鱼腹梁支护跨中挠度的计算方法及其数值验证

Calculation Method and Its Numerical Verification of Mid-span Deflection of Fish-Bellied Beam Support

摘要

鱼腹梁支护变形计算是高次超静定问题，涉及应力应变的复杂关系.为建立适用于鱼腹梁支护结构体系变形的理论方法.本文在还原鱼腹梁支护受力和变形特征的基础上进行简化，提出鱼腹梁支护结构跨中挠度的计算方法.通过有限元软件对比多种工况，修正理论假设误差.得到一种较高精度的鱼腹梁支护跨中挠度计算方法.该方法可用于鱼腹梁支护变形情况的计算，能高效地预测鱼腹梁支护跨中变形情况.经多种方法验证表明，该方法误差较小且符合规律，可为相关工程提供参考.

Abstract

The deformation calculation of fish-bellied beam support is a highly statically indeterminate problem， involving complex relationships between stress and strain. Therefore， a theoretical method suitable for the deformation of the fish-bellied beam support structure was needed. Based on the reduction of the force and deformation characteristics of the fish-bellied beam support， a calculation method for the mid-span deflection of the fish-bellied beam support structure was proposed. By comparing various working conditions using finite element software， the theoretical assumption error was corrected. A highly accurate calculation method for the mid-span deflection of fish-bellied beam support was obtained. This method can be used for calculating the deformation of fish-bellied beam support and can efficiently predict the mid-span deformation of fish-bellied beam support. Verification by various methods shows that this method has small errors and conforms to the rules， providing a reference for related engineering projects.

Graphical abstract

关键词

鱼腹梁支护 / 超静定结构 / 跨中挠度 / 计算方法 / 数值验证

Key words

fish-bellied beam support / statically indeterminate structure / mid-span deflection / calculation method / numerical verification

伴随城市化进程的不断推进，城市中密集的超高超限建筑不断涌现.对于这类建筑的基坑工程要求十分严格，需要进行超深超大基坑的建设，且由于紧邻既有建筑，对基坑变形的控制精度也较高.需要对其支护结构的变形情况进行仔细的分析与控制.在当前的复杂基坑工程中，为提升施工效率并节约成本，常采用大型机械设备进行大规模土方开挖作业.但在建筑密度极高的城区环境中，无法采用放坡开挖等传统工法.传统支撑体系因需密集布置支撑构件，难以提供充足的大型机械作业空间.而鱼腹梁支护体系恰好能够提供开阔的挖掘作业面.同时，鱼腹梁作为钢结构支撑体系，可在地下结构浇筑完成后逐步拆除并重复利用，显著降低了材料损耗和施工成本，具有突出的经济性和环保优势.

然而鱼腹梁结构是二十一世纪才发展起来的新型支护体系，其理论基础研究尚不完善.因此本文针对鱼腹梁结构单跨跨中变形开展理论研究.

目前，对于鱼腹梁支护受力条件的研究主要有：2004年Kim等^［1］首次提出预应力装配式鱼腹梁支护体系，介绍了装配式鱼腹梁支护的组成结构和工作原理，并且已将该技术运用于韩国安养市和炳川地区的基坑工程中.根据实际测量数据，鱼腹梁支护结构在变形和受力两方面都具有较好性能且安全可靠，可在实际工程中推广.Park等^［2］则采用ABAQUS软件对预应力鱼腹梁支护进行了建模并进行了模拟计算，数据结果与实际测量数据吻合较好，误差约为10%.同时Park等^［3］还对其基本原理及设计过程进行了研究，总结了其优缺点，展现了这种新型支护结构的良好应用效果.

国内于2010年前后将预应力鱼腹梁钢支护技术引进到国内.郭亮等^［4］基于位移控制方法对预应力鱼腹梁的应用进行了分析.庄诗潮等^［5］通过对基坑进行双向对称布置并作剔除轴力和弯矩较小的次要构件等假设，在此基础上得到了鱼腹梁支护的平均刚度公式：

k_{\mathrm{R}}^{\text{'}}={\left[\frac{\left(\mathrm{1}-{\eta }_{\mathrm{1}}\right)L_{\mathrm{J}}}{\mathrm{2}{E}_{\mathrm{J}}{A}_{\mathrm{J}}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}{\theta }^{\mathrm{2}}}+\frac{(\mathrm{1}-\phi )\left(\mathrm{1}-\mathrm{4.4}{\eta }_{\mathrm{2}}{\lambda }_{\mathrm{1}}/\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\alpha \right)L_{\mathrm{Y}}^{\mathrm{3}}}{\mathrm{120}{E}_{\mathrm{w}}{I}_{\mathrm{w}}}\right]}^{-\mathrm{1}}.（1）

