基于轻杆的自由圆周运动理想实验模型研究

摘要

学生在自由圆周运动模型中常常只是关注始末位置，而忽视了任意位置规律。为解决问题，引入轻杆建构理想实验模型，并结合动量守恒和机械能守恒求解，得出任意位置速度关系式。教学实践表明，该教学方法能够揭示物理的内在规律，深化学生对相关知识的理解，提升其物理学科核心素养，并适用于高考试题的分析。

Graphical abstract

关键词

自由圆周运动 / 轻杆 / 速度关系 / 理想实验 / 物理学科核心素养 / 模型研究

自由圆周运动模型是高中物理力学的核心内容之一，对培养学生物理学科核心素养很重要。然而，当前的教学具有一定的局限性，师生多关注始末位置并简化求解，忽视对任意位置速度关系、加速度变化等内在规律的探究，造成解题机械，限制了学生能力的发展。笔者创新性地引入轻杆作为理想实验模型的核心约束工具，借此模拟物体间径向运动约束；结合动量守恒定律和机械能守恒定律，推导出任意角度位置速度关系式，揭示普适性机制。该教学方法弥补了传统教学的空白，将其用于高考真题分析，可以提升学生的解题效率和思维能力。另外，“加0法”能够让物理量的关联显性化，可以将其推广至复杂场景，助力学生从“解题”向“悟理”转变，促进其物理学科核心素养的发展。

1 模型建构：自由圆周运动问题的引入

当物体A相对于物体B持续做圆周运动且B同时运动时，我们就可以称其为自由圆周运动模型。为此，笔者采取轻杆关联与能量守恒定律揭示其本质规律。

例题：如图1所示，质量为m_{\mathrm{A}}的物体A置于半径R的1/4的光滑圆轨道B的底端，B的质量为m_{\mathrm{B}}，水平面光滑。给A物体施加水平向右的速度v_{\mathrm{A}\mathrm{0}}，当连线OA′与竖直线OA的夹角为\alpha（）时，试求出物体A、B的速度大小v_{\mathrm{A}}、v_{\mathrm{B}}满足的关系式（A未达到最高点，不计阻力）。

针对例题，笔者将结合轻杆的引入，建构理想模型，希望借此对相关问题展开探究。

2 关系推导：轻杆速度关联机制

2.1 轻杆原理与相对速度关系

当轻杆自由转动时，轻杆一端的物体相对于其另一端的物体速度与轻杆垂直，据此可将两端物体速度分别分解成沿轻杆、垂直于轻杆（图2），即有：v_{\mathrm{11}}=v_{\mathrm{21}}，故v_{\mathrm{1}}-v_{\mathrm{2}}=v_{\mathrm{10}}-v_{\mathrm{20}}。因v_{\mathrm{10}}\mathrm{、}{v}_{\mathrm{20}}都与轻杆垂直，且反向，故(v_{\mathrm{10}}-v_{\mathrm{20}})与轻杆垂直，大小等于两者相加，即有：(v_{\mathrm{1}}-v_{\mathrm{2}})垂直于轻杆。

2.2 自由圆周运动模型中轻杆的应用

在自由圆周运动模型中，物体A与圆心O的径向距离始终保持恒定。为明确运动学约束关系，可采取理想化建模方式，即：可在“A-O”之间添加质量可忽略的刚性轻杆（自由转动且不可伸缩），根据刚体运动学原理：A相对于圆心的速度将与轻杆始终垂直，即有：（v_{\mathrm{A}}-v_{\mathrm{圆心}}）垂直于轻杆；而圆心与轨道B始终保持相对静止，故有：（v_{\mathrm{A}}-v_{\mathrm{B}}）垂直于轻杆。所以，（v_{\mathrm{A}}-v_{\mathrm{B}}）始终垂直于动态的半径OA′（即连线1），如图3所示。

3 规律探究：一般到特殊的转化应用

3.1 一般关系式求解与验证

加入轻杆以后，分析可知：A、B的速度关系如图3所示，其中A物体的速度为：（v_{\mathrm{A}}-v_{\mathrm{B}}），与v_{\mathrm{B}}的矢量合成。

