高中圆周运动的可视化数字实验改进与深化

摘要

无线向心力试验器是研究向心力规律的物理教学和科学实验的仪器，可针对水平、不同倾斜角度以及竖直圆周运动展开动态、定量且科学的观察、测量与分析。对实际刚体在转动时角速度逐渐减小，圆周运动转变为阻尼振动这一过程中的图像变化予以剖析，帮助学生形成力与运动的物理观念；深化学生在不同情境下对圆周运动向心力内在规律的质疑、推理等科学思维；强化了学生建模能力、综合分析与应用数学解决物理问题的能力。

Graphical abstract

关键词

可视化教学 / 数字化实验 / 圆周运动

可视化数字实验（DIS）是由传感器、数据采集器、实验软件包、计算机构成的新型实验系统，具有直观性、连续性等特点，该系统有力地支持了信息技术与物理教学的全面整合^［1］。数字化实验系统能赋能物理教学，助力学生对常见圆周运动中物体所受变化的外力展开分析，深化学生对运动与相互作用的理解，强化构建物理模型的科学思维。

圆周运动是轨迹为圆周或一段圆弧的机械运动，属于曲线运动中的一种，并不是常见的匀变速曲线运动。从认知过程来看，圆周运动既是运动学和动力学在曲线运动中的应用，也是学生对运动学与动力学的深入认识与拓展延伸^［2］。向心力是当物体沿着圆周或者曲线轨道运动时，指向圆心（曲率中心）的合力，一般由常见的重力、弹力、摩擦力等合成，是一种效果力，也是高中物理一线教学中的难点^［3］。各个版本的高中物理教材在“向心力”这一节基本沿着从定性到定量的逻辑展开，然而笔者认为在定量探究过程中传统的向心力演示仪可能存在以下问题：①实验设计堪称巧妙，但实验原理较为复杂，向心力的大小是利用标尺下降的刻度来表示，通过刻度的格数之比来反映两小球向心力大小的比值，而小球的角速度之比则是通过皮带传动的两轮盘的半径之比来间接说明，其中转化、对比的思维方法对学生提出了很高的要求，学生理解困难，教学探究往往会转变为一种灌输；②实际使用时，装置中标尺外的套筒容易卡顿，皮带也容易损坏老化；③小球旁的挡板被挤压程度不同，无法控制小球转动半径相同；④实验数据过少，结论不具有普遍性^［4］。

1 实验教学设计流程

整个教学过程分为水平圆周运动、不同倾斜角度下的圆周运动与竖直圆周运动3部分，如图1所示。学生在完成水平圆周运动探究向心力公式的过程中会强化向心力、角速度等基本概念，培养力与运动的物理观念。学生可从已有水平匀速圆周运动规律出发，分析生活中普遍存在的一定倾斜角度下的非匀速圆周运动，深化了质疑、推理等科学思维。学生可在真实情境下探究竖直圆周运动向心力的变化规律，从实际现象中发现问题并表述“F-t图像呈现出非余弦关系”，可在和教师探究后应用数学知识解决物理问题。

2 基于DISLab的圆周运动实验

2.1 水平圆周运动

人教版高中物理教科书必修第二册中第六章第二节向心力中的做一做栏目，创设了手拉小球感受向心力的物理情境，建构水平圆周运动物理模型，利用传统向心力演示器进行实验。笔者在教学实践中发现传统向心力演示器的数据较少、数值不精确、学生理解较为困难，后改用无线向心力试验器，由底座、支架、旋臂座、旋臂、砝码、挡光片、无线接收器构成。与向心力实验器不同，无线向心力试验器的力传感器实现了旋臂内置，同时内置的还有光电门传感器及无线发射装置，光电门传感器测量挡光杆经过光电门所需要的时间为∆t，实验装置中挡光杆的宽度∆s=\mathrm{0.01}\mathrm{m}，挡光杆到圆心距离为d=\mathrm{0.15}\mathrm{m}，利用v=\frac{∆s}{∆t}可测量挡光杆的瞬时线速度，利用\omega =\frac{v}{d}可测量挡光杆转动的瞬时角速度。

