弹簧振子在重力加速度测量中的应用

A. \mathrm{2}n； B. \frac{n}{\mathrm{2}}； C. \frac{\mathrm{2}}{n}； D. \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}n}\mathrm{。}

摘要

以2024年湖北高考物理试卷中一道实验题为切入点，系统探讨了利用弹簧振子简谐振动周期测量重力加速度的实验原理与实现方法，详细分析了该试题的实验设计特色与数据处理方式；针对题目中误差来源的争议，分别从系统误差与操作误差的角度进行了深入辨析，比较了两种不同观点的理论依据；最后，基于原题设计了一道开放性的实验探究题，引导学生综合运用物理知识自主设计实验方案测量重力加速度，促进学生对振动规律与重力加速度测量本质的理解，展现了弹簧振子在中学物理实验教学中的应用价值。

Graphical abstract

关键词

高中物理 / 高考实验题 / 重力加速度 / 弹簧振子 / 简谐振动 / 误差

根据高考评价体系对“关键能力”的要求（主要包括理解能力、推理能力、实验探究能力、应用能力）^［1］，可以通过创新实验题考核学生对实验原理的理解与迁移能力。例如，将弹簧振子的周期公式在新的情境下转化为与重力加速度有关的可操作实验。2024年高考物理湖北卷的一道实验题就充分体现了对关键能力考核的要求，设计了一个利用弹簧振子的振动周期公式测量重力加速度的实验。

1 原题呈现

（2024年高考湖北物理卷第12题）某同学设计了一个测量重力加速度大小的实验方案，所用器材有：2 g砝码若干、托盘1个、轻质弹簧1根、米尺1把、光电门1个、数字计时器1台。具体步骤如下。

①将弹簧竖直悬挂在固定支架上，弹簧下面挂上装有遮光片的托盘，在托盘内放入一个砝码，如图1-a所示。

②用米尺测量平衡时弹簧的长度l，并安装光电门。

③将弹簧在弹性限度内拉伸一定长度后释放，使其在竖直方向振动。

④用数字计时器记录30次全振动所用时间t。

⑤逐次增加托盘内砝码的数量，重复②③④的操作。

该同学将振动系统理想化为弹簧振子。已知弹簧振子的振动周期T=\mathrm{2}\mathrm{\pi }\sqrt[]{\frac{M}{k}}，其中k为弹簧的劲度系数，M为振子的质量。

（1） 由步骤④可知振动周期T=________。

（2） 设弹簧的原长为l_{\mathrm{0}}，则l与g、l_{\mathrm{0}}、T的关系式为l=________。

（3） 根据实验数据作出的l-T^{\mathrm{2}}图线如图1-b所示，可得g=________\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}（保留三位有效数字，{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}取9.87）。

（4） 本实验的误差来源包括________（双选，填标号）。

A.空气阻力；

B.弹簧质量不为零；

C.光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置。

2 原题分析

2.1 原题解答

本题以弹簧振子的简谐振动为素材，创设了科学探究问题情境，主要考查了弹簧振子、振动周期、胡克定律、平衡条件以及利用图像法处理数据等知识点，同时还涉及对实验误差来源的分析，重点考查学生的实验原理理解能力、创新实验探究能力和反思能力。具体的分析解答如下。

（1） 因为记录了30次全振动所用时间t，所以振动周期T=\frac{t}{\mathrm{30}}。

（2） 从实验原理上看，这里进行了大胆的创新，提出了一种测量重力加速度的新方法。如果已知弹簧的弹性系数k和振子的质量M，就可以简单地测量弹簧原长l_{\mathrm{0}}和平衡时弹簧总长度l，根据平衡条件Mg=k\left(l-l_{\mathrm{0}}\right)，得到重力加速度g=\frac{k}{M}\left(l-l_{\mathrm{0}}\right)。

