含耦合不对中的深沟球轴承灵敏度分析

Sensitivity Analysis of Deep Groove Ball Bearings with Coupling Misalignment

摘要

针对旋转机械中轴承非正常安装时可能出现的异常振动问题，分析了轴承耦合不对中对滚珠接触力及振动响应的影响.考虑深沟球轴承外圈同时存在轴向、平行和角不对中情况，提出了一种综合考虑这3种不对中的深沟球轴承力学模型，并通过正交试验设计研究了3种不对中对滚道接触力及转子振动响应的灵敏度.结果表明，同时存在3种不对中时，平行不对中对滚珠接触力和振动响应最敏感，轴向不对中对滚珠接触力和振动响应灵敏度最小.

Abstract

To address the anomalous vibrations potentially caused by improper bearing installation in rotating machinery， the effects of bearings’ coupling misalignment on the contact forces and vibration responses of ball bearings were analyzed. A mechanical model for deep groove ball bearings was developed， considering the axial， parallel， and angular misalignments in the outer ring. Sensitivities of the raceway contact forces and rotor vibration responses to these three types of misalignments were evaluated through the orthogonal experimental design. The results showed that， when all the three misalignments coexist， parallel misalignment exhibits the highest sensitivity to both contact forces and vibration responses， while axial misalignment demonstrates the lowest sensitivity.

Graphical abstract

关键词

耦合不对中 / 深沟球轴承 / 正交试验设计 / 接触力 / 振动响应

Key words

coupling misalignment / deep groove ball bearing / orthogonal experimental design / contact force / vibration response

旋转机械常常采用深沟球轴承作为其关键支撑部件.然而由于加工误差、安装误差等因素，使轴承不对中广泛存在于机械系统中.轴承的不对中不仅会导致滚珠与滚道之间的接触力增加，严重时还会破坏保持架，降低轴承服役寿命.

Harris等^［1］将滚动轴承的不对中详细分为轴变形、不同轴心线、外圈角不对中、内圈角不对中. Wang等^［2］建立了含轴向不对中、平行不对中、角不对中的轴承力学表征模型，基于该模型讨论了3种不对中对齿轮-轴承-转子系统的影响.随后又综合讨论了平行和角不对中、静态与动态不对中^［3］、角不对中和保持架故障^［4］对系统的影响，并通过实验^［5］验证了轴承力模型的准确性. 文献［6-7］提出了一种新型的轴承-转子系统拟静力学模型，研究了轴承内、外圈动态角不对中及滚珠分布误差对轴承刚度的影响.

在轴承滚道角不对中的研究中，Xu等^［8］针对双列角接触球轴承的内圈不对中建立轴承5自由度模型，发现内圈角不对中会显著改变滚珠-滚道间的接触特性.Zhang等^［9］针对滚道不对中建立一种改进的滚珠轴承准静态模型，研究了角不对中对轴承使用寿命的影响. Balyakin等^［10］研究滚道不对中对滚动轴承扭转特性和疲劳寿命的影响，发现滚道不对中会增加滚动轴承的摩擦扭矩. Yang等^［11］研究发现初始角不对中的不确定性导致滚珠轴承磨损深度的显著分散，但分散程度与主轴转速、角度不对中工况和轴承安装位置有关. Tong等^［12-13］研究了角不对中以及平行和轴向载荷对角接触球轴承运行扭矩与圆锥滚子轴承疲劳寿命的影响. Wen等^［14］建立了考虑多体相互作用的改进5自由度准动力学模型，进一步评价角不对中对轴承可靠性的影响. Wang等^［15］提出了一种考虑变形和角不对中的滚珠轴承综合模型，发现角不对中会影响载荷分布，并沿特定方向降低或增加轴承刚度.易均等^［16］研究了轴承外圈发生角不对中时滚动轴承的非线性支承力形式，并分析了歪斜对系统全局非线性稳定特性和振动特性的影响. Parmar等^［17］发现当轴承存在局部缺陷时，滚动体在缺陷内到达的深度随轴承不对中角度的变化而变化.

