利用GeoGebra突破匀变速直线运动位移公式的难点

摘要

利用动态数学软件GeoGebra几何画板中的LowerSum指令，将匀变速直线运动的速度-时间图象与时间轴围成的面积进行定量微分和积分的动态直观运算，使匀变速直线运动的位移公式的推导过程形象、直观、动态、定量，实现了匀变速直线运动位移公式学习难点的突破。体现了中学物理教育中物理学思想方法的渗透，提升了学生的物理学科核心素养。

关键词

GeoGebra / 微积分思想 / 匀变速直线运动 / 位移公式 / LowerSum指令

物理学包括系统的知识体系和研究方法，为发展学生物理学科核心素养，中学物理教育应更加重视物理学思想方法的渗透。在教导学生学习物理知识时，要让学生领会和感悟物理学思想方法，注重科学的本质，为今后的发展和终身学习打下坚实的基础^［1］。

微积分思想通过无限的细分和对无限细分进行累加求和来解决连续变化问题。牛顿在力学研究中引入和阐述了微积分方法，与此同时，莱布尼茨也同样在几何学研究中独立使用了微积分方法。殊途同归，两位科学家共同推动了微积分理论的发展，也推动了科学的进步，爱因斯坦曾对微积分的发现给出了极高评价：“这本身就是一个第一流的创造性的成就”^［2］。

匀变速直线运动的位移公式的学习，是学生升入高中后与微积分思想的首次相遇。学生由于尚未接触数学中的极限概念，虽然高中物理教科书在前期测量速度实验中对极限概念进行了铺垫，但是在匀变速直线运动的位移公式推导过程中依然懵懵懂懂，对推导结果半信半疑。如果利用动态几何画板GeoGebra软件中的LowerSum指令，可以使匀变速直线运动的速度-时间图象与时间轴围成的面积求和过程形象、直观、动态和定量，从而实现匀变速直线运动位移公式学习难点的突破。

1 动态几何画板GeoGebra软件简介

GeoGebra是一款适合于所有教育阶段的动态数学编程软件，集成了几何、代数、图形、统计和微积分等数学功能。软件由奥地利数学家Markus Hohenwarter及其国际团队共同开发维护，是一款免费开源公益软件。软件的名称“GeoGebra”是“Geo”+“Gebra”的结合，意思是结合了几何（Geometry）与代数（Algebra）的功能。GeoGebra功能强大，使用简单方便，支持多种语言，可直接进行中文编程，目前拥有庞大的用户群，分布在全世界每个国家。软件官方网址为https：//www.geogebra.org，目前网站提供有关物理学习的各种创新开发案例。

2 学习难点的突破路径

人教社2017年版物理教科书对于匀变速直线运动位移公式的学习设计安排如下。首先回顾在匀速直线运动中，其v-t图象中图线与时间轴围成的面积可以表示对应运动过程的位移；然后，在此基础上，把匀变速直线运动分成5个小过程，每个小过程开始时刻物体的瞬时速度v由相应的纵坐标表示，在每一个小过程内，可以粗略地认为物体以这个过程的初速度做匀速直线运动。因此，可以以每一个小过程开始时刻的瞬时速度乘以每一个小过程的时间，近似地当作各小过程中物体的位移。在v-t图象中，各小过程位移可以用一个小长方形的面积来表示，所有小长方形的面积之和可以粗略地认为等于物体在整个运动过程中的位移。如果以这5个小长方形的面积之和算出的位移代表物体在整个过程中的位移，显然此位移值较真实位移值偏小，且相差较大^［3］。

为了使所有小长方形的面积之和尽量逼近真实位移，减少与真实位移的差值，进一步把运动过程进行细分，划分为更多的小过程，用所有这些小过程的位移之和近似代表物体在整个过程中的位移。小长方形越窄，多个小长方形的面积之和就越逼近物体的真实位移。最后进行合理外推，如果把整个运动过程分割得非常非常细，非常多的小长方形的面积之和就可以非常精确地代表物体的位移。从图形上看，分的小过程越多，小长方形顶端的“锯齿形”差异就越可以忽略，所有小长方形合在一起就构成了一个梯形，梯形的面积就代表做匀变速直线运动的物体在这段时间间隔内的位移，即匀变速直线运动v-t图象中图线与时间轴围成的面积可以表示对应运动过程的位移。最后，根据梯形面积公式，可得匀变速直线运动的位移公式。