然而，这里巧妙地规避了对弹簧的劲度系数k和振子质量M的需求，而是通过弹簧振子的振动周期

T=\mathrm{2}\mathrm{\pi }\sqrt[]{\frac{M}{k}}\Rightarrow \frac{k}{M}=\frac{\mathrm{4}{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}}{T^{\mathrm{2}}}，

获得\frac{k}{M}与振动周期T的关联，可得

g=\frac{\mathrm{4}{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}}{T^{\mathrm{2}}}\left(l-l_{\mathrm{0}}\right)\Rightarrow l=l_{\mathrm{0}}+\frac{g{T}^{\mathrm{2}}}{\mathrm{4}{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}}。

（3） 第一步：根据l=l_{\mathrm{0}}+\frac{T^{\mathrm{2}}g}{\mathrm{4}{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}}可得l-T^{\mathrm{2}}图像斜率K_{\mathrm{斜率}}=\frac{g}{\mathrm{4}{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}}；第二步：任取两点\left({T_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}},l_{\mathrm{1}}\right)和\left({T_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}},l_{\mathrm{2}}\right)可以得到

K_{\mathrm{斜率}}=\frac{l_{\mathrm{2}}-l_{\mathrm{1}}}{{T_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}-{T_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}}，

代入表达式g=\mathrm{4}{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}\frac{l_{\mathrm{2}}-l_{\mathrm{1}}}{{T_{\mathrm{2}}}^{\mathrm{2}}-{T_{\mathrm{1}}}^{\mathrm{2}}}，

可以得到g\approx \mathrm{9.65}\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^{\mathrm{2}}。

（4） 空气阻力将会阻碍弹簧振子的振动，确实会影响弹簧振子的振动周期，造成实验误差，A正确；弹簧自身的质量不为零，则整个振动系统不能视为理想振子，需要考虑弹簧质量对振动周期的影响，B正确；根据实验步骤可知，如果光电门的位置只是稍微偏离托盘的平衡位置，说明偏移很少，能够确保托盘（振子）仍然会经过光电门的位置，而从哪个位置开始计时，并不影响对振子完成多次全振动所用时间的测量，即不影响周期的测量，因此不是实验误差的来源，C错误。

该题的实验目的是用动力学方法测量重力加速度，实验原理究其本质就是利用胡克定律和二力平衡，即

Mg=f_x=k\left(l-l_{\mathrm{0}}\right)，

同时结合了简谐振动的知识。注意到弹簧振子的振动周期

T=\mathrm{2}\mathrm{\pi }\sqrt[]{\frac{M}{k}}，

里面并没有任何涉及重力加速度的物理量；似乎通过测量振动周期来测量重力加速度是不可能的。进一步分析题中给出的器材是2 g砝码若干，很自然就能够想到：只要知道每增加2 g砝码弹簧伸长量的变化就能得到重力加速度g。

但是事情没有那么简单，因为弹簧的弹性系数k也是未知的。考虑到重力加速度

g=\frac{k}{M}\left(l-l_{\mathrm{0}}\right)，

因此只要知道\frac{k}{M}这一比值，就能从弹簧伸长量得到重力加速度。本题的创新点也恰恰在这里，弹簧振子的振动周期公式恰好能够给出\frac{k}{M}这一比值，这样就巧妙地把弹簧振子的振动周期和重力加速度联系起来，学生需要尽快适应并理解这一创新的实验情境，将自己的原有认知和题设知识进行关联。

2.2 争议分析

关于第（4）问，从3个选项中找出实验的误差来源。对于A选项都能轻易判断，但是对于B和C选项则出现了分歧^［2-3］，两方都有自己的理由。选择B的一方认为弹簧质量不为零会导致振动系统不能被理想化为弹簧振子；选择C的一方认为弹簧质量不为零只会影响对振子平衡位置的判断，也就是平衡时弹簧长度会发生变化，并不影响其他实验操作，因此仍然可以使用图像中的数据处理方法，斜率会保持不变，所以对实验结果没有影响。当光电门的位置稍微偏离托盘的平衡位置时，对判断完整周期有影响，会影响振子周期的测量，是实验误差的来源之一^［3］。

