{\mathrm{2}}[n]\right|}^{\mathrm{2}}.\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.‖{\mathit{m}}_{\mathrm{1}}[n]‖\le ò,\forall n.\end{array}（22）

其中：{\mathit{m}}_{\mathrm{1}}[n]={\left[\left|\mathrm{\Delta }{h}_{\mathrm{E},\mathrm{1}}[n]\right|,\left|\mathrm{\Delta }{h}_{\mathrm{E},\mathrm{2}}[n]\right|,\dots ,\left|\mathrm{\Delta }{h}_{\mathrm{E},M+\mathrm{1}}[n]\right|\right]}^{\mathrm{T}}；{\mathit{m}}_{\mathrm{2}}[n]=\left[\left|c_{\mathrm{1}}[n]\right|,\left|c_{\mathrm{2}}[n]\right|,\dots ,\left|c_{M+\mathrm{1}}[n]\right|\right].显然，不难得到最优{\mathit{m}}_{\mathrm{1}}[n]（标记为{\mathit{m}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}[n]）为

{\mathit{m}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}[n]=\frac{ò}{‖{\mathit{m}}_{\mathrm{2}}[n]‖}{\mathit{m}}_{\mathrm{2}}[n].（23）

因此，最优\mathrm{\Delta }{\mathit{h}}_{\mathrm{E}}[n]（标记为\mathrm{\Delta }{\mathit{h}}_{\mathrm{E}}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}[n]）可写为

\mathrm{\Delta }{\mathit{h}}_{\mathrm{E}}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}[n]=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left(\left[{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\tau }_{\mathrm{1}}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}[n]},\dots ,{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}{\tau }_{M+\mathrm{1}}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}[n]}\right]\right){\mathit{m}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}[n].（24）

根据式（24），（P4.2）可改写为

\begin{array}{l}(\mathrm{P}\mathrm{4.3}):\underset{\mathit{P}}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\frac{\mathrm{1}}{N}{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^N}{\tilde{R}}^{power}[n].\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.\mathrm{C}\mathrm{5}~\mathrm{C}\mathrm{7}.\end{array}（25）

其中{\tilde{R}}^{\mathrm{p}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{e}\mathrm{r}}[n]=\mathrm{l}\mathrm{b}\left(\mathrm{1}+P[n]a[n]\right)-\mathrm{l}\mathrm{b}\left(\mathrm{1}+P[n]b[n]\right)，a[n]=\frac{{\left|{\mathit{h}}_{\mathrm{S}}^{\mathrm{H}}{\mathit{H}}_{\mathrm{S}}[n]\mathit{v}[n]\right|}^{\mathrm{2}}}{{\sigma }^{\mathrm{2}}}，b[n]=\frac{{\left|{\left({\mathit{h}}_{\mathrm{E}}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}[n]\right)}^{\mathrm{H}}{\mathit{H}}_{\mathrm{E}}[n]\mathit{v}[n]\right|}^{\mathrm{2}}}{{\sigma }^{\mathrm{2}}}，{\mathit{h}}_{\mathrm{E}}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}[n]={\overline{\mathit{h}}}_{\mathrm{E}}+\mathrm{\Delta }{\mathit{h}}_{\mathrm{E}}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}[n].虽然（P4.3）是非凸问题，但可以直接求得第n个时隙的最优功率^［23］，即

P^{\mathrm{*}}[n]=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}\left({\left[\stackrel{⌢}{P}[n]\right]}^{+},P_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\right),& a[n]>b[n];\\ \mathrm{0},& a[n]\le b[n].\end{array}\right.（26）

其中 \stackrel{⌢}{P}\left[n\right]=\sqrt[]{{\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}b\left[n\right]}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}a\left[n\right]}\right)}^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\left({\lambda }_n+{\mu }_{n}G\left[n\right]\right)\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{1}}{b\left[n\right]}-\frac{\mathrm{1}}{a\left[n\right]}\right)}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}b\left[n\right]}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}a\left[n\right]}.

{\lambda }_n\ge \mathrm{0}，{\mu }_n\ge \mathrm{0}，分别表示对偶变量，以确保所求得的最优功率满足平均功率约束，利用椭球法可以有效地找到对偶变量值^［23］.

2.2 IRS相移矩阵优化

定义{\mathit{h}}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{H}}{\mathit{H}}_{\mathrm{P}}[n]\mathit{v}[n]=L_{\mathrm{U}\mathrm{P}}[n]h_{\mathrm{U}\mathrm{P}}+