调节底座旋钮与旋转臂旋钮，使旋臂装置多次转动结束后能够停留在随机位置，确保旋臂装置处于水平面上。装置中旋转臂上的单个质量为m的砝码可以通过旋紧螺丝固定在水平杆上。转动装置，砝码轨迹的运动俯视图如图2所示，砝码绕中心轴线做速度逐渐减慢的水平圆周运动。可将做圆周运动的砝码看作一个质点，在竖直方向的受力为重力与支持力，在水平方向的受力为金属杆指向圆心的径向拉力，此时径向拉力即为砝码做圆周运动的向心力F，整个装置可以简化为高中物理中常见的轻杆模型，相应的物理量之间的关系如公式（1）所示，

F=m\frac{v^{\mathrm{2}}}{r}=m{\omega }^{\mathrm{2}}r。（1）

笔者选择配套实验器材中的砝码质量m分别为15 g、20 g和30 g，控制各砝码先后在距离圆心0.08 m与0.10 m处进行圆周运动，记录如表1所示的角速度为\mathrm{10}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}/\mathrm{s}时的实验数据。

利用DISLab软件可对整个实验过程中测得的6组实验数据进行F-\omega的二次拟合，F-{\omega }^{\mathrm{2}}、F-m与F-r的一次拟合，可得到相应的图谱，让学生从视觉上体会公式（1）中各物理量之间的关系。结果证明：向心力F与角速度\omega满足二次函数关系，F与m、r均满足正比例关系。

无线向心力试验器可用于水平圆周运动的教学演示，通过上述详尽的分析能够明晰物体所受的合力F为此时进行的水平圆周运动提供了向心力，且此时的合力满足特定条件。在实际教学场景中，要积极引导学生亲身参与到水平圆周运动向心力大小的探索中，结合向心力演示仪，学生能够真切地体验从定性到定量的科学探究流程。在获得感性认知的基础上，不仅显著强化了向心力这一基本概念，还可通过仔细观察数据的变化情况，最终精准得出向心力公式，切实感受到科学探究带来的乐趣和成就感。这样的教学过程对学生力与运动等物理观念的形成大有裨益，能让他们更深入地掌握物理知识，有效提升其科学探究能力。

2.2 不同倾斜角度下的圆周运动

学生在课堂中提出生活中较为常见的是在一定倾斜角度下的圆周运动，如在本章第四节“生活中圆周运动”问题栏目中提出，在铁路弯道处内，外轨道的高度略有不同。学生质疑：当变换实验情境由水平面至倾斜平面时，数据图像是否也满足上述规律？

在研究不同倾斜角度\alpha下的圆周运动时，首先对实验仪器进行调零，物体所受重力、弹力与拉力的合力为零，此时拉力传感器的值对应物体所受的向心力。选择的砝码质量m为\mathrm{20}\mathrm{g}，控制各砝码先后在距离圆心\mathrm{0.10}\mathrm{m}处进行圆周运动，记录如表2所示的不同角速度时的实验数据，其中F_{\mathrm{1}}、F_{\mathrm{2}}、F_{\mathrm{3}}分别对应{\omega }_{\mathrm{1}}=\mathrm{12}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}/\mathrm{s}、{\omega }_{\mathrm{2}}=\mathrm{14}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}/\mathrm{s}、{\omega }_{\mathrm{3}}=\mathrm{16}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}/\mathrm{s}时拉力传感器的值。

利用DISLab实验软件对不同倾角下圆周运动实验数据进行F-\omega的二次拟合，F-{\omega }^{\mathrm{2}}的一次拟合，可发现此时砝码所受的合力F与角速度\omega满足二次函数关系，同时可观察到拟合出的6组图像高度吻合，更换不同质量的砝码，图像基本一致。在实验操作前对系统进行调零后，对砝码在不同倾斜角度\alpha下的圆周运动进行受力分析，结果如图3所示，砝码所受力为支持力N、重力G和拉力F，此时力传感器显示的示数即为向心力大小，如公式（2）

