基于GeoGebra平台的可视化探究教学

摘要

以2024年全国高考甲卷理科数学第21题为例，借助GeoGebra平台开展可视化实验探究，以“形”探寻规律，用“数”证实规律并给出代数推理论证，进而推广结论，引导学生揭示试题的本质。最后基于GeoGebra平台进行可视化探究思考，从加强数学实验探究、助力理解问题本质和重视运用信息技术、提升学生关键能力两方面进行了探讨。

Graphical abstract

关键词

GeoGebra / 解析几何 / 极点极线 / 可视化探究 / 2024年全国甲卷理科

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》要求注重培养学生在学习上的自主探究，鼓励学生运用信息技术学习、探索和解决数学问题。解析几何部分专题内容有着高度抽象的联动关系，运动变化中的变与不变关系，难以被直观感知^［1-2］，通过信息技术的合理介入，可变抽象为具体、化静态为动态。为探寻规律激发思维，让学生经历数学知识形成的过程，笔者在高二年级复习课中以2024年普通高等学校招生全国统一考试（以下简称高考）全国甲卷理科数学第21题的探究为例，凸显GeoGebra平台在开展数学实验活动的重要作用。

1 试题呈现

【2024年高考全国甲卷理科数学第21题】如图1所示，设椭圆C:\frac{x^{\mathrm{2}}}{a^{\mathrm{2}}}+\frac{y^{\mathrm{2}}}{b^{\mathrm{2}}}=\mathrm{1}(a>b>\mathrm{0})的右焦点为F，点M(\mathrm{1},\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}})在C上，且MF\perp x轴。（1） 求椭圆C的方程；（2） 过点P(\mathrm{4,0})的直线交C于A\mathrm{、}B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，证明：AQ\perp y轴。

笔者重点研究第（2）问：借助GeoGebra平台探究，如图1所示，从试题的探究过程不难发现，当点P在右焦点对应的右准线x=\mathrm{4}上时有AQ\perp y轴，为什么会有这样的结论？换言之，该垂直关系仅仅是一个特殊情况还是具有一般性？对上述问题的进一步思考极大地吸引了学生的关注。基于此笔者在课堂上提出以下几个新问题。

【问题1】 若椭圆C:\frac{x^{\mathrm{2}}}{a^{\mathrm{2}}}+\frac{y^{\mathrm{2}}}{b^{\mathrm{2}}}=\mathrm{1}(a>b>\mathrm{0})的右焦点为F，点M在椭圆上且MF\perp x轴。过点P(\frac{a^{\mathrm{2}}}{c},\mathrm{0})的直线交C于A\mathrm{、}B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，是否仍有AQ\perp y轴？

【问题2】 若将题目中的焦点F改为x轴上不在原点的任意一点，对应的点P坐标为(\frac{a^{\mathrm{2}}}{t},\mathrm{0})，其他条件不变，是否还有AQ\perp y轴成立？

【问题3】若点F在y轴上，根据上述条件作出的直线AQ又有何特点？

【问题4】若将椭圆的方程换成双曲线或者抛物线的方程，其他条件不变，是否仍有上述性质呢？

2 基于GeoGebra平台的可视化探究

2.1 实验探究，以“形”探寻规律

学生对上面衍生出的几个新问题都惊叹不已，这些新问题带来的结果是否都正确呢？事实上，试题第（2）问中的结论并非偶然，对椭圆而言具有一般性，在问题1至问题4中，将椭圆方程和点F及对应的直线的位置一般化，由于涉及的直线较多，运算过程亦较为复杂，直接求解论证两直线的关系有一定的困难，因此笔者利用GeoGebra软件进行数学实验活动，用“形”探寻规律，同时为代数推理验证过程提供形象的思路支撑。