L_{\mathrm{U}\mathrm{R}\mathrm{P}}[n]{\mathit{h}}_{\mathrm{R}\mathrm{P}}^{\mathrm{H}}\mathit{\Phi }[n]{\mathit{h}}_{\mathrm{U}\mathrm{P}}[n]，其中{\mathit{H}}_{\mathrm{P}}[n]=\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}\left(\begin{array}{c}{L}_{\mathrm{U}\mathrm{R}\mathrm{P}}[n]{\mathit{h}}_{\mathrm{U}\mathrm{R}}[n]\\ L_{\mathrm{U}\mathrm{P}}[n]\end{array}\right)，{\mathit{h}}_{\mathrm{P}}={\left[{\mathit{h}}_{\mathrm{R}\mathrm{P}}^{\mathrm{H}},h_{\mathrm{U}\mathrm{P}}\right]}^{\mathrm{H}}.基于所求得的\mathit{P}和给定的\mathit{Q}，引入松弛变量\mathit{\xi }={\left\{\xi [n]\right\}}_{n=\mathrm{1}}^N，则IRS相移矩阵\mathit{\Phi }的优化问题可写为

\begin{array}{l}(\mathrm{P}\mathrm{4.4}):\underset{\mathit{v}[n],\xi [n]}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\frac{\mathrm{1}}{N}{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^N}{R}^{phi}[n].\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.\mathrm{C}\mathrm{8}:\underset{\mathrm{\Delta }{\mathit{h}}_{\mathrm{E}}[n]\in \Omega }{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\frac{P[n]}{{\sigma }^{\mathrm{2}}}{\left|{\mathit{h}}_{\mathrm{E}}^{\mathrm{H}}[n]{\mathit{H}}_{\mathrm{E}}[n]\mathit{v}[n]\right|}^{\mathrm{2}}\le \xi [n],\\ \mathrm{C}\mathrm{9}:\left|v_i[n]\right|=\mathrm{1},\forall n,i,\\ \mathrm{C}\mathrm{10}:\frac{\mathrm{1}}{N}{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^N}{\left|{\mathit{h}}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{H}}{\mathit{H}}_{\mathrm{P}}[n]\mathit{v}[n]\right|}^{\mathrm{2}}P[n]\le \mathrm{{\rm I}}\mathrm{\Gamma }.\end{array}（27）

其中，R^{\mathrm{p}\mathrm{h}\mathrm{i}}[n]=\mathrm{l}\mathrm{b}\left(\mathrm{1}+\frac{P[n]}{{\sigma }^{\mathrm{2}}}{\left|{\mathit{h}}_{\mathrm{S}}^{\mathrm{H}}{\mathit{H}}_{\mathrm{S}}[n]\mathit{v}[n]\right|}^{\mathrm{2}}\right)-\mathrm{l}\mathrm{b}\left(\mathrm{1}+\right.\left.\xi [n]\right).约束\mathrm{C}\mathrm{8}包含了无穷多个不等式约束，导致直接求解（P4.4）非常困难.为了解决该问题，将式（11）代入约束\mathrm{C}\mathrm{8}中，得到

\mathrm{\Delta }{\mathit{h}}_{\mathrm{E}}^{\mathrm{H}}[n]\mathrm{\Delta }{\mathit{h}}_{\mathrm{E}}[n]-{ò}^{\mathrm{2}}\le \mathrm{0},\forall n.（28）

\frac{P[n]}{{\sigma }^{\mathrm{2}}}{\mathit{h}}_{\mathrm{E}}^{\mathrm{H}}[n]{\mathit{H}}_{\mathrm{E}}[n]\mathit{V}[n]{\mathit{H}}_{\mathrm{E}}^{\mathrm{H}}[n]{\mathit{h}}_{\mathrm{E}}[n]-\xi [n]\le \mathrm{0},\forall n.（29）

其中\mathit{V}[n]=\mathit{v}[n]{\mathit{v}}^{\mathrm{H}}[n]，且\mathit{V}[n]的秩为1.根据S-Procedure定理，可将（P4.4）中的\mathrm{C}\mathrm{8}约束转换为线性矩阵不等式.即式（28）\Rightarrow式（29）成立，当且仅当存在\eta [n]\ge \mathrm{0}使得

{\mathit{U}}_{\mathrm{1}}[n]-{\mathit{U}}_{\mathrm{2}}[n]⪰\mathrm{0}.（30）

其中：{\mathit{U}}_{\mathrm{1}}[n]=\left[\begin{array}{cc}\eta [n]{\mathit{I}}_{M+\mathrm{1}}& \mathrm{0}\\ \mathrm{0}& -\eta [n]{ò}^{\mathrm{2}}+\xi [n]\end{array}\right]，{\mathit{I}}_{M+\mathrm{1}}表示(M+\mathrm{1})\times (M+\mathrm{1})的单位矩阵；{\mathit{U}}_{\mathrm{2}}[n]=\left[\begin{array}{cc}{\mathit{H}}_{\mathrm{E}}[n]\mathit{V}[n]{\mathit{H}}_{\mathrm{E}}^{\mathrm{H}}[n]& {\mathit{H}}_{\mathrm{E}}[n]\mathit{V}[n]{\mathit{H}}_{\mathrm{E}}^{\mathrm{H}}[n]{\overline{\mathit{h}}}_{\mathrm{E}}\\ {\overline{\mathit{h}}}_{\mathrm{E}}{\mathit{H}}_{\mathrm{E}}[n]\mathit{V}[n]{\mathit{H}}_{\mathrm{E}}^{\mathrm{H}}[n]& {\overline{\mathit{h}}}_{\mathrm{E}}^{\mathrm{H}}{\mathit{H}}_{\mathrm{E}}[n]\mathit{V}[n]{\mathit{H}}_{\mathrm{E}}^{\mathrm{H}}[n]{\overline{\mathit{h}}}_{\mathrm{E}}\end{array}\right] .此外，由于（P4.4）中的约束\mathrm{C}\mathrm{9}和\mathrm{C}\mathrm{10}是非凸的，应用半正定松弛算法可得