在轴向不对中与平行不对中的研究中，Ye等^［18］发现轴向不对中会影响圆柱滚子轴承的载荷特性和稳定性. Yi等^［19］针对两个匹配轴承在实际安装中产生的平行不对中的影响，发现适量的不对中可能有利于轴承-转子匹配系统的动态特性.

通过上述研究可以发现，目前关于轴承不对中的研究大多关注单一的角不对中，而含有耦合不对中的轴承的研究尚不多见.针对这一不足，本文基于非线性Hertz接触理论，考虑到深沟球轴承由于安装误差而导致外圈同时存在轴向、平行和角度3种不对中情况，提出了包含轴承耦合不对中的非线性轴承力表达式.将其引入转子有限元模型中，建立了轴承-转子系统动力学模型.随后，对轴承同时存在轴向、平行、角不对中3种不对中情况进行正交试验设计，进一步分析了3种不对中对滚珠接触力及振动响应的灵敏度.

1 深沟球轴承耦合不对中力学模型

图1为深沟球轴承模型图，其中R_b为外滚道半径，r_b为内滚道半径，d_m为轴承节径，d_b为滚珠直径，c_c为滚珠与保持架之间的间隙，N_b为滚珠个数，ω_c为保持架旋转角速度.为了便于研究，先作出以下假设：①滚珠做纯滚动；②忽略润滑、温度和滚珠离心力的作用.为了便于表达，定义l_ab 代表点a与点b之间的距离，即线段ab的长度.

1.1 轴向不对中

深沟球轴承由健康到发生轴向不对中的示意图如图2所示.当发生轴向不对中（轴承外滚道轴向窜动量为S_a），内滚道曲线中心O_in，j 不变，外滚道曲线中心由O_out，j 变为O_out，j ′，滚珠中心由O_b，j 变为O_b，j ′，轴承径向间隙由c_r，j 变为c_r，j ′，下标j代表第j个滚珠，Δ_b为法向间隙.轴向不对中使轴承与平行平面产生接触角α_b.

可知外滚道与内滚道曲率中心的距离为^［2］

l_{O_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t},j}{O}_{\mathrm{i}\mathrm{n},j}}=r_{\mathrm{i}\mathrm{n}}+r_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}-d_{\mathrm{b}}-c_{\mathrm{r}},

l_{{O_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t},j}}^{\mathrm{\text{'}}}{O}_{\mathrm{i}\mathrm{n},j}}=S_{\mathrm{a}}.

式中，r_in与r_out分别为内、外滚道的曲率半径，r_in=f_id_b, r_out=f_od_b， f_i, f_o为内、外滚道曲率半径系数.

轴承由于轴向不对中导致的接触角和径向间隙表达式为^［2］

{\alpha }_{\mathrm{b}}=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\left(\frac{S_{\mathrm{a}}}{r_{\mathrm{i}\mathrm{n}}+r_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t}}-d_{\mathrm{b}}-c_{\mathrm{r},j}}\right),

{c_{\mathrm{r},j}}^{\mathrm{\text{'}}}=\frac{{\Delta }_{\mathrm{b}}}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\alpha }_{\mathrm{b}}}.

1.2 平行不对中

在轴向不对中的基础上引入平行不对中（轴承外滚道平行窜动量为S_r），其变化示意图如图3所示. φ_r为发生平行不对中的方向与X轴方向夹角.当同时发生轴向和平行不对中时，外滚道曲率中心由O_out，j ′点变为O_out，j ″点，滚珠中心由O_b，j ′变为O_b，j ″.

内、外滚道曲率中心到坐标轴原点的距离l_{O{O}_{\mathrm{i}\mathrm{n},j}}和l_{O{O}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t},j}}分别为

l_{O{O}_{\mathrm{i}\mathrm{n},j}}=\frac{d_{\mathrm{m}}+l_{O_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t},j}{O}_{\mathrm{i}\mathrm{n},j}}}{\mathrm{2}},

l_{O{O}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t},j}}=\frac{d_{\mathrm{m}}-l_{O_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t},j}{O}_{\mathrm{i}\mathrm{n},j}}}{\mathrm{2}}.

