恒量法在电阻测量中的应用研究

摘要

电源电压、串联电路电流和并联支路端电压是电路的基本恒量，利用这些恒量可以实现对单表头电阻的测量。探讨恒量法测电阻的原理，据此以实验验证该方法的可行性。实验结果表明，除电源电压恒量外，用恒量法测量电阻的误差值不超过标称值的3.57%。将该方法引入课堂教学，有助于学生深入理解欧姆定律的物理内涵，促进知识迁移，增强其综合应用能力和创新思维。

Graphical abstract

关键词

欧姆定律 / 恒量法 / 串联电路 / 并联电路 / 电阻

在稳恒电流电路中，串联电路电流、并联支路电压是相等的；在理想情况下，电源电压也是保持不变的，可以把它们看成电路恒量。利用这些恒量可以实现对单表头电阻的测量，其基本思路是：如果待测电阻的电压或电流无法直接测量，可以将它与一个已知阻值的电阻组合在一个电路中，然后测量该已知电阻的电压或电流，并利用电路中某个恒定条件（如总电压不变或某段电流相等）建立关系式，再结合欧姆定律计算出待测电阻的阻值。该方法可分为3类：利用串联电路电流相等的测量方法，称为电流恒量法；利用并联支路电压相等的测量方法，称为电压恒量法；利用电源电压不变的测量方法，称为电源电压恒量法。

1 电流恒量法在电阻测量中的应用

1.1 测量原理

由伏安法测电阻可知：在缺少电流表的情况下，实验设计的关键在于如何利用现有器材间接地确定通过待测电阻的电流。在电路中串联一个已知阻值的电阻R₀，用一个电压表分别测量待测电阻R _x 和R₀的端电压，再利用串联电路电流为恒量、电压分配与电阻成正比的规律，就可以求得待测电阻，其原理电路如图1-a所示。

设电压表测量R₀和R _x 的端电压分别为U₀和U_x，则待测电阻值为：R_x=\frac{U_x}{U_{\mathrm{0}}}{R}_{\mathrm{0}}。 ①

基于图1-a的原理进行两次测量需要拆装电压表，比较麻烦，对此可以引导学生利用开关设计出免拆表测量电路，以培养学生的思维能力和探究精神。一种免拆表电流恒量法测量原理如图1-b所示，闭合S、S₁连接1、S₂连接3测量U₀；闭合S、S₁连接2、S₂再连接4测量U_x。其待测电阻值仍用公式1计算。

不同电路采用相同激励，若它们有相同响应，则它们具有相同阻抗，反之亦然^［1］。因此，电流恒量法的另外一种免拆表测量演进原理电路如图1-c所示。将滑动变阻器调至某位置，单刀双掷开关S₁连接2，测量待测电阻端电压U_x，然后S₁连接1，调节电阻箱R₀使得电压表示数仍为U_x，电阻箱示数和待测电阻相同，显然两支路电流也相同。由于电阻箱步进为0.1 Ω，非连续变化，实际测量两电压可能会有微小差异，所以测量时R₀的电压仍然用U₀表示。

1.2 实验验证

实验仪器用温州市华中仪表有限公司的J0408电压表、04004学生电源、旋转式电阻箱，待测电阻取标称值为10 Ω，已知电阻取标称值为5 Ω，按图1-b所示原理测量5次取平均值，结果如表1所示。按图1-c所示原理测量5次取平均值，结果如表2所示。

一般测量要求的误差是不超过5%，而从表1和表2的结果可知——电流恒量法测量误差不超过2.63%，能够满足要求。对比表1和表2实测结果还可知，用电阻箱实现电流恒量法的测量精度更高。

2 电压恒量法在电阻测量中的应用

2.1 测量原理

当测电阻缺电压表时，待测电阻电压的获取是关键。把一个已知阻值电阻R₀与待测电阻R _x 并联，用电流表分别测出两条支路的电流，利用并联支路电压恒量、电流分配与电阻成反比的规律，可以计算出待测电阻，这种方法称为电压恒量法。该方法的原理电路如图2-a所示。

设电流表测量两条支路的电流分别为I₀和I_x，则待测电阻为：R_x=\frac{I_{\mathrm{0}}}{I_x}{R}_{\mathrm{0}}。 ②

同理，图2-b和图2-c为两例免拆表的实验原理电路。

2.2 实验验证

实验仪器采用温州市华中仪表有限公司的J0407电流表、04004学生电源、旋转式电阻箱，待测电阻标称值为10 Ω，已知电阻标称值为15 Ω。按图2-b原理测量5次取平均值，结果如表3所示；按图2-c原理测量5次取平均值，结果如表4所示。