所示，F_n=m{\omega }^{\mathrm{2}}r=F-G\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta。（2）

学生在先质疑、后分析中总结得出，当相同质量的砝码在不同倾角的情况下，此时向心力图像并不受到倾斜角度\alpha的影响。因为在实验前已经调零，力传感器的示数显示的大小为F-G\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\alpha \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta，图像中显示的不是此时拉力的大小，是向心力的大小，而向心力大小只和转速、转动半径有关。

无线向心力试验器可用来验证非匀速非水平圆周运动向心力的规律，此部分内容促使学生于更为普遍、更为宽泛的实际情境当中去认知圆周运动，将针对匀速圆周运动的向心力理解拓展至变速圆周运动的范畴。这般举措，有益于培育学生在各类不同情境之下逐步洞悉圆周运动向心力内在规律，培养先质疑后推理的科学思维。当学生深入探究不同倾斜角度下向心力的变化规律时，会逐步领悟到圆周运动的本质特性并非单纯局限于匀速这一状态，而是在诸般条件发生变化的情况下，皆遵循着特定的内在规律，进而深化了学生质疑、推理等科学思维。

2.3 竖直圆周运动

在高考要求范围内只要求学生掌握对最高点和最低点进行定量分析，但在长期的针对训练中，没有系统推导这类模型中力的变化规律，师生难免形成思维定式^［5］。学生改变实验装置倾角，使实验装置处于竖直平面，将整个装置简化为轻杆模型，探究竖直平面圆周中力的变化规律。利用悬挂法，调整悬臂处于竖直状态，在该状态对传感器装置“调零”，放置30 g的砝码，随后拨动旋臂使之做圆周运动，利用装置记录竖直方向上砝码所受拉力F与时间t的关系，由此时的F-t曲线图可知，拉力F是呈现出周期性变化的，随着时间的延长，旋臂的转速减小，F的周期增大。

拉力F在物体静止时等于物体的重力，测出的大小为0.3 N。砝码在竖直方向做圆周运动时，当旋臂与水平面刚好垂直，物体处于运动轨迹中最高点与最低点时，此时重力与拉力的合力即为向心力，这两个时刻是高中物理习题中常见的受力情况分析，即有：

F_{\mathrm{拉}}+mg=F_n=m\frac{v^{\mathrm{2}}}{r}；（3）

F_{\mathrm{拉}}-mg=F_n=m\frac{v^{\mathrm{2}}}{r}。（4）

物体由最高点运动到圆周其他任意位置时，物体受力如图4所示，此时物体的向心力大小为：

F_n=m{\omega }^{\mathrm{2}}r=F_{\mathrm{拉}}-mg\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta；（5）

此时拉力大小随时间的关系为：

F_{\mathrm{拉}}=mg\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\theta +m{\omega }^{\mathrm{2}}r；（6）

公式（6）中\theta =\omega t，可得到：

F_{\mathrm{拉}}=mg\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\omega t+m{\omega }^{\mathrm{2}}r。（7）

学生经过讨论提出上述圆周运动是系统在没有阻力作用下转动的，振幅应是不随时间而变化的，即这种运动一旦开始F-t图像应是呈现出余弦关系，但此时发现实际的F-t图像并不符合，因为此时物体在旋转过程中系统内部存在摩擦阻力，系统外部存在空气阻力。正是如此，系统的转动周期减小，砝码到达最高点的线速度在不断减小，可以发现当测试时间为11.2 s时，此时图像发生突变如图5所示，物体由竖直圆周运动变为竖直方向上的阻尼振动，现在对突变时刻后的图像进行分析。