在实际工程中，滚珠与保持架之间的兜孔间隙会影响位置角的分布.考虑到滚珠与保持架之间的兜孔间隙c_c的影响，此时θ_j 可以表示为

{\theta }_j={\omega }_{\mathrm{c}}t+\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{N_{\mathrm{b}}}\left(j-\mathrm{1}\right)+\mathrm{2}{\tau }_j\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\frac{c_{\mathrm{c}}}{\mathrm{2}{d}_{\mathrm{m}}}).

式中，τ_j 为-1到1之间均匀分布的随机数（j=1,2,…,N_b）.由于安装时外圈与轴承座固定，内圈随转子系统一同转动，此时ω_c可以表示为

{\omega }_{\mathrm{c}}=\frac{{\omega }_{\mathrm{r}}{r}_{\mathrm{b}}}{R_{\mathrm{b}}+r_{\mathrm{b}}}.

式中，ω_r为转子的旋转角速度，rad/s.

平行不对中后轴承位置角如图4所示，点P为点O_b，j ″投影在XOY面的点，过点P作O{O}_{\mathrm{b},j}的垂线，交点为Q，平行不对中后的位置角θ_j ′为

{{\theta }_j}^{\mathrm{\text{'}}}={\theta }_j-\frac{\frac{S_{\mathrm{r}}}{\mathrm{2}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({\theta }_j-{\phi }_{\mathrm{r}})}{\frac{d_{\mathrm{m}}}{\mathrm{2}}+\frac{S_{\mathrm{r}}}{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\theta -{\phi }_{\mathrm{r}})}.

径向间隙投影的夹角如图5所示，其中S为O_out，j ″在XOY平面的投影，过S作O{O}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t},j}的垂线，交点为Q，滚珠中心变为O_b，j ″.

图5中投影与位置角上的夹角\mathrm{\angle }S{O}_{\mathrm{b},j}″O可以通过如下几何关系计算得到.

l_{S{O}_{\mathrm{i}\mathrm{n},j}}={\left[{\left(l_{AS}\right)}^{\mathrm{2}}+{\left(l_{A{O}_{\mathrm{i}\mathrm{n},j}}\right)}^{\mathrm{2}}\right]}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}},

\mathrm{\angle }{O}_{\mathrm{b},j}″O{O}_{\mathrm{i}\mathrm{n},j}=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{S_{\mathrm{r}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\theta -{\phi }_{\mathrm{r}})}{l_{O{O}_{\mathrm{b},j}}+S_{\mathrm{r}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\theta -{\phi }_{\mathrm{r}})},

\left\{\begin{array}{l}{l}_{AS}=l_{O_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t},j}{O}_{\mathrm{i}\mathrm{n},j}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta -S_{\mathrm{r}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\phi }_{\mathrm{r}},\\ l_{A{O}_{\mathrm{i}\mathrm{n},j}}=l_{O_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t},j}{O}_{\mathrm{i}\mathrm{n},j}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\theta -S_{\mathrm{r}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\phi }_{\mathrm{r}},\end{array}\right.

\mathrm{\angle }S{O}_{\mathrm{i}\mathrm{n},j}O=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{S_{\mathrm{r}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\theta -{\phi }_{\mathrm{r}})}{\sqrt[]{{l_{AS}}^{\mathrm{2}}+{l_{A{O}_{\mathrm{i}\mathrm{n},j}}}^{\mathrm{2}}}},

\mathrm{\angle }S{O}_{\mathrm{b},j}″O=\mathrm{\angle }{O}_{\mathrm{b},j}″O{O}_{\mathrm{i}\mathrm{n},j}+\mathrm{\angle }S{O}_{\mathrm{i}\mathrm{n},j}O.（1）

