注重联系真实情境　突出影响因素分析

摘要

2023年浙江省物理选考卷第16-I（2）实验题探究两根不同弹簧串接时弹力与伸长量关系，考查学生对弹簧形变及能量变化问题的理解程度。该题在设计方面注重联系真实情境，重点考查学生对影响因素的分析能力，需要学生从理论分析、实验研究等角度探讨关键解题思路和方法，具有一定的备考价值，凸显了理论联系实际的教学理念。

Graphical abstract

关键词

浙江省物理选考卷 / 实验题 / 弹簧串接 / 真实情境 / 实验研究 / 评析

2023年6月，浙江省物理选考卷发布并由全省各地组织了考试。从试卷内容看，注重考查学生综合运用物理学科知识的能力，体现了考查的基础性、应用性、综合性和创新性特征。其中，第16-I（2）实验题设计了思维递进、方法灵活、多层次的问题，给师生留下了深刻的印象。为探寻解题规律，笔者对该试题进行必要的理论探析和实验研究，希望对教师的教学和考生的备考有所裨益。

1 原题呈现及点评

1.1 原题呈现

如图1所示，某同学把A、B两根不同的弹簧串接竖直悬挂，探究A、B弹簧弹力与伸长量的关系。在B弹簧下端依次挂上质量为m的钩码，静止时指针所指刻度x_A、x_B的数据如下表（表1）。

钩码个数为1时，弹簧A的伸长量Δx_A=cm，弹簧B的伸长量Δx_B=cm，两根弹簧弹性势能的增加量ΔE_pmg(\mathrm{\Delta }{x}_{\mathrm{A}}+\mathrm{\Delta }{x}_{\mathrm{B}})（选填“=”“<”或“>”）。

1.2 点评

如表2所示，该实验题源自但不限于教材及其配套实验手册^［1］（图2），即以两根不同的弹簧进行串接，借此探究弹簧弹力与伸长量的关系，主要考查学生的数据分析、论证解释能力。

2 试题的参考答案及解析

2.1 参考答案

（1） 0.78；（2） 1.29；（3） <。

2.2 解析

（1） 弹簧A的伸长量\mathrm{\Delta }{x}_{\mathrm{A}}=\mathrm{0.78}\mathrm{c}\mathrm{m}。

（2） 同时可得到弹簧B下端指针刻度的变化量为2.07 cm，所以弹簧B的伸长量\mathrm{\Delta }{x}_{\mathrm{B}}=\mathrm{2.07}\mathrm{c}\mathrm{m}-\mathrm{0.78}\mathrm{c}\mathrm{m}=\mathrm{1.29}\mathrm{c}\mathrm{m}。在解题过程中，学生易将此问错填成2.07 cm。

（3） 此问为比较“两根弹簧弹性势能的增加量ΔE_p 与钩码重力势能的减少量mg（Δx_A+Δx_B）”的大小。直接释放后的钩码会做上下振动，不仅需要外加手的拖力让其保持不动，而且需要考虑弹簧克服手的拖力（阻力）所做的功W_{\mathrm{手}}；同时，可能还要考虑弹簧自身减少的重力势能\mathrm{\Delta }{E}_{\mathrm{p}\mathrm{自重}}。结合动能定理可推导得出：\mathrm{\Delta }{E}_{\mathrm{p}}+W_{\mathrm{手}}=mg(\mathrm{\Delta }{x}_{\mathrm{A}}+\mathrm{\Delta }{x}_{\mathrm{B}})+\mathrm{\Delta }{E}_{\mathrm{p}\mathrm{自重}}。若，则有：；若\mathrm{\Delta }{E}_{\mathrm{p}\mathrm{自重}}>W_{\mathrm{手}}，则有：\mathrm{\Delta }{E}_{\mathrm{p}}>mg(\mathrm{\Delta }{x}_{\mathrm{A}}+\mathrm{\Delta }{x}_{\mathrm{B}})。由于W_{\mathrm{手}}和\mathrm{\Delta }{E}_{\mathrm{p}\mathrm{自重}}的大小无法直接进行主观判断，所以解题时存在很大疑问。

