验证反比例函数图象性质的实验设计

摘要

函数是抽象的数学对象，对其性质的探究常需借助直观的图象。利用数学软件设计实验，遵循从“形”到“数”的认知路径，既能丰富学生的数学活动经验，也有助于发展其数学抽象、几何直观等核心素养。以“验证反比例函数图象的性质”为例，基于几何画板设计实验并给出操作步骤，可进一步阐明数学实验在核心素养培育层面的价值。

Graphical abstract

关键词

数学实验 / 反比例函数 / 数学抽象 / 几何直观 / 图象 / 性质 / 实验设计

反比例函数是初中阶段学习的一种重要的函数模型，学生对其性质的理解是教学的难点之一。几何画板等数学软件能营造“做数学”的环境，支持开展基于信息技术的数学实验，帮助学生验证已知结论、探寻未知规律、辅助问题求解、实现命题创新，推动探究式课堂的构建。通过实验方法研究反比例函数图象，可以直观地将它的部分性质呈现于学生眼前，促进性质的内化与运用，并有助于发展学生的数学抽象、几何直观等核心素养^［1］。

1 实验背景与目标

我们知道，反比例函数y=\frac{k}{x}的解析式可以变形为xy=k（k\ne \mathrm{0}）。从坐标变换的角度看，如果把解析式中的x换成-x，y换成-y，我们发现其解析式不发生变化，这说明它的图象关于原点成中心对称。类似地，如果把反比例函数解析式中的x换成y，y换成x，其解析式也不发生变化，这说明它的图象是一个轴对称图形，且直线y=x是它的一条对称轴；若把解析式中的x换成-y、y换成-x，则同样发现解析式也没发生变化，这说明它的图象关于直线y=-x对称。我们还知道，反比例函数y=\frac{k}{x}（k\ne \mathrm{0}）的图象是双曲线。当k＞0时，其两支分布在一、三象限；当k＜0时，其两支分布在二、四象限。那么，当k取不同的正数或负数时，不同的双曲线在同一个坐标系中是怎样分布的呢？通过实验，学生不仅从“数”的角度认识反比例函数图象的对称性，还可从“形”的角度加以验证；学生通过实验过程中的操作、思考，发现问题，总结规律，掌握科学研究的基本思路和方法，提高科学探究的实践能力，进而树立科学精神与创新意识；通过观察实验现象，比较参数的变化与图形位置，抽象出一般性的结论，并学会用数学语言来表达，进而发展数学抽象、几何直观等核心素养。

2 实验内容与操作

2.1 验证反比例函数图象的中心对称性

第一步，新建几何画板文件，在“数据”菜单中选择“新建参数”，作为反比例函数的系数k，初始值设为1。

第二步，在“绘图”菜单中选择“绘制新函数”，在计算器面板中依次点击参数“k”“÷”“x”，再点击“确定”，即可画出函数y=\frac{k}{x}的图象。

第三步，在反比例函数图象上任取一点P，双击坐标原点标记旋转中心，选择“变换”菜单中的“旋转”，就将点P旋转180°，得到点P₁，并度量出P与P₁两点的坐标。

第四步，拖动点P改变其在图象上的位置，观察点P₁的位置及坐标变化，验证点P₁是否也在函数图象上。然后，在参数k的数值框中输入不同的值，重复上述操作，验证结论是否依然成立。

2.2 验证反比例函数图象的轴对称性

接续前面的操作，第五步，在“绘图”菜单中选择“绘制点”，在对话框中分别绘制点A（1，1）和点B（-1，1），选中点O、A，绘制直线OA，选中点O、B，绘制直线OB。

第六步，双击直线OA标记对称轴，选中点P，在“变换”菜单中选择“反射”，作出P点关于直线OA的对称点P₂，用同样的方法作出P点关于直线OB的对称点P₃，并度量出P₂、P₃的坐标（图1）。

第七步，拖动点P改变其在图象上的位置，继续观察点P₂、P₃的位置及坐标变化，点P₂、P₃是否也在函数图象上？在参数k的数值框中输入不同的值，看看结论是否依然成立？

2.3 验证反比例函数图象的分布规律

第一步，仿照前面的方法新建参数k，绘制反比例函数y=\frac{k}{x}的图象。

第二步，在“绘图”菜单中选择“绘制新函数”，依次绘制出函数y=\frac{\mathrm{1}}{x}，y=\frac{\mathrm{2}}{x}，y=\frac{\mathrm{3}}{x}，y=\frac{\mathrm{4}}{x}，y=\frac{\mathrm{5}}{x}，y=\frac{\mathrm{6}}{x}的图象（图2）。

第三步，选中参数k，通过按键盘上的“+”“-”键改变参数k的值（保持k＞0），观察对应的函数图象在坐标系中的相对位置变化。你能发现什么规律？

第四步，类似地，在空白页中仿照第一步的方法绘制反比例函数y=\frac{k}{x}的图象以及y=-\frac{\mathrm{1}}{x}、y=-\frac{\mathrm{2}}{x}、y=-\frac{\mathrm{3}}{x}、y=-\frac{\mathrm{4}}{x}、y=-\frac{\mathrm{5}}{x}和y=-\frac{\mathrm{6}}{x}的图象（图3）。

第五步，选中参数k，通过按键盘上的“+”“-”键改变参数k的值（保持k＜0），观察对应的函数图象在坐标系中的相对位置变化。你能发现什么规律？

3 实验结论与反思

从实验现象中可以发现，无论点P在反比例函数图象上的位置如何变化，点P₁、P₂、P₃始终也在反比例函数图象上，这说明反比例函数的图象不仅是关于原点对称，也是关于直线y=x和直线y=-x对称。

在同一坐标系中，|k|越大，反比例函数图象的位置相对于坐标原点看起来越远；|k|越小，反比例函数图象的位置相对于坐标原点看起来越近。通过现象背后规律的总结与表达，培养了学生的创新精神，发展了学生的数学抽象核心素养。

在这个实验中，通过观察点P的横纵坐标的变化，以及它们之间的变化规律，还可以对反比例函数的增减性有更深刻、直观的认识，特别是点P从图象的一支运动到另一支时坐标的变化，直观地解释了为什么在描述其增减性时要强调“在每一个象限内”这个前提条件。

同时，我们还可以引导学生进一步探究反比例函数图象相对于坐标轴而言的渐近性，通过动点P的位置向坐标轴正、负两个方向的移动，让学生体会“极限”思想，发展几何直观核心素养。

总之，在数学软件支持下的数学实验手段是常规教学手段无法比拟的。在数学教学中，我们也应像物理、化学等学科那样，多开展实验探究，为数学教学插上“技术”的翅膀，助力数学教学的提质、增效。

参考文献

[1] 江玉军.几何画板5.0从入门到精通［M］.广州：中山大学出版社，2011.