外滚道曲率中心位置角θ_j ″可以表示为

{\theta }_j″={\theta }_j-\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\frac{S_{\mathrm{r}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}(\theta -{\phi }_{\mathrm{r}})}{\frac{d_{\mathrm{m}}-l_{O_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t},j}{O}_{\mathrm{i}\mathrm{n},j}}}{\mathrm{2}}+S_{\mathrm{r}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\theta -{\phi }_{\mathrm{r}})}.（2）

1.3 角不对中

轴承发生耦合不对中后几何关系如图6所示，存在轴向和平行不对中时，外圈沿不对中轴线方向发生了倾斜，不对中轴线与轴线夹角为β_i，倾斜角度为φ_o，其中第j个滚珠所在的角位置为θ_j ′，该滚珠所在的外滚道曲率中心轨迹点为O_out，j ‴.为便于分析，过点S作与不对中轴线相交的垂线QS，垂足为Q；过点O_out，j ‴作与线QS相交的垂线O_out，j ‴R，垂足为R；过点O_in，j 作与不对中轴线相交的垂线O_in，jW，垂足为W.

根据图6，接触角{\alpha }_{\mathrm{b}}″和法向间隙{\Delta }_{\mathrm{b}}″为

{\alpha }_{\mathrm{b}}″=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\frac{l_{Q{O}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t},j}‴}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left({\phi }_{\mathrm{o}}-\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{S_{\mathrm{a}}}{l_{Q{O}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t},j}″}}\right)}{{l_{BR}}^{\mathrm{2}}+{l_{B{O}_{\mathrm{i}\mathrm{n},j}}}^{\mathrm{2}}}，（3）

{\Delta }_{\mathrm{b}}″=r_{\mathrm{i}\mathrm{1}}+r_{\mathrm{o}\mathrm{1}}-d_{\mathrm{1}}-l_{O_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t},j}‴O_{\mathrm{i}\mathrm{n},j}}.（4）

式中，l_{O_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t},j}‴O_{\mathrm{i}\mathrm{n},j}}=\sqrt[]{{\left(l_{Q{O}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t},j}‴}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\phi }_{\mathrm{i}}\right)}^{\mathrm{2}}+{l_{BR}}^{\mathrm{2}}+{l_{B{O}_{\mathrm{i}\mathrm{n}{,}_j}}}^{\mathrm{2}}}.

l_{Q{O}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t},j}‴}与l_{Q{O}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t},j}″}相等，l_{Q{O}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t},j}‴}为

l_{Q{O}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t},j}″}=\sqrt[]{{\left(l_{OS}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({\theta }^{″}-{\beta }_{\mathrm{i}})\right)}^{\mathrm{2}}+{S_{\mathrm{a}}}^{\mathrm{2}}}.

l_{OS}，l_{B{O}_{\mathrm{i}\mathrm{n},j}}与l_{BR}为

l_{OS}=\left[{\left(l_{O{O}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t},j}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\theta }_j″+S_{\mathrm{r}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\phi }_{\mathrm{r}}\right)}^{\mathrm{2}}+\right.

{\left.{\left(l_{O{O}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t},j}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }_j″+S_{\mathrm{r}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\phi }_{\mathrm{r}}\right)}^{\mathrm{2}}\right]}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}};

l_{B{O}_{\mathrm{i}\mathrm{n},j}}=\frac{d_{\mathrm{m}}+l_{O_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t},j}{O}_{\mathrm{i}\mathrm{n},j}}}{\mathrm{2}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\theta -{\beta }_{\mathrm{i}})-l_{OS}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}({\theta }^{″}-{\beta }_{\mathrm{i}});

l_{BR}=l_{O{O}_{\mathrm{i}\mathrm{n},j}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}({\theta }_j-{\beta }_i)-l_{Q{O}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t},j}‴}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}({\phi }_o-\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{S_{\mathrm{a}}}{l_{Q{O}_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t},j}″}}).