选择C可能是基于以下两点原因：一是部分教师探究弹簧质量（不可忽略）对振子系统振动周期公式的影响，且知道可以设其近似为

T=\mathrm{2}\mathrm{\pi }\sqrt[]{\frac{M+m/\mathrm{3}}{k}}，

M为振子质量，m为弹簧质量，即把弹簧质量的\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}加到振子质量上，就可以把振动系统理想化地看作弹簧振子。

在这种情况下，B选项确实不是误差来源，根据排除法选择C选项。二是选项C考查从平衡位置开始计时或者不从平衡位置开始计时的区别。原型来自高中物理选择性必修一里的必做实验“用单摆测量重力加速度的大小”，学生在单摆实验的操作中，都是被要求从平衡位置开始计时，以减少误差，根据知识迁移认为弹簧振子也应该从平衡位置开始计时，从而选择C选项。

因此，B和C选项之争就聚焦为以下两个问题：一是考虑弹簧质量的时候，是否可以将振动体系理想化为做简谐振动的弹簧振子？二是不从平衡位置开始计时，对振动周期的测量是否有影响？

（1） 弹簧质量对振动周期的影响。

当考虑弹簧自身的质量时，振动周期近似公式T=\mathrm{2}\mathrm{\pi }\sqrt[]{\frac{M+m/\mathrm{3}}{k}}的得出是基于这样的假设：弹簧各点的振动相位相同，且振幅与质点平衡位置成正比^［4］。但是，在研究弹簧自身质量不可忽略的振动问题时必须考虑弹簧这一弹性介质中的波的传播，列出波动方程并代入边界条件可以得到振子的圆频率\omega满足方程

\omega \sqrt[]{\frac{m}{k}}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\left(\omega \sqrt[]{\frac{m}{k}}\right)=\frac{m}{M}，

这是一个超越方程，说明在考虑弹簧自身质量时，系统的振动模式是由无限多个简谐振动叠加而成的^［5］。

可以把超越方程整理为

\omega \sqrt[]{\frac{M}{k}\cdot \frac{m}{M}}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\left(\omega \sqrt[]{\frac{M}{k}\cdot \frac{m}{M}}\right)=\frac{m}{M}，

容易看出当不计弹簧质量时，即m\to \mathrm{0}时，

\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\left(\omega \sqrt[]{\frac{M}{k}\cdot \frac{m}{M}}\right)\to \left(\omega \sqrt[]{\frac{M}{k}\cdot \frac{m}{M}}\right)，

该情况下圆频率

{\omega }_{\mathrm{0}}=\sqrt[]{\frac{k}{M}}，则T=\frac{\mathrm{2}\mathrm{\pi }}{{\omega }_{\mathrm{0}}}=\mathrm{2}\mathrm{\pi }\sqrt[]{\frac{M}{k}}，

与题目给出的关系式是一致的。当考虑弹簧质量后，圆频率满足超越方程，原来的周期公式T=\mathrm{2}\mathrm{\pi }\sqrt[]{\frac{M}{k}}就不再适用。

因此，原题中如果弹簧质量不可忽略，仍然用原来的周期公式确定比值\frac{k}{M}就会造成系统误差，即使为部分教师所知的T=\mathrm{2}\mathrm{\pi }\sqrt[]{\frac{M+m/\mathrm{3}}{k}}也是一个近似公式^［4］，所以B选项是正确的。但是这一知识点的考核就已经超纲了，因为学生即使知道弹簧自身质量对振动情况有影响，但是对周期到底有什么样的影响并不清楚，在判断B选项时就会犹豫不决甚至无法判断。

