运用3D打印技术制作刻度均匀的密度计

摘要

传统密度计刻度不均匀，导致在测量过程中，当液面位于两个刻度之间时，不能估读到分度值的下一位。通过改变传统密度计的形状，运用高等数学知识和3D打印技术制作刻度均匀、可估读到分度值下一位的新型密度计，并总结出新型密度计外形的函数表达通式、推导方法以及使用3D打印技术制作教具的一般程序，体现物理学科和信息技术的创新性融合。

Graphical abstract

关键词

3D打印技术 / 刻度 / 密度计 / 学科融合

密度计是八年级物理中重要的测量器材之一，也是学生进行动手制作的理想实践作业之一。如在苏科版教材中，专门设置了一节综合实践活动课——“制作简易的密度计”，旨在通过简易密度计的设计和制作，让学生应用二力平衡和浮力等知识，学习技术设计的思想和方法，并提高分析和解决实际问题的能力。

目前，无论是实验室的现有密度计还是学生的自制密度计，其测量部分都是横截面积不变的直柱体。这样的密度计竖直漂浮在待测液体中进行测量时，浸入液体深度的变化量与待测液体密度的变化量成非线性关系，导致密度计上按等密度差值所划分的刻度是不均匀的，上端小密度区域刻度标记得较为稀疏，下端大密度区域刻度标记得较为密集^［1］。这也就造成在使用密度计测量液体密度时，无法对分度值的下一位进行直接估读。

笔者受量筒和量杯的外形特征（量筒粗细一致而量杯下小上大）及刻度分布规律（量筒刻度均匀而量杯刻度不均匀）的启发，思考通过对密度计测量部分形状的改造，实现密度计刻度均匀的目的，并且通过3D打印技术将这样的新型密度计制作出来。

1 推导刻度均匀的密度计的母线方程

1.1 定性确定新型密度计的外观形状

现有密度计的刻度呈现“上端小而疏，下端大而密”的特点，同样是在液体密度变化的情况下，大密度区域（下侧）会产生较小的浸没深度，而小密度区域（上侧）则会产生较大的浸没深度。如果将密度计测量部分的下侧横截面积做得小一些，而上方横截面积按照一定的规律做得越来越大，即“下小上大”的“喇叭口”形状，则有可能实现在任意密度值附近，相同的密度变化量均对应相同的浸没深度变化量，即刻度均匀。

初步设计密度计总质量为m_{\mathrm{0}}，由上下两部分拼接而成，初步构想的手绘草图如图1所示：下侧部分是长度为d、横截面积为S_{\mathrm{0}}的圆柱体，其作用是存放配重，以保证密度计在液体中竖直漂浮，且提供足够的排液体积，其边缘不标记刻度。上侧部分是高度为H的“喇叭口”几何体，其下端底面积也为S_{\mathrm{0}}，与下侧圆柱体对接。“喇叭口”底部标记密度为a，顶部标记密度为b，自a向上测量任意高度值记作x。

1.2 确定上侧部分的母线方程

由于新型密度计的刻度均匀，所以高为x处所对应的密度值应为\rho =\frac{aH-ax+bx}{H}。“喇叭口”几何体的横截面积S应当满足与高度x相关的某种函数关系，记作S=f\left(x\right)，则自底部测量起高度为x的“喇叭口”几何体的体积可表示为\int f\left(x\right)\cdot dx。

该密度计漂浮于密度为a的液体中时，满足m_{\mathrm{0}}=a\cdot d\cdot S_{\mathrm{0}}。

该密度计漂浮于密度为\rho的液体中时，满足m_{\mathrm{0}}=\rho \cdot \left[\int f\left(x\right)\cdot dx+d\cdot S_{\mathrm{0}}\right]，即\int f\left(x\right)\cdot dx=\frac{m_{\mathrm{0}}}{\rho }-d\cdot S_{\mathrm{0}}=\frac{m_{\mathrm{0}}H}{aH-(a-b)x}-d\cdot S_{\mathrm{0}}。