令v_x=v_{\mathrm{A}}-v_{\mathrm{B}}，由水平方向动量守恒可得：

m_{\mathrm{A}}(v_x\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha +v_{\mathrm{B}})+m_{\mathrm{B}}{v}_{\mathrm{B}}=m_{\mathrm{A}}{v}_{\mathrm{A}\mathrm{0}}；（1）

根据系统机械能守恒定律可得：

\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{m}_{\mathrm{A}}[(v_x{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha )}^{\mathrm{2}}+(v_x\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha +v_{\mathrm{B}}{)}^{\mathrm{2}}]+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{m}_{\mathrm{B}}{v_{\mathrm{B}}}^{\mathrm{2}}+m_{\mathrm{A}}gR(\mathrm{1}-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha )=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{m}_{\mathrm{A}}{v_{\mathrm{A}\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}；（2）

速度合成，可得：

v_{\mathrm{A}}=\sqrt[]{(v_x{\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha )}^{\mathrm{2}}+(v_x\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha +v_{\mathrm{B}}{)}^{\mathrm{2}}}。（3）

可见：方程组（1）（2）（3）可解任意位置的v_{\mathrm{A}}、v_{\mathrm{B}}。

通过对轻杆模型的分析，借助于图3的示意图，以及（1）（2）（3）式的推导过程，可以清楚地看到各物理量之间的内在关联，同时也理解了题目为何不要求求解任意位置的运动状态（因其关系式复杂、计算量较大，故未予要求）。然而，如果研究仅止步于此，显然还不足以充分展现上述分析的价值。接下来，基于上述分析结果，共同探讨以下几个问题，以期帮助学生深入理解自由圆周运动的本质规律。

3.2 特殊问题分析与高考试题应用

问题1：若A球不离开轨道，所能上升的最大高度是多高？

解析：A球上升至最大高度时，因A相对B的速度为0，即有：v_x=v_{\mathrm{A}}-v_{\mathrm{B}}=\mathrm{0}。（4）

将（4）式代入（1）（2）（3）式，得：

m_{\mathrm{A}}{v}_{\mathrm{B}}+m_{\mathrm{B}}{v}_{\mathrm{B}}=m_{\mathrm{A}}{v}_{\mathrm{A}\mathrm{0}}；（5）

\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{m}_{\mathrm{A}}{v_{\mathrm{B}}}^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{m}_{\mathrm{B}}{v_{\mathrm{B}}}^{\mathrm{2}}+m_{\mathrm{A}}gR(\mathrm{1}-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha )=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{m}_{\mathrm{A}}{v_{\mathrm{A}\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}；（6）

又：上升的最大高度h_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=R(\mathrm{1}-\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\alpha )；（7）

联立（5）（6）（7）式，可得：h_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=\frac{m_{\mathrm{B}}{v_{\mathrm{A}\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}(m_{\mathrm{A}}+m_{\mathrm{B}})g}。

问题2：A球离开轨道向上运动的条件是什么？

解析：A球要想离开轨道向上运动，只需要其上升的最大高度h_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}大于半径R即可。故其条件为：

h_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}=\frac{m_{\mathrm{B}}{v_{\mathrm{A}\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}(m_{\mathrm{A}}+m_{\mathrm{B}})g}>R。

问题3：A球离开轨道后，能不能返回到轨道的底端？

解析：由轻杆原理可知，当A球离开轨道时，水平方向速度与B物体的速度相等，不计空气阻力，故在A离开B后，A在空中上升、下降的过程中，其水平方向的速度始终与B保持相同；而A在竖直方向是先向上减速、后向下加速。其返回轨道时的情况如图4所示，故A球必定能返回轨道的底端。

问题4：A球若能返回至轨道底端，则A、B的速度分别为多大？此问题的求解是否需要区分离开、不离开（轨道向上运动）两种情况展开讨论？

解析：A球回到轨道底端时，此时是返回，故A相对B的速度是向左的，情况如图5所示。

此时（v_{\mathrm{A}}-v_{\mathrm{B}}）与v_{\mathrm{B}}共线，故其合成结果为v_{\mathrm{A}}；将\alpha =\mathrm{0}代入（1）（2）式可得：

m_{\mathrm{A}}{v}_{\mathrm{A}}+m_{\mathrm{B}}{v}_{\mathrm{B}}=m_{\mathrm{A}}{v}_{\mathrm{A}\mathrm{0}}；（8）