\begin{array}{c}{\left|{\mathit{h}}_{\mathrm{S}}^{\mathrm{H}}{\mathit{H}}_{\mathrm{S}}[n]\mathit{v}[n]\right|}^{\mathrm{2}}={\mathit{h}}_{\mathrm{S}}^{\mathrm{H}}{\mathit{H}}_{\mathrm{S}}[n]\mathit{V}[n]{\mathit{H}}_{\mathrm{S}}^{\mathrm{H}}[n]{\mathit{h}}_{\mathrm{S}}=\\ \mathrm{T}\mathrm{r}\left(\mathit{V}[n]{\mathit{A}}_{\mathrm{1}}[n]\right),\end{array}（31）

\begin{array}{c}{\left|{\mathit{h}}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{H}}{\mathit{H}}_{\mathrm{P}}[n]\mathit{v}[n]\right|}^{\mathrm{2}}={\mathit{h}}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{H}}{\mathit{H}}_{\mathrm{P}}[n]\mathit{V}[n]{\mathit{H}}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{H}}[n]{\mathit{h}}_{\mathrm{P}}=\\ \mathrm{T}\mathrm{r}\left(\mathit{V}[n]{\mathit{A}}_{\mathrm{2}}[n]\right).\end{array}（32）

其中：\mathrm{T}\mathrm{r}(\mathit{X})表示\mathit{X}的迹；{\mathit{A}}_{\mathrm{1}}[n]={\mathit{H}}_{\mathrm{S}}^{\mathrm{H}}[n]{\mathit{h}}_{\mathrm{S}}{\mathit{h}}_{\mathrm{S}}^{\mathrm{H}}{\mathit{H}}_{\mathrm{S}}[n]；{\mathit{A}}_{\mathrm{2}}[n]={\mathit{H}}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{H}}[n]{\mathit{h}}_{\mathrm{P}}{\mathit{h}}_{\mathrm{P}}^{\mathrm{H}}{\mathit{H}}_{\mathrm{P}}[n]，则（P4.4）可重写为

\begin{array}{l}(\mathrm{P}\mathrm{4.5}):\underset{\mathit{V}[n],\xi [n],\eta [n]}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\frac{\mathrm{1}}{N}{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^N}{\tilde{R}}^{phi}[n].\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.\mathrm{C}\mathrm{11}:\eta [n]\ge \mathrm{0},\forall n,\\ \mathrm{C}\mathrm{12}:\mathit{V}[n]⪰\mathrm{0},\forall n,\\ \mathrm{C}\mathrm{13}:{\mathit{V}}_{r,r}[n]=\mathrm{1},r=\mathrm{1},\cdots ,M+\mathrm{1},\forall n,\\ \mathrm{C}\mathrm{14}:{\mathit{U}}_{\mathrm{1}}[n]-{\mathit{U}}_{\mathrm{2}}[n]\ge \mathrm{0},\forall n,\\ \mathrm{C}\mathrm{15}:\frac{\mathrm{1}}{N}{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^N}Tr\left(\mathit{V}[n]{\mathit{A}}_{\mathrm{2}}[n]\right)P[n]\le \mathrm{{\rm I}}\mathrm{\Gamma }.\end{array}（33）

其中：{\mathit{V}}_{r,r}[n]表示\mathit{V}[n]的第(r,r)个元素；{\tilde{R}}^{\mathrm{p}\mathrm{h}\mathrm{i}}[n]=\mathrm{l}\mathrm{b}\left(\mathrm{1}+\frac{P[n]}{{\sigma }^{\mathrm{2}}}\mathrm{T}\mathrm{r}\left(\mathit{V}[n]{\mathit{A}}_{\mathrm{1}}[n]\right)\right)-\mathrm{l}\mathrm{b}\left(\mathrm{1}+\xi [n]\right).但由于-\mathrm{l}\mathrm{b}\left(\mathrm{1}+\xi [n]\right)关于\xi [n]是非凹的，求（P4.5）的最优解仍然很困难.应用连续凸近似方法，在点{\xi }_{\mathrm{0}}=\{{\xi }_{\mathrm{0}}{[n]\}}_{n=\mathrm{1}}^N上，（P4.5）可近似估计为

(\mathrm{P}\mathrm{4.6}):\underset{\mathbf{V}[n],\xi [n],\eta [n]}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\frac{\mathrm{1}}{N}{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^N}{\stackrel{⌢}{R}}^{phi}[n].