式中：k_{\mathrm{R}}^{\text{'}}为系统表观刚度；{\eta }_{\mathrm{1}}为角撑预应力系数；{\eta }_{\mathrm{2}}为鱼腹梁钢绞线预应力系数；L_{\mathrm{J}}为角撑长度；L_{\mathrm{Y}}为鱼腹梁跨度；\theta为鱼腹梁与角撑的夹角；\alpha为端部钢绞线与围檩夹角；E_{\mathrm{J}}{A}_{\mathrm{J}}为角撑抗拉刚度；E_{\mathrm{w}}{I}_{\mathrm{w}}为围檩抗弯刚度；{\lambda }_{\mathrm{1}}为鱼腹梁矢跨比；φ为折减系数.

并结合工程实际与数值模拟结果认为其具有较高的准确性.Feng等^［6-7］着重探究了预应力损失和预应力补偿对鱼腹梁变形的影响.

同时根据文献［8-14］，通过对比其他种类支护结构的理论研究情况，结合目前关于鱼腹梁支护结构理论研究较少的现状，本文侧重于鱼腹梁支护跨中变形情况的分析.通过大量理论计算及工程实践证明，鱼腹梁支护结构是一种高效的支护结构.但由于其特殊的结构特征，尚未大范围推广应用.本文着重阐述考虑内部结构简化后的鱼腹梁支护变形理论计算，通过理论推导结合有限元模拟的手段，给出一个适用于鱼腹梁支护结构跨中挠度计算的理论公式.

1 鱼腹梁支护特性分析

鱼腹梁支护在继承传统支护结构基本功能的同时，通过其独特的结构形式与构造设计，显著提升了基坑支护体系的性能.其核心优势在于它并非孤立构件，而是通过与对撑、角撑、立柱、横梁、拉杆以及高强度钢绞线等关键部件进行系统化组合与连接，精密地构建起一个高度协同的整体受力结构体系.

在这个体系中，弯曲形态的鱼腹梁如同张开的弓弦，其上下弦杆通过钢绞线施加预应力，形成强大的轴向张力.这种张力通过节点传递给对撑、角撑和立柱等竖向及斜向构件，使得整个支撑系统在承受外部土压力时，能够实现“整体协调变形受力”.这种协同工作机制极大地优化了结构内力分布，不仅增强了支护安全性，也因其构件尺寸相对纤细而节约了材料用量.此外，该结构还能提供较为宽阔的施工空间，有利于大型机械的展开.鱼腹梁支护的典型结构如图1所示.

1.1 鱼腹梁支护结构

鱼腹梁支护结构大致分为3种，如图2所示.同时鱼腹梁支护结构凭借预应力钢绞线的约束作用，通过整体结构将力传递至对撑上，从而不需要在跨间布置其他支撑结构，可空出大量施工空间.其受力特性如图3所示.

1.2 工作机理

将鱼腹梁安装到初始位置后，通过钢绞线将预应力施加在对撑上，同时预应力会通过杆件和围护结构传递至土体中，使土体产生被动土压力，围护结构向外产生虚位移d₁；伴随着基坑的开挖，围护结构内外土压力失衡，从而产生一个朝向基坑内的主动土压力；当基坑开挖至坑底时，产生1个水平位移d₂，最终围护结构的总位移为d=d_{\mathrm{2}}-d_{\mathrm{1}}.

fish-bellied beam support structures

（a）—FS型（L：8~18 m）； （b）—FA型（L：19~23 m）；

（c）—SS型（L：24~52 m）.

2 鱼腹梁支护单跨跨中挠度理论推导

2.1 方法推导思路

本文拟采用结构简化的鱼腹梁支护体系，通过结构力学及材料力学方法推导其跨中挠度，并借助有限元模拟来减小结构简化过程中的假设误差.具体思路如图4所示.

2.2 简化条件

鱼腹梁主要的受力构件为与地连墙等竖向结构接触传力的钢围檩，为机构施加预应力的钢绞线，以及传递预应力到钢围檩上的腹杆.由于鱼腹梁支护结构过于复杂，其超静定次数往往在10次以上，且随着设计不同其形式也会发生一定变化.为了建立简便且统一的计算方法，本文根据鱼腹梁的受力变形特征将复杂的鱼腹梁支护结构简化为如图5所示.