\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{m}_{\mathrm{A}}{v_{\mathrm{A}}}^{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{m}_{\mathrm{B}}{v_{\mathrm{B}}}^{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{m}_{\mathrm{A}}{v_{\mathrm{A}\mathrm{0}}}^{\mathrm{2}}；（9）

联立（8）（9）式，解得：

v_{\mathrm{A}}=\frac{m_{\mathrm{A}}-m_{\mathrm{B}}}{m_{\mathrm{A}}+m_{\mathrm{B}}}{v}_{\mathrm{A}\mathrm{0}}；v_{\mathrm{B}}=\frac{\mathrm{2}{m}_{\mathrm{A}}}{m_{\mathrm{A}}+m_{\mathrm{B}}}{v}_{\mathrm{A}\mathrm{0}}。

由此可见：返回底端不需要分情况讨论。另外，通过（8）（9）式可发现，从开始到结束，相当于A与B发生了完全弹性碰撞^［1］。

4 价值阐释：教育推广，核心启示

4.1 模型的核心价值​

自由圆周运动模型借助轻杆的约束机制，给求解任意位置的动力学参量带来新途径。以往传统教学多聚焦特殊位置，而此模型突破了这一局限，能完备求解速度、受力、加速度等参量，让一般规律与特殊解形成显性关联。

解题能力的真正提升并非靠机械记忆，而是要深度理解并把握各物理量间内在的本质联系。通过该模型的运用，学生可更好地领悟物理知识体系，掌握分析问题的方法，从而在面对各类相关题目时，能更准确、高效地得出答案。

4.2 “加0法”迁移验证

引入轻杆的核心目的在于建构一个“0”的概念，而这个“0”恰似撬动问题的关键支点。秉承这一思想方法，能够有效破解高中物理的诸多相关难题。

如图6所示，以一个带负电的粒子在电、磁混合场中从静止释放的情况为例，可以采用“加0”的思路来分析它的运动规律。先赋予粒子一个特定速度v_{\mathrm{01}}，使该速度所产生的洛伦兹力恰好与电场力达成平衡（q{v}_{\mathrm{01}}B=qE）；再赋予粒子一个大小相同但方向相反的速度v_{\mathrm{02}}。从整体效果上看，相当于给粒子的初始速度设定为“0”。

借助这种“加0”的巧妙思想，粒子的运动情况便清晰明了。如图7所示，粒子的运动可分解为两部分：一方面，它以特定速度向右做匀速直线运动；另一方面，它以另一速度做匀速圆周运动，这种运动模式属于自由圆周运动模型。

在混合场中 洛伦兹力未画）

4.3 教育的推广路径

教育推广路径的核心在于将自由圆周运动的本质规律与“加0法”思想加以系统化整合，通过剖析物理量间的内在关联纽带，构建普适性解题框架；将其推广至固定圆及高考真题（如自由圆模型拓展应用）的实践教学中，以深耕细作式训练取代机械记忆，最终实现解题效率与物理核心素养的双重提升，赋能学科育人价值。

参考文献

[1] 段石峰.2024年高考湖南卷压轴题“多次碰撞问题”的研究［J］.物理教师，2024，45（09）：75—77。 （上接第13页）

[2] 设计实验方案，经历实验探究过程，作出定性分析；然后，在教师的引导下进行理论推导；最后，将所学知识进行迁移应用。

[3] 大量的教学实践充分证明，从发现问题到解决问题，最后能够做到知识的迁移和应用，有效提升了学生的模型建构能力、科学探究能力和质疑创新能力，培养了学生严谨认真、实事求是的科学态度与应用物理知识服务社会的社会责任感。

基金资助

淮南市2024年度教育科学研究项目“基于项目式学习的高中物理实验教学设计与实践研究”(HNJK2024103)