\mathrm{s}.\mathrm{t}.\mathrm{C}\mathrm{11}~\mathrm{C}\mathrm{15}.（34）

其中{\stackrel{̑}{R}}^{\mathrm{p}\mathrm{h}\mathrm{i}}[n]=\mathrm{l}\mathrm{b}\left(\mathrm{1}+\frac{P[n]}{{\sigma }^{\mathrm{2}}}\mathrm{T}\mathrm{r}\left(\mathit{V}[n]{\mathit{A}}_{\mathrm{1}}[n]\right)\right)-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{2}}\frac{\xi [n]}{\left(\mathrm{1}+{\xi }_{\mathrm{0}}[n]\right)}.显然，（P4.6）是一个标准凸优化问题，可使用CVX优化工具求得最优解.值得注意的是有可能无法得到秩为1的解，因此，需要结合使用高斯随机化方法^［24］从\mathit{V}[n]中分离恢复出\mathit{v}[n].

2.3 无人机飞行轨迹优化

基于前面得到的IRS相移矩阵\mathit{\Phi }和发射功率\mathit{P}，UAV飞行轨迹\mathit{Q}的优化问题可写为

\begin{array}{l}(\mathrm{P}\mathrm{4.7}):\underset{\mathit{Q}}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\frac{\mathrm{1}}{N}{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^N}{R}^{traj}[n].\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.\mathrm{C}\mathrm{2},\mathrm{C}\mathrm{3},\mathrm{C}\mathrm{10}.\end{array}（35）

其中R^{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{j}}[n]=\mathrm{l}\mathrm{b}\left(\mathrm{1}+{\gamma }_{\mathrm{0}}[n]{\left|{\mathit{h}}_{\mathrm{S}}^{\mathrm{H}}{\mathit{H}}_{\mathrm{S}}[n]\mathit{v}[n]\right|}^{\mathrm{2}}\right)-

\mathrm{l}\mathrm{b}\left(\mathrm{1}+\underset{\mathrm{\Delta }{\mathit{h}}_{\mathrm{E}}\in \Omega }{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}{\gamma }_{\mathrm{0}}[n]\right.\left.{\left|{\mathit{h}}_{\mathrm{E}}^{\mathrm{H}}{\mathit{H}}_{\mathrm{E}}[n]\mathit{v}[n]\right|}^{\mathrm{2}}\right),{\gamma }_{\mathrm{0}}[n]=P[n]/{\sigma }^{\mathrm{2}}.显然，给定UAV轨迹时可以获得（P4.7）目标函数的最坏情况，而在窃听链路最坏情况下可以优化UAV轨迹.因此，可以利用第（k-1）次迭代中求得的UAV飞行轨迹来估计第k次迭代中窃听链路的最坏情况.此外，{\mathit{h}}_{\mathrm{U}\mathrm{R}}^{\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{S}}[n]是UAV轨迹变量的非线性函数，这使得UAV轨迹优化问题难以求解.为了解决这一问题，在第k次迭代中，利用第（k-1）次迭代得到的UAV轨迹获得一个近似的{\mathit{h}}_{\mathrm{U}\mathrm{R}}^{\mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{S}}[n].同时引入松弛变量\mathit{u}=\{u{[n]\}}_{n=\mathrm{1}}^N，\mathit{e}=\{e{[n]\}}_{n=\mathrm{1}}^N，\mathit{s}=\{s{[n]\}}_{n=\mathrm{1}}^N，\mathit{t}=\{t{[n]\}}_{n=\mathrm{1}}^N，\mathit{f}=\{f{[n]\}}_{n=\mathrm{1}}^N，\mathit{\zeta }=\{\zeta {[n]\}}_{n=\mathrm{1}}^N，\mathit{r}=\{r{[n]\}}_{n=\mathrm{1}}^N，则（P4.7）可改写为

\begin{array}{l}(\mathrm{P}\mathrm{4.8}):\underset{\begin{array}{l}\mathit{Q},\mathit{u},\mathit{e},\mathit{s},\\ \mathit{t},\mathit{\zeta },\mathit{r},\mathit{f}\end{array}}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\frac{\mathrm{1}}{N}{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^N}{\tilde{R}}^{traj}[n].\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.\mathrm{C}\mathrm{2},\mathrm{C}\mathrm{3},\\ \mathrm{C}\mathrm{16}:\sqrt[]{(d_{\mathrm{U}\mathrm{S}}{[n])}^{-\kappa }}\ge u[n],\forall n,\\ \mathrm{C}\mathrm{17}:\sqrt[]{(d_{\mathrm{U}\mathrm{R}}{[n])}^{-\alpha }}\ge e[n],\forall n,\\ \mathrm{C}\mathrm{18}:\sqrt[]{(d_{\mathrm{U}\mathrm{E}}{[n])}^{-\kappa }}\le s[n],\forall n,\\ \mathrm{C}\mathrm{19}:\sqrt[]{(d_{\mathrm{U}\mathrm{R}}{[n])}^{-\alpha }}\le t[n],\forall n,\\ \mathrm{C}\mathrm{20}:\sqrt[]{(d_{\mathrm{U}\mathrm{P}}{[n])}^{-\kappa }}\le f[n],\forall n,\\ \mathrm{C}\mathrm{21}:\rho {\gamma }_{\mathrm{0}}[n]{\tilde{\mathit{h}}}_{st}^{\mathrm{T}}[n]{\mathit{H}}_{\mathrm{Q}\mathrm{E}}[n]{\tilde{\mathit{h}}}_{st}[n]\le \zeta [n],\forall n,\end{array}