根据图5所示，本文将鱼腹梁中施加预应力的钢绞线假设为只受拉力的拉杆；由于鱼腹梁中的腹杆可认为仅受轴压荷载，所以其只会出现轴向变形且此种变形对鱼腹梁整体变形影响有限，故将若干腹杆简化为1根刚体压杆，用于传递钢绞线所施加的预应力；同时将主要承受土压力的钢围檩简化为1根简支梁，梁的两端支座则为支护结构的横撑；将所受土压力简化为均布荷载.通过如上简化，既能模拟鱼腹梁支护结构的受力变形情况，同时将结构简化为一次超静定结构.

2.3 无预应力鱼腹梁单跨挠度计算

在简化后的土压力所形成的均布荷载作用下，结构发生如图6所示的变形.

图中：{\Delta }_{\mathrm{1}}为未施加预应力的钢围檩跨中挠度；{\Delta }_{\mathrm{2}}为钢绞线轴向位移；q为土压力；L_{\mathrm{1}}为鱼腹梁跨长的一半；L_{\mathrm{2}}为鱼腹梁最长腹杆的长度.

由图5~图6可知，该结构为一次超静定结构，对其进行内力分析.

\begin{array}{l}{\delta }_{\mathrm{11}}=\sum \int \frac{{\overline{M}}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}\mathrm{d}s}{E_{\mathrm{1}}I}+\sum \frac{{\overline{F}}_{\mathrm{N}\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}l}{E_{\mathrm{2}}A}=\frac{\mathrm{2}}{E_{\mathrm{1}}I}\times \frac{\frac{L_{\mathrm{1}}}{\mathrm{2}}\times L_{\mathrm{1}}}{\mathrm{2}}\times \frac{L_{\mathrm{1}}}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{E_{\mathrm{2}}A}\times \left[{\left(\frac{L_{\mathrm{1}}}{\mathrm{2}{L}_{\mathrm{2}}}\right)}^{\mathrm{2}}\times \mathrm{2}{L}_{\mathrm{1}}+\mathrm{2}\times \frac{L_{\mathrm{3}}^{\mathrm{3}}}{\mathrm{4}{L}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}\right]=\\ \frac{L_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}{\mathrm{6}{E}_{\mathrm{1}}I}+\frac{\mathrm{1}}{E_{\mathrm{2}}{A}_{\mathrm{1}}}\frac{L_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}{L}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{1}}{E_{\mathrm{2}}{A}_{\mathrm{2}}}\frac{L_{\mathrm{3}}^{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}{L}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}=\frac{L_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}{L}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{E}_{\mathrm{2}}{A}_{\mathrm{1}}{A}_{\mathrm{2}}+\mathrm{3}{E}_{\mathrm{1}}I(L_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}{A}_{\mathrm{2}}+L_{\mathrm{3}}^{\mathrm{3}}{A}_{\mathrm{1}})}{\mathrm{6}{L}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{E}_{\mathrm{1}}{E}_{\mathrm{2}}I{A}_{\mathrm{1}}{A}_{\mathrm{2}}}.\end{array}（2）

\begin{array}{c}{\Delta }_{\mathrm{1}\mathrm{P}}=\sum \int \frac{{\overline{M}}_{\mathrm{1}}{M}_{\mathrm{P}}\mathrm{d}s}{E_{\mathrm{1}}I}+\sum \frac{{\overline{F}}_{\mathrm{N}\mathrm{1}}{F}_{\mathrm{N}\mathrm{P}}l}{E_{\mathrm{2}}A}=\\ \frac{\mathrm{1}}{E_{\mathrm{1}}I}\times \mathrm{2}\times \frac{\mathrm{2}\times L_{\mathrm{1}}\times \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}q{L}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{3}}\times \frac{\mathrm{5}\times \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{L}_{\mathrm{1}}}{\mathrm{8}}+\mathrm{0}=\\ \frac{\mathrm{5}q{L}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{4}}}{\mathrm{24}{E}_{\mathrm{1}}I}.\end{array}（3）

由式（2）、式（3）可得

X_{\mathrm{1}}=-\frac{{\Delta }_{\mathrm{1}\mathrm{P}}}{{\delta }_{\mathrm{11}}}=-\frac{\mathrm{5}q{L}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{4}}{L}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{E}_{\mathrm{2}}{A}_{\mathrm{1}}{A}_{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}{L}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}{L}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{E}_{\mathrm{2}}{A}_{\mathrm{1}}{A}_{\mathrm{2}}+\mathrm{12}{E}_{\mathrm{1}}I(L_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}{A}_{\mathrm{2}}+L_{\mathrm{3}}^{\mathrm{3}}{A}_{\mathrm{1}})}.（4）