考虑位置角影响，轴承第j个滚珠的径向间隙c_r′′可近似表示为

c_{\mathrm{r}}″=\frac{{\Delta }_{\mathrm{b}}″}{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\alpha }_{\mathrm{b}}″}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{\angle }S{O}_{\mathrm{b},j}″O.（5）

1.4 非线性轴承力

考虑耦合不对中后，外滚道曲率中心由O_out，j 变为O_in，j ‴.轴承运动后的几何关系如图7所示，此时第j个滚子的内滚道曲率中心由O_in，j 变为O_in，j′，则滚子与滚道之间的接触变形{\delta }_{\mathrm{o}j}为

{\delta }_{\mathrm{o}j}=l_{O_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t},j}‴{O_{\mathrm{i}\mathrm{n},j}}^{\mathrm{\text{'}}}}-l_{O_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t},j}‴O_{\mathrm{i}\mathrm{n},j}}=

\sqrt[]{{\left(l_{O_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t},j}‴O_{\mathrm{i}\mathrm{n},j}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\alpha }_{\mathrm{b}}″+{\delta }_{\mathrm{r}j}\right)}^{\mathrm{2}}+{\left(l_{{O_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t},j}}^{\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}\mathrm{\text{'}}}{O}_{\mathrm{i}\mathrm{n},j}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\alpha }_{\mathrm{b}}″-{\delta }_{\mathrm{a}j}\right)}^{\mathrm{2}}}-l_{O_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t},j}‴O_{\mathrm{i}\mathrm{n},j}}.（6）

式中：α_b″是由于耦合不对中产生的接触角，其可由式（3）得到；δ_rj 为在径向上产生的接触变形；δ_aj 为轴承在轴向上产生的接触变形，其表达式如下：

\left.\begin{array}{l}{\delta }_{\mathrm{r}j}=x\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{{\theta }_j}^{\mathrm{\text{'}}}+y\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{{\theta }_j}^{\mathrm{\text{'}}}-c_{\mathrm{r}}″，\\ {\delta }_{\mathrm{a}j}=z+r_{\mathrm{d}j}\left({\theta }_x\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{{\theta }_j}^{\mathrm{\text{'}}}-{\theta }_y\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{{\theta }_j}^{\mathrm{\text{'}}}\right).\end{array}\right\}（7）

其中，r_{\mathrm{d}j}=\frac{r_{\mathrm{b}}+R_{\mathrm{b}}}{\mathrm{2}}+\left(f_{\mathrm{i}}-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)d_{\mathrm{b}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\alpha }_{\mathrm{o}j}^{\text{'}}.

振动后轴承的接触角α_oj′可表示为

{{\alpha }_{\mathrm{o}j}}^{\mathrm{\text{'}}}=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\left(\frac{l_{O_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t},j}‴O_{\mathrm{i}\mathrm{n},j}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\alpha }_{\mathrm{b}}″-{\delta }_{\mathrm{a}j}}{l_{O_{\mathrm{o}\mathrm{u}\mathrm{t},j}‴O_{\mathrm{i}\mathrm{n},j}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\alpha }_{\mathrm{b}}″+{\delta }_{\mathrm{r}j}}\right).（8）

含耦合不对中的5自由度非线性轴承力表达式为^［3］

{\mathit{F}}_{\mathrm{b}i}=\left[\begin{array}{c}{F}_{\mathrm{b}x}\\ F_{\mathrm{b}y}\\ F_{\mathrm{b}z}\\ \begin{array}{c}{M}_{\mathrm{b}x}\\ M_{\mathrm{b}y}\end{array}\end{array}\right]=-{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{N_b}}{k}_{bj}{\delta }_{oj}^{\mathrm{1.5}}H({\delta }_{oj})\left[\begin{array}{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{{\alpha }_{\mathrm{o}j}}^{\mathrm{\text{'}}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{{\theta }_j}^{\mathrm{\text{'}}}\\ \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{{\alpha }_{\mathrm{o}j}}^{\mathrm{\text{'}}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{{\theta }_j}^{\mathrm{\text{'}}}\\ \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{{\alpha }_{\mathrm{o}j}}^{\mathrm{\text{'}}}\\ \begin{array}{c}{r}_{\mathrm{d}j}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{{\alpha }_{\mathrm{o}j}}^{\mathrm{\text{'}}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{{\theta }_j}^{\mathrm{\text{'}}}\\ -r_{\mathrm{d}j}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{{\alpha }_{\mathrm{o}j}}^{\mathrm{\text{'}}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{{\theta }_j}^{\mathrm{\text{'}}}\end{array}\end{array}\right].（9）