\begin{array}{l}\mathrm{C}\mathrm{22}:{\tilde{\mathit{h}}}_{ue}^{\mathrm{T}}[n]{\mathit{H}}_{\mathrm{Q}\mathrm{S}}[n]{\tilde{\mathit{h}}}_{ue}[n]\ge r[n],\forall n,\\ \mathrm{C}\mathrm{23}:\frac{\mathrm{1}}{N}{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^N}\rho {\tilde{\mathit{h}}}_{ft}^T[n]{\mathit{H}}_{QP}[n]{\tilde{\mathit{h}}}_{ft}[n]P[n]\le \mathrm{{\rm I}}\mathrm{\Gamma },\\ \mathrm{C}\mathrm{24}:s[n]\le \sqrt[]{{(H-\mathrm{0})}^{-\kappa }},\forall n,\\ \mathrm{C}\mathrm{25}:t[n]\le \sqrt[]{{(H-h)}^{-\alpha }},\forall n.\end{array}（36）

其中：{\tilde{R}}^{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{j}}[n]=\mathrm{l}\mathrm{b}\left(\mathrm{1}+\rho {\gamma }_{\mathrm{0}}[n]r[n]\right)-\mathrm{l}\mathrm{b}\left(\mathrm{1}+\zeta [n]\right)；{\tilde{\mathit{h}}}_{ue}[n]={\left[u[n],e[n]\right]}^{\mathrm{T}}；{\tilde{\mathit{h}}}_{st}[n]={\left[s[n],t[n]\right]}^{\mathrm{T}}；{\tilde{\mathit{h}}}_{ft}[n]={\left[f[n],t[n]\right]}^{\mathrm{T}}；

\begin{array}{c}{\mathit{H}}_{\mathrm{Q}\mathrm{S}}[n]={\left[h_{\mathrm{U}\mathrm{S}}^{\mathrm{H}},\sqrt[]{(d_{\mathrm{R}\mathrm{S}}{)}^{-\alpha }}({\mathit{h}}_{\mathrm{U}\mathrm{R}}^{(k-\mathrm{1})}{[n])}^{\mathrm{H}}{\mathit{\Phi }}^{\mathrm{H}}[n]{\mathit{h}}_{\mathrm{R}\mathrm{S}}\right]}^{\mathrm{H}}\\ \left[h_{\mathrm{U}\mathrm{S}}^{\mathrm{H}},\sqrt[]{(d_{\mathrm{R}\mathrm{S}}{)}^{-\alpha }}({\mathit{h}}_{\mathrm{U}\mathrm{R}}^{(k-\mathrm{1})}{[n])}^{\mathrm{H}}{\mathit{\Phi }}^{\mathrm{H}}[n]{\mathit{h}}_{\mathrm{R}\mathrm{S}}\right];\end{array}\begin{array}{c}{\mathit{H}}_{\mathrm{Q}\mathrm{E}}[n]=\left[\begin{array}{c}{h}_{\mathrm{U}\mathrm{E}}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}[n]\\ \sqrt[]{(d_{\mathrm{R}\mathrm{E}}{)}^{-\alpha }}({\mathit{h}}_{\mathrm{R}\mathrm{E}}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}{[n])}^{\mathrm{H}}\mathit{\Phi }[n]{\mathit{h}}_{\mathrm{U}\mathrm{R}}^{(k-\mathrm{1})}[n]\end{array}\right]\\ {\left[\begin{array}{c}{h}_{\mathrm{U}\mathrm{E}}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}[n]\\ \sqrt[]{(d_{\mathrm{R}\mathrm{E}}{)}^{-\alpha }}({\mathit{h}}_{\mathrm{R}\mathrm{E}}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}{[n])}^{\mathrm{H}}\mathit{\Phi }[n]{\mathit{h}}_{\mathrm{U}\mathrm{R}}^{(k-\mathrm{1})}[n]\end{array}\right]}^{\mathrm{H}};\end{array}\begin{array}{c}{\mathit{H}}_{\mathrm{Q}\mathrm{P}}[n]={\left[h_{\mathrm{U}\mathrm{P}}^{\mathrm{H}},\sqrt[]{(d_{\mathrm{R}\mathrm{P}}{)}^{-\alpha }}({\mathit{h}}_{\mathrm{U}\mathrm{R}}^{(k-\mathrm{1})}{[n])}^{\mathrm{H}}{\mathit{\Phi }}^{\mathrm{H}}[n]{\mathit{h}}_{\mathrm{R}\mathrm{P}}\right]}^{\mathrm{H}}\\ \left[h_{\mathrm{U}\mathrm{P}}^{\mathrm{H}},\sqrt[]{(d_{\mathrm{R}\mathrm{P}}{)}^{-\alpha }}({\mathit{h}}_{\mathrm{U}\mathrm{R}}^{(k-\mathrm{1})}{[n])}^{\mathrm{H}}{\mathit{\Phi }}^{\mathrm{H}}[n]{\mathit{h}}_{\mathrm{R}\mathrm{P}}\right].\end{array}

