借问题转化破解模型迁移问题

v_min=v₀a/\sqrt[]{a^{\mathrm{2}}+c^{\mathrm{2}}}。 ⑤

摘要

模型迁移是一把双刃剑，既可以帮助学生建立结构化的方法体系，又会疏远学生思维与知识的距离。在高中物理教学中，引入小船渡河、运动拦截、人穿越车流过马路等3个生活化实验案例对学生进行思维训练，从中发现——鼓励学生以模型视角去解决问题，并不能达到预期效果。为此，换角度引领学生思考解决小船渡河及其类似问题的方法，抓住问题的本质，从方法上对学生进行思维深挖、拓展，则能取得较好的教学效果，并在提升学生思维能力的同时，培养其科学素养。

Graphical abstract

关键词

模型 / 生活化实验 / 问题转化 / 迁移 / 小船渡河 / 思维

小船渡河，是高中物理中运动合成的典型模型。在日常教学中，当遇到运动拦截、人穿越车流过马路等问题时，往往会用小船渡河模型进行类比、迁移。笔者对此进行了深入研究，尝试提出若干教学新思路，以期为发展学生的科学思维与核心素养提供有益的参考。

1 小船渡河模型

在运动合成与分解中，就教学难度而言，一个物体的直线运动无疑是最简单的。当遇到两个物体速度不同且不在同一直线上时，若能将其转化为最简单模型（最简单的问题），则问题即可轻松被求解。对此，该怎样转化呢？请看例1：小船渡河^［1-2］。

【例1】如图1所示，小船要渡河到对岸，河宽为l₀，河水的速度大小为v₀（方向向右），船的速度大小为v₁。试求：小船到达对岸的最小位移（v₁＜v₀）。

分析：选择地面作为参照系，水、船两个物体在运动，水流的运动赋予了小船一个相同的速度，即船相对于地面的速度为v₀、v₁两个速度的合成。由于河岸的宽度固定，故小船相对于河岸的速度方向决定了其位移大小。至此，位移问题被转化为求解速度方向的问题。

解析：设小船相对于地面的速度方向与水平方向的夹角为θ，则小船的位移有：

x=l₀/sinθ； ①

当sinθ最大时，小船位移最小，故问题转为求解θ的最大值。小船相对于地面的速度合成如图2所示，v₁可围绕A点转动，则有：

sinθ_max=v₁/v₀； ②

当合速度方向与图3中的圆相切时，θ值最大。因此，由①②式得：小船到达对岸的最小位移为x_min=v₀l₀/v₁。

小结：本题的要点在于，在解决问题过程中，注重深化学生对问题的认识；在转化问题的同时，起到培养转化思维的效果。鼓励学生运用逆向思维巧妙破解问题，让其在思考过程中，直接精准面对原理，解决问题。没有记忆模型的包袱，有效深挖思维，能促进素养的提升。

2 非同一直线上的追赶问题

物理教学运用模型，其目的是将问题归类，帮助学生形成结构化的思维体系。当掌握模型后，大部分学生的解题能力都有了一定程度提升。其益处一线教师有目共睹，但其弊端也很明显——当与之类似的情况出现时，学生往往想到的是通过模型去对接新问题，可问题本质的不同，常常导致其进退维谷，感觉很熟悉，但无能为力。

【例2】一载有违禁品的货船A以v₀速度匀速向右行驶，在港口的警船P在接到报警立刻启航拦截时，其与货船A的位置关系如图4-a所示，此时两船的直线距离为x₀，警船P与货船A的航线之间的距离为h₀（x₀＞h₀），不计警船P的启动时间，默认其一直做匀速直线运动。为避免打扰到货船A，求警船P拦截到货船A的最小速度。

分析：本题中的两个物体都在运动，且不在同一直线上，转化为一个物体的运动，即可简化问题情境。在本题中，警船P的速度未知，故选择货船A作为参照系。将货船A的速度反向赋予警船P，再根据需要完成的相对位移，即可顺利求解问题。

解析：以货船A作为参照系，则警船P有一个水平向左的速度v₀（图4-b）。要完成的相对位移为x₀，经分析可知，当警船P的速度垂直于相对位移时，速度最小，即有：v_min=h₀v₀/x₀。