式中，H（δ_oj ）为Heaviside函数，

H({\delta }_{\mathrm{o}j})=\left\{\begin{array}{ll}\mathrm{1},& {\delta }_{\mathrm{o}j}>\mathrm{0};\\ \mathrm{0},& \mathrm{其他}.\end{array}\right.

k_bj 为滚子的赫兹接触刚度，

k_{\mathrm{b}j}=\left\{{\left[\mathrm{2.145}\mathrm{8}\times {\mathrm{10}}^{\mathrm{5}}\sum {\rho }_{\mathrm{i}}^{-\mathrm{0.5}}({\lambda }_{\mathrm{i}}^{\mathrm{*}}{)}^{-\mathrm{1.5}}\right]}^{-\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}}+\right.

{\left.{\left[\mathrm{2.145}\mathrm{8}\times {\mathrm{10}}^{\mathrm{5}}\sum {\rho }_{\mathrm{o}}^{-\mathrm{0.5}}({\lambda }_{\mathrm{o}}^{\mathrm{*}}{)}^{-\mathrm{1.5}}\right]}^{-\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}}\right\}}^{-\mathrm{1.5}},

其中，\sum {\rho }_{\mathrm{i}},\sum {\rho }_{\mathrm{o}}为内、外滚道曲率和，

\sum {\rho }_{\mathrm{o}}=\frac{\mathrm{1}}{d_{\mathrm{b}}}\left(\mathrm{4}-\frac{\mathrm{1}}{f_{\mathrm{o}}}-\frac{\mathrm{2}\gamma }{\mathrm{1}+\gamma }\right),\sum {\rho }_{\mathrm{i}}=\frac{\mathrm{1}}{d_{\mathrm{b}}}\left(\mathrm{4}-\frac{\mathrm{1}}{f_{\mathrm{i}}}-\frac{\mathrm{2}\gamma }{\mathrm{1}+\gamma }\right),

\gamma =\frac{d_{\mathrm{b}}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\alpha }_{\mathrm{b}}″}{r_{\mathrm{b}}+R_{\mathrm{b}}}；{\lambda }_{\mathrm{i}}^{\mathrm{*}}与{\lambda }_{\mathrm{o}}^{\mathrm{*}}详见文献［1］.

2 含耦合不对中的系统动力学模型

转子系统有限元模型如图8所示，轴的总长为492 mm，被划分为31个轴段，共含32个节点.模型中轴段单元采用Timoshenko梁单元，每个节点有6个自由度.耦合不对中发生在节点31深沟球轴承处，采用5自由度非线性轴承力来表示，详细几何参数列于表1.节点编号7为圆柱滚子轴承，其等效刚度为k_x =5×10⁷ N/m；k_y =5×10⁷ N/m；k_z =0 N/m；k_θx =1×10⁴ N·m/rad；k_θy =1×10⁴ N·m/rad；k_θz =0 N·m/rad.节点22，24为角接触球轴承，其等效刚度为k_x =5×10⁷ N/m；k_y =5×10⁷ N/m；k_z =5×10⁷ N/m；k_θx =1×10⁴ N·m/rad；k_θy =1×10⁴ N·m/rad；k_θz =0 N·m/rad.轴承-转子系统的动力学方程表达式^［3］为

{\mathit{M}}_{\mathrm{S}}\ddot{\mathit{Q}}+\left[{\mathit{C}}_{\mathrm{S}}+{\omega }_{\mathrm{r}}{\mathit{J}}_{\mathrm{S}}\right]\dot{\mathit{Q}}+{\mathit{K}}_{\mathrm{S}}\mathit{Q}={\mathit{F}}_{\mathrm{b}}+{\mathit{F}}_{\mathrm{e}}-\mathit{G}.（10）

式中： M_S与 J_S分别为轴的质量和陀螺矩阵； K_S与 C_S分别为转子系统的刚度矩阵和阻尼矩阵； Q 为转子系统的位移向量； F_b， F_e与 G 分别为轴承力向量、转子系统不平衡力向量和转子系统重力向量.