当UAV在窃听者和IRS上方飞行时，\sqrt[]{(d_{\mathrm{U}\mathrm{E}}{[n])}^{-\kappa }}和\sqrt[]{(d_{\mathrm{U}\mathrm{R}}{[n])}^{-\alpha }}的最大值分别由\sqrt[]{{(H-\mathrm{0})}^{-\kappa }}和\sqrt[]{{(H-h)}^{-\alpha }}给定.因此，约束\mathrm{C}\mathrm{24}和\mathrm{C}\mathrm{25}中s[n]和t[n]的上界分别为s[n]\le \sqrt[]{{(H-\mathrm{0})}^{-\kappa }}以及t[n]\le \sqrt[]{{(H-h)}^{-\alpha }}.

为解决C16~C20中的非凸约束，使用连续凸近似方法，利用-x^{\mathrm{2}}[n]，-y^{\mathrm{2}}[n]，(u{[n])}^{-\mathrm{4}/\kappa }，(e{[n])}^{-\mathrm{4}/\alpha }，\mathrm{l}\mathrm{b}\left(\mathrm{1}+\zeta [n]\right)，{\tilde{\mathit{h}}}_{ue}^{\mathrm{T}}[n]{\mathit{H}}_{\mathrm{Q}\mathrm{S}}[n]{\tilde{\mathit{h}}}_{ue}[n]和{\tilde{\mathit{h}}}_{ft}^{\mathrm{T}}[n]{\mathit{H}}_{\mathrm{Q}\mathrm{P}}[n]

{\tilde{\mathit{h}}}_{ft}[n]在给定展开点{\mathit{x}}_{\mathrm{0}}=\{x_{\mathrm{0}}{[n]\}}_{n=\mathrm{1}}^N，{\mathit{y}}_{\mathrm{0}}=\{y_{\mathrm{0}}{[n]\}}_{n=\mathrm{1}}^N，{\mathit{u}}_{\mathrm{0}}=\{u_{\mathrm{0}}{[n]\}}_{n=\mathrm{1}}^N，{\mathit{e}}_{\mathrm{0}}=\{e_{\mathrm{0}}{[n]\}}_{n=\mathrm{1}}^N，{\mathit{\zeta }}_{\mathrm{0}}=\{{\zeta }_{\mathrm{0}}{[n]\}}_{n=\mathrm{1}}^N，{\mathit{H}}_{ue,\mathrm{0}}=\{{\tilde{h}}_{ue,\mathrm{0}}{[n]\}}_{n=\mathrm{1}}^N和{\mathit{H}}_{ft,\mathrm{0}}=\{{\tilde{h}}_{ft,\mathrm{0}}{[n]\}}_{n=\mathrm{1}}^N的一阶泰勒展开，（P4.8）可近似为

\begin{array}{l}(\mathrm{P}\mathrm{4.9}):\underset{\begin{array}{l}\mathit{Q},\mathit{u},\mathit{e},\mathit{s},\\ \mathit{t},\mathit{\zeta },\mathit{r},\mathit{f}\end{array}}{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\frac{\mathrm{1}}{N}{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^N}\left[\mathrm{l}\mathrm{b}(\mathrm{1}+\rho {\gamma }_{\mathrm{0}}[n]r[n])-\frac{\zeta [n]}{\mathrm{l}\mathrm{n}\mathrm{2}(\mathrm{1}+{\zeta }_{\mathrm{0}}[n])}\right].\\ \mathrm{s}.\mathrm{t}.\mathrm{C}\mathrm{2},\mathrm{C}\mathrm{3},\mathrm{C}\mathrm{21},\mathrm{C}\mathrm{24},\mathrm{C}\mathrm{25},\\ \mathrm{C}\mathrm{26}:x^{\mathrm{2}}[n]+x_{\mathrm{S}}^{\mathrm{2}}+y^{\mathrm{2}}[n]+y_{\mathrm{S}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}{x}_{\mathrm{S}}x[n]-\mathrm{2}{y}_{\mathrm{S}}y[n]+H^{\mathrm{2}}-\\ (\mathrm{1}+\frac{\mathrm{4}}{\kappa })(u_{\mathrm{0}}{[n])}^{-\frac{\mathrm{4}}{\kappa }}+\frac{\mathrm{4}}{\kappa }(u_{\mathrm{0}}{[n])}^{-\frac{\mathrm{4}}{\kappa }-\mathrm{1}\mathrm{`}}u[n]\le \mathrm{0},\forall n,\\ \mathrm{C}\mathrm{27}:x^{\mathrm{2}}[n]+x_{\mathrm{R}}^{\mathrm{2}}+y^{\mathrm{2}}[n]+y_{\mathrm{R}}^{\mathrm{2}}-\mathrm{2}{x}_{\mathrm{R}}x[n]-(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{4}}{\alpha })(e_{\mathrm{0}}{[n])}^{-\frac{\mathrm{4}}{\alpha }}-\\ \mathrm{2}{y}_{\mathrm{R}}y[n]+{(H-h)}^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{4}}{\alpha }(e_{\mathrm{0}}{[n])}^{-\frac{\mathrm{4}}{\alpha }-\mathrm{1}}e[n]\le \mathrm{0},\forall n,\end{array}