3 第三空的出题意图

该试题第三空要求选填“=”“<”或“>”，笔者据此推测其出题意图是考查从“挂上钩码”到“平衡静止”过程中系统的机械能并不守恒，即需要考虑W_手的影响；而对于\mathrm{\Delta }{E}_{\mathrm{p}\mathrm{自重}}，需要联系真实实验情境默认弹簧质量相对钩码质量较小，可认为。当然，是否考虑影响因素，并不只是主观判断，还需要进行必要的科学分析。

3.1 分析影响因素W_手

如图3所示，“挂上钩码”到“平衡静止”的过程可等效为用手托住钩码让其缓慢地下降到平衡位置后静止。显然，手的阻力F_手是从mg均匀地减小到0，钩码下降的距离为\mathrm{\Delta }{x}_{\mathrm{A}}+\mathrm{\Delta }{x}_{\mathrm{B}}，涉及变力做功，根据图3-b的F_{\mathrm{手}}-x图象可得出：W_{\mathrm{手}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}mg(\mathrm{\Delta }{x}_{\mathrm{A}}+\mathrm{\Delta }{x}_{\mathrm{B}})。可见，W_手已达到钩码减少重力势能的1/2，对此不能忽略不计。

3.2 分析影响因素ΔE_p自重

为了简便，笔者先粗略分析单根弹簧模型：一根竖直悬挂的弹簧（质量m₀）在挂上钩码（质量m）后伸长Δx，若要，则m₀需满足什么条件？挂上钩码后弹簧重心位置下降\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{\Delta }x，得出：\mathrm{\Delta }{E}_{\mathrm{p}\mathrm{自重}}=m_{\mathrm{0}}g\times \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{\Delta }x。根据前述方法可得:W_{\mathrm{手}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}mg\mathrm{\Delta }x。可见，若要，则只需满足即可。因此，对于质量较小的弹簧，可以不考虑\mathrm{\Delta }{E}_{\mathrm{p}\mathrm{自重}}。倘若试题在题干中提示轻质弹簧或弹簧质量相对钩码较小，则出题意图会更加明确。

4 理论探讨

要想使，那么两根不同弹簧的质量m_A和m_B需满足什么条件？若把两根不同的弹簧串接并等效看成一根弹簧，则根据前述单根弹簧的推论，错认为满足即可。其实，该推论只适用于单根弹簧或两根相同的串接弹簧，而对于两根不同的串接弹簧并不适用。

4.1 常规方法

如图4所示，该解法需要同时考虑两根弹簧竖直悬挂时的初始形变量\mathrm{\Delta }{x}_{\mathrm{A}\mathrm{0}}和\mathrm{\Delta }{x}_{\mathrm{B}\mathrm{0}}，其推导过程比较烦琐。

（1） 对于弹簧A有：

k_{\mathrm{A}}∆x_{\mathrm{A}\mathrm{0}}=(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{m}_{\mathrm{A}}+m_{\mathrm{B}})g（证明略）； ①

k_{\mathrm{A}}∆x_{\mathrm{A}}=mg； ②

∆E_{p\mathrm{A}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{k}_{\mathrm{A}}(∆x_{\mathrm{A}}+∆x_{\mathrm{A}\mathrm{0}})²-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{k}_{\mathrm{A}}∆x_{\mathrm{A}\mathrm{0}}²；③

化简③并将①②代入后可得：∆E_{p\mathrm{A}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}(m+m_{\mathrm{A}}+\mathrm{2}{m}_{\mathrm{B}})g∆x_{\mathrm{A}}。 ④

（2） 对于弹簧B有：k_{\mathrm{B}}∆x_{\mathrm{B}\mathrm{0}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{m}_{\mathrm{B}}g（证明略）；