（2） 计时起点对测量振动周期的影响。

如图2所示，描绘出弹簧振子离开平衡位置的x-t（位移-时间）图像，当测量振子周期时，计时起点可以选在t_{\mathrm{1}}时刻（即平衡位置），则到t_{\mathrm{4}}时刻，振子完成一次全振动；也可以选在t_{\mathrm{2}}时刻（即最大振幅位置），则到t_{\mathrm{5}}时刻振子完成一次全振动；还可以选在t_{\mathrm{3}}时刻（即任意位置），则到t_{\mathrm{6}}时刻振子完成一次全振动。因此，当光电门稍微偏离托盘的平衡位置，只要还在托盘途经的位置上，就能够准确测量周期。这样来看，C选项不是误差来源，根据排除法选择B选项是合理的。

在单摆实验中，要求从平衡位置开始计时的原因是平衡位置比较好判定（一般铁架台上会安装角度盘），这样单摆小球完成N次全振动回到平衡位置就可以停止计时。如果选择任意位置作为起点，就很难判断单摆小球确实完成了N次全振动回到最初选定计时的位置了，容易导致总时间的测量出现偶然误差，但是本题采用光电门结合数字计时器，无需肉眼判断，就能够避免计时位置判断不准所造成的偶然误差。

2.3 类似题目

（1） 黑吉辽2024年物理卷第7题。

如图3-a所示，将一弹簧振子竖直悬挂，以小球的平衡位置为坐标原点O、竖直向上为正方向建立x轴。若将小球从弹簧原长处由静止释放，其在地球与某球状天体表面做简谐运动的图像如3-b所示（不考虑地球自转影响），设地球、该天体的平均密度分别为{\rho }_{\mathrm{1}}和{\rho }_{\mathrm{2}}，地球半径是该天体半径的n倍。\frac{{\rho }_{\mathrm{1}}}{{\rho }_{\mathrm{2}}}的值为（　　）。

【试题分析】本题以弹簧振子在不同的天体表面竖直悬挂做简谐振动为情境，引导学生进行科学探究，考查了万有引力定律、简谐运动的规律等知识点。需要学生能够将万有引力定律和简谐运动的相关知识联系起来，重点考查学生的推理论证能力，反映学生的科学思维水平。

【试题解答】首先，题设中“不考虑自转影响”，则小球在天体表面所受的重力就等于万有引力，可以得到

m{g}_{\mathrm{地}}=G\frac{M_{\mathrm{地}}m}{R_{\mathrm{地}}^{\mathrm{2}}}=\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}G\mathrm{\pi }{R}_{\mathrm{地}}{\rho }_{\mathrm{地}}m，

m{g}_{\mathrm{天}}=G\frac{M_{\mathrm{天}}m}{R_{\mathrm{天}}^{\mathrm{2}}}=\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}G\mathrm{\pi }{R}_{\mathrm{天}}{\rho }_{\mathrm{天}}m，

因此，\frac{g_{\mathrm{天}}}{g_{\mathrm{地}}}=\frac{R_{\mathrm{天}}{\rho }_{\mathrm{天}}}{R_{\mathrm{地}}{\rho }_{\mathrm{地}}}；

其次，从图像上分析，弹簧振子在地球表面的最大振幅是在天体表面时的两倍，说明在地球表面小球的平衡位置距离弹簧原长处为\mathrm{2}A，而在天体表面小球的平衡位置距离弹簧原长处为A，根据胡克定律和二力平衡可知：

k\cdot \mathrm{2}A=m{g}_{\mathrm{地}}，k\cdot A=m{g}_{\mathrm{天}}，

有\frac{g_{\mathrm{天}}}{g_{\mathrm{地}}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}，

因而，\frac{R_{\mathrm{天}}{\rho }_{\mathrm{天}}}{R_{\mathrm{地}}{\rho }_{\mathrm{地}}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\Rightarrow \frac{{\rho }_{\mathrm{地}}}{{\rho }_{\mathrm{天}}}=\mathrm{2}\frac{R_{\mathrm{天}}}{R_{\mathrm{地}}}=\frac{\mathrm{2}}{n}。