其中：L_{\mathrm{3}}=\sqrt[]{L_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}+L_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}；E_{\mathrm{1}}为钢围檩弹性模量；E_{\mathrm{2}}为钢绞线弹性模量；I为钢围檩截面惯性矩；A_{\mathrm{1}}为钢围檩截面积；A_{\mathrm{2}}为钢绞线的截面积总和；{\overline{M}}_{\mathrm{1}}^{}为单位荷载弯矩；M_{\mathrm{P}}为外力弯矩；s为围檩的杆长；{\overline{F}}_{\mathrm{N}\mathrm{1}}^{}为单位荷载轴力；F_{\mathrm{N}\mathrm{P}}为外力轴力；l为受轴力杆的长度；A为受轴力杆的截面积；{\delta }_{\mathrm{11}}为单位荷载造成的基本体系位移；{\Delta }_{\mathrm{1}\mathrm{P}}为外力造成的基本体系位移；q为均布荷载；X₁为单位荷载；简化腹杆视为刚性杆，故不参与变形计算.

从式（4）可得到腹杆处所受轴力大小，因此将钢围檩受力简化为如图7所示.

由图7及式（5）、式（6）可得钢围檩跨中挠度.

\theta =\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\theta =\frac{\mathrm{d}{\Delta }_{\mathrm{w}}}{\mathrm{d}x}=\int \frac{M}{E_{\mathrm{0}}{I}_{\mathrm{0}}}\mathrm{d}x+C,（5）

{\Delta }_{\mathrm{w}}=\int \left(\int \frac{M}{E_{\mathrm{0}}{I}_{\mathrm{0}}}\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}x+Cx+D，（6）

{\Delta }_{\mathrm{1}{\mathrm{X}}_{\mathrm{1}}}=\frac{X_{\mathrm{1}}(\mathrm{2}{L}_{\mathrm{1}}{)}^{\mathrm{3}}}{\mathrm{48}{E}_{\mathrm{1}}I}=\frac{\frac{\mathrm{5}q{L}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{4}}{L}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{E}_{\mathrm{2}}{A}_{\mathrm{1}}{A}_{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}{L}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}{L}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{E}_{\mathrm{2}}{A}_{\mathrm{1}}{A}_{\mathrm{2}}+\mathrm{12}{E}_{\mathrm{1}}I(L_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}{A}_{\mathrm{2}}+L_{\mathrm{3}}^{\mathrm{3}}{A}_{\mathrm{1}})}\times L_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}{\mathrm{6}{E}_{\mathrm{1}}I}=\frac{\mathrm{5}q{L}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{7}}{L}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{E}_{\mathrm{2}}{A}_{\mathrm{1}}{A}_{\mathrm{2}}}{\mathrm{24}{L}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}{L}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{E}_{\mathrm{1}}{E}_{\mathrm{2}}I{A}_{\mathrm{1}}{A}_{\mathrm{2}}+\mathrm{72}{E}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{I}^{\mathrm{2}}(L_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}{A}_{\mathrm{2}}+L_{\mathrm{3}}^{\mathrm{3}}{A}_{\mathrm{1}})},（7）

{\Delta }_{\mathrm{1}\mathrm{q}}=\frac{\mathrm{5}q(\mathrm{2}{L}_{\mathrm{1}}{)}^{\mathrm{4}}}{\mathrm{384}{E}_{\mathrm{1}}I}=\frac{\mathrm{5}q{L}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{4}}}{\mathrm{24}{E}_{\mathrm{1}}I}.（8）

其中：\theta为转角；{\Delta }_{\mathrm{w}}为钢围檩跨中挠度；x为单位长度；M代表弯矩；E₀为材料的弹性模量；I₀为材料的截面惯性矩；E₀I₀代表材料抗弯刚度；C，D为积分常数；{\Delta }_{\mathrm{1}{\mathrm{X}}_{\mathrm{1}}}为集中力造成的跨中挠度；{\Delta }_{\mathrm{1}\mathrm{q}}为均布荷载造成的跨中挠度.