⑤

k_{\mathrm{B}}∆x_{\mathrm{B}}=mg； ⑥

∆E_{p\mathrm{B}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{k}_{\mathrm{B}}(∆x_{\mathrm{B}}+∆x_{\mathrm{B}\mathrm{0}})²-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{k}_{\mathrm{B}}∆x_{\mathrm{B}\mathrm{0}}²； ⑦

化简⑦并将⑤⑥代入后可得：

∆E_{p\mathrm{B}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}(m+m_{\mathrm{B}})g∆x_{\mathrm{B}}。 ⑧

（3） 将④⑧相加并化简可得：∆E_p=∆E_{p\mathrm{A}}+∆E_{p\mathrm{B}}=mg(∆x_{\mathrm{A}}+∆x_{\mathrm{B}})+m_{\mathrm{A}}g\frac{∆x_{\mathrm{A}}}{\mathrm{2}}+m_{\mathrm{B}}g(∆x_{\mathrm{A}}+\frac{∆x_{\mathrm{B}}}{\mathrm{2}})-\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}mg(∆x_{\mathrm{A}}+∆x_{\mathrm{B}})；若要∆E_p<mg(∆x_{\mathrm{A}}+∆x_{\mathrm{B}})，则需要满足的前提条件为：。

4.2 简便方法

如图5所示，挂上钩码后两根弹簧的伸长量分别为Δx_A和Δx_B，弹簧的重心a和b分别下降\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}Δx_A和Δx_A+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}Δx_B，可得到两根弹簧减少的重力势能：ΔE_p自重=m_Ag\times \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}Δx_A+m_Bg（Δx_A+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}Δx_B）；根据前述分析，遂得到：W_手=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}mg（Δx_A+Δx_B）。若要ΔE_p <mg（Δx_A+Δx_B），则需要满足ΔE_p自重W_手，即有：m_Ag\times \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}Δx_A+m_Bg（Δx_A+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}Δx_B）mg（Δx_A+Δx_B)，其推导结果与前述方法相同。

4.3 具体数据

上式消去g并代入该题数据Δx_A=0.78 cm和Δx_B=1.29 cm，得到：0.390m_A+1.425m_B1.350 m；令单个钩码的质量m=50 g，则有：①若m_A=m_B，需满足m_A=m_B37.2 g；②若m_A很小，需满足m_B47.4 g；③若m_B很小，需满足m_A173.1 g。

5 实验研究

如图6所示，针对上述问题，笔者指导学生选用实验室的两根不同规格的弹簧（其质量为4.3~40.5 g不等）和一个钩码（质量为49.7 g）进行实验探究^［2］。表3为实验结果，结果表明：当选用两根质量较小的弹簧（7.0 g和15.7 g）串接时，则有：ΔE_p自重<W_手，ΔE_p <mg（Δx_A+Δx_B）；当选用两根质量较大的弹簧（39.1 g和40.5 g）串接时，则有：ΔE_p自重>W_手，据此得出：ΔE_p >mg（Δx_A+Δx_B）。

6 结语

该选考实验题源自但不限于教材实验，注重联系真实情境，凸显影响因素分析的作用，综合考查了学生的科学探究（数据处理、论证解释）、物理观念（运动和相互作用观念、能量观念）及科学思维（科学推理、创新质疑）等物理核心素养，体现了命题的针对性、科学性和有效性。因此，教师只要在实验教学中遵循物理学科特点，创设真实实验情境，组织学生积极开展研究型、任务型、项目化、问题式和合作式学习，就能有效提升学生的物理核心素养。

参考文献

[1] 浙江省教育厅教研室.浙江省普通高中物理必修第一册实验手册［M］.第1版.杭州：浙江科学技术出版社，2022.

[2] 周李宜.由电阻、电容串并联到弹簧串并联问题的探究［J］.实验教学与仪器，2019，36（04）：69-70.

基金资助

2022年度浙江省教育信息化研究课题(2022ETD10)

2023年度浙江省教师教育规划立项课题(SMZX2023069)