根据原函数存在定理^［2］，由于f\left(x\right)在区间［0，H］内必然连续，所以\int f\left(x\right)\cdot dx在［0，H］内处处可导，f\left(x\right)=\frac{d\left[\int f\left(x\right)\cdot dx\right]}{dx}=\frac{d\left[\frac{m_{\mathrm{0}}H}{aH-(a-b)x}-d\cdot S_{\mathrm{0}}\right]}{dx}=\frac{m_{\mathrm{0}}(a-b)H}{{\left[aH-(a-b)x\right]}^{\mathrm{2}}}。

由该函数解析式可以推出两个重要关系。

（1） d与H的关系。

当x=0时，S_{\mathrm{0}}=f\left(\mathrm{0}\right)=\frac{m_{\mathrm{0}}\left(a-b\right)}{a^{\mathrm{2}}H}，又有S_{\mathrm{0}}=\frac{m_{\mathrm{0}}}{a\cdot d}，联立解得d=\frac{a}{a-b}H。

（2） “喇叭口”横截面的半径与x的关系。

由S=\mathrm{\pi }{r}^{\mathrm{2}}得：

r\left(x\right)=\sqrt[]{\frac{f\left(x\right)}{\mathrm{\pi }}}=\frac{\mathrm{1}}{aH-(a-b)x}\cdot \sqrt[]{\frac{m_{\mathrm{0}}(a-b)H}{\mathrm{\pi }}}。 ①

采用g-cm单位制，为密度计设计一些具体参数，进行成品制作及检验。设计量程为0.9~1.2\mathrm{g}/\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}，即a=\mathrm{1.2}\mathrm{g}/\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}，b=\mathrm{0.9}\mathrm{g}/\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}；设计标记刻度部分的高度H=\mathrm{15}\mathrm{c}\mathrm{m}，则下侧部分的高度d=\mathrm{60}\mathrm{c}\mathrm{m}；设计密度计质量m_{\mathrm{0}}=\mathrm{72}\mathrm{g}。将这些设定值代入①式得r\left(x\right)=\frac{\mathrm{10.155}}{\mathrm{18}-\mathrm{0.3}x}。

1.3 确定下侧部分的形状

按照前文设计，下侧部分将是一个高60 cm的圆柱体，使用这样的密度计，要保证待测液体深度超过60 cm很不方便。为此，可以效仿实验室常见的比轻计，将下侧部分设计成鼓起的泡状，保证排液体积在理想的情况下降低排液结构的高度。

当x=0时，半径r=0.564 cm，可以求得下侧部分的体积为V=\mathrm{\pi }{r}^{\mathrm{2}}\cdot d=\mathrm{59.93}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}。

保持下侧部分体积不变，将其形状改为两个大底面相对的全等圆台，圆台的高设计为6 cm，构想的手绘草图如图2所示。为了和上侧部分衔接，圆台的小底面半径依然为0.564 cm，由圆台体积公式V_{\mathrm{圆台}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{\pi }h\cdot \left(r^{\mathrm{2}}+Rr+R^{\mathrm{2}}\right)可得：

\mathrm{2}\cdot V_{\mathrm{圆台}}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\mathrm{\pi }\times \mathrm{6}\times \left(\mathrm{0}.{\mathrm{564}}^{\mathrm{2}}+\mathrm{0.564}R+R^{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{59.93}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}。

解得圆台的大底面半径R=1.847 cm。这样就可以保证下侧部分的体积不变，而高度大大降低（仅12 cm），从而提高了新型密度计的实用性。

2 制作成品

2.1 使用3D One家庭版进行建模

3D One家庭版是一款功能齐全且界面友好的3D打印设计工具，它有着在平面坐标系中直接绘制草图、“搭积木”式的部件组合、随意拖放并自动精准对接等诸多优点，目前在中小学信息课程中有着广泛的应用。

首先，在“草图”功能中绘制母线的平面图，采用“多段线”框定闭合的旋转截面。因为无法直接将新型密度计上侧部分的母线函数图像直接导入3D One界面中，所以笔者采用标注密集点、连续绘制折线的方法近似完成。此外，上侧部分的高度仅制作14.9 cm，预留0.1 cm高度的空间。如图3-a所示。