本文采用瑞丽阻尼形式模拟转子的结构内阻尼 C_S，表达式如下：

{\mathit{C}}_{\mathrm{S}}=\alpha {\mathit{M}}_{\mathrm{S}}+\beta {\mathit{K}}_{\mathrm{S}}.

式中：\alpha =\frac{\mathrm{4}\mathrm{\pi }{f}_{\mathrm{1}}{f}_{\mathrm{2}}(f_{\mathrm{1}}{\xi }_{\mathrm{2}}-f_{\mathrm{2}}{\xi }_{\mathrm{1}})}{f_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}-f_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}};\beta =\frac{{\xi }_{\mathrm{2}}{f}_{\mathrm{2}}-{\xi }_{\mathrm{1}}{f}_{\mathrm{1}}}{\mathrm{\pi }(f_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}-f_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}})}.

其中：ξ₁和ξ₂为阻尼系数，即系统第1，2阶模态阻尼比；f₁和f₂为系统第1，2阶固有频率，Hz.

由于实验条件的限制，只能对试验台施加单一的不对中以验证仿真模型.在文献［5］中，已验证了单一不对中轴承力模型的正确性，这间接验证了本文提出的包含耦合不对中的轴承力模型的正确性.

本文采用Newmark-β方法求解方程（10），分析轴承的耦合不对中对轴承接触力和转子系统振动响应的影响.

3 耦合不对中的影响分析

本节讨论了深沟球轴承同时处于轴向、平行、角不对中情况下，轴转速n=3 000 r/min时系统的动力学响应.针对平行不对中，为了便于分析，文中将平行不对中角度设定为90º，角不对中轴线与X轴夹角为0º.通过正交试验设计对最大接触力及X，Y和Z 3个方向时域加速度峰峰值进行灵敏度分析.

3.1 正交试验设计

本文以深沟球轴承6011为研究对象，采用正交试验设计（DOE）对影响轴承接触力的因素进行灵敏度分析.正交试验方案见表2.

本文进行了L₁₆（4³）正交试验.为了验证极差分析法结果的正确性，采用方差分析法研究不同响应对不同影响因素的灵敏度，以进一步验证结果的正确性.方差分析的假设检验统计公式如下.

总偏差平方和S_TM为

S_{\mathrm{T}\mathrm{M}}={\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{s_i}^{\mathrm{2}}-\frac{\mathrm{1}}{n}{\left({\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{s}_i\right)}^{\mathrm{2}}.（11）

式中：s_i 表示不同影响因素下的响应值，本文选用最大接触力值和3个方向的加速度时域峰峰值；n表示正交试验的个数（DOE阵列为L₁₆（4³），n=16），则正交试验个数的自由度为n-1.

3个因素的偏差平方和S_j 可表示为

S_j=\frac{r}{n}{\displaystyle \sum _{n=\mathrm{1}}^r}{r_{ij}}^{\mathrm{2}}-\frac{\mathrm{1}}{n}{\left({\displaystyle \sum _{i=\mathrm{1}}^n}{s}_i\right)}^{\mathrm{2}}.（12）

式中：r_ij 为第i个水平下第j个影响因素的响应值的变化幅度，其自由度d_f，j =r-1（r为层数）.