\begin{array}{l}\mathrm{C}\mathrm{28}:(s{[n])}^{-\frac{\mathrm{4}}{\kappa }}+x_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}[n]-\mathrm{2}{x}_{\mathrm{0}}[n]x[n]-x_{\mathrm{E}}^{\mathrm{2}}+y_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}[n]-\\ \mathrm{2}{y}_{\mathrm{0}}[n]y[n]-y_{\mathrm{E}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{x}_{\mathrm{E}}x[n]+\mathrm{2}{y}_{\mathrm{E}}y[n]-H^{\mathrm{2}}\le \mathrm{0},\forall n,\\ \mathrm{C}\mathrm{29}:(t{[n])}^{-\frac{\mathrm{4}}{\alpha }}+x_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}[n]-\mathrm{2}{x}_{\mathrm{0}}[n]x[n]-x_{\mathrm{R}}^{\mathrm{2}}+y_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}[n]-\\ \mathrm{2}{y}_{\mathrm{0}}[n]y[n]-y_{\mathrm{R}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{x}_{\mathrm{R}}x[n]+\mathrm{2}{y}_{\mathrm{R}}y[n]-{(H-h)}^{\mathrm{2}}\le \mathrm{0},\forall n,\\ \mathrm{C}\mathrm{30}:(f{[n])}^{-\frac{\mathrm{4}}{\kappa }}+x_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}[n]-\mathrm{2}{x}_{\mathrm{0}}[n]x[n]-x_{\mathrm{P}}^{\mathrm{2}}+y_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}[n]-\\ \mathrm{2}{y}_{\mathrm{0}}[n]y[n]-y_{\mathrm{P}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{2}{x}_{\mathrm{P}}x[n]+\mathrm{2}{y}_{\mathrm{P}}y[n]-H^{\mathrm{2}}\le \mathrm{0},\forall n,\\ \mathrm{C}\mathrm{31}:r[n]-{\tilde{\mathit{h}}}_{ue,\mathrm{0}}^{\mathrm{T}}[n]{\mathit{H}}_{\mathrm{Q}\mathrm{S}}[n]{\tilde{\mathit{h}}}_{ue,\mathrm{0}}[n]-\\ \mathrm{2}{\tilde{\mathit{h}}}_{ue,\mathrm{0}}^{\mathrm{T}}[n]{\mathit{H}}_{\mathrm{Q}\mathrm{S}}[n]({\tilde{\mathit{h}}}_{ue}[n]-{\tilde{\mathit{h}}}_{ue,\mathrm{0}}[n])\le \mathrm{0},\forall n,\\ \mathrm{C}\mathrm{32}:\frac{\mathrm{1}}{N}{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^N}\rho P[n]\left({\tilde{\mathit{h}}}_{ft,\mathrm{0}}^{\mathrm{T}}[n]{\mathit{H}}_{\mathrm{Q}\mathrm{P}}[n]{\tilde{\mathit{h}}}_{ft,\mathrm{0}}[n]+\right.\end{array}

\left.\mathrm{2}{\tilde{\mathit{h}}}_{ft,\mathrm{0}}^{\mathrm{T}}[n]{\mathit{H}}_{\mathrm{Q}\mathrm{P}}[n]({\tilde{\mathit{h}}}_{ft}[n]-{\tilde{\mathit{h}}}_{ft,\mathrm{0}}[n])\right)\le \mathrm{{\rm I}}\mathrm{\Gamma }.（37）

显然，（P4.9）为一个标准凸优化问题，可使用CVX等软件工具求解.

2.4 总迭代算法

综上所述，基于交替优化方法将原问题（P4.1）分解为IRS相移矩阵优化、UAV飞行轨迹优化和发射功率优化3个子问题，3个子问题迭代优化直至收敛，得到在最坏情况下系统最大平均保密速率的次优解.具体算法如表1所示.

3 仿真结果及分析

使用MATLAB对所提出的鲁棒优化方案（简称为Robust）进行建模验证并评估方案的有效性.为了进一步验证所提出的Robust方案的优势，与基准方案Non-Robust性能相比较，其中Non-Robust方案忽略了窃听信道估计误差.