【实验1】①在GeoGebra绘图中先设置两个“滑动条”控制变量a,b，输入x^\mathrm{2}/a^\mathrm{2}+y^\mathrm{2}/b^\mathrm{2}=\mathrm{1}得到一个椭圆C；②输入框中输入焦点[c]，得到椭圆的右焦点F，在工具栏中过点F作x轴的垂线交椭圆于点M；③在输入栏输入x=a^\mathrm{2}/sqrt(a^\mathrm{2}-b^\mathrm{2})得到直线x=\frac{a^{\mathrm{2}}}{c}，确定该直线与x轴的交点P，利用工具栏确定P\mathrm{、}F的中点N；④在工具栏中作出直线BN，并利用交点工具确定直线BN与MF的交点Q；⑤作出直线AQ并拖动点B，观察直线AQ与y轴的关系，如图2所示。

【实验2】①在GeoGebra绘图中先设置两个“滑动条”控制变量a,b，输入x^\mathrm{2}/a^\mathrm{2}+y^\mathrm{2}/b^\mathrm{2}=\mathrm{1}得到一个椭圆C；②再通过“滑动条”设置一个变量t，作出点F(t,\mathrm{0})和直线x=\frac{a^{\mathrm{2}}}{t}；③确定直线x=\frac{a^{\mathrm{2}}}{t}与x轴的交点P，利用工具栏确定P\mathrm{、}F的中点N；④在工具栏中作出直线BN，并利用交点工具确定直线BN与MF的交点Q；⑤作出直线AQ并拖动点B，观察直线AQ与y轴的关系，如图3所示。

学生探究1：先保持椭圆的其他参量不变，通过滑动条移动A\mathrm{、}B点的位置，观察直线AQ与y轴的垂直关系，看看是否发生改变。

探究结论1：A\mathrm{、}B点位置的变化并没有引起直线AQ与y轴垂直关系的变化，说明这一关系与A\mathrm{、}B点无关。

学生探究2：再保持A\mathrm{、}B两点的位置不变，逐一改变椭圆方程中的参数a,b,t进行实验演示，观察直线AQ与y轴的垂直关系看是否有变。

探究结论2：参数a,b,t的变化也没有引起直线AQ与y轴垂直关系的变化，说明这一关系与参数a,b,t也无关。

学生探究3：先保持其他参数不变以及A\mathrm{、}B点位置不变，移动F点位置，再看看直线AQ与y轴的垂直关系是否有改变？

探究结论3：在移动F点时发现只有当F点位于坐标轴上时，直线AQ与y轴始终保持垂直，当点F不在坐标轴上时，直线AQ与y轴就不垂直了；说明这一垂直关系受F点及对应直线位置关系的影响，发现此规律后，我们能否通过逻辑推理进行严谨的概括与证明？

2.2 推理验证，用“数”证实规律

依据上述实验探究的结果，学生发现直线AQ与y轴的垂直关系仅仅受点F及对应直线的位置关系的影响，不受其他因素影响，从而可以将试题结论拓展到更一般情形。

【结论1】 已知椭圆C:\frac{x^{\mathrm{2}}}{a^{\mathrm{2}}}+\frac{y^{\mathrm{2}}}{b^{\mathrm{2}}}=\mathrm{1}(a>b>\mathrm{0})的右焦点为F，点M在椭圆上且MF\perp x轴。过点P(\frac{a^{\mathrm{2}}}{c},\mathrm{0})的直线交椭圆C于A\mathrm{、}B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，则AQ\perp y轴。

【结论2】已知点M在椭圆C:\frac{x^{\mathrm{2}}}{a^{\mathrm{2}}}+\frac{y^{\mathrm{2}}}{b^{\mathrm{2}}}=\mathrm{1}(a>b>\mathrm{0})上且MF\perp x轴，点F的坐标为，过点P(\frac{a^{\mathrm{2}}}{t},\mathrm{0})的直线交椭圆C于A\mathrm{、}B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，则AQ\perp y轴。

【证明】设A(x_{\mathrm{1}},y_{\mathrm{1}}),B(x_{\mathrm{2}},y_{\mathrm{2}})，\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{PB}，则\left\{\begin{array}{l}\frac{x_{\mathrm{1}}+\lambda x_{\mathrm{2}}}{\mathrm{1}+\lambda }=\frac{a^{\mathrm{2}}}{t}\\ \frac{y_{\mathrm{1}}+\lambda y_{\mathrm{2}}}{\mathrm{1}+\lambda }=\mathrm{0}\end{array}\right.，即\left\{\begin{array}{l}\lambda x_{\mathrm{2}}=\frac{a^{\mathrm{2}}}{t}(\mathrm{1}+\lambda )-x_{\mathrm{1}}\\ \lambda y_{\mathrm{2}}=-y_{\mathrm{1}}\end{array}\right.，……………（*）