说明：上侧部分的母线方程为r\left(x\right)=\frac{\mathrm{10.155}}{\mathrm{18}-\mathrm{0.3}x}，其二阶导数r^{″}\left(x\right)=\frac{\mathrm{1.8279}}{{\left(\mathrm{18}-\mathrm{0.3}x\right)}^{\mathrm{3}}}。取x=0和x=15代入，发现r^{″}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0.0003}\approx \mathrm{0}，r^{″}\left(\mathrm{15}\right)=\mathrm{0.0007}\approx \mathrm{0}，可见上侧部分的母线斜率变化率几乎为0，即近似一条直线，故采用连续折线替代曲线作为近似方法，可以认为误差极小。

使用“旋转”功能，使图3-a中的截面以竖直线为轴旋转360°形成实心体。再使用“抽壳”功能将其制作为空心体。选中上表面为“开方面”（即上端开口），调整厚度为“-1”（即外轮廓大小不变，向内保留1 mm的厚度）。至此，得到模型如图3-b所示。

接着，用类似方法制作顶部“盖子”，即厚度为0.1 cm、半径为0.752 cm的圆柱体，对上下表面同时“抽壳”，调整厚度为“-2.52”，就可以得到一个内径为0.5 cm的环形“盖子”，如图3-c所示。之所以在“盖子”中心留一小孔，是为了将来方便向新型密度计中增加配重，保证新型密度计的总质量恰好达到设计值72 g。用鼠标拖动环状“盖子”放置到图3-b中模型的顶端（软件会自动无缝对齐）。至此，新型密度计的外观便完成建模，如图3-d所示。

将文件以STL File（stl）类型保存，再使用Flashprint 5软件打开进行切片处理，生成分层打印的结构图，如图4所示。保存为gx文件后，导入3D打印机进行打印，材料选择密度为1.05 g/cm³的光固化树脂。打印成品如图5所示。

2.2 在上侧部分侧面标记刻度

自制竖直高度测量仪。使用2块同规格的直角三角板（“0”刻度线必须标记在直角的边缘），各取刻度部分大于15 cm的直角边对齐贴合，如图6所示。由于AB⊥BC且AB⊥BC'，BC和BC'是同一平面（桌面）内的相交直线，所以AB垂直于桌面。另用硬纸板制作小面积直角三角形若干，使其短直角边紧贴AB，长直角边作为指针。

将新型密度计垂直倒置于桌面上，借助竖直高度测量仪，每隔1 cm标记一个刻度。图6中7个“小指针”对应的刻度标记完后，可用透明胶带统一粘贴，整体向上平移0.5 cm后再次贴在AB上，以此类推，标记完所有刻度。这样，新型密度计\mathrm{0.9}~\mathrm{1.2}\mathrm{g}/\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}之间被等分为30个小格，相邻刻度对应的密度值变化量为\mathrm{0.01}\mathrm{g}/\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{\mathrm{3}}。测量时，如果液面处在两刻度之间，就可以效仿刻度尺估读方法，对液体的密度直接进行千分位的估读。

最后，测量打印好的新型密度计的质量为17.3 g。通过顶部预留的小孔向新型密度计内加入54.7 g的沙粒，新型密度计总质量为72.0 g。这样，一个刻度均匀的密度计就制作完成了。经过与标准密度计测量结果的对比，新型密度计的准确度比较理想。

3 结语

测量仪器是完成各种物理实验的必要物质条件，测量仪器精度的提高，是科学家、教育者、学习者的期盼和追求。让密度计从“不可估读”转变为“可估读”，可以说是一次小小的尝试，但实现这一步需要较高精度的制作手段，仅靠手工和传统工具是难以做到的。3D打印技术为师生自制仪器提供了全新的优质选择。将3D打印技术引入物理教学，既可以在较高精度标准下完成个性化物件的制作，又能有效地拓展物理学科和信息技术的融合面，为跨学科实践活动的开展提供了高端支撑，为学生发展科学家精神注入了科技力量。

参考文献

[1] 季卫新.几个有关“密度计”问题的探讨［J］.物理教师，2015（01）：41-43.

[2] 同济大学数学系.高等数学上册［M］.第七版.北京：高等教育出版社，2014.

基金资助

南京市教育科学“十四五”规划2023年度一般课题“初中物理学科育人视阈下的科学家精神培养的实践研究”(L/2023/046)