教科书内容比较形象、定性地展示了匀变速直线运动v-t图象中图线与时间轴围成的面积表示对应运动过程位移的微积分推理过程，但教科书没有给出将运动过程进行更多细分的图示，对没有接触“极限”概念的高一学生来讲，始终觉得小长方形的面积之和比梯形面积小，推理过程缺乏数据定量支持，对推理结果半信半疑。

有鉴于此，借助动态几何画板GeoGebra软件中的LowerSum指令，可以使面积求和的过程更加形象、直观，使推理过程实现定量化、动态化，以动态数据实现推理结果的定量证明。细分的小长方形数量n可以在1～∞之间随时动态调整，直观显示无限逼近的过程。LowerSum指令的使用语法为：“LowerSum（<Function>，<Start x-Value>，<End x-Value>，<Number of Rectangles>）”，翻译为中文为“下和（<函数>，<开始x坐标>，<结束x坐标>，<小矩形数量>）”。所以，需要定义速度时间函数v=at+v₀，需要给定初速度v₀、加速度a、开始时刻与结束时刻、图象下方小长方形的数量n。

打开GeoGebra软件，点击滑动条工具定义初速度v₀，大小范围任意，示例范围为-5~5；定义加速度a；定义小长方形的数量n，多少任意，示例范围为0~5 000，上述所有物理量定义数量可以随时修改。用描点工具定义两个点A（0，0），B（10，0），取点A的x坐标为开始时刻，取点B的x坐标为结束时刻，则速度时间函数为f（x）=ax+v₀，为了简化问题研究范围，使推理过程更加容易理解，限制研究区间为x≥0，速度时间函数为f（x）=If（x≥0，ax+v₀）。接着应用LowerSum指令：“LowerSum（f（x），x（A），x（B），n）”，即可将图象下方区域切分为n个小长方形并进行所有小长方形面积求和。为了使结果更直观和便于比较，利用积分指令Integral添加梯形面积：“Integral（f（x），x（A），x（B））”。最后可以应用文本工具分别显示梯形面积和所有小长方形面积求和结果，以方便大小对比。

若取初速度v₀ =1 m/s，加速度a=1 m²/s，时间间隔取0~10，调节小长方形数量n的数值，软件给出表1所示的数据。

可以发现，随着小长方形数量n的增加，所有小长方形面积的和越来越逼近梯形的面积，这样就从动态的定量关系上证明了匀变速直线运动v-t图象中图线与时间轴围成的面积表示对应运动过程的位移，由面积推导匀变速直线运动的位移公式的做法也更让人信服和接受。更关键的是在此过程中，学生生动地体会了无限逼近的极限思想，经历了一次微积分思想的熏陶。

若使用UpperSum指令：“UpperSum（f（x），x（A），x（B），n）”，则会以较高y坐标当作小长方形高度，所有小长方形面积和从大于梯形面积的值无限逼近梯形面积，从而有利于学生对于极限概念的完整理解。

3 结语

在匀变速直线运动位移公式推导过程中所运用的无限逼近的微积分思想，仅仅只需要GeoGebra软件中一个LowerSum指令即可进行动态展示，不仅可以自动切割指定数量的小长方形，而且自动累积小长方形的面积之和，能够极大地辅助学生理解无限逼近的微积分思想，实现学习难点的突破。

数学和物理学的关系十分密切，物理学的所有理论都必须具有对应的数学表达，物理学天然地离不开数学，GeoGebra作为一款优秀的动态数学教学软件，在中学物理教学中也必将大放异彩，大有用武之地。

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部. 普通高中物理课程标准（2017年版2020年修订） ［S］.北京：人民教育出版社，2020.

[2] 李学，钱莉莉，武震.重视等级性考试的命题动向：电磁感应中的微积分思想［J］.理科考试研究，2021，28（11）：32-35.

[3] 人民教育出版社，课程教材研究所，物理课程教材研究开发中心.普通高中教科书物理必修第一册［M］.北京：人民教育出版社，2019.

基金资助

石景山区教育科学“十四五”规划2022年优先关注课题“基于物理学史情境的高中物理课堂探究教学实践研究”(SJS2022Y02)