由式（7）、式（8）可得，在未施加预应力的情况下，鱼腹梁简化后的跨中挠度为

{\Delta }_{\mathrm{1}}={\Delta }_{\mathrm{1}{\mathrm{X}}_{\mathrm{1}}}-{\Delta }_{\mathrm{1}\mathrm{q}}=\frac{\mathrm{5}q{L}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{4}}}{\mathrm{24}{E}_{\mathrm{1}}I}-\frac{\mathrm{5}q{L}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{7}}{L}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{E}_{\mathrm{2}}{A}_{\mathrm{1}}{A}_{\mathrm{2}}}{\mathrm{24}{L}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}{L}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{E}_{\mathrm{1}}{E}_{\mathrm{2}}I{A}_{\mathrm{1}}{A}_{\mathrm{2}}+\mathrm{72}{E}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{I}^{\mathrm{2}}(L_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}{A}_{\mathrm{2}}+L_{\mathrm{3}}^{\mathrm{3}}{A}_{\mathrm{1}})}=\frac{\mathrm{5}q{L}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{4}}(L_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}{A}_{\mathrm{2}}+L_{\mathrm{3}}^{\mathrm{3}}{A}_{\mathrm{1}})}{\mathrm{8}{L}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}{L}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{E}_{\mathrm{2}}{A}_{\mathrm{1}}{A}_{\mathrm{2}}+\mathrm{24}{E}_{\mathrm{1}}I(L_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}{A}_{\mathrm{2}}+L_{\mathrm{3}}^{\mathrm{3}}{A}_{\mathrm{1}})}.（9）

2.4 施加预应力鱼腹梁单跨挠度计算

在2.3节基础上，对钢绞线施加预应力F_{\mathrm{P}}后，结构发生如图8所示的变形.图中：{\Delta }_{\mathrm{1}\mathrm{P}}为施加预应力F_{\mathrm{P}}后的钢围檩跨中挠度；{\Delta }_{\mathrm{2}\mathrm{P}}为施加预应力后钢绞线的轴向位移.

同理，通过一次超静定结构求解结构内力.

\begin{array}{c}{\delta }_{\mathrm{11}\mathrm{P}}=\frac{L_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}{\mathrm{6}{E}_{\mathrm{1}}I}+\frac{\mathrm{1}}{E_{\mathrm{2}}{A}_{\mathrm{1}}}\frac{L_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}{L}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{1}}{E_{\mathrm{2}}{A}_{\mathrm{2}}}\frac{L_{\mathrm{3}}^{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}{L}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}}=\\ \frac{L_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}{L}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{E}_{\mathrm{2}}{A}_{\mathrm{1}}{A}_{\mathrm{2}}+\mathrm{3}{E}_{\mathrm{1}}I(L_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}{A}_{\mathrm{2}}+L_{\mathrm{3}}^{\mathrm{3}}{A}_{\mathrm{1}})}{\mathrm{6}{L}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{E}_{\mathrm{1}}{E}_{\mathrm{2}}I{A}_{\mathrm{1}}{A}_{\mathrm{2}}},\end{array}（10）

\begin{array}{c}{\Delta }_{\mathrm{1}\mathrm{P}\mathrm{P}}=\sum \int \frac{{\overline{M}}_{\mathrm{1}}{M}_{\mathrm{P}}\mathrm{d}s}{E_{\mathrm{1}}I}+\sum \frac{{\overline{F}}_{\mathrm{N}\mathrm{1}}{F}_{\mathrm{N}\mathrm{P}}l}{E_{\mathrm{2}}A}=\\ \frac{\mathrm{5}q{L}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{4}}{L}_{\mathrm{2}}{E}_{\mathrm{2}}{A}_{\mathrm{2}}+\mathrm{24}{F}_{\mathrm{P}}{L}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}{E}_{\mathrm{1}}I}{\mathrm{24}{L}_{\mathrm{2}}{E}_{\mathrm{1}}{E}_{\mathrm{2}}I{A}_{\mathrm{2}}}.\end{array}（11）

其中：{\delta }_{\mathrm{11}\mathrm{P}}为施加预应力后单位荷载造成的基本体系位移；{\Delta }_{\mathrm{1}\mathrm{P}\mathrm{P}}为施加预应力后外力造成的基本体系位移.

由式（10）、式（11）可得

\begin{array}{c}{X}_{\mathrm{1}\mathrm{P}}=-\frac{{\Delta }_{\mathrm{1}\mathrm{P}\mathrm{P}}}{{\delta }_{\mathrm{11}\mathrm{P}}}=\\ -\frac{\mathrm{5}q{L}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{4}}{L}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{E}_{\mathrm{2}}{A}_{\mathrm{1}}{A}_{\mathrm{2}}+\mathrm{24}{F}_{\mathrm{P}}{L}_{\mathrm{2}}{L}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}{E}_{\mathrm{1}}I{A}_{\mathrm{1}}}{\mathrm{4}{L}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}{L}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{E}_{\mathrm{2}}{A}_{\mathrm{1}}{A}_{\mathrm{2}}+\mathrm{12}{E}_{\mathrm{1}}I(L_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}{A}_{\mathrm{2}}+L_{\mathrm{3}}^{\mathrm{3}}{A}_{\mathrm{1}})}.\end{array}（12）

式中：X_{\mathrm{1}\mathrm{P}}为施加预应力后的单位荷载.