由\left\{\begin{array}{l}\frac{x_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{a^{\mathrm{2}}}+\frac{y_{\mathrm{1}}^{\mathrm{2}}}{b^{\mathrm{2}}}=\mathrm{1}\\ \frac{(\lambda x_{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}}{a^{\mathrm{2}}}+\frac{(\lambda y_{\mathrm{2}}{)}^{\mathrm{2}}}{b^{\mathrm{2}}}={\lambda }^{\mathrm{2}}\end{array}\right.可得：\frac{\mathrm{1}}{a^{\mathrm{2}}}\cdot \frac{x_{\mathrm{1}}+\lambda x_{\mathrm{2}}}{\mathrm{1}+\lambda }\cdot \frac{x_{\mathrm{1}}-\lambda x_{\mathrm{2}}}{\mathrm{1}-\lambda }+\frac{\mathrm{1}}{b^{\mathrm{2}}}\cdot \frac{y_{\mathrm{1}}+\lambda y_{\mathrm{2}}}{\mathrm{1}+\lambda }\cdot \frac{y_{\mathrm{1}}-\lambda y_{\mathrm{2}}}{\mathrm{1}-\lambda }=\mathrm{1}，结合（*）可得：\frac{a^{\mathrm{2}}}{t}-t+\lambda (\frac{a^{\mathrm{2}}}{t}+t)-\mathrm{2}\lambda x_{\mathrm{2}}=\mathrm{0}，设Q点纵坐标为y_Q，易知N(\frac{a^{\mathrm{2}}+t^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}t},\mathrm{0})，从而可得y_Q=\frac{\frac{t^{\mathrm{2}}-a^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}t}\cdot y_{\mathrm{2}}}{x_{\mathrm{2}}-\frac{a^{\mathrm{2}}+t^{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}t}}=\frac{(t^{\mathrm{2}}-a^{\mathrm{2}})\cdot y_{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}t{x}_{\mathrm{2}}-(a^{\mathrm{2}}+t^{\mathrm{2}})}

=\frac{(t^{\mathrm{2}}-a^{\mathrm{2}})\cdot \lambda y_{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}\lambda x_{\mathrm{2}}\cdot t-\lambda (a^{\mathrm{2}}+t^{\mathrm{2}})}=\frac{(t^{\mathrm{2}}-a^{\mathrm{2}})\cdot \lambda y_{\mathrm{2}}}{(\frac{a^{\mathrm{2}}}{t}-t+\lambda (\frac{a^{\mathrm{2}}}{t}+t))\cdot t-\lambda (a^{\mathrm{2}}+t^{\mathrm{2}})}=-\lambda y_{\mathrm{2}}=y_{\mathrm{1}}，于是有AQ\perp y轴。

【评注】证明时先通过设比\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{PB}建立A\mathrm{、}B两点的坐标关系，进而利用点差法的方式借助比值参数表示A\mathrm{、}B的坐标求解Q点坐标，最终得两直线的垂直关系，避免了联立椭圆与直线方程带来的烦冗运算过程，解答过程简捷明了，直达问题本质^［3-5］。当t=c时，F是右焦点，结论1是结论2的特例；若将点F改为椭圆内y轴上异于原点的一点，结论仍然成立。由此可得到以下结论。

【结论3】已知点M椭圆C:\frac{x^{\mathrm{2}}}{a^{\mathrm{2}}}+\frac{y^{\mathrm{2}}}{b^{\mathrm{2}}}=\mathrm{1}(a>b>\mathrm{0})上且MF\perp y轴，点F的坐标为，过点P(\mathrm{0},\frac{b^{\mathrm{2}}}{t})的直线交椭圆C于A\mathrm{、}B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，则AQ\perp x轴.