此题与湖北卷2024年的实验题情境有异曲同工之妙，都是利用胡克定律和二力平衡来确定重力加速度。两题相比较，实验题设计得更为巧妙；在真实的测量环境下，此题采用简谐运动的图像其实是不必要的，因为仅有振幅不同，完全可以通过测量两个天体表面小球受力平衡时的弹簧伸长量得出和题设相同的结果。该题用简谐运动的图像先确定最大振幅，再结合振动特点判断重力加速度之比，从而将万有引力定律和简谐振动的知识结合起来，虽然可以考查学生的综合能力，但是在实际操作中比较麻烦，更像是命题者基于拓宽万有引力的命题角度和考查学生综合分析能力的需要。湖北卷的实验题则必须借助弹簧振子的周期公式，否则无法在不知道弹簧劲度系数的情况下测得重力加速度，具有实用价值，不失为一种测量重力加速度的好方法。

（2） 湖北2025年高考物理卷第9题。

无独有偶，2025年湖北物理卷第9题的选择题也采用了相似的模型，原题如下。

质量均为m的小球\mathrm{a}和\mathrm{b}由劲度系数为k的轻质弹簧连接，小球\mathrm{a}由不可伸长的细线悬挂在O点，系统处于静止状态，如图4所示。将小球\mathrm{b}竖直下拉长度l后由静止释放，重力加速度大小为g，忽略空气阻力，弹簧始终在弹性限度内。释放小球\mathrm{b}后()。

A.小球\mathrm{a}可能会运动。

B.若小球b做简谐运动，则其振幅为\frac{l}{\mathrm{2}}。

C.当且仅当l\le \frac{mg}{k}时，小球\mathrm{b}才能始终做简谐运动。

D.当且仅当l\le \frac{\mathrm{2}mg}{k}，小球\mathrm{b}才能始终做简谐运动。

【试题分析】本题构建了两个小球通过弹簧连接并由细线悬挂的系统，考查受力分析、牛顿第二定律、简谐运动的规律等知识点，需要学生分析细线张力在运动过程中的变化，重点考查学生的推理论证能力和科学思维水平。

【试题解答】首先，从l处释放小球b后弹簧收缩，小球\mathrm{b}向上运动挤压弹簧，若弹簧的弹力大于小球\mathrm{a}的重力，则小球\mathrm{a}会向上运动，A正确；当小球\mathrm{a}向上运动时，小球\mathrm{b}不做简谐运动，因此小球\mathrm{b}始终做简谐运动的临界条件是弹簧压缩时的最大弹力等于mg，此时弹簧的压缩量为\frac{mg}{k}，小球\mathrm{b}能够做简谐运动，在平衡位置时弹簧的伸长量为\frac{mg}{k}，因此最大伸长量为\frac{\mathrm{2}mg}{k}，即将小球\mathrm{b}下拉l\le \frac{\mathrm{2}mg}{k}时，小球\mathrm{b}才能始终做简谐运动，D正确；最后，小球\mathrm{b}做简谐运动时的振幅为l。

相比于2024年的实验题，本题重点考查简谐运动的临界条件、多系统受力分析以及弹簧-重物系统的振动特性，偏重物理条件的分析与推理，因此对学生的物理直觉与逻辑严密性有较高要求。

3 实验拓展题

【题目设计】假设小明被送到了一颗和地球环境相似的系外行星上，现有带小挂钩的实心小铁球1个、带小挂钩的轻质弹簧1根、米尺1把、秒表1个，他能不能设计一个实验了解自己是否仍在地球上；如果可以，如何测量该行星表面的重力加速度？（提示：已知弹簧振子的固有周期为T=\mathrm{2}\mathrm{\pi }\sqrt[]{\frac{M}{k}}）

