数学实验与物理实验、化学实验同属于科学实验范畴，本身具有科学实验的特点，但学科性质的不同，决定了数学实验不同于一般的科学实验。数学实验教学通过对实验素材进行数学化操作，从中提出归纳假设，再在分析、修改、验证猜想中形成认知体验，从而帮助学生用数学眼光看待世界，用数学思想思考世界，用数学语言描述世界，进而助力学生形成数学思维。实践证明，这是丰富学生体验的重要手段和路径。
GGB软件是开源性跨平台的动态数学软件，借助GGB软件的几何、代数、表格、图形、统计与微积分等可视化功能，可以帮助学生在数学实验中经历具体到抽象的过程，从而提升学生的数学核心素养。基于GGB软件的高中数学实验教学，给高中数学教学插上了翱翔的科技翅膀，易于激发学生的数学探究兴趣，便于引导学生在数学实践中达到知其然、知其所以然的境界，切实提升学生的数学核心素养。
1 问题的提出
“圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积”选自人教版普通高中教科书数学必修第二册（人教A版、2019年）第八章，其内容对应《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》“几何与代数”主线的立体几何初步部分
［1］，是立体几何教学中的重要公式教学。课标要求：“立体几何初步的教学重点是帮助学生逐步形成空间观念，应遵循从整体到局部、从具体到抽象的原则，提供丰富的实物模型或利用计算机软件呈现空间几何体，帮助学生认识空间几何体的结构特征，进一步掌握在平面上表示空间图形的方法和技能。可以使用信息技术展示空间图形，为理解和掌握图形几何性质（包括证明）提供直观。”
人教A版新教材在此处的设置与人教B版有较大的不同：人教B版教材以祖暅原理为主线，对圆柱、圆锥、圆台、球的体积公式进行推导。人教A版教材一方面在旧教材基础上修订为“棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积”与“圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积”两节课时
［2］，内容上便于学生更好地通过类比进行学习，完善知识结构，自然加强了学生对“以直代曲”的理解；另一方面，直接呈现出立体图形的表面积与体积公式，将祖暅原理设置为教材课后“探究与发现”栏目，优点在于先直观感知，再猜想论证。考虑到高一学生的学情，这样设置更适合大多数学生学习立体几何，且与初高中衔接，符合课标中提出的帮助学生形成空间观念的目标
［3］。
在立体几何公式实验教学中融入GGB软件的使用，利用GGB软件呈现空间几何体，就能提供实物模型，并将祖暅原理作为最后的探究活动融入实验过程中，帮助学生形成可视化体验，助其建立空间观念，增强其直观感受，据此体会转化、类比、一般化与特殊化、极限等数学思想方法，从而提高其直观想象素养和空间想象等能力。
2 实验研究方法
借助GGB软件下的数学实验教学活动，学生在完成实验任务、小组合作过程中，经历观察—猜想—验证的探究公式过程，并在此过程中生成、生发数学思维。
3 实验研究过程
3.1 布置实验任务，动手实操——发现实验
课前，将班级学生分成4~5人一组的实验小组，给出任务单（
表1），并提出课前实验任务。
实验任务1：类比棱柱、棱锥、棱台的表面积公式的推导，能否寻找生活中的圆柱、圆锥、圆台，并尝试动手计算出其表面积和体积。
【追问1】能否猜测出其表面积公式和体积公式？
【追问2】是否可以利用GGB软件进行验证？
学生以小组为单位录制短视频，展示擀面杖、锥形甜筒冰淇淋等生活中常见的立体图形，并通过用纸裹住擀面杖、将锥形甜筒冰淇淋倒在正方体容器中等方式计算表面积与体积等。
设计意图：一方面，寻找生活中的圆柱、圆锥、圆台，将该节课与实际生活联系在一起，激发学生学习的兴趣和热情；另一方面，引导学生进行知识迁移，类比棱柱、棱锥、棱台的表面积推导方法，借动手实验进行猜想计算，建构该节知识与已有知识的联系，有助于学生建立知识储备，触及学生思考。
3.2 验证实验猜想，数字赋能——理解实验
实验任务2：不同材料、不同位置的圆柱、圆锥、圆台，其表面积公式是否一致；小组利用iPad里面的GGB软件，能否观察、猜测、验证表面积公式。
【追问1】尝试建构圆柱、圆锥、圆台的表面积公式。
一部分学生通过观察GGB软件展示的对象，猜测并验证表面积公式；另一部分能力较强的学生，使用GGB软件制作动态模型进行观察，如
图1所示。