考虑IRS，PU，SU和Eve在三维直角坐标系中的位置分别位于（0，0，10），（0，-20，0），（0，20，0），（100，20，0）m的仿真场景.UAV的起飞点和降落点分别设为（-300，100，100），（300，100，100）m，最大飞行速度为20 m/s，平均功率\overline{P}为10 dBm，飞行时间T=\mathrm{200} s，每个时隙时长{\delta }_{\mathrm{t}}=\mathrm{1} s.UAV飞行高度恒定H=\mathrm{100} m，IRS离地面垂直高度h=\mathrm{10}m.IRS反射单元数目M=16. \rho =-\mathrm{20} dB，UAV-IRS-SU，UAV-IRS-PU和UAV-IRS-Eve链路的路径损耗指数\alpha =\mathrm{2}，UAV到SU，PU以及Eve链路的路径损耗指数\kappa =\mathrm{2.5}. PU的IT阈值设为-\mathrm{50} dBm.此外，噪声功率和迭代收敛精度分别为{\sigma }^{\mathrm{2}}=-\mathrm{85} dBm，\epsilon ={\mathrm{10}}^{-\mathrm{3}}.对于窃听信道的CSI误差模型，ò={\delta }_{\mathrm{a}}||{\overline{\mathit{h}}}_{\mathrm{E}}||，{\delta }_{\mathrm{a}}=\mathrm{0.1}.

图1展示了在飞行时间T内，所提方案和基准方案的UAV飞行轨迹，其中，SU，PU，IRS和Eve的位置分别用正方形、菱形、圆形和三角形标记.不难看出，受起始点和降落点约束，两种方案的UAV飞行轨迹都呈现先靠近SU与IRS，再远离的总体趋势. UAV起初以最大速度径直飞往IRS和SU，但由于受PU的IT限制和Eve的存在，UAV不能飞至IRS与SU的正上方，最优悬停点在IRS与SU的左边，以尽可能远离Eve. UAV飞至IRS左边的最优悬停点后，以恒定的发射功率在上方盘旋，且尽可能长时间地保持在该点传输信息，再以最大速度飞离IRS和SU，并在最后一个时隙结束前返回到降落点.返回途中的后半段为弧形的飞行轨迹，以尽可能远离Eve.值得注意的是，所提出Robust方案的UAV悬停的位置比Non-Robust方案更靠近IRS和SU，返回的飞行轨迹也更远离Eve，以获得更好的安全传输性能.

图2展示了系统安全传输性能与IRS反射单元数目M的关系.由图可知，随着IRS反射单元数目的增加，两种方案下SU最差平均保密速率均显著增加.这是因为IRS表面的反射单元数目越多，其反射信号的能力越强.优化IRS的相移矩阵，可以将更多有用信号反射到SU处进行叠加，同时削弱窃听链路的通信质量，抑制对PU造成的干扰.值得注意的是，Robust方案的SU安全传输性能明显优于Non-Robust方案.

图3显示了SU最差平均保密速率与PU的IT阈值\mathrm{{\rm I}}\mathrm{\Gamma }之间的关系.由图可知，\mathrm{{\rm I}}\mathrm{\Gamma }逐渐增大，两种方案的SU最差平均保密速率均相应增加，这是由于当IT阈值\mathrm{{\rm I}}\mathrm{\Gamma }增大时，PU的干扰容限更大，从而降低对SU最差平均保密速率的约束.同时也可以看出，Robust方案的安全传输性能明显优于Non-Robust方案.此外，当IT阈值\mathrm{{\rm I}}\mathrm{\Gamma }增加到某一数值时，SU最差平均保密速率的增幅将趋于平缓.此时，IT阈值\mathrm{{\rm I}}\mathrm{\Gamma }不再是限制SU最差平均保密速率的主要因素，SU的安全传输性能受到发射功率等其他因素的影响.

图4描绘了两种方案在最坏情况下的SU最差平均保密速率与UAV不同飞行时间的变化关系图.由图可知，当飞行时间T增加时，两种方案最坏情况下的SU平均安全传输速率均相应提高.因为T越大，UAV具有更长的时间在其最优悬停点上方停留，而最优悬停点即满足IT约束下获得最大保密速率的点.当T逐渐增加时，SU最差平均保密速率逐渐趋于平缓.类似地，无论T的取值如何，Robust方案的安全传输性能总是优于Non-Robust方案.

4 结 语

本文研究了在窃听信道CSI为不完美已知的情况下，IRS辅助认知无人机网络的鲁棒安全传输方法.基于窃听信道不确定性的模型，在满足PU的IT约束条件下，联合优化IRS相移矩阵、UAV飞行轨迹和发射功率，最大化SU在最坏情况下的平均保密速率.为了解决该非凸目标问题，基于交替优化、连续凸近似技术、S-Procedure和半正定松弛算法，提出了一个有效的三阶段迭代算法.通过仿真数据证明了鲁棒算法设计的可靠性，且所提鲁棒算法明显优于非鲁棒算法，可以显著提升IRS辅助认知无人机网络的安全通信性能.

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基金资助

赣鄱俊才支持计划——主要学科学术和技术带头人培养计划领军人才项目(20232BCJ22005)

国家自然科学基金资助项目(62341120)