同理，由图7及式（5）、式（6）可得

\begin{array}{c}{\Delta }_{\mathrm{1}{\mathrm{X}}_{\mathrm{1}}\mathrm{P}}=\frac{X_{\mathrm{1}\mathrm{P}}(\mathrm{2}{L}_{\mathrm{1}}{)}^{\mathrm{3}}}{\mathrm{48}{E}_{\mathrm{1}}I}=\\ \frac{\mathrm{5}q{L}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{7}}{L}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{E}_{\mathrm{2}}{A}_{\mathrm{1}}{A}_{\mathrm{2}}+\mathrm{24}{F}_{\mathrm{P}}{L}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}{L}_{\mathrm{2}}{L}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}{E}_{\mathrm{1}}I{A}_{\mathrm{1}}}{\mathrm{24}{L}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}{L}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{E}_{\mathrm{1}}{E}_{\mathrm{2}}I{A}_{\mathrm{1}}{A}_{\mathrm{2}}+\mathrm{72}{E}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}{I}^{\mathrm{2}}(L_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}{A}_{\mathrm{2}}+L_{\mathrm{3}}^{\mathrm{3}}{A}_{\mathrm{1}})},\end{array}（13）

{\Delta }_{\mathrm{1}\mathrm{q}\mathrm{P}}=\frac{\mathrm{5}q(\mathrm{2}{L}_{\mathrm{1}}{)}^{\mathrm{4}}}{\mathrm{384}{E}_{\mathrm{1}}I}=\frac{\mathrm{5}q{L}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{4}}}{\mathrm{24}{E}_{\mathrm{1}}I}.（14）

其中：{\Delta }_{\mathrm{1}{\mathrm{X}}_{\mathrm{1}}\mathrm{P}}为施加预应力后集中力造成的跨中挠度；{\Delta }_{\mathrm{1}\mathrm{q}\mathrm{P}}为施加预应力后均布荷载造成的跨中挠度.

由式（13）、式（14）可得，在施加预应力后鱼腹梁简化模型的跨中挠度：

\begin{array}{c}{\Delta }_{\mathrm{1}\mathrm{P}}={\Delta }_{\mathrm{1}{\mathrm{X}}_{\mathrm{1}}\mathrm{P}}-{\Delta }_{\mathrm{1}\mathrm{q}\mathrm{P}}=\\ \frac{\mathrm{5}q{L}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{4}}(L_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}{A}_{\mathrm{2}}+L_{\mathrm{3}}^{\mathrm{3}}{A}_{\mathrm{1}})-\mathrm{8}{F}_{\mathrm{P}}{L}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}{L}_{\mathrm{2}}{L}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}{A}_{\mathrm{1}}}{\mathrm{8}{L}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}{L}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{E}_{\mathrm{2}}{A}_{\mathrm{1}}{A}_{\mathrm{2}}+\mathrm{24}{E}_{\mathrm{1}}I(L_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}{A}_{\mathrm{2}}+L_{\mathrm{3}}^{\mathrm{3}}{A}_{\mathrm{1}})}=\\ \frac{\mathrm{5}q{L}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{4}}{\Delta }_{\mathrm{L}}-\mathrm{8}{F}_{\mathrm{P}}{L}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}{L}_{\mathrm{2}}{L}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}{A}_{\mathrm{1}}}{\mathrm{8}{L}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}{L}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{E}_{\mathrm{2}}{A}_{\mathrm{1}}{A}_{\mathrm{2}}+\mathrm{24}{E}_{\mathrm{1}}I{\Delta }_{\mathrm{L}}}\end{array}（15）

式中引入鱼腹梁变形系数{\Delta }_{\mathrm{L}}=L_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}{A}_{\mathrm{2}}+L_{\mathrm{3}}^{\mathrm{3}}{A}_{\mathrm{1}}；{\Delta }_{\mathrm{1}\mathrm{P}}为鱼腹梁理论挠度.

3 修正系数

由于本文第2节对于鱼腹梁跨中挠度计算中引入了部分假设，其中影响最大的假设是将众多腹杆简化为一根不变形的刚性杆，这必然会导致预应力全部由此刚性杆传递至跨中部位，从而改变跨中变形情况.因此，需要通过有限元软件对鱼腹梁进行分析，以获取修正这一误差的系数.