【解题方法】一般最容易想到的方法是二力平衡法Mg=k\left(l-l_{\mathrm{0}}\right)，但是题设没有提供小球的质量和弹簧的劲度系数，仅提供了测量长度和时间的工具。考虑到g=\frac{k}{M}\left(l-l_{\mathrm{0}}\right)，只要能知道\frac{k}{M}，就可以通过测量弹簧的原长l_{\mathrm{0}}和小球在平衡位置时弹簧的长度l得到重力加速度g。而\frac{k}{M}可以通过测量弹簧振子的固有周期T=\mathrm{2}\mathrm{\pi }\sqrt[]{\frac{M}{k}}得到，即\frac{k}{M}=\frac{\mathrm{4}{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}}{T^{\mathrm{2}}}。可以得到g=\frac{k}{M}\left(l-l_{\mathrm{0}}\right)=\frac{\mathrm{4}{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}}{T^{\mathrm{2}}}\left(l-l_{\mathrm{0}}\right)，因此，该实验只需要测量弹簧振子的周期T和弹簧的长度l_{\mathrm{0}}、l即可。当然也可以利用变式l=\frac{g}{\mathrm{4}{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}}{T}^{\mathrm{2}}+l_{\mathrm{0}}，换用不同质量（无需测量）的小球多测几组\left(T^{\mathrm{2}},l\right)数据，得到l-T^{\mathrm{2}}图像，再从图像拟合得到的斜率k_{l-T^{\mathrm{2}}}=\frac{g}{\mathrm{4}{\mathrm{\pi }}^{\mathrm{2}}}获得重力加速度，这种方法就不需要测量弹簧的原长l_{\mathrm{0}}。

此题是一道开放式的实验设计题，要求学生自主设计实验，从给定的实验器材（带小挂钩的实心小铁球、带小挂钩的轻质弹簧、米尺、秒表）出发，思考如何利用这些器材达成判断是否在地球以及测量重力加速度的目的。这需要学生经历提出问题（是否在地球表面、重力加速度是多少）、制订实验方案（设计实验步骤）、获取和处理信息（测量数据、计算分析）等过程，有助于提升学生的科学素养。题目通过创设在系外行星这样一个情境，要求学生运用所学物理知识设计实验，将习得的科学原理用于解决实际问题，这充分体现了物理学在真实场景中的应用价值，考查学生将物理知识应用于新情境、解决实际问题的能力。

4 总结

弹簧振子的振动周期是其自身的固有属性，和所在环境的重力加速度无关，因此，将其应用于重力加速度的测量似乎是不可能的。而2024年湖北卷这道实验题通过联合动态振动与静态形变的创新设计，将竖直弹簧振子从理想模型拓展为重力测量工具，将重力加速度从“周期无关量”转化为“可测量”，突破了思维定式，体现了逆向思维与技术创新，且能帮助学生建立对物质运动与相互作用的整体性认知。因此，其价值远不止于给出了一个创新实验，还在于该设计完美地诠释了从知识本位转向素养本位的教学要求，给当前中学物理实验教学提供了改进的方向。

参考文献

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[2] 许文.高考物理实验的创新设计与备考策略［J］.教学考试，2024（49）：74-77.

[3] 胡道成.2024年高考力学实验题的创新途径及解答策略［J］.中学生理科应试，2024（10）：33-36.

[4] 沈钟伟，张峰.弹簧质量对振动周期的影响［J］.大学物理，2013，32（03）：44-45，48.

[5] 杨晶然，赵丽明，周云松，等.弹簧质量对振动及波动特性的影响［J］.首都师范大学学报（自然科学版），2021，42（05）：32-36.

基金资助

2024年度绵阳市社会科学研究规划项目“基础教育研究”专项课题“‘切磋琢磨’思想在中学物理教学中创造性转化的研究”(MSJJCT24-B08)

绵阳师范学院科研启动项目“标量场暗能量模型的动力学和热力学研究”(QD2016A002)