小组总结1：沿着圆柱的任意一条母线展开侧面，可以得到长为底面圆周周长、宽为圆柱母线长的长方形，则半径为r、母线长为l的圆柱侧面积公式是：S圆柱侧=2πrl。
小组总结2：沿着圆锥的任意一条母线展开侧面，可以得到一个扇形，该扇形面积就是圆锥的侧面积，即扇形弧长为2πr，母线长为l，由扇形面积公式可得底面半径为r、母线长为l的圆锥侧面积为：S圆锥侧=πrl。
学生追答：在利用GGB软件绘图过程中，将展开的圆锥侧面分成多份小扇形，当份数足够多时，是不是可以将无数个小扇形近似看成三角形，同时将扇形的曲边近似看成线段，这样就可以利用三角形的面积公式求解——每个小三角形都是底近似为分割后的弧长、高近似为r，则有，仍然能够得到。
设计意图：在弧度制学习过程中，猜测扇形面积公式与三角形面积公式的关系，利用GGB软件和“以直代曲”的极限分割思想，即可再次验证当时的猜想。
小组总结3：圆台的侧面展开图是扇环，利用圆台的定义（这里进行“割补”），可以将圆台补成圆锥，再利用两个圆锥的侧面积的差求出圆台侧面积公式。设小圆锥母线长为l'、圆台上底面半径为r'、下底面半径为r、母线长为l，借助相似知识有：，所以rl'－r'l'=r'l，代入（l+l'）－r'l'=（r'+r）l，简化得出圆台侧面积公式为：（r'+r）l。
学生追答：我们多次进行实验，发现既然圆锥侧面积可以利用“以直代曲”的极限分割思想进行推导记忆，那圆台是不是也可以呢？如果把展开的圆台侧面图看成是“曲边梯形”，那么利用梯形的面积公式，设圆台上底面周长为c'、下底面周长为c，则有：（r'+r）l，与前面公式一致。
这样借助GGB软件实验，学生一方面猜测、归纳并证明了圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式，另一方面利用“以直代曲”的极限思想，快速理解、记忆了公式。
【追问2】观察圆柱、圆锥、圆台的表面积公式（
图2），它们之间有什么关系？能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗？
学生观察几何体的结构特征发现：结合运动变化的观点，当扩大圆台的上底面使其与下底面全等时，圆台可以变为圆柱；将圆台的上底面缩小为一个点时，圆台就可以变为圆锥。圆柱和圆锥可以看作是圆台的两个极端形态，其表面积公式都可以由圆台的表面积公式转化而来。
设计意图：以数学实验活动为核心，依托已经学过的相关知识，用运动变化的观点建构旋转体侧面积与表面积的新知识并产生深刻的认识。尤其是GGB软件动态图像和极限分割的过程，易于激发学生的想象力和探究的兴趣，“以直代曲”的极限思想必然呼之欲出。从空间曲面图形展开为平面图形，再从平面图形到“以直代曲”，最后从圆锥侧面到圆台侧面，3次转变成为该节公式课的精彩之处。或者说，化曲为直—以直代曲—类比圆锥，空间问题转化为平面问题，再应用的过程恰恰是数学思维生成、生长、生发的过程。在实验中，采用小组合作探究方法，根据学生认知规律和学习特点，利用实验任务与追问，引导学生进行分析，最终形成公式体系。
实验任务3：在初中阶段，我们学习过圆柱、圆锥的体积公式，能否将其填写于
表2之中。
【追问1】观察发现，圆柱与棱柱的体积公式、圆锥与棱锥的体积公式均一致，据此能类比棱台并猜想圆台的体积公式吗？
【追问2】拖动GGB软件图形进行实验验证，能否由此证明所猜想的圆台体积公式？
【追问3】是否可以根据圆台的结构特征，并利用圆锥体积公式进行推导？
学生以小组为单位观察3组公式，完成
表2的填表并类比猜想的实验任务。
小组总结1：通过反复拖拽圆台上底面，仍然运用运动变化的观点看问题，可以发现
（
图3）。
小组总结2：通过圆台的结构特征，仍然利用“割补”思想，将圆台补成圆锥（
图4），借助相似知识，再利用两个圆锥体积的差求出圆台体积公式。
设小圆锥高为h'，大圆锥高为h，圆台上底面半径为r'，下底面半径为r，母线长为l，借助相似知识，则有以下公式：；；。
设计意图：一方面，借助GGB软件动态演示的数学实验活动，类比棱柱、棱锥、棱台的体积公式，帮助学生从直观感知进行验证猜想；另一方面，结合圆台的结构特征，类比圆台侧面积公式的形成过程，利用圆锥公式进行代数公式证明，建构几何体之间的内在联系。
3.3 类比实验结果，归纳总结——应用实验
实验任务4：通过该节课的观察与实验，找出圆柱、圆锥、圆台的共性、个性与联系。
反复实验，即改变圆台上底面半径的大小，再次直观感受圆柱、圆锥、圆台之间的内在联系与不同，师生共绘一般观念下的公式思维导图。