因此，影响因子的统计表达式为

F_j=\frac{S_j}{d_{\mathrm{f},j}}\times \frac{f_{\mathrm{e}}}{S_{\mathrm{e}}}.（13）

式中：S_e是自由度为f_e的误差平方和，S_{\mathrm{e}}=S_{\mathrm{T}\mathrm{M}}-{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}{S}_j;

f_{\mathrm{e}}=f_{\mathrm{T}\mathrm{M}}-{\displaystyle \sum _{j=\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}{d}_{\mathrm{f},j},f_TM为正交试验的自由度，f_TM=15，d_{\mathrm{f},j}=3，为各影响因素的自由度.

3.2 接触力灵敏度分析

正交试验结果如表3所示，表中呈现了不同水平下最大接触力响应值与X，Y，Z 3个方向加速度峰峰值.

由于样本数量较大，本文取第16组的轴承动态接触力分布，如图9所示.

不同水平下最大接触力幅值变化情况如表4所示.采用极差分析法分析不同影响因素对最大接触力的灵敏度，如图10所示.灵敏度排序为：平行不对中、角不对中、轴向不对中.

其中，极差分析法的计算值是某一因素j下r_ij 最大值减去最小值，然后再除以4.

最大接触力的方差分析结果列于表5.从表中可得，影响因子F_j 的值反映平行不对中是最敏感的因素，其次是角不对中和轴向不对中.

由F检验分布表可知F_0.035（3，1）=440.68，影响因子F_j 的最大值大于440.68，即本次方差分析的显著性水平小于0.035.

分析结果表明，极差分析法与方差分析法得出的结论相似，即平行不对中是影响滚珠最大接触力的最显著因素.

3.3 振动响应灵敏度分析

3.3.1 X方向振动响应灵敏度分析

采用极差分析方法对各个影响因素的灵敏度进行分析.表6呈现了不同水平下X方向加速度峰峰值的幅值变化情况.图11为各个影响因素对X方向加速度峰峰值的灵敏度，灵敏度排序为：平行不对中、角不对中、轴向不对中.

方差分析法结果如表7所示，影响因子F_j 的X方向加速度值反映平行不对中是最敏感的因素.

极差分析法与方差分析法的结果均表明，平行不对中是影响X方向振动加速度的最显著因素.

3.3.2 Y方向振动响应灵敏度分析

采用极差分析法对各影响因素的灵敏度进行了分析.表8给出了不同水平下Y方向加速度峰峰值幅值变化情况.不同影响因素对Y方向加速度峰峰值的灵敏度，如图12所示.灵敏度排序为：平行不对中、角不对中、轴向不对中.

为了验证极差分析法结果的正确性，采用方差分析法研究Y方向加速度峰峰值对不同影响因素的灵敏度，结果如表9所示.由表可知，影响因子F_j 的Y方向加速度值反映平行不对中是最敏感的因素.

结果表明，极差分析法与方差分析法的结果相似，平行不对中是影响Y方向振动加速度的最显著因素.

3.3.3 Z方向振动响应灵敏度分析

采用极差分析法对各影响因素的灵敏度进行了分析.表10列出了不同水平下Z方向加速度峰峰值幅值变化情况.不同影响因素对Z方向加速度峰峰值的灵敏度，如图13所示.灵敏度排序为：角不对中、平行不对中、轴向不对中.

为了验证极差分析法结果的正确性，采用方差分析法研究Z方向加速度峰峰值对不同影响因素的灵敏度，结果见表11.由表可知，影响因子F_j 的Z方向加速度值显示角不对中是最敏感的因素.

结果表明，极差分析法与方差分析法得出的结果一致，即在影响Z方向振动加速度方面，角不对中是最显著的因素.

4 结 论

1） 对轴承接触力的灵敏度分析表明：在3种不对中情况下，平行不对中对最大接触力的影响最为显著，其次是角不对中，而轴向不对中的影响最小.

2） 发生耦合不对中时，Y方向位移振动响应发生显著变化，而X和Z方向的振动响应变化较小，平行不对中对振动响应最敏感.

3） 平行不对中对轴承的接触力和振动响应最敏感.因此在安装过程中要尽量避免平行不对中的产生，对于轴向不对中可适当扩展其不对中容差.

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基金资助

国家重点研发计划项目(2020YFB2007802)