利用数学实验测量π的近似值

摘要

圆周率π是一个无理数，借助“割圆术”的极限思想可以得到它的近似值。在学习圆与正多边形的相关知识后，利用几何画板这一数学软件设计数学实验，即利用软件的程序迭代功能，逐步增加边数，再计算外切正多边形和内接正多边形的周长（或面积）与圆直径（或半径平方）的比值，即可再现“割圆术”中的逼近过程，从而估算π的近似值。通过“割圆术”实验的设计与操作，学生可以进一步理解正多边形与圆的关系，发展几何直观核心素养。

Graphical abstract

关键词

数学实验 / 测量 / 圆周率 / 割圆术 / 近似值

圆周率π是圆的周长与直径的比值，是一个无限不循环小数3.141 592 654……，通常取它的近似值3.14进行近似计算。圆周率π的近似值计算一直牵动着古今中外诸多数学家的心，国际上把每年3月14日定为国际圆周率日。随着算法的优化以及电子计算机的出现，圆周率小数点后的位数一次次被刷新。2019年3月14日，谷歌宣布圆周率已算到小数点后31.4万亿位。

1 实验设计思路与目标

“割圆术”是以圆内接正多边形的面积来无限逼近圆面积。刘徽在形容他的“割圆术”时说：“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”^［1］针对“割圆术”实验，笔者的设计思路是——通过细割圆周来使得圆内接正多边形和外切正多边形的周长无限接近圆的周长，进而来估算π的近似值。

数学实验也是一种科学实验，是数学教学活动中积累数学基本活动经验的重要途径，也是拓展思维、突破难点、培养创新精神的重要手段，在数学教育和数学研究中具有重要的作用^［2］。通过“割圆术”实验的设计与操作，学生可以进一步理解圆内接正多边形和外切正多边形的相关知识，理解正多边形与圆的关系，从而体会数学中的极限思想，发展几何直观核心素养，在培养创新精神的同时，提升实践能力^［3］。

2 实验操作步骤

利用几何画板设计该实验，按照以下步骤在几何画板中搭建实验环境。

第一步，新建几何画板文件。在“数据”菜单中选择“新建参数”，参数n的初始值设为8；在“数据”菜单中选择“计算”调出计算面板，输入“360”；在“单位”下拉菜单中选择“度”，再依次点击“÷n”，计算出360°÷n的值；选择这个值，在“变换”菜单中选择“标记角度”。

第二步，利用圆规工具画一个⊙O，在圆周上任取一点A，连接OA，双击点O标记旋转中心，选择OA及点A；在“变换”菜单下选择“旋转”，系统即按标记的角度旋转得到OB，连接AB。

第三步，选择点A及OA，在“构造”菜单中选择“垂线”，同样过点B作出OB的垂线，两条切线的交点记为C；隐藏两条切线，连接AC、BC。

第四步，依次选择点A和参数n，按住Shift键，在“构造”菜单中选择“深度迭代”；在弹出的对话框中，设置原象A的初象为点B，完成迭代，实际上是作出了⊙O的内接正n边形和⊙O的外切正n边形（图1）。

接下来，分别度量出AB和AC的长度，并以此计算出⊙O的内接正n边形和⊙O的外切正n边形的周长；把这两个周长近似地当作圆的周长，再计算圆的周长与直径的比值，就得到两个圆周率π的近似值x_内和x_外；在计算结果上，通过右键调整“属性”中的“精确度”为“十万分之一”，那么π的值就介于这两者之间。

当n=8时，系统计算出：x_{\mathrm{内}}=\mathrm{3.061}\mathrm{47}，x_{\mathrm{外}}=\mathrm{3.313}\mathrm{71}，即可估计3.061 47＜π＜3.313 71。

3 实验现象观察与思考

当n的值还较小时，即可发现x_内和x_外的值与π还相差较大，原因是我们将圆还分得不够细，即正多边形的周长还不够“贴切”圆的周长。选择参数n，长按键盘上的“+”号以增加参数的值，系统会自动按参数值更新正多边形和相应计算值。

通过实验现象我们可以发现：随着参数n值的增加，也就是正多边形边数的增加，x_内和x_外的值与π越来越接近。

当n=100时，x_内=3.141 08，x_外=3.142 63，就已经接近π的常用近似值3.14了（图2）。

我们可用下面的公式加以表达。

n=100，\frac{\mathrm{360}°}{n}=\mathrm{3.60}°；

OA=3.57 cm；

AB=0.22 cm；

AC=0.11 cm；则有：

x_{\mathrm{内}}=\frac{n\cdot AB}{\mathrm{2}\cdot OA}=\mathrm{3.141}\mathrm{08}；

x_{\mathrm{外}}=\frac{\mathrm{2}\cdot n\cdot AC}{\mathrm{2}\cdot OA}=\mathrm{3.142}\mathrm{63}。

当n=200时，x_内=3.141 46，x_外=3.141 85，这说明什么呢？此时，你是不是对“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”有了更深的理解呢？

实际上，如果采用专业的数学软件进行模拟，就可以得到精确度更高的π的取值范围。例如，用MATLAB模拟古希腊数学家阿基米德计算圆内接96边形与圆外切96边形面积，可以得到π的值介于3.141 031 950 890 509与3.142 714 599 645 368之间。

4 结语

在该实验中，圆的外切正多边形与内接正多边形的周长分别是圆周长的“上界”和“下界”。在实验平台的搭建过程中，需要用到圆外切正多边形与内接正多边形的有关知识，故宜将本实验安排在“圆与正多边形”的内容学习之后。

该实验也可以用网络画板等其他数学软件搭建实验平台^［4-5］。同时，可以利用其他设计思路，如用计算机的随机数原理模拟“投豆实验”来计算π的近似值。其基本原理是：以两个随机数为有序数对，生成正方形内的随机点，通过随机点模拟豆子的落点，统计投豆的次数和落在正方形内接圆内的次数，计算豆子落在圆内的频率^［6］，进而计算出圆周率π的近似值。

参考文献

[1] 鞠实儿，张一杰.刘徽和祖冲之曾计算圆周率的近似值吗？［J］.中国科技史杂志，2019，40（04）：389-401.

[2] 江玉军.几何画板5.0从入门到精通：兼谈几何画板与中学数学新课程的深层次整合［M］.广州：中山大学出版社，2011.

[3] 张劲松.“割圆术”的内涵及其在数学教学中的价值［J］.数学通报，2010，49（10）：19-22.

[4] 陆兴华，李兴贵，尧刚，等.互联网+动态数学：网络画板推进数学教学变革［M］.长沙：湖南教育出版社，2021.

[5] 魏鹏飞.运用Python探究数学问题培养高中生计算思维：以“圆周率近似值的计算”为例［J］.实验教学与仪器，2024，41（05）：101-103.

[6] 郑宗剑.MATLAB在高中数学中的应用：以圆周率近似计算为例［J］.科技资讯，2016，14（02）：122-123.