在力学中，流体对运动物体的阻力与物体的运动速度有关，阻力方向与速度方向相反，阻力与速度大小成反比，即F_f=-\gamma v=-\gamma \frac{dx}{dt}；（8）

物体的运动方程为m\frac{d^{\mathrm{2}}x}{d{t}^{\mathrm{2}}}=-kx-\gamma \frac{dx}{dt}；（9）

代入\frac{k}{m}={\omega }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}，\frac{\gamma }{m}=\mathrm{2}\delta后改写运动方程为：

\frac{d^{\mathrm{2}}x}{d{t}^{\mathrm{2}}}+\mathrm{2}\delta \frac{dx}{dt}+{\omega }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}x=\mathrm{0}；（10）

该微分方程解为x=A_{\mathrm{0}}{e}^{-\delta t}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\omega \text{'}t+{\Phi }_{\mathrm{0}}\text{'})（11）

其中\omega \text{'}=\sqrt[]{{\omega }_{\mathrm{0}}^{\mathrm{2}}-{\delta }^{\mathrm{2}}}；（12）

公式11中的\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}(\omega \text{'}t+{\Phi }_{\mathrm{0}}\text{'})反映了在弹性力和阻力作用下的周期运动，而A_{\mathrm{0}}{e}^{-\delta t}反映了阻尼对最大振幅的影响，振幅随时间不断减小，\omega \text{'}为常数，此时系统运动形式为阻尼振动，符合实验现象。

无线向心力试验器呈现了真实竖直圆周运动，竖直圆周运动在实际教学过程中往往以不计摩擦阻力的理想模型出现，但物体在旋转过程中系统内部存在摩擦阻力，系统外部存在空气阻力，其振幅、周期都会随时间而减小。教师可组织学生进行利用所学知识解释这一非理想模型实验现象的科学探究，先将此复杂的实际问题转化为物理模型，再从摩擦阻力等角度提出需要探究的物理问题即“F-t图像未呈现出余弦关系”。学生受限于知识储备等客观因素的影响，可和教师一起对该问题进行综合分析并利用合适的数学方法解决问题，形成合理结论后作出科学解释，同时能够反思探究过程与结果，做好实验现象的归纳与总结。

3 结语

无线向心力试验器比传统实验仪器适用于更多的探究实验，学生完成上述探究实验后，明晰了物体在水平圆周运动中所受合力为向心力，且合力满足特定条件。在实际教学场景中，学生积极参与水平圆周运动向心力大小的探索，学生体验了从定性到定量的探究流程，强化了向心力的基本概念，完成了向心力公式的探究，形成了力与运动的物理观念。

学生质疑在不同倾斜角度下圆周运动的向心力，在更普遍、更宽泛的实际情境中认知圆周运动，将匀速圆周运动的向心力推广至变速圆周运动，将水平圆周运动推广至非水平圆周运动范畴，提升了在不同情境下圆周运动向心力内在规律的质疑、推理等科学思维能力。

学生将整个装置简化为轻杆模型，探究了竖直平面内圆周运动向心力的变化规律，提出F-t图像未呈现出余弦关系这一生成性问题，经过探究发现阻尼对最大振幅的影响，振幅随时间不断减小。学生在解决问题过程中强化了自身建模能力、综合分析与应用数学知识解决物理问题的能力。

参考文献

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[4] 孔祥昱，夏维宏，吴广国，等.在发现问题与解决问题的过程中发展科学探究能力：以“探究向心力大小的表达式”为例［J］.中学物理教学参考，2023，52（28）：8-12.

[5] 赵和平.剖析“竖直面内圆周运动”的两类错误命题［J］.物理教师，2018，39（06）：54-56.

基金资助

2023年度江苏省教育科学规划课题“学生自制科学实验影视的课程资源价值与开发策略研究”(B/2023/03/132)

常州市教科院附属高级中学校级课题“指向核心素养培育的高中物理实验创新与深化研究”