3.1 参数确定及支护结构建立

根据式（15）所得结果，由于E_{\mathrm{1}}，E_{\mathrm{2}}，I，A₁，A₂，q这6个参数仅为设计时直接取值的常数，而L_{\mathrm{3}}为L_{\mathrm{1}}及L_{\mathrm{2}}的表达式，所以本式只有L_{\mathrm{1}}，L_{\mathrm{2}}，F_{\mathrm{P}}这3个自变量.通过对上述3个自变量及6个参数进行正交试验模拟，并参考表1进行模拟计算.单跨鱼腹梁结构如图9所示.

3.2 修正系数确认

将模型代入ANSYS软件进行模拟计算.通过不同参数模型的模拟结果与将表1中的工况代入式（15）所得理论计算结果进行对比分析.

通过理论计算及数值模拟计算，将计算结果汇总于表2.通过结果对比可知，在预应力为0时，式（15）的计算结果与模拟结果存在较大误差；但当施加预应力后，该公式计算结果与模拟结果的吻合度显著提高.由此可得式（15）在F_P为0时存在较大误差，同时在较大荷载且腹杆较短的情况下，由于预应力传递路径不佳，导致工况7，13，14，16也出现了较大误差.对比情况如图10所示.

通过Origin软件对18种工况数据进行拟合计算，得到理论值与模拟值之间的关系如图11所示.

通过图11发现理论值与模拟值之间存在显著的一次函数关系，利用Origin软件进行拟合计算得到二者的关系式，并将理论公式做如下修正，得到修正后的鱼腹梁跨中挠度表达式为：{\Delta }_{\mathrm{I}\mathrm{P}\mathrm{S}}=k{\Delta }_{\mathrm{1}\mathrm{P}}+b，其中修正系数k取0.819，修正初值b取-4.819，得到式（16）如下：

{\Delta }_{\mathrm{I}\mathrm{P}\mathrm{S}}=\mathrm{0.819}\frac{\mathrm{5}q{L}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{4}}{\Delta }_{\mathrm{L}}-\mathrm{8}{F}_{\mathrm{p}}{L}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}{L}_{\mathrm{2}}{L}_{\mathrm{3}}^{\mathrm{2}}{A}_{\mathrm{1}}}{\mathrm{8}{L}_{\mathrm{1}}^{\mathrm{3}}{L}_{\mathrm{2}}^{\mathrm{2}}{E}_{\mathrm{2}}{A}_{\mathrm{1}}{A}_{\mathrm{2}}+\mathrm{24}{E}_{\mathrm{1}}I{\Delta }_{\mathrm{L}}}-\mathrm{4.819}.（16）

4 结果检验及应用

4.1 其他理论数据对比

得到修正的鱼腹梁跨中挠度{\Delta }_{\mathrm{I}\mathrm{P}\mathrm{S}}后，结合庄诗潮^［5］所得理论推导结果，对本公式进行对比验证.

根据其理论计算数据，选取其中一榀鱼腹梁进行分析，参数如下：L_{\mathrm{1}}=\mathrm{10}\mathrm{m}，L_{\mathrm{2}}=\mathrm{4}\mathrm{m}，E_{\mathrm{1}}=\mathrm{206}\mathrm{G}\mathrm{P}\mathrm{a}，E_{\mathrm{2}}=\mathrm{206}\mathrm{G}\mathrm{P}\mathrm{a}，I=\mathrm{0.008}\mathrm{99}{\mathrm{m}}^{\mathrm{4}}，A_{\mathrm{1}}=\mathrm{0.021}\mathrm{95}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}，A_{\mathrm{2}}=\mathrm{0.003}\mathrm{63}{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}，q=\mathrm{100}\mathrm{k}\mathrm{N}/\mathrm{m}.其预应力F_P大小分别取0 kN，1 050 kN，1 150 kN，1 250 kN，1 350 kN（对应工况1~5）.

并将数据带入{\Delta }_{\mathrm{I}\mathrm{P}\mathrm{S}}，得到不同应力下跨中挠度分别为{\Delta }_{\mathrm{I}\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{1}}=\mathrm{31.72}\mathrm{m}\mathrm{m}，{\Delta }_{\mathrm{I}\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{2}}=\mathrm{11.59}\mathrm{m}\mathrm{m}，{\Delta }_{\mathrm{I}\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{3}}=\mathrm{9.67}\mathrm{m}\mathrm{m}，{\Delta }_{\mathrm{I}\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{4}}=\mathrm{7.75}\mathrm{m}\mathrm{m}，{\Delta }_{\mathrm{I}\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{5}}=\mathrm{5.83}\mathrm{m}\mathrm{m}.同时根据文献［5］方法其结果分别为33.29，11.31，9.26，7.20和5.15 mm.结果平均误差为6.14%.根据文献［5］其理论结果与实际工程误差为11.9%，可认为本方法也具备合理性.具体误差对比见图12.