（1）直观想象：共性是都可以看作平面图形旋转得到的几何体，下底面相同，圆柱与圆锥可以看成是圆台“极端”情况；个性是平面图形分别为矩形、梯形和三角形，上底面不同。
（2）数学抽象：共性是“以直代曲”的极限思想贯穿于表面积公式研究的始终。表面积的研究方式均是侧面展开，将空间问题转化为平面问题；圆锥侧面积与圆台侧面积研究均是“化曲为直”，利用了极限分割思想、化归的思想，即将几何体通过割补等方法转化为已知几何体的体积和表面积问题。
（3）逻辑推理：经历了观察—猜想—论证的公式研究过程，建构了公式体系（
图5），柱体、锥体、台体的表面积公式和体积公式揭示了三者之间的内在统一。
设计意图：经历合作探究圆台体积公式的推导过程，能培养学生在解决数学问题时的“观察—猜想—证明”的数学思维方法，促其找出类比棱台的结构特征，猜想圆台的体积公式，并利用已有几何体圆锥的体积公式，结合相似关系，对猜想进行论证。
师生结合几何体的结构特征以及运动变化的观点，共同建构圆柱、圆锥和圆台体积思维导图，并在此基础上从台体的体积出发，得到柱体、锥体和台体体积公式间的内在联系，通过类比、转化等数学思想方法，将原有知识结构和方法进行拓展、总结和升华。
3.4 探究实验原理，还原路径——二次实验
实验任务5：阅读人教A版必修第二册8.3课后探究与发现栏目，观察GGB软件中的祖暅原理模型（
图6）。在实验任务单中填写祖暅原理内容，并思考利用祖暅原理构造几何体的关键是什么。
【追问】能否用祖暅原理的“幂势既同，积不容异”，尝试推导柱体与锥体的体积公式？
在前面已经明晰棱柱、圆柱都是柱体，棱锥、圆锥都是锥体，并直观感知了几何体的高之后（没有直线与平面垂直的概念做基础，很难说清其数学含义，在学习“空间直线、平面的垂直”后，可给出高的确切定义），借助GGB软件动画演示祖暅原理。
同时，学生与课前实验——计算甜筒冰淇淋的体积相联系，借助长方体的体积公式给出柱体体积公式。借助GGB软件拆分棱柱，验证祖暅原理，亦可以推导出锥体体积公式（
图7）。
设计意图：为了保证数学思维逻辑的严谨性，通过实际生活中的问题引入“祖暅原理”，在已推导出柱体、锥体、台体体积公式的基础上，实施二次实验，即可还原探究路径与原理。结合GGB软件动态演示实验过程，就能从直三棱柱分割为3个棱锥出发，探究锥体几何体的结构特征，并进行论证。
在二次探究过程中，以祖暅原理为文化背景，直观形象地让学生再次经历“提出问题—分析问题—解决问题”的探究过程，深刻感受柱体、锥体表面积和体积公式的形成过程和内在的数量关系。
4 实验思考
4.1 信息助力，思维可视
借助GGB软件的数学实验教学，既可以平衡模拟实验与真实实验的关系，避免实验数据与工具过于繁杂和庞大，也可以平衡实验活动的时间与效果，借此提升数学实验课堂自主发掘和工具支持的关系，从而将思维过程以可视化方式呈现给学生。
4.2 实验探究，做中提素
高中数学实验的研究思路一般是：从问题（实际）出发—运用传统手段或信息技术做实验—发现内在规律—提出猜想—进行论证。高中数学实验研究路径如
图8所示。
上述数学实验，就是对实验融入数学公式课堂教学的一次尝试。其流程为：通过实验任务单，从课前的传统动手实验，到课上GGB软件的直观验证实验，再到自己操作GGB软件探究。它是一种独特的教学探索方式，既增强了学生的直观感知，又借助实验任务设置培养了学生的逻辑推理和数学抽象的能力。后续，根据不同的教学内容，教师可以为不同的学生层次开设数学实验课，让学生在学数学的过程中感受其魅力、提升数学素养。
4.3 公式教学，思维引领
“立德树人”，是教育的根本任务。课堂教学重心，应从教师的“教”转到学生的“学”，用教材教而不是教教材。在该节课公式教学的内容中，教材为了突出立体几何的直观感知，直接给出了表面积公式，而数学思维的暗线需要教师去发掘，此点应引起教师的关注。
该节课课前布置的“寻找生活中的圆柱、圆锥，并尝试求出它们的表面积与体积”问题，是暗线的开端。一方面，学生在自然而然间，已经应用祖暅原理解决甜筒体积问题。实验课堂最后阶段的祖暅原理学习，与学生动手实验环环相扣，形成实验探究的闭环；另一方面，教师基于运动变化的观点引导学生去挖掘公式背后的原理与特点，而不是教公式、教记忆，学生则利用已经学过的弧度制扇形面积公式，以及反复操作圆柱、圆锥、圆台展开图像，感知“以直代曲”的极限分割思想，对此教师给予肯定，从中剥离并提炼出极限数学思想，使实验课堂的即时性成为数学思维生成的催化剂。
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