小结：本题是一个物体的速度一定，求另外一个物体的最小速度。在此，首先要确定方向。看上去与小船渡河模型相同，实则有很大的区别。本题物体的运动方向，是由一开始两者的位置决定的，而小船渡河是由速度的大小决定的。由此可见，只有思考出问题的本质，才能轻松地求解问题。因此，针对今后的高中物理教学，教师应注重学生思维的培养，拉近学生与知识、原理之间的距离，真正让提升学生核心素养的教学行为落地生根。

3 人穿越车流过马路问题

看似相同的问题，不用模型迁移的思想，而是从思维培养角度考虑，就使问题求解过程更加有趣。很多时候，看似相同模型，实则本质问题相差甚大。但只要将问题转化，看清其本质，问题就会被顺利求解。

【例3】如图5所示，路正中央有一串匀速向左行驶的车辆，速度大小都为v₀，车身的宽度为a，长度为b；相连车辆之间间距（前车尾部与后车头部）为c；路的宽度为l₀，试求：人以最小速度沿直线运动到马路对面的时间^［3］。

分析：本题与小船渡河的问题相比，看上去好像是一回事，其实内在差别很大。本题是车、人相对地面都在运动，人要避开的是小车，即小车间的距离限制了人的运动选择，这与例1的已知限制（两岸的距离）是不同的。所以说，本题的本质问题为人过车。

解析：经分析发现，要想求出运动时间，可分析假想人站在车尾O点的情况，则得出只要求出人的速度方向即可。人、车都在运动，将其转化为一个物体的运动情境，选择车作为参照系（人的速度未知），人已有一个水平向右的速度v₀；通过车流宽度a，人相对于车的位移方向选择范围如图6所示，即人相对于地面的速度：v=v₀sinθ； ③

当sinθ最小时，人的速度最小。不难发现，相对位移由这侧车尾指向相邻后车另一侧车头时，θ最小，如图7所示，则有：sinθ_min=a/\sqrt[]{a^{\mathrm{2}}+c^{\mathrm{2}}}。 ④

由③④式得：人穿越车队时的最小速度为：

人相对于地面的速度方向与水平方向夹角（图8）为：

\alpha ={\mathrm{90}}^{\mathrm{0}}-\theta ={\mathrm{90}}^{\mathrm{0}}-\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\frac{a}{\sqrt[]{a^{\mathrm{2}}+c^{\mathrm{2}}}}。 ⑥

问题回到原题情境，如图9所示，根据人相对于地面的运动方向，则有人相对于地面的位移x=l₀/sinα。 ⑦

由⑤~⑦式可得出：人以最小速度沿直线运动到马路对面的时间t=\frac{(a^{\mathrm{2}}+c^{\mathrm{2}})l_{\mathrm{0}}}{ac{v}_{\mathrm{0}}}。 ⑧

小结：通过①、⑦式对比发现，两者形式是相同的，即当问题接近尾声时才与小船渡河模型类似。比较两个问题的思维历程，可以发现——此问题与小船渡河模型是有区别的，所以学生若一开始就想着模型迁移，就会“有力使不出”。问题可以千变万化，如果车没有在路中央（或靠着马路一侧），问题又该如何求解？通过以上分析，学生自然会知道，本质问题没有改变，求解方法是不变的。不用模型，转化问题，借此培养学生的转化思维，就能让思维与问题达到零距离，促其抓住本质问题，并在顺利求解问题的同时，潜移默化地提升学生的思维与素养。

4 结语

站在转换思维、逆向思维培养的视角，去看以上3个生活化实验问题，从中发现：只要引导学生深入思考，进行思维深挖，就能从根本上助其掌握解决问题的方法。与“模型迁移”相比，学生经历了轻松悟理的体验；而对问题冠以模型，无形当中就给知识、原理穿上了外套，在一定程度上增加了思维与知识（原理）之间的距离。由上述探讨不难发现：脱掉外套，以“思维”育“思维”、以“素养”育“素养”，必将迎来学生思维、素养的春天！

参考文献

[1] 王震宇，姜玉梅.一道“小船渡河”问题的讨论［J］.物理教学探讨，2022，40（09）：55-57.

[2] 王子涵，李可，张健.最短位移渡河问题的数学探讨［J］.物理教学探讨，2020，38（04）：37-38.

[3] 郑曙辉.例谈模型迁移与科学素养［J］.物理教师，2024，45（11）：88-89.