发现修正后的理论公式所得结果与已有理论数据变化规律较为吻合且误差处在合理范围内，可认为本方法具有合理性.

4.2 理论数据及有限元结果对比

在4.1节的基础上，对所计算工况进行有限元建模分析，模拟结果如图13所示.通过图13可以看出，在施加预应力后，结构变形得到了明显的控制.

图13b~图13f中标有五角星的位置为鱼腹梁的跨中挠度监测点，其数值依次为27.76，11.95，9.52，7.39，5.37 mm，呈现出递减的趋势.

根据模拟结果与理论计算结果进行对比，得到图14所示的误差分析.

从图14中的对比结果可以看出，在同等条件下，本文理论值、参考理论值及模拟值之间的变化规律基本一致，且三者间误差较小.本文理论值与模拟值的最大误差仅为3.11%，与参考理论值的最大误差为7.64%，具有高度相关性，表明本文理论值符合鱼腹梁的实际变化情况.

4.3 模拟基坑工程应用

代入实际工程的基坑中，进行模拟计算.本文结合某地铁基坑工程，其基坑全长234 m，宽22.6 m，其中两端加宽处宽33 m，深20.8 m.

其土层信息如表3所示，土层大部分为砂砾等非黏性土质，稳定水位埋深为10.67~11.40 m.根据土体性质相似性，将土体简化为6层.

通过Rhino 7软件对基坑及支护结构进行简化建模，其中围护结构采用地下连续墙，墙厚为1.2 m，地下水位取11.00 m.模型建立如图15所示.

pit model

在基坑的每跨跨中取监测点1~9（由于本基坑模型为对称模型，故仅取一侧监测值.其中，测点1~3位置如图15所示.测点4~6位于第二层支护，7~9位于第三层支护），进行变形情况监测.随着开挖过程的推进，选取其中4种工况下的监测数据如表4所示.其中工况1为开挖并施作第一层支护；工况2为开挖并施作第二层支护；工况3为开挖并施作第三层支护；工况4为开挖至坑底.

以中间跨支护结构整体受力变形情况为代表，其土体变形程度随深度的变化如图16所示.

通过图16与其他有限元模拟结果相比^［5］，其变化规律相似，且与类似工程的监测数据变化规律吻合，表明其基本符合实际变化规律.但无法完全模拟实际施工过程中的各类不可控因素造成的影响，不过小范围内这种误差在工程中是可以接受的.

同时将基坑模型运算过程中监测点随各工况的变形情况汇总于表4中.可以发现随着基坑逐步开挖及各层支护施作，同一层支护随着基坑深度增加其变形程度逐渐增大，且中间跨的变形程度最大，边跨变形程度最小.此外，同一位置下层支护的变形量大于上层支护，符合实际的基坑开挖支护变形特征.

同时，根据建模时所用参数及模拟所得数据代入{\Delta }_{\mathrm{I}\mathrm{P}\mathrm{S}}公式中进行计算，其计算结果如表5所示.理论计算结果的变化规律与表4中所得模拟变形规律相符.初步认为在本基坑工程中{\Delta }_{\mathrm{I}\mathrm{P}\mathrm{S}}公式的计算方法是可行的.

并且发现监测结果与修正后的理论公式{\Delta }_{\mathrm{I}\mathrm{P}\mathrm{S}}的误差最大不超过15%，且最小误差可低至1.45%.由此可得，本公式与模拟结果的误差整体范围可控且变化规律较为一致，可认为其具备实际应用价值.

5 结 论

1） 通过理论计算与数值模拟相结合的方式得到了完整的鱼腹梁跨中挠度计算公式.

2） 将本公式与庄诗潮等人提出的理论所得到的跨中挠度计算结果进行对比验证，发现二者整体规律较为接近，平均误差为6.14%.同时，将两种理论公式与模拟结果进行对比，其变化趋势基本一致，最大误差仅为3.11%.考虑到庄诗潮等人的理论已通过实际工程数据验证具有合理性，因此可以认为本公式的误差处于可接受范围，从而证明本理论具备合理性与可靠性.

3） 对公式进行应用模拟，通过对某地铁基坑的建模分析，得到了该基坑各处鱼腹梁的变形情况.将所得数据代入本公式进行理论计算，结果显示，公式计算结果{\Delta }_{\mathrm{I}\mathrm{P}\mathrm{S}}与模拟数据之间的最大误差不超过15%，且最小误差仅为1.45%.

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基金资助

中国-中东欧国家高校联合教育项目(2021111)

国家自然科学基金资助项目(52374157)

中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(N2301005)

中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(N2301006)