结论3的证明可参照结论2，供感兴趣的读者自行完成证明过程；若将椭圆方程换成双曲线或者抛物线，其他条件不变，运用GeoGebra软件继续探究，经同样的实验操作^［3］，可知AQ\perp y轴仍然成立，如图4和图5所示，从而有如下结论。

【结论4】已知点M在双曲线C:\frac{x^{\mathrm{2}}}{a^{\mathrm{2}}}-\frac{y^{\mathrm{2}}}{b^{\mathrm{2}}}=\mathrm{1}(a>\mathrm{0},b>\mathrm{0})上且MF\perp x轴，点F的坐标为(t,\mathrm{0})(\left|t\right|>a\mathit{且}t\ne \mathrm{0})，过点P(\frac{a^{\mathrm{2}}}{t},\mathrm{0})的直线交双曲线C于A\mathrm{、}B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，则AQ\perp y轴。

【结论5】已知点M在抛物线C:y^{\mathrm{2}}=\mathrm{2}px(p>\mathrm{0})上且MF\perp x轴，线段FP的中点为坐标原点O，过点P的直线交抛物线C于A\mathrm{、}B两点，直线OB交直线MF于点Q，则AQ\perp y轴。

结论3和结论4的证明与结论2相仿，因篇幅原因，此处不一一赘述，留给有兴趣的读者完成。由解析几何中极点与极线的性质易知，点F(t,\mathrm{0})(t\ne \mathrm{0})与直线x=\frac{a^{\mathrm{2}}}{t}是椭圆的一对特殊的极点极线；根据极点和极线的相关性质{}^{[\mathrm{3}]}，可将结论2、4、5统一概括为以下结论。

【结论6】已知曲线C和x(\mathrm{或}y)轴上不同于曲线中心的一点F，M为曲线C上一点且MF\perp x(\mathrm{或}y)轴，点F关于曲线C的极线为m，直线m与x(\mathrm{或}y)轴交于点P，过点P的直线交C于A\mathrm{、}B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，则AQ\perp y(\mathrm{或}x)轴。

3 基于GeoGebra平台的可视化探究的思考

3.1 加强数学实验探究，助力理解问题本质

GeoGebra软件将枯燥的几何图形变得生动形象，实现化静为动、直观感知，便于学生理解。在本文的实验活动中，利用GeoGebra软件作出椭圆、双曲线和抛物线模型，再通过控制变量的方式改变动点位置和方程的参数来动态演示图形的变化过程{}^{[\mathrm{3}]}，让学生观察两直线关系的变化情况并确定影响这一关系的关键因素，进而将实验结论推广到更一般的情形，同时通过代数推理给予严谨的验证。GeoGebra的可视化探究不仅为学生理解试题本质创设具体的教学情境，还为学生探寻试题规律激发思维，并且让学生经历主动获取知识的过程，极大提升了大家的学习积极性{}^{[\mathrm{3}]}。

3.2 重视运用信息技术，提升学生关键能力

合理运用信息技术来帮助教师的教和学生的学，用技术将静态的内容动态化，抽象的内容可视化。将数学内容与信息技术深度融合，不仅实现了数学对象的多元化表征，还使得抽象的数学知识变得生动形象，有利于提升学生的直观想象、逻辑思维和创新等能力。

参考文献

[1] 闫伟.运用GeoGebra软件助力可视化探究教学：以圆锥曲线中的一类动点轨迹问题为例［J］.中学数学教学，2021（3）：13-16.

[2] 闫伟.借助GeoGebra对圆锥曲线中一类定直线问题的探究及拓展［J］.中学数学月刊，2020（9）：40-42.

[3] 闫伟.运用GeoGebra软件助力数学实验探究教学：以一类解析几何定点问题为例［J］.中学数学研究，2022（07）：9-12.

[4] 闫伟.技术助力探本质 改进教学提素养［J］.数理化学习（高中版），2022（03）：17-21.

[5] 闫伟.对2023年高考数学全国II卷第21题的探究与思考［J］.理科考试研究，2023，30（21）：22-25.

基金资助

广东省教育科学规划2025年度中小学教师教育科研能力提升计划一般项目“信息技术与高中数学课程深度融合的研究实践”(2025YQJK0605)