由表3和表4可以看出，用电阻箱实现的电压恒量法测量精度高。

3 电源电压恒量法在电阻测量中的应用

3.1 测量原理

通常，实验采用的直流电源电压保持不变，即可利用该特性设计恒压法电阻测量电路。图3-a为缺电流表时的测量原理电路，把已知电阻和待测电阻串联，设闭合开关S和S₁测量的电压为电源电压U₁，闭合开关S并断开S₁测量的是已知电阻端电压U₂，用电源电压不变和电压分配关系可以求得待测电阻为：

R_x=\frac{U_{\mathrm{1}}-U_{\mathrm{2}}}{U_{\mathrm{2}}}{R}_{\mathrm{0}}。 ③

图3-b是缺电压表时的测量原理电路，设闭合开关S和S₁的测量电流为I₁，闭合开关S并断开S₁的测量电流为I₂，用电源电压恒等式可以求得待测电阻为：

R_x=\frac{I_{\mathrm{2}}}{I_{\mathrm{1}}-I_{\mathrm{2}}}{R}_{\mathrm{0}}。 ④

当缺电压表或缺电流表时，均可采用伏安法测电阻的替代方法（间接测量法）测量电阻，一些演化测量电路如图4所示，其中滑动变阻器最大阻值为R₀，使用时将滑动变阻器滑动到最小和最大位置进行两次测量，就很容易分析各电路待测电阻表达式，在此不再赘述。

b 缺电流表电路2

a 缺电流表电路1

3.2 实验验证

仍选用上述实验器材，待测电阻标称值为10 Ω，已知电阻标称值为5 Ω。按图3-a测量时，测量5次取平均值，实测结果如表5所示；按图3-b测量时，测量5次取平均值，实测结果如表6所示。

由表5和表6可知，电源电压恒量法测量误差较大，不能满足测量精度要求。这是因为实际电源是有源二端口网络，可由戴维南等效知其内阻。

4 教学建议

将稳恒电流电路中的电源电压恒定、串联电流相等、并联支路电压相等等“恒量”作为约束条件，把待测电阻与已知电阻进行合理组合，并通过测量已知电阻的电压或电流建立关系式，即使在“缺表”条件下也能实现对单表头电阻的间接测量。这一“恒量法”把伏安法的直接测量转化为基于电路恒定条件的等效建模，为缺少仪表的实验设计提供了清晰的思路。

从实验数据看，电流恒量法与电压恒量法在本文实验条件下均表现出良好的可行性：一般测量要求误差不超过5%，实际测得的误差上限分别为2.60%与3.57%，能够满足教学实验的精度需求；同时，采用电阻箱实现的方案在两类方法中都呈现出更高的测量精度。需要强调的是，电源电压恒量法对实际电源“非理想恒压”更为敏感：当电路状态发生变化时，受电源内阻等因素影响，误差会明显增大，实验结论也表明其难以满足预期测量精度要求。因此，在教学或实验推广中应优先采用电流恒量法与电压恒量法，谨慎使用以电源电压恒定为核心假设的方案。

“缺表”问题本身难度适中，但其教学关键在于教师需通过学生课堂学习和作业情况分析学生已具备的知识水平，合理设计能力提升的层次，力求让学生在短期内通过努力达到相应的水平层次，否则教学的效果就会发生偏离^［2］。恒量法是初中物理中测量电阻的一种有效方法。通过设计“缺表”问题情境，可以帮助学生深度理解欧姆定律及串并联规律的物理本质，并掌握多开关串并联电路的分析与设计。

从更高层面的教学目标来看，该方法引导学生经历完整的科学探究过程，有助于培养物理观念，完成物理概念和规律等在头脑中的提炼与升华；发展科学思维，完成物理模型的抽象概括；培育科学本质观、科学态度与社会责任等素养^［3］，促进学生物理学科核心素养的全面发展。

参考文献

[1] 李宗谦，余京兆，高葆新.微波工程基础［M］.北京：清华大学出版社，2004.

[2] 周志扬.“深度学习”观点下的物理情境教育：以“导体的电阻”教学片段为例［J］.物理教师，2020，41（10）：17-20，24.

[3] 中华人民共和国教育部. 义务教育物理课程标准（2022年版） ［S］.北京：北京师范大学出版社，2022.

基金资助

重庆市教育科学“十三五”规划课题“基于高中物理新教材的课程资源体系建设及应用研究”(2021-23-654)

重庆高新区教育科学规划课题“大语言模型在中学物理实验教学资源开发的应用研究”(2023KT11)